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2021年新高考数学名校地市选填压轴题好题汇编（二十五）（原卷版+解析版）
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这是一份2021年新高考数学名校地市选填压轴题好题汇编（二十五）（原卷版+解析版），文件包含2021年新高考数学名校地市选填压轴题好题汇编二十五原卷版docx、2021年新高考数学名校地市选填压轴题好题汇编二十五解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共32页， 欢迎下载使用。
1．（2021•泸州模拟）双曲线的左焦点和虚轴的一个端点分别为，，点为右支上一动点，若周长的最小值为，则的离心率为
A．B．C．D．
【解答】解：由题意可得，，设，
由双曲线的定义可得，
，
，
则的周长为
，
当且仅当，，共线，取得最小值，且为，
由题意可得，
即，
．
故选：．
2．（2021•3月份模拟）已知正方体棱长为6，如图，有一球的球心是的中点，半径为2，平面截此球所得的截面面积是
A．B．C．D．
【解答】解：正方体棱长为6，正方体的对角线长为，
三棱锥的侧棱长为6，底面边长为，则高为，
球心到平面的距离为，
又球的半径为2，球面被面所截圆的半径为，
截面圆的面积为．
故选：．
3．（2021•宜春模拟）将函数的图象向左平移个单位后得到函数的图象，且当时，关于的方程有三个不等实根，则实数的取值范围为
A．，B．，C．，D．，
【解答】解：将函数的图象，
向左平移个单位后得到函数，
方程等价于，
故或，
，的最大值是，
无解，有3个不相等的实数根，
设，则函数化为，，，
函数的图象如图示：
则需满足直线和函数，的图象有3个交点，
结合图象可知，，
故选：．
4．（2021•宜春模拟）已知数列满足，，则下列关系一定成立的是
A．B．
C．D．
【解答】解：，
，，，，
将以上个式子相加可得，，
，
，即得，
，
故，错误．
，
，故错误，正确．
故选：．
5．（2018•齐齐哈尔二模）已知椭圆的短轴长为2，上顶点为，左顶点为，，分别是椭圆的左、右焦点，且△的面积为，点为椭圆上的任意一点，则的取值范围为
A．，B．C．D．，
【解答】解：由可得，即，
又，，
，
又，
，．
，
，
，
，
．
．
故选：．
6．（2019•天津）已知．设函数若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围为
A．，B．，C．，D．，
【解答】解：当时，（1）恒成立；
当时，恒成立，
令，
，．
当时，恒成立，
令，则，
当时，，递增，
当时，，递减，
时，取得最小值（e），
，
综上的取值范围是，．
故选：．
7．（2021•南通模拟）人的眼皮单双是由遗传基因决定的，其中显性基因记作，隐性基因记作．成对的基因中，只要出现了显性基因，就一定是双眼皮，也就是说，“双眼皮”的充要条件是“基因对是，或”人的卷舌与平舌（指是否能左右卷起来）也是由一对基因对决定的，分别用，表示显性基因、隐性基因，基因对中只要出现了显性基因，就一定是卷舌的．生物学上已经证明：控制不同性状的基因遗传时互不干扰．若有一对夫妻，两人决定眼皮单双和舌头形态的基因都是，不考虑基因突变，那么他们的孩子是单眼皮且卷舌的概率为
A．B．C．D．
【解答】解：控制不同性状的基因遗传时互不干扰，
有一对夫妻，两人决定眼皮单双和舌头形状的基因都是，
不考虑基因突变，基本事件总数，
他们的孩子是单眼皮且卷舌包含的基本事件有3种情况，分别为，，，
他们的孩子是单眼皮且卷舌的概率．
故选：．
8．（2021•南通模拟）已知函数满足，当时，，则不等式的解集为
A．，，B．
C．D．，，
【解答】解：因为满足，当时，单调递，且（2），
根据奇函数的对称轴可知，在上单调递减，
由不等式得，即．
故选：．
9．（2021•苏州模拟）已知函数，，函数，若，对恒成立，则实数的取值范围为
A．，B．，C．D．
【解答】解：，对恒成立，
即，化为：，
令，，
，
，可得时，函数取得极小值即最小值，（1），
恒成立，
函数在上单调递增，
而，
，
，即，
令，，
