资料中包含下列文件，点击文件名可预览资料内容
还剩46页未读，
继续阅读
所属成套资源：全国通用人教A版（2019）高中数学必修二全册讲义
成套系列资料，整套一键下载
人教A版 (2019)必修 第二册8.5 空间直线、平面的平行精品学案设计
展开
这是一份人教A版 (2019)必修 第二册8.5 空间直线、平面的平行精品学案设计，文件包含空间中的平行与垂直-讲义教师版docx、空间中的平行与垂直-讲义学生版docx等2份学案配套教学资源，其中学案共74页， 欢迎下载使用。
空间中的平行与垂直
一、 课堂目标
1．熟练掌握直线与直线平行、直线与平面平行、平面与平面平行定理及其应用．
2．理解线线垂直的含义，熟练掌握直线与平面垂直、平面与平面垂直的定理及其应用．
3．理解线面角的含义，会求线面角的大小．
4．理解二面角的含义，会求二面角的大小．
【备注】【教师指导】
1.本讲的重点是熟练掌握空间中的平行、空间中的垂直的判定定理和性质定理，以及它们的应用；难点是求空间中的线面角和二面角的大小.注意求线面角和二面角在《空间中的角与距离》这一讲会重点讲解，这一讲需要学生理解线面角和二面角的概念，了解求线面角和二面角的方法.
2.本讲的前置知识是空间中点、线、面的位置关系.
二、 知识讲解
1. 直线与直线平行
知识精讲
（1）基本事实4
文字语言平行于同一条直线的两条直线平行
图形语言
符号语言
【备注】【教师指导】
①在同一个平面内没有公共点的直线叫作平行直线．在初中几何中，有两个重要的结论：
（i）过直线外一点有且只有一条直线和这条直线平行；
（ii）在同一平面内，如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．
②用此定理证明空间两直线平行的步骤：
（i）先找到直线 ；（ii）证明，同时 ；（iii）得到.
③基本事实 所表述的性质，即空间平行线的传递性．例如：三棱镜的三条棱，如果满足
//
，
C
//
，这时必有
A1
//
，如下图所示．
C1
B1
A
B
（2）等角定理
①定理内容：如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．
②图形语言表示：如图所示．
C1
E1
A1
D1B1
C
E
ADB
③符号语言表示为：如果
或互补．
和
的边
，
，则
与
相等
知识点睛
此定理包含两个结论：
①若一个角的两边与另一个角的两边分别对应平行且方向都相同或都相反，那么这两个角相等．
②若一个角的两边与另一个角的两边分别平行，有一组对应边方向相同，另一组对应边方向相反，那么
这两个角互补．
【备注】【教师指导】
老师可以借助画图给学生讲解，会更直观一些.
经典例题
1. 已知在棱长为 的正方体
中， ， 分别为 ， 的中点，则
与
的
位置关系是．
【备注】【教师指导】
直接考查基本事实4：平行于同一条直线的两条直线平行.
【答案】平行
【解析】由题得，，，．
【标注】【知识点】点、直线、平面之间的位置关系；线线平行的证明问题
2. 若，，且，则（ ）．
A.B.
C.或D. 不能确定
【备注】【教师指导】
直接考查等角定理.
【答案】C
【解析】根据等角定理，知
．
故选：
与
相等或互补，即
或
【标注】【知识点】点、直线、平面之间的位置关系；几何法求空间角
巩固练习
3. 已知，，则 与的位置关系是（ ）．
A. 相交B. 异面C. 平行D. 以上均有可能
【答案】D
【解析】如图所示，
，
，则 与
可能平行、相交或异面．
故选 ．
【标注】【知识点】点、直线、平面之间的位置关系；已知线面位置关系判定结论的问题
2. 直线与平面平行
知识精讲
（1）直线与平面平行的判定定理
文字语言
如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平
行，那么该直线与此平面平行
图形语言
符号语言
作用
通过直线与直线平行来判定直线与平面平行
注意：
①定理中的三个条件“
，
，
”缺一不可；
②要证明平面外的一条直线与此平面平行，关键是在此平面内找到一条直线与已知直线平行；
③直线与平面平行的判定定理可简述为“若线线平行，则线面平行”．定理告诉我们，通过直线间的平行，可以推证直线与平面平行，这是处理空间位置关系的一种常用方法，即把空间问题转化为平面问题．
【备注】【教师指导】
直线与平面平行的画法
在画直线与平面平行时，通常把表示直线的线段画在表示平面的平行四边形的外面，并且
使它与平行四边形内的一条线段平行或与平行四边形的一条边平行，如图所示．
（2）直线与平面平行的性质定理
文字语言
一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面
与此平面相交，那么该直线与交线平行.
图形语言
符号语言
作用
①作为证明线线平行的依据．当证明线线平行
时，可以证明其中一条直线平行于一个平面，另一条直线是过第一条直线的平面与已知平面的交线，从而得到两直线平行．
②作为画一条直线与已知直线平行的依据．如果一条直线平行于一个平面，在平面内画一条直线与已知直线平行，可以通过已知直线作一个平面与已知平面相交，交线就是所要作的直线．
注意：
①该定理可简记为“若线面平行，则线线平行”．
②该定理中有三个条件：，，，这三个条件缺一不可．
③当时，过 的任意一个平面与 的交线都与 平行，即 可以与 内的无数条直线平行，但不是
任意一条．平面 内凡是不与 平行的直线，都与 异面．
经典例题
4. 给出下列说法：
①若直线 平行于平面 内的无数条直线，则；
②若直线 在平面 外，则；
③若直线，直线，则；
④若直线，直线，则直线 平行于平面 内的无数条直线．
其中正确说法的个数为（ ）．
A.B.C.D.
【备注】【教师指导】
考查直线与平面平行的判定定理，进一步加强学生对直线与平面平行判定定理的理解.
【答案】A
【解析】对于①，虽然直线 与平面 内的无数条直线平行，但 可能在平面 内，所以 不一定平行
于 ，所以错误；对于②，因为直线 在平面 外，包括两种情况：和 与 相交，所
以 和 不一定平行，所以错误；对于③，因为直线，，只能说明 和 无公共
点，但 可能在平面 内，所以 不一定平行于平面 ，所以错误；对于④，因为，
，所以或，所以 与平面 内的无数条直线平行，所以正确．综上，正确
说法的个数为 ．
【标注】【知识点】线面平行的证明问题；直线和平面平行的性质；线线平行的证明问题；直线和
平面平行的判定；平面图形、空间几何体的直观图认识
5. 如图所示，在三棱柱中， 是棱 的中点， 是棱 的中点，证明：平面
．
【备注】【教师指导】
通过构造平行四边形得到线线平行，根据直线与平面平行的判定定理得到线面平行.
【答案】证明见解析．
【解析】取 的中点 ，连接 ，．
∵ 为棱 的中点，∴，且．
又∵ 为棱的中点，∴．
又，且，∴，且
，∴，且，
∴四边形为平行四边形，
∴．
又∵平面，平面，
∴平面．
【标注】【知识点】线面平行的证明问题；直线和平面平行的判定
巩固练习
6. 如图，在直四棱柱中，底面为等腰梯形，，，
， 分别是棱 ，的中点，设 是棱 的中点，证明：直线平面．
【答案】证明见解析．
【解析】如图，
取
的中点为 ，连接 ，
，
易知，所以平面，
因此平面即为平面，
连接， ，
由题意得，
所以四边形为平行四边形，
所以，
又易知，
所以，又平面，
平面，
所以平面．
【标注】【知识点】线面平行的证明问题；直线和平面平行的判定
经典例题
7. 下列说法中正确的是（ ）
①一条直线如果和一个平面平行，他就和这个平面内的无数条直线平行；②一条直线和一个平面平
行，它就和这个平面内的任何直线无公共点；③过直线外一点，有且仅有一个平面和已知直线平
行；④如果直线 和平面 平行，那么过平面 内一点和直线 平行的直线在 内．
A. ①②③④B. ①②③C. ②④D. ①②④
【备注】【教师指导】
直接考查直线与平面平行的定义和性质定理，进一步加强学生对直线与平面平行性质定理
的理解.
【答案】D
【解析】由线面平行的性质定理可知①④正确；由直线与平面平行的定义可知②正确；因为过一
点可以作一条直线与已知直线平行，而经过这条直线可做无数个平面，故③错误．
【标注】【知识点】直线和平面平行的性质
8. 如图， 是平行四边形所在平面外的一点， 是 的中点，在 上取一点 ，过点 和
作平面，交平面于 ．求证：．
【备注】【教师指导】
先考查直线与平面平行的判定定理：
平面
；
再根据直线与平面平行的性质定理可得：.
【答案】证明见解析．【解析】
如图，连接 ，交 于点 ，连接
．
∵四边形是平行四边形，
∴点 是 的中点，
又∵点 是 的中点，
∴，
又∵平面，平面，
∴平面，
∵平面平面，平面，
∴．
【标注】【知识点】点、直线、平面之间的位置关系；已知线面位置关系判定结论的问题；线面平
行的证明问题；直线和平面平行的判定；直线和平面平行的性质
巩固练习
9. 如图，四棱锥中， ， 分别为 ， 上的点，且平面，则（ ）．
A.B.C.D. 以上均有可能
【答案】B
【解析】四棱锥
中， ， 分别为 ， 上的点，且
平面
，
平面，平面平面，
由直线与平面平行的性质定理可得：．
故选 ．
【标注】【知识点】直线和平面平行的性质
10. 已知 ， ， ， 为空间四边形
的边 ， ， ， 上的点，且
．求证：
．
【答案】证明见解析．
【解析】，则由线面平行的判定定理，有平面，又平面且平面
平面，故由线面平行的性质定理可知，．
【标注】【知识点】直线和平面平行的性质；线线平行的证明问题
3. 平面与平面平行
知识精讲
（1）平面与平面平行的判定定理
文字语言
如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平
行，那么这两个平面平行
图形语言
符号语言
，
，
，且
，
⇒
作用用来证明两平面平行
注意：
①用该定理判定平面 和平面 平行时，必须具备：
一个平面内有两条直线平行于另一个平面；这两条直线必须相交．
②平面与平面平行的判定定理可简述为“若线面平行，则面面平行”．该定理把两个平面平行的问题转化为线面平行的问题．
（2）两个平面平行的性质定理
文字语言
两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相
交，那么两条交线平行
图形语言
符号语言
， ∩ = ， ∩
作用可以用来证明线线平行
注意：
①该定理可简记为“若面面平行，则线线平行”．
②该定理中有三个条件：， ∩， ∩，这三个条件缺一不可．
③已知两个平面平行，虽然一个平面内的任意一条直线都平行于另一个平面，但是一个平面内的一条直线与另一个平面内的一条直线不一定互相平行，它们可能是平行直线，也可能是异面直线，但不可能是相交直线．
④该定理提供了证明线线平行的一种方法，应用时要紧扣“两个平行平面同时和第三个平面相交”．
（3）两个平面平行的其他性质
①两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线都平行于另一个平面．
②夹在两个平行平面间的平行线段长度相等．
③经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行．
④两平行平面间的两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例．
⑤如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面互相平行．
经典例题
11. 如图，正方体中， ， ， ， 分别是，，，的中
点．求证：平面平面．
【备注】【教师指导】
直接考查面面平行的判定定理，进一步加深学生对面面平行判定定理的理解.
