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2021年新高考数学名校地市选填压轴题好题汇编（五）（原卷版+解析版）
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这是一份2021年新高考数学名校地市选填压轴题好题汇编（五）（原卷版+解析版），文件包含2021年新高考数学名校地市选填压轴题好题汇编五原卷版docx、2021年新高考数学名校地市选填压轴题好题汇编五解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共36页， 欢迎下载使用。
1．（2021•全国模拟）已知抛物线上三点，，，直线，是圆的两条切线，则直线的方程为
A．B．C．D．
【解析】解：把点代入抛物线方程可得，所以抛物线的方程为，
又直线，是圆的两条切线，
设切线方程为，因为圆心到切线的距离等于半径，
则有，解得，
则直线的方程为，
直线的方程为，
联立直线和抛物线的方程可求得，
同理可求得，
由直线的两点式方程可得，直线的方程为．
故选：．
2．（2021•全国模拟）已知且，且，且，则
A．B．C．D．
【解析】解：根据题意，设，
且，变形可得，即（a）（5），
且，变形可得，即（b）（4），
且，变形可得，即（c）（3），
，其导数，
在区间上，，则为减函数，
在区间上，，则为增函数，其草图如图：
则有，
故选：．
3．（2020秋•静安区期末）在平面直角坐标系中，、是位于不同象限的任意角，它们的终边交单位圆（圆心在坐标原点于、两点．若、两点的纵坐标分别为正数、，且，则的最大值为
A．1B．C．2D．不存在
【解析】解：角和角一个在第一象限，另一个在第二象限，
不妨假设在第一象限，则在第二象限，
根据题意可得、，且，，
，，
，
即，
平方可得，，当且仅当时，取等号．
，当且仅当时，取等号，
故当时，取得最大值为，
故选：．
4．（2020秋•杨浦区校级期末）已知三角形的三个顶点都在椭圆上，设它的三条边、、的中点分别为、、，且三条边所在直线的斜率分别为、、，且、、均不为0．为坐标原点，若直线、、的斜率之和为1．则
A．B．C．D．
【解析】解：设，，，，，，
把，两点代入椭圆方程可得：，，
两式作差可得：，
则，所以，
同理可得：，，
所以，
故选：．
5．（2020秋•大兴区期末）已知数列的前项和，若，恒成立，则实数的最大值是
A．3B．4C．5D．6
【解析】解：由，得，
当时，，
验证时成立，，
又，，
，恒成立，，
当时，有最小值为5．
．
则则实数的最大值是5．
故选：．
6．（2020秋•大兴区期末）已知椭圆的左、右顶点分别为，，且以线段为直径的圆与直线相切，则椭圆的离心率为
A．B．C．D．
【解析】解：由题意可得以为直径的圆的圆心为原点，半径为，
则圆心到直线的距离为：
，解得，
所以椭圆的离心率为，
故选：．
7．（2020秋•大通县期末）已知抛物线的焦点为，准线为，且过点，在抛物线上，若点，则的最小值为
A．2B．3C．4D．5
【解析】解：抛物线的焦点为，
准线为且1过点，
抛物线的准线方程是，
则抛物线的方程为，
点在抛物线内，
过点做准线的垂线，垂足是，
设点到直线的距离是，
在抛物线上，是抛物线的焦点，
，
，
的最小值，
故选：．
8．（2020秋•大通县期末）已知点，是双曲线的左、右顶点，，是双曲线的左、右焦点，若，是双曲线上异于，的动点，且直线，的斜率之积为定值4，则
A．2B．C．D．4
【解析】解：设，，，
则，
所以，
又因为，
所以，
又因为，
所以，，
所以，
故选：．
9．（2020秋•海淀区期末）数列的通项公式为，，前项和为给出下列三个结论：
①存在正整数，，使得；
②存在正整数，，使得；
③记，2，3，则数列有最小项．
其中所有正确结论的序号是