，可得时，函数取得极大值即最大值．
．
故选：．
10．（2021•鹤壁模拟）若函数在，上单调，且在上存在极值点，则的取值范围是
A．，B．，C．，D．，
【解答】解：函数在，上单调，
，．
若在，上单调递减，则，，．
若在，上单调递增，则，，．
由于在上存在极值点，
当时，，，，．
综上可得，在，上只有单调递减，不可能单调递增，
则的取值范围为，，
故选：．
11．（2021•鹤壁模拟）在棱长为2的正四面体中，点为所在平面内一动点，且满足，则的最大值为
A．3B．C．D．2
【解答】解：以的中点为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，
则，0，，，0，，，0，，，，
因为，
故点的轨迹是以，为焦点的椭圆，
所以，，解得，
所以点的轨迹方程为，
设，
则
，
令，则，，
所以，则，令，解得，
当时，，则单调递增，
当时，，则单调递减，
所以当时，取得最大值，
故的最大值为．
故选：．
12．（2021•兴庆区校级一模）已知，，，其中，分别为圆周率、自然对数的底数，则
A．B．C．D．
【解答】解：设，
则，
在上单调递增，
（3），
，
，即，
设，
则，
在上单调递增，
（3），
，
，即，
，
故选：．
13．（2021•珠海一模）已知从1开始的连续奇数首尾相接蛇形排列形成如图三角形数表，第行第列的数记为，如，，则时，
A．54B．18C．9D．6
【解答】解：奇数构成的数阵，令，解得，故2021是数阵中的第1011个数，
第1行到第行一共有个奇数，
则第1行到第44行末一共有990个奇数，第1行到第45行末一共有1035个数，
所以2021位于第45行，
又第45行是从左到右依次递增，且共有45个奇数，
所以2021位于第45行，从左到右第21列，
所以，，
则．
故选：．
14．（2021•宜春模拟）已知函数，其中是自然对数的底数，下列说法中错误的是
A．在是增函数
B．是奇函数
C．在是增函数
D．设，则满足的正整数的最小值是2
【解答】解：对于函数，其中是自然对数的底数，
所以，
对于：由于时，，，
所以，所以函数为增函数，故正确；
对于：设，
所以
，故正确；
对于：由，
在时，，，
所以，
所以函数在上单调递增，
由时，，
下面考虑，上，
由，
当，时，，，
所以，函数为单调递减函数，由，，
所以，故明显存在；故在上不是增函数，故错误；
对于：由时，，
所以，明显不成立，
由时，，
同理，
由，，
所以，
所以的最小值为2，故正确．
故选：．
15．（2021•宜春模拟）在棱长为1的正方体中，已知点是正方形内部（不含边界）的一个动点，若直线与平面所成角的正弦值和异面直线与所成角的余弦值相等，则线段长度的最小值是
A．B．C．D．
【解答】解：如图，以为坐标原点，，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，
可设，0，，由，0，，，1，，，0，，，0，，
得，0，，，1，，，0，，
设直线与平面所成角为，异面直线与所成角为，
可得，
，，
由，可得，
则
．
当时，线段长度的最小值是．
故选：．
16．（2021•南充模拟）已知双曲线的右顶点为，抛物线的焦点为．若在双曲线的渐近线上存在一点，使得，则双曲线的离心率的取值范围是
A．B．，C．D．，
【解答】解：由题意知，，，
不妨设点在渐近线上，，
，
，，，即，
整理得，，
原问题可转化为关于的方程有根，
△，
，
又，，．
故选：．
17．（2021•南充模拟）设函数的最大值为，最小值为，下述四个结论：
①；②；③；④．
其中所有正确结论的序号是
A．①④B．①②④C．①③④D．①②③
【解答】解：，设，可知为奇函数，最大值和最小值成相反数，
当时，，，
当时，单调递增，当时，单调递减，
可知时，取极大值，即为最大值，
由奇函数可知，当时，取最小值，
则，，
则，，，．
则①③④正确，②错．
故选：．
18．（2021•温岭市校级模拟）如图，已知正四棱锥的各棱长均相等，是上的动点（不包括端点），是的中点，分别记二面角，，为，，，则
A．B．C．D．
【解答】解
连接，交于，令交于，
作垂直与，连接，，
易知，，，
，
，
，
显然，，
最小，
最小，
故选：．