【答案】证明见解析
【解析】连结 ，∵ ， 是，的中点，四边形为正方形，
∴，，又，，
∴，，∴四边形是平行四边形，
∴，
∵面，面
∴面，
同理由，，可得,
∴面，
又 ，平面，，
∴平面平面．
【标注】【知识点】平面和平面平行的判定；面面平行的证明问题
巩固练习
12. 如图，在四棱锥中，是正方形，平面，， ， ，
分别是 ， ， 的中点．求证：平面平面．
【答案】证明见解析．
【解析】∵ ， 分别是 ， 的中点，
∴，
由正方形可得：
∴，
又平面，
∴平面，
∵ ， 分别是 ， 的中点，
∴，
可得平面，
又，
∴平面平面．
【标注】【知识点】面面平行的证明问题；直线和平面平行的判定；平面和平面平行的判定
经典例题
13. 如图，在四棱柱中，底面为梯形，，平面与交
于点 ．
求证：
．
【备注】【教师指导】
直接考查面面平行的性质定理，属于常考题，学生须熟练掌握.
【答案】证明见解析
【解析】因为，平面，平面，
所以平面．
因为，平面，平面，
所以平面．
因为，平面，平面，
所以平面平面．
又因为平面平面，平面平面，所以
．
【标注】【知识点】直线和平面平行的判定；线面平行的证明问题
14. 已知四棱锥，，， 为 的中点．
求证：平面．
【备注】【教师指导】
通过面面平行证线面平行，考查两平面平行的其他性质1.
【答案】证明见解析．
【解析】由题设可知：取 中点 ，连接 ， ，
则由，，
由 为 中点，则．
故四边形为平行四边形，
则，
又由 ， 分别为 ， 的中点，
则，
故由，，
知面面，
故面．
【标注】【知识点】线面平行的证明问题；直线和平面平行的判定
巩固练习
15.
在如图所示的几何体中， 是 的中点，， ， 分别是 和 的中点．求证：
平面．
【答案】证明见解析．
【解析】取 的中点 ，连接 ， ，
则有，．
又，
所以，
∴平面，平面，
∵，∴平面平 面，
因为平面，
所以平面．
【标注】【知识点】直线和平面平行的判定；线面平行的证明问题
4. 直线、平面平行的综合应用
知识精讲
（1）证明直线与平面平行的常见方法
①利用定义．证明直线 与平面 没有公共点．这时直接证明往往较困难，一般是结合反证法来证明．
②利用直线与平面平行的判定定理．
③利用平面与平面平行的性质，把面面平行转化为线面平行．
证明直线与平面平行的常见辅助线
①利用中位线法证明线面平行
②构造平行四边形证明线面平行
（2）证明两平面平行常用的方法
①根据定义：证明两个平面没有公共点，但有时直接证明非常困难．
②根据判定定理：要证明两个平面平行，只需在其中一个平面内找两条相交直线，分别证明它们平行于
另一个平面，于是这两个平面平行．
③根据平面平行的传递性：若两个平面都平行于第三个平面，则这两个平面互相平行．
④利用反证法．
利用判定定理证明两平面平行的一般步骤
第一步：在一个平面内找出两条相交直线；
第二步：证明这两条相交直线分别平行于另一个平面；
第三步：利用平面与平面平行的判定定理得出结论．
知识点睛
平行关系的相互转化与综合应用
①常见的平行关系有线线平行．线面平行和面面平行．这三种平行关系不是孤立的，而是相互联系相互
转化的．
线线平行
判定
性质
线面平行
判定
性质
面面平行
②一般地，证明线面平行可以转化为证明线线平行；证明面面平行可以转化为证明线面平行；证明线线
平行可以利用线面平行或面面平行的性质定理来实现．
③从思维方法的角度来看，要进行平行的证明，往往先从题目的结论出发去选择相应的判定方法并进行“逆向思维”．当逆推出现困难时，应进行“正向思维”，即根据题目的已知去联想和推导有关的性质，使题设和结论逐步靠近，并最终产生联系和沟通，找到证明思路．这种“两头凑”的方法其实也是整个高中数学学习中较为常用的思维方法和证明方法．
④对较复杂的综合论证问题往往需要反复运用线面平行的判定定理和性质定理来进行证明，可有如下思
路：
在平面内找经过直线找或作平面
线线平行线面平行线线平行
或作一条直线与平面相交的交线
⑤应用位置关系的转化研究立体图形的性质是一种很重要的思维方法，在立体几何中，往往通过线线、线面、面面之间的位置关系的转化证明新的位置关系，掌握这种思维方法，就能寻找出许多平行问题的解题思路．
【备注】【教师指导】
（1）有关线面平行、面面平行的判定与性质，可按下面的口诀去记忆：判断线和面平行，面中找条平行线；
要证面和面平行，面中找出两交线；
线面平行若成立，面面平行是必然．
（2）证明线线平行的常用方法：①利用线线平行的定义；
②利用空间中直线平行的传递性；
③利用三角形的中位线；
④利用平行四边形；
⑤利用线面平行的性质定理；
⑥利用面面平行的性质定理．
经典例题
16. 如图所示，在平行六面体中， ， ， ， 分别是， ， ，
的中点，求证：
（ 1 ）
（ 2 ）平面
（ 3 ）平面
．
．
平面
．
【备注】 【教师指导】
对空间中直线、平面平行的综合考查，属于综合题型，也属于月考、期中、期末常考题
型，学生要熟练掌握.
【答案】（ 1 ）证明见解析．
（ 2 ）证明见解析．
（ 3 ）证明见解析．
【解析】（ 1 ）连结，
∵ 、 分别是 、 的中点，
∴是的中位线，
∴．
∵在平行六面体
中，有
，
，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴
（ 2 ）连结
．
，设与连结
交于点 ，
∵四边形为平行四边形，
∴点 是的中点，
又∵ 是的中点，
∴ 是的中位线，
∴．
又∵面，面，
∴平面．
（ 3 ）连结 ，与 交于点 ，则 是 中点，连结 ，
在平行六面体中，有，
∵平面，平面，
∴平面．
由（ ）得，
∵ 、 分别是 、的中点，
∴，
∴．
∵平面，平面，
∴平面，
∵，平面，平面，
∴平面平面．
【标注】【知识点】直线和平面平行的判定；面面平行的证明问题；线线平行的证明问题；平面和
平面平行的判定；线面平行的证明问题；三个公理、三个推论
巩固练习
17. 如图，四棱锥
（ 1 ）求证：
（ 2 ）求证：面
平面
的底面为平行四边形， 为 的中点， 为 中点， 为 中点．
．
平面．
【答案】（ 1 ）证明见解析．
（ 2 ）证明见解析．
【解析】（ 1 ）∵在平行四边形
中，
．
又∵面，面．
∴面．
（ 2 ）连接 ，交 与点 ，连接.
t
∵ 为平行四边形对角线交点．∴ 为 的中点．
又∵ 为 的中点．
∴为中位线．
可得．
∵ 为 中点， 为 中点，
∴．
∵面，面,
面，面,
,,
∴面平面．
∴平面，平面，
∵面，面， 且，
∴平面平面．
【标注】【知识点】平面和平面平行的判定；直线和平面平行的性质
5. 直线与直线垂直
知识精讲
（1）异面直线所成的角的定义：
如图所示， 与 是异面直线，经过空间任意一点 ，作直线
，
，我们把直线 和 所成的
锐角（或直角）叫作异面直线 ， 所成的角．
O
（ ）（ ）
注意：
①由“等角定理”可知， 与 所成角的大小与点 的位置无关．
②研究异面直线所成的角，就是通过平移把异面直线转化为相交直线，即把求空间角问题转化为求平面
角问题，这是研究空间图形的一种基本思路．
（2）异面直线所成角的范围：异面直线所成的角必须是锐角或直角，其范围是．
（3）两条异面直线垂直的定义：如果两条异面直线所成的角是直角，那么我们就说这两条异面直线互
相垂直．两条互相垂直的异面直线 ， ，记作 ．
（4）两条直线垂直，既包括相交垂直，也包括异面垂直．
（5）当两条直线 ， 相互平行时，我们规定它们所成的角为 °．所以空间两条直线所成角 的取值范
围是．
经典例题
18. 已知正方体的棱长为 ， 是底面的中心，则异面直线与所
成的角为（ ）．
A.B.C.D.
【备注】【教师指导】
通过作平行线找出异面直线的夹角，两条直线垂直其夹角为90°.
【答案】A【解析】
如图作中点 连，，
有，
故，
∴与，所成角即为与所成角，
连
，
知
为等边三角形，
∴，
∴所成角为 ．故选 ．
【标注】【知识点】几何法求空间角；点、直线、平面之间的位置关系
巩固练习
19. 如图，在直三棱柱中， 为的中点，，，
则异面直线 与 所成的角为（ ）．
A.B.C.D.