A．①B．③C．①③D．①②③
【解析】解：若存在正整数，，使得，则，
即，
令，解得（舍或，即，
所以存在，，使得，
故选项①正确；
因为，即，
即，且，，
记，对称轴为，
而，2，3，故只有，时，有，
但此时不成立，
故不存在正整数，，使得，故选项②错误；
因为，2，3，，
则，，，且当时，单调递增，
所以当时，，而，
故当时，，又，，
所以数列有最小项，故选项③正确．
故选：．
10．（2020秋•海淀区期末）如图所示，在圆锥内放入两个球，，它们都与圆锥相切（即与圆锥的每条母线相切），切点圆（图中粗线所示）分别为，这两个球都与平面相切，切点分别为，，丹德林利用这个模型证明了平面与圆锥侧面的交线为椭圆，，为此椭圆的两个焦点，这两个球也称为双球．若圆锥的母线与它的轴的夹角为，，的半径分别为1，4，点为上的一个定点，点为椭圆上的一个动点，则从点沿圆锥表面到达点的路线长与线段的长之和的最小值是
A．6B．8C．D．
【解析】解：如图所示，在椭圆上任取一点，连接交于，交于点，
连接，，，，，
在△与△中，，其中为半径，
，为公共边，
所以△△，所以，
设沿圆锥表面到达的路径长为，
则，
当且仅当为直线与椭圆的交点时取等号，
，
故从点沿圆锥表面到达点的路线长与线段的长之和的最小值是6．
故选：．
11．（2021•福建模拟）已知椭圆的右焦点为，短轴的一个端点为，直线交椭圆于，两点，若，点到直线的距离不小于，则椭圆的离心率的取值范围是
A．，B．，C．，D．，
【解析】解：如图所示，设为椭圆的左焦点，连接，，则四边形是平行四边形，
，．
取，点到直线的距离不小于，，解得．
．
椭圆的离心率的取值范围是．
故选：．
12．（2020秋•西青区期末）2015年07月31日17时57分，国际奥委会第128次全会在吉隆坡举行，投票选出2022年冬奥会举办城市为北京．某人为了观看2022年北京冬季奥运会，从2016年起，每年的1月1日到银行存入元的定期储蓄，若年利率为且保持不变，并约定每年到期，存款的本息均自动转为新的一年的定期，到2022年的1月1日将所有存款及利息全部取出，则可取出钱（元的总数为
A．B．
C．D．
【解析】解：由题意可知，可取出钱的总数为：
，
故选：．
13．（2021•河南模拟）已知双曲线的左焦点为，以为直径的圆与双曲线的渐近线交于不同原点的，两点，若四边形的面积为，则双曲线的渐近线方程为
A．B．C．D．
【解析】解：根据题意，，双曲线的焦点到的一条渐近线的距离为，
则，所以，所以，
所以，
所以双曲线的渐近线方程为．
故选：．
14．（2020•辽宁一模）已知函数给出下列四个命题：
①的最小正周期为；
②的图象关于直线对称；
③在区间上单调递增；
④的值域为，．
其中所有正确的编号是
A．②④B．③④C．①③④D．②③
【解析】解：，则的最小正周期不是，①错，则排除选项；
，的图象不关于直线对称，②错，排除选项
在区间时，，在上单调递增，③对，排除选项；
故选：．
15．（2021•天津模拟）已知函数在上单调递减，且关于的方程恰好有两个不相等的实数解，则的取值范围是
A．，B．，C．，D．，
【解析】解：在，递减，则，
函数在上单调递减，则：
；
解得，；
由图象可知，在，上，有且仅有一个解，
故在上，同样有且仅有一个解，
当即时，联立，
则△，
解得或1（舍去），
当时，由图象可知，符合条件，
综上：的取值范围为，，
故选：．
16．（2020秋•石景山区期末）如图，是正方体对角线上一动点，设的长度为，若的面积为，则的图象大致是
A．B．
C．D．
【解析】解：设正方体的棱长为1，连接交于，连，则是等腰的高，
故的面积为，
在三角形中，，
，
画出其图象，如图所示，
对照选项，正确．
故选：．
17．（2020秋•成都期末）已知椭圆的左、右焦点分别为、，过作轴的平行线交椭圆于、两点，为坐标原点，双曲线以、为顶点，以直线、为渐近线，则双曲线的焦距为