19．（2016•浙江模拟）如图，焦点在轴上的椭圆的左、右焦点分别为、，是椭圆上位于第一象限内的一点，且直线与轴的正半轴交于点，的内切圆在边上的切点为，若，则该椭圆的离心率为
A．B．C．D．
【解答】解：如图，的内切圆在边上的切点为
根据切线长定理可得，，
，
，
，
，
则，
即，，
又，
，则，
椭圆的离心率．
故选：．
20．（2021•温岭市校级模拟）已知函数，若函数恰有两个零点，则实数的取值范围为
A．B．C．D．
【解答】解：由题意，函数可转化为
．
函数恰有两个零点，即分段函数的图象与直线有两个交点．
①当时，分段函数在上连续且单调递增，
此时分段函数的图象与直线最多只有1个交点，不满足题意；
②当时，，图象如下：
此时分段函数的图象与直线也只有1个交点，不满足题意；
③当时，分段函数在，为增函数，在上为减函数，在上为增函数．
，且恰有两个零点，
，或，或，
解得，或．
故选：．
21．（2021•湖北模拟）已知函数在，上有且仅有6个零点，则实数的取值范围为
A．，B．，C．，D．，
【解答】解：根据函数的图像，
函数，
当，时，
，
由于函数在，上有且仅有6个零点，
所以，
整理得．
故选：．
22．（2021•湖北模拟）已知中，，，点在线段上除，的位置运动，现沿进行翻折，使得线段上存在一点，满足平面；若恒成立，则实数的最大值为
A．1B．C．2D．
【解答】解：因为，，
且点在线段上除、的位置运动，
要使上存在一点，满足平面，使恒成立，
则当恰好为点时，为临界条件不可为点，但可用来计算），
即，且，
因为，
可得，，
所以，
解得，
所以的最大值为1．
故选：．
23．（2021•湖北模拟）函数在，上的零点个数为
A．12B．14C．16D．18
【解答】解：由题意得：，
故是偶函数，故只需讨论在，上的零点个数即可，
此时，
一定成立，
，
令，则得到或，
解得：或，又，
故，结合在，和，上的图像，
可知直线与在，和，上有6个交点，
与在，上有2个交点，
故在，上有8个交点，
故在，上有16个交点，
故选：．
24．（2021•湖北模拟）已知函数，若，使得在恒成立，则的最大值为
A．2B．3C．4D．5
【解答】解：因为，使得在恒成立，
所以在恒成立，
所以，
令，则，
令，则，
当时，，单调递增，
因为（8），（9），
所以使得，即，
所以，
所以当时，，单调递减，
当，时，，单调递增，
所以，
又因为，所以，
故选：．
25．（2021•广东模拟）若函数为自然对数的底数）是减函数，则实数的取值范围是
A．B．C．D．
【解答】解：函数的定义域为，
，
因为函数是减函数，所以恒成立，
令，则恒成立，
当时，成立；
当时，则的图象开口向上，不恒成立，不符合题意；
当时，要使恒成立，则△，解得，又，所以．
综上可得，实数的取值范围是．
故选：．
26．（2021•3月份模拟）已知函数且，若函数图象上关于原点对称的点至少有3对，则实数的取值范围是
A．B．C．D．
【解答】解：当时，，
则时，函数的图象与函数的图象关于原点对称；
又时，，
画出函数和函数的图象，如图所示；
要使与的图象至少有3个交点，
需使，且（6）（6）；
即，所以，
解得，
即；
所以的取值范围是．
故选：．
二．多选题（共8小题）
27．（2021•南通模拟）如图，在直四棱柱中，四边形为正方形，，为面对角线上的一个动点，则下列说法中正确的有
A．平面
B．与所成角的余弦值为
C．三棱锥的体积为定值
D．平面内存在直线与平面和底面的交线平行
【解答】解：对于：由于在直四棱柱中，四边形为正方形，，
虽然，与不垂直，故平面错误，故错误；
对于：由于，
所以为与所成角，
设，所以，，，
故在△中，，故正确；
对于：由于，所以平面，
从而得到点到平面的距离相等，故正确；
对于：由于平面，所以平面和底面的交线与平行，
而与平面相交，故错误．
故选：．
28．（2021•南通模拟）关于曲线，下列说法中正确的有
A．曲线关于轴对称
B．曲线上任意一点到原点的距离都不超过
C．曲线恰好经过6个整点
D．曲线在直线和所围成的正方形区域内（包括边界）
【解答】解：对于，以替换，方程不变，故正确；
对于，由，可得，
即，也就是曲线上任意一点到原点的距离都不超过，故正确；
对于，原曲线可化为，