【答案】C
【解析】如图，取
的中点 ，连接 ， ，则
，则
（或其补角）
即为异面直线 与 所成的角．由条件可知
，所以
．
故选 ．
【标注】【知识点】几何法求空间角；点、直线、平面之间的位置关系
6. 直线与平面垂直
知识精讲
（一）直线与平面垂直
（1）定义：一般地，如果直线 与平面 内的任意一条直线都垂直，我们就说直线 与平面 互相垂直，
记作．直线 叫作平面 的垂线，平面 叫作直线 的垂面．直线与平面垂直时，它们唯一的公共点
叫作垂足．
（2）画法：
画直线 与平面 垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直．若平面水平放置，则将直线画成与表示平面的平行四边形的横边垂直，如图①所示；若平面竖直放置，则将直线画成与表示平面的平行四边形的竖直边垂直，如图②所示．
PP
（3）符号表示：任意，都有 ⇒．
（4）应用：
若直线与平面垂直，则这条直线与这个平面内的直线都垂直，从而可判断直线与平面内的直线互相垂
直，即“若，，则 ”．因此直线与平面垂直的定义不仅是直线与平面垂直的判定方法，也
是证明直线与直线垂直的重要且常用的方法．
【备注】【教师指导】
定义的剖析：
①定义中的“任意一条直线“与“所有直线”是同义词，但与“无数条直线”不同．定义的实质就是直线与平面内的所有直线都垂直．
②直线与平面垂直是直线与平面相交的一种特殊情况．
③运用直线与平面垂直的定义来判定直线与平面垂直时，要紧扣定义——“一条直线与一个平面内的所有直线都垂直”，若在平面内能找到一条直线与已知直线不垂直，则这条直线与这个平面不垂直．
④虽然这样的定义给线面垂直的判定带来困难，但已知直线与平面垂直时，却可以得到直
线与平面内的任意一条直线都垂直，给判定两条直线垂直带来方便，如：若，
，则 ，简述为“线面垂直，则线线垂直”，这是我们判定两条直线垂直时经常使用的一种重要方法．
（二）直线与平面垂直的判定定理
文字语言
如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂
直，那么该直线与此平面垂直
图形语言
符号语言
，
，
，
，
作用
通过判定直线和直线垂直来判定直线和平面垂
直．要判定一条直线与一个平面垂直，只需在该
平面内找出两条相交直线与已知直线垂直即可.
知识点睛
定理的剖析：
①该定理可简记为：“若线线垂直，则线面垂直”．
②该定理有五个条件： ，，，，，这五个条件缺一不可．
③“两条相交直线”是定理的关键词，应用定理时不能忽略．例如：若一条直线与一个平面的两条不相交的直线都垂直，则该直线与此平面不一定垂直．
④要判断一条直线和一个平面是否垂直，取决于在这个平面内能否找到两条相交直线和已知直线垂直．
至于这两条相交直线是否与已知直线有公共点，这是无关紧要的．
经典例题
20. 如图，在三棱锥中，， 是 的中点，且．
（ 1 ）求证：平面．
（ 2 ）若，求证：平面．
【备注】【教师指导】
通过证明
≌
来证明
，最后根据线面垂直的判定定理得证.
【答案】（ 1 ）证明见解析．
（ 2 ）证明见解析．
【解析】（ 1 ）因为
， 是 的中点，
所以．
在中，，
由已知，所以易证≌．
所以．所以，
又，
所以
（ 2 ）因为
平面
．
， 为 的中点，
所以．由（ ）知．
又因为，
所以平面．
【标注】【知识点】线面垂直的证明问题
巩固练习
21. 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，
，， 为 的中点．
（ 1 ）求证：平面.
（ 2 ）若点 在棱 上，设，试确定 的值，使得平面．
【答案】（ 1 ）证明过程见解析．
（ 2 ）．
【解析】（ 1 ），， 为 的中点，
四边形为平行四边形，
，
，
, 即
，
， 为 的中点，，
，
（ 2 ）当
平面
时，
．
平面
，
连接 ，交 于 ，连接，
，
四边形为平行四边形，且 为 中点，
点 是线段 的中点，
平面，平面，
平面．
【标注】【知识点】直线和平面垂直的判定；线面垂直的证明问题；平行的探索性问题；直线和平
面平行的判定
知识精讲
（三）直线与平面所成的角
（1）平面的斜线、斜线段、垂线段的定义：
一条直线与一个平面相交，但不与这个平面垂直，这条直线叫作这个平面的斜线，斜线和平面的交点叫作斜足，斜线上一点与斜足间的线段叫作这个点到平面的斜线段．如图所示，点 是点 在平面 上的正投影（简称射影）； 是点 到平面的垂线段；直线 是平面的一条斜线； 是斜足；线段 是斜线段．
（2）斜线在平面上的射影
如上图所示，过垂足 和斜足 的直线 叫作斜线在这个平面上的射影．
（3）直线与平面所成的角
①定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，叫作这条直线和这个平面所成的角.
如上图所示，即为直线 与平面 所成的角．
②直线与平面所成的角 的范围：
直线与平面相交
不垂直时，垂直时，
，
直线与平面平行或直线在平面内，．
故直线与平面所成的角的范围是．
③最小角定理：斜线和平面所成的角，是斜线和它在平面内的射影所成的锐角，它是这条斜线和平面内
经过斜足的一切直线所成角中最小的角．
经典例题
22.
如图所示， 是 的直径，所在的平面， 是圆上一点，且，
，求直线 与平面所成角的正切值．
【备注】【教师指导】
本题重点是找出平面与直线所成的角：找出垂线段，斜线段，斜线段在平面的投影，从而
找到对应的线面角.
【答案】 ．
【解析】因为平面，所以 为斜线 在平面上的射影，
所以为 与平面所成的角．
在中，，
所以．
所以直线 与平面所成角的正切值为 ．
【标注】【知识点】直线和平面垂直的性质；线线垂直的证明问题；几何法求空间角；点、直线、
平面之间的位置关系
巩固练习
23. 如图，在棱长为 的正方体中， 是 的中点， 是的中点，则直线
与平面所成角的正切值为．
【答案】
【解析】连接 ，由平面知即为直线 与平面所成的角，在
中，，，则．
【标注】【知识点】点、直线、平面之间的位置关系；几何法求空间角
知识精讲
（四）直线与平面垂直的性质定理
文字语言垂直于同一个平面的两条直线平行.
图形语言
符号语言
，
作用通过判定直线与平面垂直来判定两直线平行.
知识点睛
定理的剖析：
①直线与平面垂直的性质定理给出了一个证明两直线平行的方法，即只需证明两条直线均与同一个平面
垂直即可，反映了线线平行与线面垂直逻辑上的相互转化，即“线面垂直，则线线平行”．
②利用直线与平面垂直的性质定理可构造平行线，即让这些直线都垂直于同一个平面．
直线与平面垂直的其他性质和结论
①一条直线与一个平面垂直，这条直线垂直于这个平面内的任意一条直线；
②垂直于同一条直线的两个平面平行；
③如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面；
④如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也和另一个平面垂直；
⑤如果一条直线和一个平面垂直，那么它与这个平面的平行线垂直．
经典例题
24. 如图，在长方体中，，，点 是线段 的中点．
（ 1 ）求证：．
（ 2 ）求三棱锥的体积．
【备注】【教师指导】
本题主要考查线面垂直的判定定理与性质定理的综合.这里对于利用勾股定理逆定理来证明线线垂直的方法要重点讲解，这是证明线线垂直的一种重要方法.
【答案】（ 1 ）证明见解析．
（ 2 ） ．
【解析】（ 1 ）∵平面，
平面，
∴．
如图，连接 ，在
中，
∵，，
∴，
同理，又，
∴，
即，
又，
∴平面．
又平面，
∴
（ 2 ）∵
．
底面
，
∴ 到平面的距离为．
∵，
∴．
【标注】【知识点】组合体求体积、表面积问题；空间几何体的体积；直线和平面垂直的判定；直
线和平面垂直的性质；线线垂直的证明问题
巩固练习
25. 如图，在四棱锥中，底面是正方形， ， 交于点 ，平面，
， ， ， 分别是 ， ， 的中点．
（ 1 ）求证：（ 2 ）求证：（ 3 ）求证：
平面
；
平面
；
．
【答案】（ 1 ）见解析．
（ 2 ）见解析．
（ 3 ）见解析．
【解析】（ 1 ）因为点 ， 分别是 ， 的中点，所以
．
因为平面，平面，所以平面．
（ 2 ）因为四边形是正方形，所以
因为平面，平面，所以
因为，所以平面．
所以．
（ 3 ）由（Ⅱ）知，且，所以．
设 与 的交点为 ，连结 ，
因为点 ， 分别是 ， 的中点，所以
设，由题意得，
所以在中，．所以是直角三角形．
所以．所以．
因为，所以平面．
【标注】【知识点】线面垂直的证明问题
7. 二面角
知识精讲
（1）二面角的定义
①半平面：平面内的一条直线把这个平面分成两部分，其中的每一部分都叫作半平面．
②二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫作二面角．这条直线叫作二面角的棱，这两个
半平面叫作二面角的面．
（2）二面角的表示方法
①棱为 ，面为 ， 的二面角记作二面角，如图（1）所示．
②棱为 ，面为 ， 的二面角记作二面角，如图（2）所示．
③若在 ， 面内分别取点如图（2）所示．
P
（ ）
，
（ ）
（不在棱上），这个二面角可记作二面角
Q
，
【备注】【教师指导】
二面角与平面几何中的角的对比：
二面角角
半平面棱
A
图形
半平面
O
顶点
边
边
B
定义 从一条直线出发的两个半平面所组成的图
从平面内一定点出发的两条射线所组
成的图形
表示法
形由“半平面—棱—半平面”构成，表示为二面角
由“射线—顶点—射线”构成，表示为
理解 二面角是一个半平面以其棱为轴旋转而成的 角是一条射线沿着顶点的旋转量
（3）二面角的平面角必须具备以下三个条件：①角的顶点在二面角的棱上；
②角的两边分别在二面角的两个半平面内；
③角的两条边分别与二面角的棱垂直．
知识点睛
二面角的平面角
自然语言
在二面角的棱 上任取一点 ，以点 为
垂足，在半平面 和 内分别作垂直于棱 的射线和 ，则射线 和 构成的叫作二
面角的平面角.
符号语言
，
为二面角
，
，
的平面角.