A．B．C．D．
【解析】解：由椭圆，得，，
则，，，
把代入，得，得，，
，，
则双曲线的渐近线方程为，
又、为双曲线的顶点，双曲线的实半轴长为1，
则双曲线的虚半轴长为，双曲线的半焦距，
双曲线的焦距为．
故选：．
18．（2020秋•海原县校级期末）若对任意实数恒成立，则实数的取值范围是
A．B．C．D．
【解析】解：对任意实数恒成立，
①当，即时，不等式为，不是对任意实数满足，故不符合题意；
②当，即时，由对任意实数恒成立，
，解得，
实数的取值范围是．
故选：．
19．（2020秋•济南期末）早在古希腊时期，亚历山大的科学家赫伦就发现：光从一点直接传播到另一点选择最短路径，即这两点间的线段．若光从一点不是直接传播到另一点，而是经由一面镜子（即便镜面是曲面）反射到另一点，仍然选择最短路径．已知曲线，且将假设为能起完全反射作用的曲面镜，若光从点射出，经由上一点反射到点，则
A．B．3C．D．7
【解析】解：曲线的图象如图，
椭圆的焦点坐标为，，由椭圆定义可知，
曲线上任意一点与两焦点的距离和为定值，即，
则，
当、、共线时，最大为，
的最小值为．
故选：．
20．（2020秋•南平期末）已知点为双曲线右支上一点，点，分别为双曲线的左右焦点，点是△的内心（三角形内切圆的圆心），若恒有成立，则双曲线的离心率取值范围是
A．B．，C．，D．，
【解析】解：设△的内切圆半径为，则，，
，
，
，
由双曲线的定义可知：，，
，即．
又，
双曲线的离心率的范围是，．
故选：．
21．（2020秋•江岸区校级期末）甲乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止．设甲在每局中获胜的概率为，乙在每局中获胜的概率为，且各局胜负相互独立，设比赛停止时已打局数为，则
A．B．C．D．
【解析】解：依题意知，的所有可能值为2，4，6，
设每两局比赛为一轮，则该轮结束时比赛停止的概率为．
若该轮结束时比赛还将继续，
则甲、乙在该轮中必是各得一分，此时，该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响．
从而有，
，
，
．
故选：．
22．（2020秋•江岸区校级期末）正方体的棱长为4，点在棱上，且，点是正方体下底面内（含边界）的动点，且动点到直线的距离与点到点的距离的平方差为16，则动点到点的最小值是
A．B．C．D．
【解析】解：如图所示，作，垂足为，则平面，
过点作，则平面，
所以即为点到直线的距离，
因为，且，
所以，
所以点的轨迹是以为准线，点为焦点的抛物线，
如图建立直角坐标系，则点的轨迹方程为，
点，设点，，
则．
故选：．
23．（2020秋•江岸区校级期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点，，，在椭圆上，若，且，则椭圆的离心率为
A．B．C．D．
【解析】解：由椭圆的对称性可知，四边形为平行四边形，且，
所以，在三角形中，因为，
所以可设，则，
由余弦定理可得：，
所以，即，
由椭圆的定义可得：，
所以椭圆的离心率为，
故选：．
24．（2020•湖北二模）设为最接近的整数，如（1），（2），（3），（4），（5），，若正整数满足，则
A．B．C．D．
【解析】解：第一组：，，共2个，之和为2；
第二组：，，，，共4个，之和为2；
第三组：，，，，，，个，之和为2；
第四组：，，，共8个，之和为2；
第组：共个，之和为2；
，
故一共有2017组，
则，
故选：．
25．（2020秋•东莞市期末）如图，四边形中，平分，，，若，则四边形周长的最大值为
A．24B．C．D．
【解析】解：设，则由平分，可得：，
，，设，
由，可得：，可得：，
在中，由余弦定理，可得：，可得：，①
在中，由余弦定理，可得：，可得：，②
由①②联立解得：，可得：，，