当时，即，
由△，解得．
由于取整数，，此时或，则曲线过点，；
当时，由中所得对称性可得曲线过点，；
当时，得，即，曲线过点，．
综上所述，曲线恰好经过6个整点，故正确；
对于，由可知，值可求，当时，方程可化为，
解得，故点在曲线上，但不在直线和所围成的正方形区域内，故错误．
故选：．
29．（2021•苏州模拟）已知函数，下列说法正确的是
A．是偶函数
B．是周期为的函数
C．在区间上单调递减
D．的最大值为
【解答】解：当时，，当时，，
所以，，
对于，因为，所以是偶函数，所以对；
对于，因为，所以是周期为的函数，所以对；
对于，由知，只须考虑在上的单调性，在上，，
与，在上单调递减，所以在上的单调递减，
于是在区间上单调递减，所以对；
对于，只须在，上考虑最大值问题，在，上，，单调递增，
在，上，，单调递减，所以在，上，的最大值为，所以错．
故选：．
30．（2021•苏州模拟）已知正方体的棱长为4，为的中点，为所在平面上一动点，为所在平面上一动点，且平面，则下列命题正确的是
A．若与平面所成的角为，则点的轨迹为圆
B．若三棱柱的表面积为定值，则点的轨迹为椭圆
C．若点到直线与直线的距离相等，则点的轨迹为抛物线
D．若与所成的角为，则点的轨迹为双曲线
【解答】解：对于，因为与平面所成的角为，所以，所以点的轨迹为圆，所以对；
对于，因为当三棱柱的侧面积为定值时，点的轨迹为椭圆，表面积比侧面积增加了上下底面，
而底面积是变化的，所以错；
对于，因为点到直线与相等，所以点的轨迹为点到点与直线的距离相等的轨迹，即抛物线，所以对；
对于，因为、，所以，于是满足条件的运动成圆锥面，其与平面的交线为双曲线，所以对．
故选：．
31．（2021•广东模拟）已知方程，则
A．存在实数，该方程对应的图形是圆，且圆的面积为
B．存在实数，该方程对应的图形是平行于轴的两条直线
C．存在实数，该方程对应的图形是焦点在轴上的双曲线，且双曲线的离心率为
D．存在实数，该方程对应的图形是焦点在轴上的椭圆，且椭圆的离心率为
【解答】解：对于：若存在，只需，即，
得，可取，方程即为：，圆的半径满足，故圆面积为：，故错；
对于：令，则必有，方程化为：，显然不成立，故错误；
对于：取，得，取，则方程为：，为等轴双曲线的方程，故离心率为，故正确；
对于：将方程化为标准形式：，故，则由已知得，
整理得，解得，该方程显然有解，故正确．
故选：．
32．（2021•广东模拟）三棱锥中，是等边三角形，顶点在底面的投影是底面的中心，侧面侧面，则
A．二面角的大小为
B．此三棱锥的侧面积与其底面面积之比为
C．点到平面的距离与的长之比为
D．此三棱锥的体积与其外接球的体积之比为
【解答】解：将该三棱锥放置在正方体当中，如图所示，设正方体的棱长为
对于，取的中点，连接，，则即为二面角的平面角，
，则，故错误；
对于，此三棱锥的侧面积为，底面积为，
侧面积与底面积之比为，故正确；
对于，在中，过点作，垂足为，可得平面，
，则点到平面的距离与的长之比为，故正确；
对于，此三棱锥的体积，
外接球的半径，外接球的体积，
，故正确．
故选：．
33．（2021•3月份模拟）下列命题正确的是
A．若，则，B．若，则，
C．若，则，D．若，则，，
【解答】解：对于，当时，，故选项错误；
对于，若，当时，，所以，，故选项正确；
对于，若，则，，故选项正确；
对于，若，则，，，故选项正确．
故选：．
34．（2021•3月份模拟）已知函数，下列关于函数 的结论正确的为
A．在定义域内有三个零点B．函数的值域为
C．在定义域内为周期函数D．图象是中心对称图象
【解答】解：由题意可知，，
定义域为且且，
，
所以函数在，，，上单调递增，
故在定义域内不是周期函数，故选项错误；
当时，，，故在上有一个零点；
当时，，故在上有一个零点；
当时，，故在上有一个零点；
当时，，所以在定义域内有三个零点，故选项正确；
当时，时，，当时，，
又函数在上单调递增，且在上有一个零点，故值域为，故选项正确；
因为，
所以，故函数的图象关于点对称，故选项正确．
故选：．
三．填空题（共16小题）
35．（2021•成都模拟）函数存在唯一的零点，则实数的取值范围是 ， ．
【解答】解：函数存在唯一的零点，
等价于函数与函数只有唯一一个交点，
（1），（1），