，
，
B
图形语言O
A
【备注】【教师指导】
二面角和它的平面角的画法
画二面角和它的平面角，常用以下两种形式：
①直立式，如图所示．
（ ）（ ）
②平卧式，如图所示．
（ ）
（ ）
知识精讲
（4）二面角大小的度量
二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度．
平面角是直角的二面角叫作直二面角．
注意：
①二面角的大小与垂直平面的位置无关．一个二面角的平面角有无数个，它们的大小是相等的．
②构成二面角的平面角的三要素：“棱上”“面内”“垂直”，即二面角的顶点必须在棱上，角的两边必须分别在两个半平面内，角的两边必须都与棱垂直，这三个条件缺一不可．这些要素决定了二面角的平面角大小的唯一性．
③当二面角的两个半平面重合时，规定二面角的大小是 °；当二面角的两个半平面在同一个平面时，规
定二面角的大小是．所以二面角的范围是．
经典例题
26. 如图 是圆 的直径， 垂直于圆 所在的平面， 是圆 上一点（不同于 ， ），且
，则二面角的大小为（ ）．
A.B.C.D.
【备注】【教师指导】
本题的重点找出二面角的平面角，然后在直角三角形中去求解.
【答案】C
【解析】由条件得，．
又，
所以平面．
所以．
所以为二面角的平面角．
在中，由得．
故选 ．
【标注】【知识点】几何法求空间角；点、直线、平面之间的位置关系；直线和平面垂直的判定；
线面垂直的证明问题
巩固练习
27. 如图，在三棱锥中，平面，，则二面角的大小为
（ ）．
A.B.C.D.
【答案】A
【解析】∵平面，
∴且，
∴为二面角的平面角，
又∵，
∴二面角的大小为 ．
故选 ．
【标注】【知识点】几何法求空间角；向量法解决二面角问题
8. 平面与平面与垂直
知识精讲
（1）两个平面垂直的定义
一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．如教室内的墙
面与地面就是垂直关系，平面角是直角．
（2）两个互相垂直的平面的画法
在画两个互相垂直的平面时，通常把表示直立平面的平行四边形的竖边画成和表示水平平面的平行四边
形的横边垂直，如图所示，平面 与平面 垂直，记作．
（ ）（ ）
（3）平面与平面垂直的判定定理
文字语言
如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个
平面垂直
图形语言
符号语言
作用
用来证明两平面垂直
知识点睛
定理的剖析：
①该定理可简记为“若线面垂直，则面面垂直”，因此要证明平面与平面垂直，可转化为从现有直线中寻找平面的垂线，即证明线面垂直．
②两个平面垂直的判定定理，不仅是判定两个平面互相垂直的依据，也是找出一个平面的垂面的依据．
注意：
要判断两个平面的垂直关系，需要固定其中一个平面，找另一个平面内的一条直线与第一个平面垂直．
知识精讲
（4）两个平面垂直的性质定理
文字语言
两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直.
图形语言
BA
符号语言，，，
作用①证明线面垂直、线线垂直；②构造面的垂线．
知识点睛
（1）定理的剖析：
①两个平面垂直的性质定理也可简述为“面面垂直，则线面垂直”．
②平面与平面垂直的性质定理成立的条件有 个：
两个平面垂直；有一条直线在其中一个平面内；这条直线垂直于这两个平面的交线．
③此定理给出了线面垂直的又一种证明方法．
④常用两个平面垂直的性质过一点作另一个平面的垂线．
⑤要注意垂直于同一平面的两平面不一定平行．如下图，
（ ）（ ）
（2）平面与平面垂直的其他性质和结论：
①如果两个平面垂直，那么经过第一个平面内一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内，即
，，，．
②如果两个平面垂直，那么与其中一个平面平行的平面垂直于另一个平面，即，
．
③如果两个平面垂直，那么其中一个平面的垂线平行于另一个平面或在另一个平面内，即，
或．
④如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面，即
，
，
．
⑤三个两两垂直的平面的交线两两垂直，即
， ∩
，
， ∩
，
， ∩
，，．
经典例题
28. 如图，在平行四边形中，，，将沿 折起，使得
，在三棱锥的四个面中，下列关于垂直关系的叙述错误的是（ ）．
A. 面面B. 面面
C. 面面D. 面面
【备注】【教师指导】
先判断线面垂直：
平面
，再根据
平面
，得到面面垂直.
【答案】A
【解析】∵平行四边形
中，
，
将沿 折起，使得，
∴，．
∵，，
∴平面．
∵面，面，
∴面面，面面．
∵，，，
∴面．
∵面，
∴面面．
∴ ， ， 选项正确．
若面面，
∵面面，
∴面面，显然不成立．
故选 ．
【标注】【知识点】垂直的探索性问题；点、直线、平面之间的位置关系；面面垂直的证明问题；
平面和平面垂直的判定
巩固练习
29.垂直于正方形所在平面，连接 ， ， ， ， ，则下列垂直关系正确的是（
）．
①面
面
②面面
③面面
④面面．
A. ①②B. ①③C. ②③D. ②④
【答案】A
【解析】由于
，由 垂直于正方形
所在平面，
所以，
易证平面，则平面平面，
又，故平面，
则平面平面．
故选 ．
【标注】【知识点】平面和平面垂直的判定；直线和平面垂直的性质；面面垂直的证明问题
经典例题
30. 在四棱锥中，底面为正方形，平面
，
（ 1 ）求证：
（ 2 ）求三棱锥
（ 3 ）求证：平面
平面
， ， 分别是 ， 的中点．
．
的体积．
平面．
【备注】【教师指导】
本题属于立体几何的综合题型，属于常考题型，对于第（2）问建议老师选择解法1.
【答案】（ 1 ）证明见解析．
（ 2 ） ．
（ 3 ）证明见解析．
【解析】（ 1 ）连接 ，与 交于点 ，连接 ，
在中， ， 分别是 ， 中
点，
所以
，
又因为平面，平面
，
所以平面．
（ 2 ）法1：因为平面， ，平面，
所以，
又因为，， ，平面，
所以平面，
在直角中，， 为 中点，
所以，
所以三棱锥的体积为．
法2:因为平面，所以 为棱锥的高．
因为，底面是正方形，
所以，
因为 为 中点，所以，
所以．
（ 3 ）因为平面，平面，
所以，
在等腰直角中，，
又， ，平面，
所以平面，
又，
所以平面，
又平面，
所以平面平面．
【标注】【知识点】空间几何体的体积；等体积法；平面和平面垂直的判定；面面垂直的证明问
题；线面平行的证明问题；直线和平面平行的判定
巩固练习
31. 如图，四棱锥中，底面是边长为 的菱形，，，
为 中点．
（ 1 ）求证：
平面
；
（ 2 ）求证：平面平面；
（ 3 ）若，求三棱锥的体积．
【答案】（ 1 ）证明见解析．
（ 2 ）证明见解析．
（ 3 ） ．
【解析】（ 1 ）设，连结 ，
∵ 为 中点， 为 中点，
∴．
又∵平面，
平面，
∴平面．
（ 2 ）连结 ，
∵
， 为 中点，
∴．
又∵底面为菱形，
∴．
∵，
∴平面．
又∵平面，
∴平面平面．
（ 3 ）
．
【标注】【知识点】空间几何体的体积；直线和平面平行的判定；平面和平面垂直的判定
经典例题
32. 如图，在四棱锥中，底面是菱形，，且侧面平面，点
是棱 的中点．
（ 1 ）求证：（ 2 ）求证：（ 3 ）若
平面；
；
，求证：平面
平面
．
【备注】【教师指导】
本题属于立体几何的综合题型，难度不大，属于常考题.（1）问考查线面平行的判定定理，第（2）问考查面面垂直的性质定理，第（3）问考查面面垂直的判定定理.
【答案】（ 1 ）证明见解析．
（ 2 ）证明见解析．
（ 3 ）证明见解析．
【解析】（ 1 ）
底面
是菱形，
．
又平面，平面，
平面．
（ 2 ）因为，点 是棱 的中点，
，
平面平面，平面平面，
平面，
平面，
平面，
（ 3 ）
．
，点 是棱 的中点，
，
由（Ⅱ）可得，
平面，
又平面，
平面平面．
【标注】【知识点】线面平行的证明问题；直线和平面平行的判定；直线和平面垂直的性质；平面
和平面垂直的判定；面面垂直的证明问题；线线垂直的证明问题
巩固练习
33. 如图，在三棱锥中，平面，平面平面．求证：．
【答案】证明见解析．
【解析】在平面内，作于 ．
∵平面平面，
且平面平面，
∴平面．
又平面，
∴．
∵平面，平面，
∴．
又，
∴平面．
又平面，
∴．
【标注】【知识点】平面和平面垂直的性质；线线垂直的证明问题
三、 思维导图
你学会了吗？画出思维导图总结本课所学吧！
【备注】
四、 出门测
34. 已知 、 、 、 分别是四面体的棱 、 、 、 的中点．求证：平面
．
【答案】证明见解析．
【解析】∵ ， 分别是 ， 的中点，
∴，
∵平面，平面，
∴平面，
同理平面，
，
∴平面平面，
且平面，
∴平面．
【标注】【知识点】线面平行的证明问题；平面和平面平行的性质
35. 如图，四棱锥的底面是正方形， 垂直于底面，求证：
（ 1 ）（ 2 ）
．
平面
．
（ 3 ）平面平面．
【答案】（ 1 ）证明见解析．
（ 2 ）证明见解析．
（ 3 ）证明见解析．
【解析】（ 1 ）∵平面，
平面，
∴
（ 2 ）∵
．
，
，
、平面，
，
∴
（ 3 ）∵
平面
平面
．
，
平面，
∴，
∵，
、平面，
，
∴平面，
∵平面，
∴平面平面．
【标注】【知识点】直线和平面垂直的判定；线线垂直的证明问题；线面垂直的证明问题；平面和
平面垂直的判定；面面垂直的证明问题；直线和平面垂直的性质
49
空间中的平行与垂直
一、 课堂目标
1．熟练掌握直线与直线平行、直线与平面平行、平面与平面平行定理及其应用．
2．理解线线垂直的含义，熟练掌握直线与平面垂直、平面与平面垂直的定理及其应用．
3．理解线面角的含义，会求线面角的大小．
4．理解二面角的含义，会求二面角的大小．
【备注】【教师指导】
1.本讲的重点是熟练掌握空间中的平行、空间中的垂直的判定定理和性质定理，以及它们的应用；难点是求空间中的线面角和二面角的大小.注意求线面角和二面角在《空间中的角与距离》这一讲会重点讲解，这一讲需要学生理解线面角和二面角的概念，了解求线面角和二面角的方法.