在中，由余弦定理可得：，
在中，由余弦定理，可得：，当且仅当时等号成立，
，解得：，当且仅当时等号成立，
四边形周长，当且仅当时等号成立．
故选：．
二．多选题（共4小题）
26．（2021•全国模拟）设函数，则
A．B．的最大值为
C．在，单调递增D．在单调递减
【解析】解：对于：函数，所以满足，故正确；
对于的几何意义为单位圆上动点与点连线的斜率的2倍，
相切时，最大值为，故错误；
对于：当时，动点在第二象限从左向右运动，斜率先增大后减小，故错误；
对于：当时，动点在第一象限从左向右运动，斜率逐渐减小，故正确；
如图所示：
故选：．
27．（2020秋•济南期末）汉代数学名著《九章算术》第九卷《勾股》章中提到了著名的“勾股容方”问题．如图，正方形内接于直角三角形，其中，，，，则下列关系式成立的是
A．B．
C．D．
【解析】解：因为正方形内接于直角三角形，其中，，，
所以，整理可得，①
由①可得，可得正确；
因为，由①可得，
即，可得，故错误；
由①可得，当且仅当时等号成立，
可得，当且仅当时等号成立，故错误；
因为，所以
，
故，故错误．
故选：．
28．（2020秋•济南期末）设抛物线的准线与对称轴交于点，过点作抛物线的两条切线，切点分别为和，则
A．点坐标为B．直线的方程为
C．D．
【解析】解：抛物线的标准方程为，其准线方程为，
点为，即选项正确；
的，，
设点的坐标为，则在点处的切线斜率为，
，
，解得，
点的纵坐标为，
直线的方程为，即选项正确；
不妨取，，，，
，，，，
，即，故选项正确；
，即选项错误．
故选：．
29．（2020秋•雁塔区校级期末）已知点，的坐标分别是，，直线，相交于点，且它们的斜率分别为，，下列命题是真命题的有
A．若，则的轨迹是椭圆（除去两个点）
B．若，则的轨迹是抛物线（除去两个点）
C．若，则的轨迹是双曲线（除去两个点）
D．若，则的轨迹是一条直线（除去一点）
【解析】解：不妨设点，
选项，不妨设，则有，
消去参数得，，所以不正确；
选项，不妨设，则有，
消去参数得，，，所以正确；
选项，，整理得，所以正确；
选项，，整理得，，所以正确．
故选：．
三．填空题（共21小题）
30．（2021•全国模拟）对一个物理量做次测量，并以测量结果的平均值作为该物理量的最后结果．已知最后结果的误差，为使误差在的概率不小于0.9545，至少要测量 32 次．（若，则．
【解析】解：根据正态曲线的对称性知，要使得误差在的概率不小于0.9545，
则，，且，，
所以，
解得，，即的最小值32．
故答案为：32．
31．（2020秋•静安区期末）如图所示，在平面直角坐标系中，动点以每秒的角速度从点出发，沿半径为2的上半圆逆时针移动到，再以每秒的角速度从点沿半径为1的下半圆逆时针移动到坐标原点，则上述过程中动点的纵坐标关于时间的函数表达式为 ．
【解析】解：当在大圆上半圆上运动时，，，
由任意角的三角函数的定义，可得的纵坐标为，；
当点在小圆下半圆上运动时，，，
可得点纵坐标为，．
动点的纵坐标关于时间的函数表达式为．
故答案为：．
32．（2020•新建区校级模拟）已知双曲线的左，右焦点分别为，，过右支上一点作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为．若的最小值为，则双曲线的离心率为 ．
【解析】解：由双曲线定义知，，则，，
所以，过作双曲线一条渐近线的垂线垂足为，交右支于点，
此时最小且最小值为，易求焦点到渐近线的距离为
即，所以，即，，
可求离心率．
故答案为：．
33．（2020秋•杨浦区校级期末）如果是椭圆上的动点，是椭圆上的动点，那么面积的最大值为 12 ．
【解析】解：面积
，
设，，，，
可得，
所以，
由题意可设，，
则，
当时，即，时，取得最大值12．
故答案为：12．
34．（2020秋•杨浦区校级期末）已知方程有两个不等的实根，则实数的取值范围为 ．