函数与函数唯一交点为，
又，且，，
在上恒小于零，即在上为单调递减函数，
又是最小正周期为2，最大值为的正弦函数，
可得函数与函数的大致图象如图：
要使函数与函数只有唯一一个交点，则（1）（1），
（1），（1），
，解得，
又，实数的范围为，．
故答案为：，．
1．（2021•泸州模拟）双曲线的左焦点和虚轴的一个端点分别为，，点为右支上一动点，若周长的最小值为，则的离心率为
A．B．C．D．
【解答】解：由题意可得，，设，
由双曲线的定义可得，
，
，
则的周长为
，
当且仅当，，共线，取得最小值，且为，
由题意可得，
即，
．
故选：．
2．（2021•3月份模拟）已知正方体棱长为6，如图，有一球的球心是的中点，半径为2，平面截此球所得的截面面积是
A．B．C．D．
【解答】解：正方体棱长为6，正方体的对角线长为，
三棱锥的侧棱长为6，底面边长为，则高为，
球心到平面的距离为，
又球的半径为2，球面被面所截圆的半径为，
截面圆的面积为．
故选：．
3．（2021•宜春模拟）将函数的图象向左平移个单位后得到函数的图象，且当时，关于的方程有三个不等实根，则实数的取值范围为
A．，B．，C．，D．，
【解答】解：将函数的图象，
向左平移个单位后得到函数，
方程等价于，
故或，
，的最大值是，
无解，有3个不相等的实数根，
设，则函数化为，，，
函数的图象如图示：
则需满足直线和函数，的图象有3个交点，
结合图象可知，，
故选：．
4．（2021•宜春模拟）已知数列满足，，则下列关系一定成立的是
A．B．
C．D．
【解答】解：，
，，，，
将以上个式子相加可得，，
，
，即得，
，
故，错误．
，
，故错误，正确．
故选：．
5．（2018•齐齐哈尔二模）已知椭圆的短轴长为2，上顶点为，左顶点为，，分别是椭圆的左、右焦点，且△的面积为，点为椭圆上的任意一点，则的取值范围为
A．，B．C．D．，
【解答】解：由可得，即，
又，，
，
又，
，．
，
，
，
，
．
．
故选：．
6．（2019•天津）已知．设函数若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围为
A．，B．，C．，D．，
【解答】解：当时，（1）恒成立；
当时，恒成立，
令，
，．
当时，恒成立，
令，则，
当时，，递增，
当时，，递减，
时，取得最小值（e），
，
综上的取值范围是，．
故选：．
7．（2021•南通模拟）人的眼皮单双是由遗传基因决定的，其中显性基因记作，隐性基因记作．成对的基因中，只要出现了显性基因，就一定是双眼皮，也就是说，“双眼皮”的充要条件是“基因对是，或”人的卷舌与平舌（指是否能左右卷起来）也是由一对基因对决定的，分别用，表示显性基因、隐性基因，基因对中只要出现了显性基因，就一定是卷舌的．生物学上已经证明：控制不同性状的基因遗传时互不干扰．若有一对夫妻，两人决定眼皮单双和舌头形态的基因都是，不考虑基因突变，那么他们的孩子是单眼皮且卷舌的概率为
A．B．C．D．
【解答】解：控制不同性状的基因遗传时互不干扰，
有一对夫妻，两人决定眼皮单双和舌头形状的基因都是，
不考虑基因突变，基本事件总数，
他们的孩子是单眼皮且卷舌包含的基本事件有3种情况，分别为，，，
他们的孩子是单眼皮且卷舌的概率．
故选：．
8．（2021•南通模拟）已知函数满足，当时，，则不等式的解集为
A．，，B．
C．D．，，
【解答】解：因为满足，当时，单调递，且（2），
根据奇函数的对称轴可知，在上单调递减，
由不等式得，即．
故选：．
9．（2021•苏州模拟）已知函数，，函数，若，对恒成立，则实数的取值范围为
A．，B．，C．D．
【解答】解：，对恒成立，
即，化为：，
令，，
，
，可得时，函数取得极小值即最小值，（1），
恒成立，
函数在上单调递增，
而，
，
，即，
令，，
，可得时，函数取得极大值即最大值．
．
故选：．
10．（2021•鹤壁模拟）若函数在，上单调，且在上存在极值点，则的取值范围是
A．，B．，C．，D．，
【解答】解：函数在，上单调，
，．
若在，上单调递减，则，，．
若在，上单调递增，则，，．
由于在上存在极值点，
当时，，，，．
综上可得，在，上只有单调递减，不可能单调递增，
则的取值范围为，，
故选：．