2.本讲的前置知识是空间中点、线、面的位置关系.
二、 知识讲解
1. 直线与直线平行
知识精讲
（1）基本事实4
文字语言平行于同一条直线的两条直线平行
图形语言
符号语言
【备注】【教师指导】
①在同一个平面内没有公共点的直线叫作平行直线．在初中几何中，有两个重要的结论：
（i）过直线外一点有且只有一条直线和这条直线平行；
（ii）在同一平面内，如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．
②用此定理证明空间两直线平行的步骤：
（i）先找到直线 ；（ii）证明，同时 ；（iii）得到.
③基本事实 所表述的性质，即空间平行线的传递性．例如：三棱镜的三条棱，如果满足
//
，
C
//
，这时必有
A1
//
，如下图所示．
C1
B1
A
B
（2）等角定理
①定理内容：如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．
②图形语言表示：如图所示．
C1
E1
A1
D1B1
C
E
ADB
③符号语言表示为：如果
或互补．
和
的边
，
，则
与
相等
知识点睛
此定理包含两个结论：
①若一个角的两边与另一个角的两边分别对应平行且方向都相同或都相反，那么这两个角相等．
②若一个角的两边与另一个角的两边分别平行，有一组对应边方向相同，另一组对应边方向相反，那么
这两个角互补．
【备注】【教师指导】
老师可以借助画图给学生讲解，会更直观一些.
经典例题
1. 已知在棱长为 的正方体
中， ， 分别为 ， 的中点，则
与
的
位置关系是．
【备注】【教师指导】
直接考查基本事实4：平行于同一条直线的两条直线平行.
【答案】平行
【解析】由题得，，，．
【标注】【知识点】点、直线、平面之间的位置关系；线线平行的证明问题
2. 若，，且，则（ ）．
A.B.
C.或D. 不能确定
【备注】【教师指导】
直接考查等角定理.
【答案】C
【解析】根据等角定理，知
．
故选：
与
相等或互补，即
或
【标注】【知识点】点、直线、平面之间的位置关系；几何法求空间角
巩固练习
3. 已知，，则 与的位置关系是（ ）．
A. 相交B. 异面C. 平行D. 以上均有可能
【答案】D
【解析】如图所示，
，
，则 与
可能平行、相交或异面．
故选 ．
【标注】【知识点】点、直线、平面之间的位置关系；已知线面位置关系判定结论的问题
2. 直线与平面平行
知识精讲
（1）直线与平面平行的判定定理
文字语言
如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平
行，那么该直线与此平面平行
图形语言
符号语言
作用
通过直线与直线平行来判定直线与平面平行
注意：
①定理中的三个条件“
，
，
”缺一不可；
②要证明平面外的一条直线与此平面平行，关键是在此平面内找到一条直线与已知直线平行；
③直线与平面平行的判定定理可简述为“若线线平行，则线面平行”．定理告诉我们，通过直线间的平行，可以推证直线与平面平行，这是处理空间位置关系的一种常用方法，即把空间问题转化为平面问题．
【备注】【教师指导】
直线与平面平行的画法
在画直线与平面平行时，通常把表示直线的线段画在表示平面的平行四边形的外面，并且
使它与平行四边形内的一条线段平行或与平行四边形的一条边平行，如图所示．
（2）直线与平面平行的性质定理
文字语言
一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面
与此平面相交，那么该直线与交线平行.
图形语言
符号语言
作用
①作为证明线线平行的依据．当证明线线平行
时，可以证明其中一条直线平行于一个平面，另一条直线是过第一条直线的平面与已知平面的交线，从而得到两直线平行．
②作为画一条直线与已知直线平行的依据．如果一条直线平行于一个平面，在平面内画一条直线与已知直线平行，可以通过已知直线作一个平面与已知平面相交，交线就是所要作的直线．
注意：
①该定理可简记为“若线面平行，则线线平行”．
②该定理中有三个条件：，，，这三个条件缺一不可．
③当时，过 的任意一个平面与 的交线都与 平行，即 可以与 内的无数条直线平行，但不是
任意一条．平面 内凡是不与 平行的直线，都与 异面．
经典例题
4. 给出下列说法：
①若直线 平行于平面 内的无数条直线，则；
②若直线 在平面 外，则；
③若直线，直线，则；
④若直线，直线，则直线 平行于平面 内的无数条直线．
其中正确说法的个数为（ ）．
A.B.C.D.
【备注】【教师指导】
考查直线与平面平行的判定定理，进一步加强学生对直线与平面平行判定定理的理解.
【答案】A
【解析】对于①，虽然直线 与平面 内的无数条直线平行，但 可能在平面 内，所以 不一定平行
于 ，所以错误；对于②，因为直线 在平面 外，包括两种情况：和 与 相交，所
以 和 不一定平行，所以错误；对于③，因为直线，，只能说明 和 无公共
点，但 可能在平面 内，所以 不一定平行于平面 ，所以错误；对于④，因为，
，所以或，所以 与平面 内的无数条直线平行，所以正确．综上，正确
说法的个数为 ．
【标注】【知识点】线面平行的证明问题；直线和平面平行的性质；线线平行的证明问题；直线和
平面平行的判定；平面图形、空间几何体的直观图认识
5. 如图所示，在三棱柱中， 是棱 的中点， 是棱 的中点，证明：平面
．
【备注】【教师指导】
通过构造平行四边形得到线线平行，根据直线与平面平行的判定定理得到线面平行.
【答案】证明见解析．
【解析】取 的中点 ，连接 ，．
∵ 为棱 的中点，∴，且．
又∵ 为棱的中点，∴．
又，且，∴，且
，∴，且，
∴四边形为平行四边形，
∴．
又∵平面，平面，
∴平面．
【标注】【知识点】线面平行的证明问题；直线和平面平行的判定
巩固练习
6. 如图，在直四棱柱中，底面为等腰梯形，，，
， 分别是棱 ，的中点，设 是棱 的中点，证明：直线平面．
【答案】证明见解析．
【解析】如图，
取
的中点为 ，连接 ，
，
易知，所以平面，
因此平面即为平面，
连接， ，
由题意得，
所以四边形为平行四边形，
所以，
又易知，
所以，又平面，
平面，
所以平面．
【标注】【知识点】线面平行的证明问题；直线和平面平行的判定
经典例题
7. 下列说法中正确的是（ ）
①一条直线如果和一个平面平行，他就和这个平面内的无数条直线平行；②一条直线和一个平面平
行，它就和这个平面内的任何直线无公共点；③过直线外一点，有且仅有一个平面和已知直线平
行；④如果直线 和平面 平行，那么过平面 内一点和直线 平行的直线在 内．
A. ①②③④B. ①②③C. ②④D. ①②④
【备注】【教师指导】
直接考查直线与平面平行的定义和性质定理，进一步加强学生对直线与平面平行性质定理
的理解.
【答案】D
【解析】由线面平行的性质定理可知①④正确；由直线与平面平行的定义可知②正确；因为过一
点可以作一条直线与已知直线平行，而经过这条直线可做无数个平面，故③错误．
【标注】【知识点】直线和平面平行的性质
8. 如图， 是平行四边形所在平面外的一点， 是 的中点，在 上取一点 ，过点 和
作平面，交平面于 ．求证：．
【备注】【教师指导】
先考查直线与平面平行的判定定理：
平面
；
再根据直线与平面平行的性质定理可得：.
【答案】证明见解析．【解析】
如图，连接 ，交 于点 ，连接
．
∵四边形是平行四边形，
∴点 是 的中点，
又∵点 是 的中点，
∴，
又∵平面，平面，
∴平面，
∵平面平面，平面，
∴．
【标注】【知识点】点、直线、平面之间的位置关系；已知线面位置关系判定结论的问题；线面平
行的证明问题；直线和平面平行的判定；直线和平面平行的性质
巩固练习
9. 如图，四棱锥中， ， 分别为 ， 上的点，且平面，则（ ）．
A.B.C.D. 以上均有可能
【答案】B
【解析】四棱锥
中， ， 分别为 ， 上的点，且
平面
，
平面，平面平面，
由直线与平面平行的性质定理可得：．
故选 ．
【标注】【知识点】直线和平面平行的性质
10. 已知 ， ， ， 为空间四边形
的边 ， ， ， 上的点，且
．求证：
．
【答案】证明见解析．
【解析】，则由线面平行的判定定理，有平面，又平面且平面
平面，故由线面平行的性质定理可知，．
【标注】【知识点】直线和平面平行的性质；线线平行的证明问题
3. 平面与平面平行
知识精讲
（1）平面与平面平行的判定定理
文字语言
如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平
行，那么这两个平面平行
图形语言
符号语言
，
，
，且
，
⇒
作用用来证明两平面平行
注意：
①用该定理判定平面 和平面 平行时，必须具备：
一个平面内有两条直线平行于另一个平面；这两条直线必须相交．
②平面与平面平行的判定定理可简述为“若线面平行，则面面平行”．该定理把两个平面平行的问题转化为线面平行的问题．
（2）两个平面平行的性质定理
文字语言
两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相
交，那么两条交线平行
图形语言
符号语言
， ∩ = ， ∩
作用可以用来证明线线平行
注意：
①该定理可简记为“若面面平行，则线线平行”．
②该定理中有三个条件：， ∩， ∩，这三个条件缺一不可．
③已知两个平面平行，虽然一个平面内的任意一条直线都平行于另一个平面，但是一个平面内的一条直线与另一个平面内的一条直线不一定互相平行，它们可能是平行直线，也可能是异面直线，但不可能是相交直线．
④该定理提供了证明线线平行的一种方法，应用时要紧扣“两个平行平面同时和第三个平面相交”．
（3）两个平面平行的其他性质
①两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线都平行于另一个平面．
②夹在两个平行平面间的平行线段长度相等．
③经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行．
④两平行平面间的两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例．
⑤如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面互相平行．
经典例题
11. 如图，正方体中， ， ， ， 分别是，，，的中
点．求证：平面平面．
【备注】【教师指导】
直接考查面面平行的判定定理，进一步加深学生对面面平行判定定理的理解.