【解析】解：根据题意画出图形，如图所示：
表示一条直线，方程右边，
当直线与半圆相切时，圆心到直线的距离，即，
解得：或（舍去），
则当直线与半圆有两个公共点，
即方程方程有两个不等的实根，
此时的取值范围为．
故答案为：．
35．（2020秋•杨浦区校级期末）已知，，，为圆上的两点，且，设，为弦上一点，且，则的最小值为 ．
【解析】解：由题设可得：，，，，
，，即，
，
，，，为圆上的两点，且，
，即，
点的轨迹为圆，
又，其几何意义为圆上一点到直线的距离的5倍，
又圆的圆心到直线的距离，
圆上一点到直线的距离的最小值为，
，
故答案为：．
36．（2020秋•大兴区期末）如图，在四面体中，其棱长均为1，，分别为，的中点．若，则 ；直线和的夹角为 ．
【解析】解：由，分别为，的中点可得，，
，
而，所以，，
．
连接、，在四面体中，其棱长均为1，
所以，而，
所以，
取的中点，，所以即为直线和的夹角，
在三角形中，，，
所以，
即直线和的夹角为．
故答案为：，．
37．（2020秋•大兴区期末）将一枚均匀的硬币连续抛掷次，以表示没有出现连续3次正面的概率．给出下列四个结论：
①；
②；
③当时，；
④．
其中，所有正确结论的序号是 ①③④ ．
【解析】解：对于①，将一枚均匀的硬币连续抛掷次，
以表示没有出现连续3次正面的概率，
，故①正确；
对于②，又投掷四次连续出现三次正面向上的情况只有：
正正正正或正正正反或反正正正，，故②错误；
对于④，共分三种情况：如果第次出现反面，
那么前次不出现连续三次正面和前次不出现连续三次正面是相同的，
这个时候不出现连续三次正面的概率是；
如果第次出现正面，第次出现反面，
那么前次不出现连续三次正面和前次不出现连续三次正面是相同的，
这个时候不出现连续三次正面的概率是；
如果第次出现正面，第次出现正面，第次出现反面，
那么前次不出现连续三次正面和前次不出现连续三次正面是相同的，
这时候不出现三次连续正面的概率是，
综上，，故④正确；
对于③，由④知，时，单调递减，又，
时，数列单调递减，即当时，，故③正确．
故答案为：①③④．
38．（2020秋•大通县期末）如图，四边形和均为正方形，它们所在的平面互相垂直，，分别为的，中点，是边靠近的三等分点，则直线与平面所成角的正切值为 ；异面直线与所成角的余弦值是 ．
【解析】解：由，，两两垂直，分别以，，所在的直线为，，轴，
建立空间直角坐标系如图所示：
不妨设，则，0，，，0，，，4，，，3，，
所以，
其中平面的一个法向量为，
所以与平面所成角的正弦值为，
所以；
又同量与所成角的余弦值为，
且，
所以异面直线与所成角的余弦值是．
故答案为：，．
39．（2020秋•海淀区期末）已知圆，直线，点，点．给出下列4个结论：
①当，直线与圆相离；
②若直线圆的一条对称轴，则；
③若直线上存在点，圆上存在点，使得，则的最大值为；
④为圆上的一动点，若，则的最大值为．
其中所有正确结论的序号是 ①②④ ．
【解析】解：当时，直线，
故圆的半径小于点到直线的距离，
所以当，直线与圆相离，故选项①正确；
因为圆的对称轴过圆心，故直线过点，
又直线，所以，故选项②正确；
考虑极限情况：，为切点时比，为割点时的更大，
故直线的斜率最大时，点，均应为切点，过作圆的切线，
则，
所以，故选项③错误；
设，，
则的中点，，
而，则点为以为直径的圆上，
设半径为，，则，
所以最大时应该是点的纵坐标加半径，即，
令，，，
令，得，，
，当时，，
所以的最大值为，故选项④正确；
故答案为：①②④．
40．（2020秋•丰台区期末）如果数列满足为常数），那么数列叫做等比差数列，叫做公比差．给出下列四个结论：
①若数列满足，则该数列是等比差数列；
②数列是等比差数列；
③所有的等比数列都是等比差数列；
④存在等差数列是等比差数列．
其中所有正确结论的序号是 ①③④ ．
【解析】解：根据题意，数列满足，则，