11．（2021•鹤壁模拟）在棱长为2的正四面体中，点为所在平面内一动点，且满足，则的最大值为
A．3B．C．D．2
【解答】解：以的中点为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，
则，0，，，0，，，0，，，，
因为，
故点的轨迹是以，为焦点的椭圆，
所以，，解得，
所以点的轨迹方程为，
设，
则
，
令，则，，
所以，则，令，解得，
当时，，则单调递增，
当时，，则单调递减，
所以当时，取得最大值，
故的最大值为．
故选：．
12．（2021•兴庆区校级一模）已知，，，其中，分别为圆周率、自然对数的底数，则
A．B．C．D．
【解答】解：设，
则，
在上单调递增，
（3），
，
，即，
设，
则，
在上单调递增，
（3），
，
，即，
，
故选：．
13．（2021•珠海一模）已知从1开始的连续奇数首尾相接蛇形排列形成如图三角形数表，第行第列的数记为，如，，则时，
A．54B．18C．9D．6
【解答】解：奇数构成的数阵，令，解得，故2021是数阵中的第1011个数，
第1行到第行一共有个奇数，
则第1行到第44行末一共有990个奇数，第1行到第45行末一共有1035个数，
所以2021位于第45行，
又第45行是从左到右依次递增，且共有45个奇数，
所以2021位于第45行，从左到右第21列，
所以，，
则．
故选：．
14．（2021•宜春模拟）已知函数，其中是自然对数的底数，下列说法中错误的是
A．在是增函数
B．是奇函数
C．在是增函数
D．设，则满足的正整数的最小值是2
【解答】解：对于函数，其中是自然对数的底数，
所以，
对于：由于时，，，
所以，所以函数为增函数，故正确；
对于：设，
所以
，故正确；
对于：由，
在时，，，
所以，
所以函数在上单调递增，
由时，，
下面考虑，上，
由，
当，时，，，
所以，函数为单调递减函数，由，，
所以，故明显存在；故在上不是增函数，故错误；
对于：由时，，
所以，明显不成立，
由时，，
同理，
由，，
所以，
所以的最小值为2，故正确．
故选：．
15．（2021•宜春模拟）在棱长为1的正方体中，已知点是正方形内部（不含边界）的一个动点，若直线与平面所成角的正弦值和异面直线与所成角的余弦值相等，则线段长度的最小值是
A．B．C．D．
【解答】解：如图，以为坐标原点，，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，
可设，0，，由，0，，，1，，，0，，，0，，
得，0，，，1，，，0，，
设直线与平面所成角为，异面直线与所成角为，
可得，
，，
由，可得，
则
．
当时，线段长度的最小值是．
故选：．
16．（2021•南充模拟）已知双曲线的右顶点为，抛物线的焦点为．若在双曲线的渐近线上存在一点，使得，则双曲线的离心率的取值范围是
A．B．，C．D．，
【解答】解：由题意知，，，
不妨设点在渐近线上，，
，
，，，即，
整理得，，
原问题可转化为关于的方程有根，
△，
，
又，，．
故选：．
17．（2021•南充模拟）设函数的最大值为，最小值为，下述四个结论：
①；②；③；④．
其中所有正确结论的序号是
A．①④B．①②④C．①③④D．①②③
【解答】解：，设，可知为奇函数，最大值和最小值成相反数，
当时，，，
当时，单调递增，当时，单调递减，
可知时，取极大值，即为最大值，
由奇函数可知，当时，取最小值，
则，，
则，，，．
则①③④正确，②错．
故选：．
18．（2021•温岭市校级模拟）如图，已知正四棱锥的各棱长均相等，是上的动点（不包括端点），是的中点，分别记二面角，，为，，，则
A．B．C．D．
【解答】解
连接，交于，令交于，
作垂直与，连接，，
易知，，，
，
，
，
显然，，
最小，
最小，
故选：．
19．（2016•浙江模拟）如图，焦点在轴上的椭圆的左、右焦点分别为、，是椭圆上位于第一象限内的一点，且直线与轴的正半轴交于点，的内切圆在边上的切点为，若，则该椭圆的离心率为
A．B．C．D．
【解答】解：如图，的内切圆在边上的切点为
根据切线长定理可得，，
，
，
，
，
则，
即，，
又，
，则，
椭圆的离心率．
故选：．