【答案】证明见解析
【解析】连结 ，∵ ， 是，的中点，四边形为正方形，
∴，，又，，
∴，，∴四边形是平行四边形，
∴，
∵面，面
∴面，
同理由，，可得,
∴面，
又 ，平面，，
∴平面平面．
【标注】【知识点】平面和平面平行的判定；面面平行的证明问题
巩固练习
12. 如图，在四棱锥中，是正方形，平面，， ， ，
分别是 ， ， 的中点．求证：平面平面．
【答案】证明见解析．
【解析】∵ ， 分别是 ， 的中点，
∴，
由正方形可得：
∴，
又平面，
∴平面，
∵ ， 分别是 ， 的中点，
∴，
可得平面，
又，
∴平面平面．
【标注】【知识点】面面平行的证明问题；直线和平面平行的判定；平面和平面平行的判定
经典例题
13. 如图，在四棱柱中，底面为梯形，，平面与交
于点 ．
求证：
．
【备注】【教师指导】
直接考查面面平行的性质定理，属于常考题，学生须熟练掌握.
【答案】证明见解析
【解析】因为，平面，平面，
所以平面．
因为，平面，平面，
所以平面．
因为，平面，平面，
所以平面平面．
又因为平面平面，平面平面，所以
．
【标注】【知识点】直线和平面平行的判定；线面平行的证明问题
14. 已知四棱锥，，， 为 的中点．
求证：平面．
【备注】【教师指导】
通过面面平行证线面平行，考查两平面平行的其他性质1.
【答案】证明见解析．
【解析】由题设可知：取 中点 ，连接 ， ，
则由，，
由 为 中点，则．
故四边形为平行四边形，
则，
又由 ， 分别为 ， 的中点，
则，
故由，，
知面面，
故面．
【标注】【知识点】线面平行的证明问题；直线和平面平行的判定
巩固练习
15.
在如图所示的几何体中， 是 的中点，， ， 分别是 和 的中点．求证：
平面．
【答案】证明见解析．
【解析】取 的中点 ，连接 ， ，
则有，．
又，
所以，
∴平面，平面，
∵，∴平面平 面，
因为平面，
所以平面．
【标注】【知识点】直线和平面平行的判定；线面平行的证明问题
4. 直线、平面平行的综合应用
知识精讲
（1）证明直线与平面平行的常见方法
①利用定义．证明直线 与平面 没有公共点．这时直接证明往往较困难，一般是结合反证法来证明．
②利用直线与平面平行的判定定理．
③利用平面与平面平行的性质，把面面平行转化为线面平行．
证明直线与平面平行的常见辅助线
①利用中位线法证明线面平行
②构造平行四边形证明线面平行
（2）证明两平面平行常用的方法
①根据定义：证明两个平面没有公共点，但有时直接证明非常困难．
②根据判定定理：要证明两个平面平行，只需在其中一个平面内找两条相交直线，分别证明它们平行于
另一个平面，于是这两个平面平行．
③根据平面平行的传递性：若两个平面都平行于第三个平面，则这两个平面互相平行．
④利用反证法．
利用判定定理证明两平面平行的一般步骤
第一步：在一个平面内找出两条相交直线；
第二步：证明这两条相交直线分别平行于另一个平面；
第三步：利用平面与平面平行的判定定理得出结论．
知识点睛
平行关系的相互转化与综合应用
①常见的平行关系有线线平行．线面平行和面面平行．这三种平行关系不是孤立的，而是相互联系相互
转化的．
线线平行
判定
性质
线面平行
判定
性质
面面平行
②一般地，证明线面平行可以转化为证明线线平行；证明面面平行可以转化为证明线面平行；证明线线
平行可以利用线面平行或面面平行的性质定理来实现．
③从思维方法的角度来看，要进行平行的证明，往往先从题目的结论出发去选择相应的判定方法并进行“逆向思维”．当逆推出现困难时，应进行“正向思维”，即根据题目的已知去联想和推导有关的性质，使题设和结论逐步靠近，并最终产生联系和沟通，找到证明思路．这种“两头凑”的方法其实也是整个高中数学学习中较为常用的思维方法和证明方法．
④对较复杂的综合论证问题往往需要反复运用线面平行的判定定理和性质定理来进行证明，可有如下思
路：
在平面内找经过直线找或作平面
线线平行线面平行线线平行
或作一条直线与平面相交的交线
⑤应用位置关系的转化研究立体图形的性质是一种很重要的思维方法，在立体几何中，往往通过线线、线面、面面之间的位置关系的转化证明新的位置关系，掌握这种思维方法，就能寻找出许多平行问题的解题思路．
【备注】【教师指导】
（1）有关线面平行、面面平行的判定与性质，可按下面的口诀去记忆：判断线和面平行，面中找条平行线；
要证面和面平行，面中找出两交线；
线面平行若成立，面面平行是必然．
（2）证明线线平行的常用方法：①利用线线平行的定义；
②利用空间中直线平行的传递性；
③利用三角形的中位线；
④利用平行四边形；
⑤利用线面平行的性质定理；
⑥利用面面平行的性质定理．
经典例题
16. 如图所示，在平行六面体中， ， ， ， 分别是， ， ，
的中点，求证：
（ 1 ）
（ 2 ）平面
（ 3 ）平面
．
．
平面
．
【备注】 【教师指导】
对空间中直线、平面平行的综合考查，属于综合题型，也属于月考、期中、期末常考题
型，学生要熟练掌握.
【答案】（ 1 ）证明见解析．
（ 2 ）证明见解析．
（ 3 ）证明见解析．
【解析】（ 1 ）连结，
∵ 、 分别是 、 的中点，
∴是的中位线，
∴．
∵在平行六面体
中，有
，
，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴
（ 2 ）连结
．
，设与连结
交于点 ，
∵四边形为平行四边形，
∴点 是的中点，
又∵ 是的中点，
∴ 是的中位线，
∴．
又∵面，面，
∴平面．
（ 3 ）连结 ，与 交于点 ，则 是 中点，连结 ，
在平行六面体中，有，
∵平面，平面，
∴平面．
由（ ）得，
∵ 、 分别是 、的中点，
∴，
∴．
∵平面，平面，
∴平面，
∵，平面，平面，
∴平面平面．
【标注】【知识点】直线和平面平行的判定；面面平行的证明问题；线线平行的证明问题；平面和
平面平行的判定；线面平行的证明问题；三个公理、三个推论
巩固练习
17. 如图，四棱锥
（ 1 ）求证：
（ 2 ）求证：面
平面
的底面为平行四边形， 为 的中点， 为 中点， 为 中点．
．
平面．
【答案】（ 1 ）证明见解析．
（ 2 ）证明见解析．
【解析】（ 1 ）∵在平行四边形
中，
．
又∵面，面．
∴面．
（ 2 ）连接 ，交 与点 ，连接.
t
∵ 为平行四边形对角线交点．∴ 为 的中点．
又∵ 为 的中点．
∴为中位线．
可得．
∵ 为 中点， 为 中点，
∴．
∵面，面,
面，面,
,,
∴面平面．
∴平面，平面，
∵面，面， 且，
∴平面平面．
【标注】【知识点】平面和平面平行的判定；直线和平面平行的性质
5. 直线与直线垂直
知识精讲
（1）异面直线所成的角的定义：
如图所示， 与 是异面直线，经过空间任意一点 ，作直线
，
，我们把直线 和 所成的
锐角（或直角）叫作异面直线 ， 所成的角．
O
（ ）（ ）
注意：
①由“等角定理”可知， 与 所成角的大小与点 的位置无关．
②研究异面直线所成的角，就是通过平移把异面直线转化为相交直线，即把求空间角问题转化为求平面
角问题，这是研究空间图形的一种基本思路．
（2）异面直线所成角的范围：异面直线所成的角必须是锐角或直角，其范围是．
（3）两条异面直线垂直的定义：如果两条异面直线所成的角是直角，那么我们就说这两条异面直线互
相垂直．两条互相垂直的异面直线 ， ，记作 ．
（4）两条直线垂直，既包括相交垂直，也包括异面垂直．
（5）当两条直线 ， 相互平行时，我们规定它们所成的角为 °．所以空间两条直线所成角 的取值范
围是．
经典例题
18. 已知正方体的棱长为 ， 是底面的中心，则异面直线与所
成的角为（ ）．
A.B.C.D.
【备注】【教师指导】
通过作平行线找出异面直线的夹角，两条直线垂直其夹角为90°.
【答案】A【解析】
如图作中点 连，，
有，
故，
∴与，所成角即为与所成角，
连
，
知
为等边三角形，
∴，
∴所成角为 ．故选 ．
【标注】【知识点】几何法求空间角；点、直线、平面之间的位置关系
巩固练习
19. 如图，在直三棱柱中， 为的中点，，，
则异面直线 与 所成的角为（ ）．
A.B.C.D.
【答案】C
【解析】如图，取
的中点 ，连接 ， ，则
，则
（或其补角）
即为异面直线 与 所成的角．由条件可知
，所以
．
故选 ．
【标注】【知识点】几何法求空间角；点、直线、平面之间的位置关系
6. 直线与平面垂直
知识精讲
（一）直线与平面垂直
（1）定义：一般地，如果直线 与平面 内的任意一条直线都垂直，我们就说直线 与平面 互相垂直，
记作．直线 叫作平面 的垂线，平面 叫作直线 的垂面．直线与平面垂直时，它们唯一的公共点
叫作垂足．
（2）画法：
画直线 与平面 垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直．若平面水平放置，则将直线画成与表示平面的平行四边形的横边垂直，如图①所示；若平面竖直放置，则将直线画成与表示平面的平行四边形的竖直边垂直，如图②所示．
PP
（3）符号表示：任意，都有 ⇒．
（4）应用：
若直线与平面垂直，则这条直线与这个平面内的直线都垂直，从而可判断直线与平面内的直线互相垂
直，即“若，，则 ”．因此直线与平面垂直的定义不仅是直线与平面垂直的判定方法，也
是证明直线与直线垂直的重要且常用的方法．
【备注】【教师指导】
定义的剖析：
①定义中的“任意一条直线“与“所有直线”是同义词，但与“无数条直线”不同．定义的实质就是直线与平面内的所有直线都垂直．
②直线与平面垂直是直线与平面相交的一种特殊情况．
③运用直线与平面垂直的定义来判定直线与平面垂直时，要紧扣定义——“一条直线与一个平面内的所有直线都垂直”，若在平面内能找到一条直线与已知直线不垂直，则这条直线与这个平面不垂直．
④虽然这样的定义给线面垂直的判定带来困难，但已知直线与平面垂直时，却可以得到直
线与平面内的任意一条直线都垂直，给判定两条直线垂直带来方便，如：若，
，则 ，简述为“线面垂直，则线线垂直”，这是我们判定两条直线垂直时经常使用的一种重要方法．
（二）直线与平面垂直的判定定理
文字语言
如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂
直，那么该直线与此平面垂直
图形语言
符号语言
，
，
，
，
作用
通过判定直线和直线垂直来判定直线和平面垂
直．要判定一条直线与一个平面垂直，只需在该
平面内找出两条相交直线与已知直线垂直即可.