所以数列是等比差数列，故选项①正确；
对于数列，则不是常数，
所以数列不是等比差数列，故选项②错误；
由等比数列的定义可知，，
所以，
所以所有的等比数列都是等比差数列，故选项③正确；
设等差数列为，公差为，
所以，
当时，则，所以存在等差数列是等比差数列，故选项④正确．
故选：①③④．
41．（2020秋•西青区期末）已知抛物线的焦点为，准线为，过点的直线与抛物线交于两点，，，．
①抛物线焦点到准线的距离为2；
②若，则；
1．（2021•全国模拟）已知抛物线上三点，，，直线，是圆的两条切线，则直线的方程为
A．B．C．D．
【解析】解：把点代入抛物线方程可得，所以抛物线的方程为，
又直线，是圆的两条切线，
设切线方程为，因为圆心到切线的距离等于半径，
则有，解得，
则直线的方程为，
直线的方程为，
联立直线和抛物线的方程可求得，
同理可求得，
由直线的两点式方程可得，直线的方程为．
故选：．
2．（2021•全国模拟）已知且，且，且，则
A．B．C．D．
【解析】解：根据题意，设，
且，变形可得，即（a）（5），
且，变形可得，即（b）（4），
且，变形可得，即（c）（3），
，其导数，
在区间上，，则为减函数，
在区间上，，则为增函数，其草图如图：
则有，
故选：．
3．（2020秋•静安区期末）在平面直角坐标系中，、是位于不同象限的任意角，它们的终边交单位圆（圆心在坐标原点于、两点．若、两点的纵坐标分别为正数、，且，则的最大值为
A．1B．C．2D．不存在
【解析】解：角和角一个在第一象限，另一个在第二象限，
不妨假设在第一象限，则在第二象限，
根据题意可得、，且，，
，，
，
即，
平方可得，，当且仅当时，取等号．
，当且仅当时，取等号，
故当时，取得最大值为，
故选：．
4．（2020秋•杨浦区校级期末）已知三角形的三个顶点都在椭圆上，设它的三条边、、的中点分别为、、，且三条边所在直线的斜率分别为、、，且、、均不为0．为坐标原点，若直线、、的斜率之和为1．则
A．B．C．D．
【解析】解：设，，，，，，
把，两点代入椭圆方程可得：，，
两式作差可得：，
则，所以，
同理可得：，，
所以，
故选：．
5．（2020秋•大兴区期末）已知数列的前项和，若，恒成立，则实数的最大值是
A．3B．4C．5D．6
【解析】解：由，得，
当时，，
验证时成立，，
又，，
，恒成立，，
当时，有最小值为5．
．
则则实数的最大值是5．
故选：．
6．（2020秋•大兴区期末）已知椭圆的左、右顶点分别为，，且以线段为直径的圆与直线相切，则椭圆的离心率为
A．B．C．D．
【解析】解：由题意可得以为直径的圆的圆心为原点，半径为，
则圆心到直线的距离为：
，解得，
所以椭圆的离心率为，
故选：．
7．（2020秋•大通县期末）已知抛物线的焦点为，准线为，且过点，在抛物线上，若点，则的最小值为
A．2B．3C．4D．5
【解析】解：抛物线的焦点为，
准线为且1过点，
抛物线的准线方程是，
则抛物线的方程为，
点在抛物线内，
过点做准线的垂线，垂足是，
设点到直线的距离是，
在抛物线上，是抛物线的焦点，
，
，
的最小值，
故选：．
8．（2020秋•大通县期末）已知点，是双曲线的左、右顶点，，是双曲线的左、右焦点，若，是双曲线上异于，的动点，且直线，的斜率之积为定值4，则
A．2B．C．D．4
【解析】解：设，，，
则，
所以，
又因为，
所以，
又因为，
所以，，
所以，
故选：．
9．（2020秋•海淀区期末）数列的通项公式为，，前项和为给出下列三个结论：
①存在正整数，，使得；
②存在正整数，，使得；
③记，2，3，则数列有最小项．
其中所有正确结论的序号是
A．①B．③C．①③D．①②③
【解析】解：若存在正整数，，使得，则，
即，
令，解得（舍或，即，
所以存在，，使得，
故选项①正确；
因为，即，
即，且，，
记，对称轴为，