20．（2021•温岭市校级模拟）已知函数，若函数恰有两个零点，则实数的取值范围为
A．B．C．D．
【解答】解：由题意，函数可转化为
．
函数恰有两个零点，即分段函数的图象与直线有两个交点．
①当时，分段函数在上连续且单调递增，
此时分段函数的图象与直线最多只有1个交点，不满足题意；
②当时，，图象如下：
此时分段函数的图象与直线也只有1个交点，不满足题意；
③当时，分段函数在，为增函数，在上为减函数，在上为增函数．
，且恰有两个零点，
，或，或，
解得，或．
故选：．
21．（2021•湖北模拟）已知函数在，上有且仅有6个零点，则实数的取值范围为
A．，B．，C．，D．，
【解答】解：根据函数的图像，
函数，
当，时，
，
由于函数在，上有且仅有6个零点，
所以，
整理得．
故选：．
22．（2021•湖北模拟）已知中，，，点在线段上除，的位置运动，现沿进行翻折，使得线段上存在一点，满足平面；若恒成立，则实数的最大值为
A．1B．C．2D．
【解答】解：因为，，
且点在线段上除、的位置运动，
要使上存在一点，满足平面，使恒成立，
则当恰好为点时，为临界条件不可为点，但可用来计算），
即，且，
因为，
可得，，
所以，
解得，
所以的最大值为1．
故选：．
23．（2021•湖北模拟）函数在，上的零点个数为
A．12B．14C．16D．18
【解答】解：由题意得：，
故是偶函数，故只需讨论在，上的零点个数即可，
此时，
一定成立，
，
令，则得到或，
解得：或，又，
故，结合在，和，上的图像，
可知直线与在，和，上有6个交点，
与在，上有2个交点，
故在，上有8个交点，
故在，上有16个交点，
故选：．
24．（2021•湖北模拟）已知函数，若，使得在恒成立，则的最大值为
A．2B．3C．4D．5
【解答】解：因为，使得在恒成立，
所以在恒成立，
所以，
令，则，
令，则，
当时，，单调递增，
因为（8），（9），
所以使得，即，
所以，
所以当时，，单调递减，
当，时，，单调递增，
所以，
又因为，所以，
故选：．
25．（2021•广东模拟）若函数为自然对数的底数）是减函数，则实数的取值范围是
A．B．C．D．
【解答】解：函数的定义域为，
，
因为函数是减函数，所以恒成立，
令，则恒成立，
当时，成立；
当时，则的图象开口向上，不恒成立，不符合题意；
当时，要使恒成立，则△，解得，又，所以．
综上可得，实数的取值范围是．
故选：．
26．（2021•3月份模拟）已知函数且，若函数图象上关于原点对称的点至少有3对，则实数的取值范围是
A．B．C．D．
【解答】解：当时，，
则时，函数的图象与函数的图象关于原点对称；
又时，，
画出函数和函数的图象，如图所示；
要使与的图象至少有3个交点，
需使，且（6）（6）；
即，所以，
解得，
即；
所以的取值范围是．
故选：．
二．多选题（共8小题）
27．（2021•南通模拟）如图，在直四棱柱中，四边形为正方形，，为面对角线上的一个动点，则下列说法中正确的有
A．平面
B．与所成角的余弦值为
C．三棱锥的体积为定值
D．平面内存在直线与平面和底面的交线平行
【解答】解：对于：由于在直四棱柱中，四边形为正方形，，
虽然，与不垂直，故平面错误，故错误；
对于：由于，
所以为与所成角，
设，所以，，，
故在△中，，故正确；
对于：由于，所以平面，
从而得到点到平面的距离相等，故正确；
对于：由于平面，所以平面和底面的交线与平行，
而与平面相交，故错误．
故选：．
28．（2021•南通模拟）关于曲线，下列说法中正确的有
A．曲线关于轴对称
B．曲线上任意一点到原点的距离都不超过
C．曲线恰好经过6个整点
D．曲线在直线和所围成的正方形区域内（包括边界）
【解答】解：对于，以替换，方程不变，故正确；
对于，由，可得，
即，也就是曲线上任意一点到原点的距离都不超过，故正确；
对于，原曲线可化为，
当时，即，
由△，解得．
由于取整数，，此时或，则曲线过点，；
当时，由中所得对称性可得曲线过点，；
当时，得，即，曲线过点，．
综上所述，曲线恰好经过6个整点，故正确；
对于，由可知，值可求，当时，方程可化为，
解得，故点在曲线上，但不在直线和所围成的正方形区域内，故错误．
故选：．
29．（2021•苏州模拟）已知函数，下列说法正确的是
A．是偶函数
B．是周期为的函数