知识点睛
定理的剖析：
①该定理可简记为：“若线线垂直，则线面垂直”．
②该定理有五个条件： ，，，，，这五个条件缺一不可．
③“两条相交直线”是定理的关键词，应用定理时不能忽略．例如：若一条直线与一个平面的两条不相交的直线都垂直，则该直线与此平面不一定垂直．
④要判断一条直线和一个平面是否垂直，取决于在这个平面内能否找到两条相交直线和已知直线垂直．
至于这两条相交直线是否与已知直线有公共点，这是无关紧要的．
经典例题
20. 如图，在三棱锥中，， 是 的中点，且．
（ 1 ）求证：平面．
（ 2 ）若，求证：平面．
【备注】【教师指导】
通过证明
≌
来证明
，最后根据线面垂直的判定定理得证.
【答案】（ 1 ）证明见解析．
（ 2 ）证明见解析．
【解析】（ 1 ）因为
， 是 的中点，
所以．
在中，，
由已知，所以易证≌．
所以．所以，
又，
所以
（ 2 ）因为
平面
．
， 为 的中点，
所以．由（ ）知．
又因为，
所以平面．
【标注】【知识点】线面垂直的证明问题
巩固练习
21. 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，
，， 为 的中点．
（ 1 ）求证：平面.
（ 2 ）若点 在棱 上，设，试确定 的值，使得平面．
【答案】（ 1 ）证明过程见解析．
（ 2 ）．
【解析】（ 1 ），， 为 的中点，
四边形为平行四边形，
，
，
, 即
，
， 为 的中点，，
，
（ 2 ）当
平面
时，
．
平面
，
连接 ，交 于 ，连接，
，
四边形为平行四边形，且 为 中点，
点 是线段 的中点，
平面，平面，
平面．
【标注】【知识点】直线和平面垂直的判定；线面垂直的证明问题；平行的探索性问题；直线和平
面平行的判定
知识精讲
（三）直线与平面所成的角
（1）平面的斜线、斜线段、垂线段的定义：
一条直线与一个平面相交，但不与这个平面垂直，这条直线叫作这个平面的斜线，斜线和平面的交点叫作斜足，斜线上一点与斜足间的线段叫作这个点到平面的斜线段．如图所示，点 是点 在平面 上的正投影（简称射影）； 是点 到平面的垂线段；直线 是平面的一条斜线； 是斜足；线段 是斜线段．
（2）斜线在平面上的射影
如上图所示，过垂足 和斜足 的直线 叫作斜线在这个平面上的射影．
（3）直线与平面所成的角
①定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，叫作这条直线和这个平面所成的角.
如上图所示，即为直线 与平面 所成的角．
②直线与平面所成的角 的范围：
直线与平面相交
不垂直时，垂直时，
，
直线与平面平行或直线在平面内，．
故直线与平面所成的角的范围是．
③最小角定理：斜线和平面所成的角，是斜线和它在平面内的射影所成的锐角，它是这条斜线和平面内
经过斜足的一切直线所成角中最小的角．
经典例题
22.
如图所示， 是 的直径，所在的平面， 是圆上一点，且，
，求直线 与平面所成角的正切值．
【备注】【教师指导】
本题重点是找出平面与直线所成的角：找出垂线段，斜线段，斜线段在平面的投影，从而
找到对应的线面角.
【答案】 ．
【解析】因为平面，所以 为斜线 在平面上的射影，
所以为 与平面所成的角．
在中，，
所以．
所以直线 与平面所成角的正切值为 ．
【标注】【知识点】直线和平面垂直的性质；线线垂直的证明问题；几何法求空间角；点、直线、
平面之间的位置关系
巩固练习
23. 如图，在棱长为 的正方体中， 是 的中点， 是的中点，则直线
与平面所成角的正切值为．
【答案】
【解析】连接 ，由平面知即为直线 与平面所成的角，在
中，，，则．
【标注】【知识点】点、直线、平面之间的位置关系；几何法求空间角
知识精讲
（四）直线与平面垂直的性质定理
文字语言垂直于同一个平面的两条直线平行.
图形语言
符号语言
，
作用通过判定直线与平面垂直来判定两直线平行.
知识点睛
定理的剖析：
①直线与平面垂直的性质定理给出了一个证明两直线平行的方法，即只需证明两条直线均与同一个平面
垂直即可，反映了线线平行与线面垂直逻辑上的相互转化，即“线面垂直，则线线平行”．
②利用直线与平面垂直的性质定理可构造平行线，即让这些直线都垂直于同一个平面．
直线与平面垂直的其他性质和结论
①一条直线与一个平面垂直，这条直线垂直于这个平面内的任意一条直线；
②垂直于同一条直线的两个平面平行；
③如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面；
④如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也和另一个平面垂直；
⑤如果一条直线和一个平面垂直，那么它与这个平面的平行线垂直．
经典例题
24. 如图，在长方体中，，，点 是线段 的中点．
（ 1 ）求证：．
（ 2 ）求三棱锥的体积．
【备注】【教师指导】
本题主要考查线面垂直的判定定理与性质定理的综合.这里对于利用勾股定理逆定理来证明线线垂直的方法要重点讲解，这是证明线线垂直的一种重要方法.
【答案】（ 1 ）证明见解析．
（ 2 ） ．
【解析】（ 1 ）∵平面，
平面，
∴．
如图，连接 ，在
中，
∵，，
∴，
同理，又，
∴，
即，
又，
∴平面．
又平面，
∴
（ 2 ）∵
．
底面
，
∴ 到平面的距离为．
∵，
∴．
【标注】【知识点】组合体求体积、表面积问题；空间几何体的体积；直线和平面垂直的判定；直
线和平面垂直的性质；线线垂直的证明问题
巩固练习
25. 如图，在四棱锥中，底面是正方形， ， 交于点 ，平面，
， ， ， 分别是 ， ， 的中点．
（ 1 ）求证：（ 2 ）求证：（ 3 ）求证：
平面
；
平面
；
．
【答案】（ 1 ）见解析．
（ 2 ）见解析．
（ 3 ）见解析．
【解析】（ 1 ）因为点 ， 分别是 ， 的中点，所以
．
因为平面，平面，所以平面．
（ 2 ）因为四边形是正方形，所以
因为平面，平面，所以
因为，所以平面．
所以．
（ 3 ）由（Ⅱ）知，且，所以．
设 与 的交点为 ，连结 ，
因为点 ， 分别是 ， 的中点，所以
设，由题意得，
所以在中，．所以是直角三角形．
所以．所以．
因为，所以平面．
【标注】【知识点】线面垂直的证明问题
7. 二面角
知识精讲
（1）二面角的定义
①半平面：平面内的一条直线把这个平面分成两部分，其中的每一部分都叫作半平面．
②二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫作二面角．这条直线叫作二面角的棱，这两个
半平面叫作二面角的面．
（2）二面角的表示方法
①棱为 ，面为 ， 的二面角记作二面角，如图（1）所示．
②棱为 ，面为 ， 的二面角记作二面角，如图（2）所示．
③若在 ， 面内分别取点如图（2）所示．
P
（ ）
，
（ ）
（不在棱上），这个二面角可记作二面角
Q
，
【备注】【教师指导】
二面角与平面几何中的角的对比：
二面角角
半平面棱
A
图形
半平面
O
顶点
边
边
B
定义 从一条直线出发的两个半平面所组成的图
从平面内一定点出发的两条射线所组
成的图形
表示法
形由“半平面—棱—半平面”构成，表示为二面角
由“射线—顶点—射线”构成，表示为
理解 二面角是一个半平面以其棱为轴旋转而成的 角是一条射线沿着顶点的旋转量
（3）二面角的平面角必须具备以下三个条件：①角的顶点在二面角的棱上；
②角的两边分别在二面角的两个半平面内；
③角的两条边分别与二面角的棱垂直．
知识点睛
二面角的平面角
自然语言
在二面角的棱 上任取一点 ，以点 为
垂足，在半平面 和 内分别作垂直于棱 的射线和 ，则射线 和 构成的叫作二
面角的平面角.
符号语言
，
为二面角
，
，
的平面角.
，
，
B
图形语言O
A
【备注】【教师指导】
二面角和它的平面角的画法
画二面角和它的平面角，常用以下两种形式：
①直立式，如图所示．
（ ）（ ）
②平卧式，如图所示．
（ ）
（ ）
知识精讲
（4）二面角大小的度量
二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度．
平面角是直角的二面角叫作直二面角．
注意：
①二面角的大小与垂直平面的位置无关．一个二面角的平面角有无数个，它们的大小是相等的．
②构成二面角的平面角的三要素：“棱上”“面内”“垂直”，即二面角的顶点必须在棱上，角的两边必须分别在两个半平面内，角的两边必须都与棱垂直，这三个条件缺一不可．这些要素决定了二面角的平面角大小的唯一性．
③当二面角的两个半平面重合时，规定二面角的大小是 °；当二面角的两个半平面在同一个平面时，规
定二面角的大小是．所以二面角的范围是．
经典例题
26. 如图 是圆 的直径， 垂直于圆 所在的平面， 是圆 上一点（不同于 ， ），且
，则二面角的大小为（ ）．
A.B.C.D.
【备注】【教师指导】
本题的重点找出二面角的平面角，然后在直角三角形中去求解.
【答案】C
【解析】由条件得，．
又，
所以平面．
所以．
所以为二面角的平面角．
在中，由得．
故选 ．
【标注】【知识点】几何法求空间角；点、直线、平面之间的位置关系；直线和平面垂直的判定；
线面垂直的证明问题
巩固练习
27. 如图，在三棱锥中，平面，，则二面角的大小为
（ ）．
A.B.C.D.
【答案】A
【解析】∵平面，
∴且，
∴为二面角的平面角，
又∵，
∴二面角的大小为 ．
故选 ．
【标注】【知识点】几何法求空间角；向量法解决二面角问题
8. 平面与平面与垂直
知识精讲
（1）两个平面垂直的定义
一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．如教室内的墙
面与地面就是垂直关系，平面角是直角．
（2）两个互相垂直的平面的画法
在画两个互相垂直的平面时，通常把表示直立平面的平行四边形的竖边画成和表示水平平面的平行四边
形的横边垂直，如图所示，平面 与平面 垂直，记作．
（ ）（ ）
（3）平面与平面垂直的判定定理
文字语言
如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个
平面垂直
图形语言
符号语言
作用
用来证明两平面垂直
知识点睛
定理的剖析：
①该定理可简记为“若线面垂直，则面面垂直”，因此要证明平面与平面垂直，可转化为从现有直线中寻找平面的垂线，即证明线面垂直．
②两个平面垂直的判定定理，不仅是判定两个平面互相垂直的依据，也是找出一个平面的垂面的依据．
注意：
要判断两个平面的垂直关系，需要固定其中一个平面，找另一个平面内的一条直线与第一个平面垂直．
知识精讲
（4）两个平面垂直的性质定理
文字语言
两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直.
图形语言
BA
符号语言，，，
作用①证明线面垂直、线线垂直；②构造面的垂线．
知识点睛
（1）定理的剖析：
①两个平面垂直的性质定理也可简述为“面面垂直，则线面垂直”．
②平面与平面垂直的性质定理成立的条件有 个：
两个平面垂直；有一条直线在其中一个平面内；这条直线垂直于这两个平面的交线．
③此定理给出了线面垂直的又一种证明方法．
④常用两个平面垂直的性质过一点作另一个平面的垂线．
⑤要注意垂直于同一平面的两平面不一定平行．如下图，
（ ）（ ）
（2）平面与平面垂直的其他性质和结论：
①如果两个平面垂直，那么经过第一个平面内一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内，即
，，，．
②如果两个平面垂直，那么与其中一个平面平行的平面垂直于另一个平面，即，
．
③如果两个平面垂直，那么其中一个平面的垂线平行于另一个平面或在另一个平面内，即，
或．
④如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面，即
，
，
．
⑤三个两两垂直的平面的交线两两垂直，即
， ∩
，
， ∩
，
， ∩
，，．
经典例题
28. 如图，在平行四边形中，，，将沿 折起，使得
，在三棱锥的四个面中，下列关于垂直关系的叙述错误的是（ ）．
A. 面面B. 面面
C. 面面D. 面面
【备注】【教师指导】
先判断线面垂直：
平面
，再根据
平面
，得到面面垂直.
【答案】A
【解析】∵平行四边形
中，
，
将沿 折起，使得，
∴，．
∵，，
∴平面．
∵面，面，
∴面面，面面．
∵，，，
∴面．
∵面，
∴面面．
∴ ， ， 选项正确．
若面面，
∵面面，
∴面面，显然不成立．
故选 ．
【标注】【知识点】垂直的探索性问题；点、直线、平面之间的位置关系；面面垂直的证明问题；
平面和平面垂直的判定
巩固练习
29.垂直于正方形所在平面，连接 ， ， ， ， ，则下列垂直关系正确的是（
）．
①面
面
②面面
③面面
④面面．
A. ①②B. ①③C. ②③D. ②④
【答案】A
【解析】由于
，由 垂直于正方形
所在平面，
所以，
易证平面，则平面平面，
又，故平面，
则平面平面．
故选 ．
【标注】【知识点】平面和平面垂直的判定；直线和平面垂直的性质；面面垂直的证明问题
经典例题
30. 在四棱锥中，底面为正方形，平面
，
（ 1 ）求证：
（ 2 ）求三棱锥
（ 3 ）求证：平面
平面
， ， 分别是 ， 的中点．
．
的体积．
平面．
【备注】【教师指导】
本题属于立体几何的综合题型，属于常考题型，对于第（2）问建议老师选择解法1.
【答案】（ 1 ）证明见解析．
（ 2 ） ．
（ 3 ）证明见解析．
【解析】（ 1 ）连接 ，与 交于点 ，连接 ，
在中， ， 分别是 ， 中
点，
所以
，
又因为平面，平面
，
所以平面．
（ 2 ）法1：因为平面， ，平面，
所以，
又因为，， ，平面，
所以平面，
在直角中，， 为 中点，
所以，
所以三棱锥的体积为．
法2:因为平面，所以 为棱锥的高．
因为，底面是正方形，
所以，
因为 为 中点，所以，
所以．
（ 3 ）因为平面，平面，
所以，
在等腰直角中，，
又， ，平面，
所以平面，
又，
所以平面，
又平面，
所以平面平面．
【标注】【知识点】空间几何体的体积；等体积法；平面和平面垂直的判定；面面垂直的证明问
题；线面平行的证明问题；直线和平面平行的判定
巩固练习
31. 如图，四棱锥中，底面是边长为 的菱形，，，
为 中点．
（ 1 ）求证：
平面
；
（ 2 ）求证：平面平面；
（ 3 ）若，求三棱锥的体积．
【答案】（ 1 ）证明见解析．
（ 2 ）证明见解析．
（ 3 ） ．
【解析】（ 1 ）设，连结 ，
∵ 为 中点， 为 中点，
∴．
又∵平面，
平面，
∴平面．
（ 2 ）连结 ，
∵
， 为 中点，
∴．
又∵底面为菱形，
∴．
∵，
∴平面．
又∵平面，
∴平面平面．
（ 3 ）
．
【标注】【知识点】空间几何体的体积；直线和平面平行的判定；平面和平面垂直的判定
经典例题
32. 如图，在四棱锥中，底面是菱形，，且侧面平面，点
是棱 的中点．
（ 1 ）求证：（ 2 ）求证：（ 3 ）若
平面；
；
，求证：平面
平面
．
【备注】【教师指导】
本题属于立体几何的综合题型，难度不大，属于常考题.（1）问考查线面平行的判定定理，第（2）问考查面面垂直的性质定理，第（3）问考查面面垂直的判定定理.
【答案】（ 1 ）证明见解析．
（ 2 ）证明见解析．
（ 3 ）证明见解析．
【解析】（ 1 ）
底面
是菱形，
．
又平面，平面，
平面．
（ 2 ）因为，点 是棱 的中点，
，
平面平面，平面平面，
平面，
平面，
平面，
（ 3 ）
．
，点 是棱 的中点，
，
由（Ⅱ）可得，
平面，
又平面，
平面平面．
【标注】【知识点】线面平行的证明问题；直线和平面平行的判定；直线和平面垂直的性质；平面
和平面垂直的判定；面面垂直的证明问题；线线垂直的证明问题
巩固练习
33. 如图，在三棱锥中，平面，平面平面．求证：．
【答案】证明见解析．
【解析】在平面内，作于 ．
∵平面平面，
且平面平面，
∴平面．
又平面，
∴．
∵平面，平面，
∴．
又，
∴平面．
又平面，
∴．
【标注】【知识点】平面和平面垂直的性质；线线垂直的证明问题
三、 思维导图
你学会了吗？画出思维导图总结本课所学吧！
【备注】
四、 出门测
34. 已知 、 、 、 分别是四面体的棱 、 、 、 的中点．求证：平面
．
【答案】证明见解析．
【解析】∵ ， 分别是 ， 的中点，
∴，
∵平面，平面，
∴平面，
同理平面，
，
∴平面平面，
且平面，
∴平面．
【标注】【知识点】线面平行的证明问题；平面和平面平行的性质
35. 如图，四棱锥的底面是正方形， 垂直于底面，求证：
（ 1 ）（ 2 ）
．
平面
．
（ 3 ）平面平面．
【答案】（ 1 ）证明见解析．
（ 2 ）证明见解析．
（ 3 ）证明见解析．
【解析】（ 1 ）∵平面，
平面，
∴
（ 2 ）∵
．
，
，
、平面，
，
∴
（ 3 ）∵
平面
平面
．
，
平面，
∴，
∵，
、平面，
，
∴平面，
∵平面，
∴平面平面．
【标注】【知识点】直线和平面垂直的判定；线线垂直的证明问题；线面垂直的证明问题；平面和
平面垂直的判定；面面垂直的证明问题；直线和平面垂直的性质
49
相关学案
高中数学人教A版 (2019)必修 第二册8.1 基本立体图形优秀学案及答案： 这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第二册<a href="/sx/tb_c4000301_t4/?tag_id=42" target="_blank">8.1 基本立体图形优秀学案及答案</a>，文件包含立体几何选填综合-讲义教师版docx、立体几何选填综合-讲义学生版docx等2份学案配套教学资源，其中学案共52页， 欢迎下载使用。
高中人教A版 (2019)8.4 空间点、直线、平面之间的位置关系导学案及答案： 这是一份高中人教A版 (2019)<a href="/sx/tb_c4000304_t4/?tag_id=42" target="_blank">8.4 空间点、直线、平面之间的位置关系导学案及答案</a>，文件包含空间中的点线面位置关系-讲义教师版docx、空间中的点线面位置关系-讲义学生版docx等2份学案配套教学资源，其中学案共42页， 欢迎下载使用。
人教A版 (2019)选择性必修 第二册5.1 导数的概念及其意义优质学案设计： 这是一份人教A版 (2019)选择性必修 第二册<a href="/sx/tb_c4000345_t4/?tag_id=42" target="_blank">5.1 导数的概念及其意义优质学案设计</a>，文件包含导数与函数的单调性极值与最值-讲义教师版docx、导数与函数的单调性极值与最值-讲义学生版docx等2份学案配套教学资源，其中学案共37页， 欢迎下载使用。