C．在区间上单调递减
D．的最大值为
【解答】解：当时，，当时，，
所以，，
对于，因为，所以是偶函数，所以对；
对于，因为，所以是周期为的函数，所以对；
对于，由知，只须考虑在上的单调性，在上，，
与，在上单调递减，所以在上的单调递减，
于是在区间上单调递减，所以对；
对于，只须在，上考虑最大值问题，在，上，，单调递增，
在，上，，单调递减，所以在，上，的最大值为，所以错．
故选：．
30．（2021•苏州模拟）已知正方体的棱长为4，为的中点，为所在平面上一动点，为所在平面上一动点，且平面，则下列命题正确的是
A．若与平面所成的角为，则点的轨迹为圆
B．若三棱柱的表面积为定值，则点的轨迹为椭圆
C．若点到直线与直线的距离相等，则点的轨迹为抛物线
D．若与所成的角为，则点的轨迹为双曲线
【解答】解：对于，因为与平面所成的角为，所以，所以点的轨迹为圆，所以对；
对于，因为当三棱柱的侧面积为定值时，点的轨迹为椭圆，表面积比侧面积增加了上下底面，
而底面积是变化的，所以错；
对于，因为点到直线与相等，所以点的轨迹为点到点与直线的距离相等的轨迹，即抛物线，所以对；
对于，因为、，所以，于是满足条件的运动成圆锥面，其与平面的交线为双曲线，所以对．
故选：．
31．（2021•广东模拟）已知方程，则
A．存在实数，该方程对应的图形是圆，且圆的面积为
B．存在实数，该方程对应的图形是平行于轴的两条直线
C．存在实数，该方程对应的图形是焦点在轴上的双曲线，且双曲线的离心率为
D．存在实数，该方程对应的图形是焦点在轴上的椭圆，且椭圆的离心率为
【解答】解：对于：若存在，只需，即，
得，可取，方程即为：，圆的半径满足，故圆面积为：，故错；
对于：令，则必有，方程化为：，显然不成立，故错误；
对于：取，得，取，则方程为：，为等轴双曲线的方程，故离心率为，故正确；
对于：将方程化为标准形式：，故，则由已知得，
整理得，解得，该方程显然有解，故正确．
故选：．
32．（2021•广东模拟）三棱锥中，是等边三角形，顶点在底面的投影是底面的中心，侧面侧面，则
A．二面角的大小为
B．此三棱锥的侧面积与其底面面积之比为
C．点到平面的距离与的长之比为
D．此三棱锥的体积与其外接球的体积之比为
【解答】解：将该三棱锥放置在正方体当中，如图所示，设正方体的棱长为
对于，取的中点，连接，，则即为二面角的平面角，
，则，故错误；
对于，此三棱锥的侧面积为，底面积为，
侧面积与底面积之比为，故正确；
对于，在中，过点作，垂足为，可得平面，
，则点到平面的距离与的长之比为，故正确；
对于，此三棱锥的体积，
外接球的半径，外接球的体积，
，故正确．
故选：．
33．（2021•3月份模拟）下列命题正确的是
A．若，则，B．若，则，
C．若，则，D．若，则，，
【解答】解：对于，当时，，故选项错误；
对于，若，当时，，所以，，故选项正确；
对于，若，则，，故选项正确；
对于，若，则，，，故选项正确．
故选：．
34．（2021•3月份模拟）已知函数，下列关于函数 的结论正确的为
A．在定义域内有三个零点B．函数的值域为
C．在定义域内为周期函数D．图象是中心对称图象
【解答】解：由题意可知，，
定义域为且且，
，
所以函数在，，，上单调递增，
故在定义域内不是周期函数，故选项错误；
当时，，，故在上有一个零点；
当时，，故在上有一个零点；
当时，，故在上有一个零点；
当时，，所以在定义域内有三个零点，故选项正确；
当时，时，，当时，，
又函数在上单调递增，且在上有一个零点，故值域为，故选项正确；
因为，
所以，故函数的图象关于点对称，故选项正确．
故选：．
三．填空题（共16小题）
35．（2021•成都模拟）函数存在唯一的零点，则实数的取值范围是 ， ．
【解答】解：函数存在唯一的零点，
等价于函数与函数只有唯一一个交点，
（1），（1），
函数与函数唯一交点为，
又，且，，
在上恒小于零，即在上为单调递减函数，
又是最小正周期为2，最大值为的正弦函数，
可得函数与函数的大致图象如图：
要使函数与函数只有唯一一个交点，则（1）（1），
（1），（1），
，解得，
又，实数的范围为，．
故答案为：，．
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