而，2，3，故只有，时，有，
但此时不成立，
故不存在正整数，，使得，故选项②错误；
因为，2，3，，
则，，，且当时，单调递增，
所以当时，，而，
故当时，，又，，
所以数列有最小项，故选项③正确．
故选：．
10．（2020秋•海淀区期末）如图所示，在圆锥内放入两个球，，它们都与圆锥相切（即与圆锥的每条母线相切），切点圆（图中粗线所示）分别为，这两个球都与平面相切，切点分别为，，丹德林利用这个模型证明了平面与圆锥侧面的交线为椭圆，，为此椭圆的两个焦点，这两个球也称为双球．若圆锥的母线与它的轴的夹角为，，的半径分别为1，4，点为上的一个定点，点为椭圆上的一个动点，则从点沿圆锥表面到达点的路线长与线段的长之和的最小值是
A．6B．8C．D．
【解析】解：如图所示，在椭圆上任取一点，连接交于，交于点，
连接，，，，，
在△与△中，，其中为半径，
，为公共边，
所以△△，所以，
设沿圆锥表面到达的路径长为，
则，
当且仅当为直线与椭圆的交点时取等号，
，
故从点沿圆锥表面到达点的路线长与线段的长之和的最小值是6．
故选：．
11．（2021•福建模拟）已知椭圆的右焦点为，短轴的一个端点为，直线交椭圆于，两点，若，点到直线的距离不小于，则椭圆的离心率的取值范围是
A．，B．，C．，D．，
【解析】解：如图所示，设为椭圆的左焦点，连接，，则四边形是平行四边形，
，．
取，点到直线的距离不小于，，解得．
．
椭圆的离心率的取值范围是．
故选：．
12．（2020秋•西青区期末）2015年07月31日17时57分，国际奥委会第128次全会在吉隆坡举行，投票选出2022年冬奥会举办城市为北京．某人为了观看2022年北京冬季奥运会，从2016年起，每年的1月1日到银行存入元的定期储蓄，若年利率为且保持不变，并约定每年到期，存款的本息均自动转为新的一年的定期，到2022年的1月1日将所有存款及利息全部取出，则可取出钱（元的总数为
A．B．
C．D．
【解析】解：由题意可知，可取出钱的总数为：
，
故选：．
13．（2021•河南模拟）已知双曲线的左焦点为，以为直径的圆与双曲线的渐近线交于不同原点的，两点，若四边形的面积为，则双曲线的渐近线方程为
A．B．C．D．
【解析】解：根据题意，，双曲线的焦点到的一条渐近线的距离为，
则，所以，所以，
所以，
所以双曲线的渐近线方程为．
故选：．
14．（2020•辽宁一模）已知函数给出下列四个命题：
①的最小正周期为；
②的图象关于直线对称；
③在区间上单调递增；
④的值域为，．
其中所有正确的编号是
A．②④B．③④C．①③④D．②③
【解析】解：，则的最小正周期不是，①错，则排除选项；
，的图象不关于直线对称，②错，排除选项
在区间时，，在上单调递增，③对，排除选项；
故选：．
15．（2021•天津模拟）已知函数在上单调递减，且关于的方程恰好有两个不相等的实数解，则的取值范围是
A．，B．，C．，D．，
【解析】解：在，递减，则，
函数在上单调递减，则：
；
解得，；
由图象可知，在，上，有且仅有一个解，
故在上，同样有且仅有一个解，
当即时，联立，
则△，
解得或1（舍去），
当时，由图象可知，符合条件，
综上：的取值范围为，，
故选：．
16．（2020秋•石景山区期末）如图，是正方体对角线上一动点，设的长度为，若的面积为，则的图象大致是
A．B．
C．D．
【解析】解：设正方体的棱长为1，连接交于，连，则是等腰的高，
故的面积为，
在三角形中，，
，
画出其图象，如图所示，
对照选项，正确．
故选：．
17．（2020秋•成都期末）已知椭圆的左、右焦点分别为、，过作轴的平行线交椭圆于、两点，为坐标原点，双曲线以、为顶点，以直线、为渐近线，则双曲线的焦距为
A．B．C．D．
【解析】解：由椭圆，得，，
则，，，
把代入，得，得，，
，，
则双曲线的渐近线方程为，
又、为双曲线的顶点，双曲线的实半轴长为1，
则双曲线的虚半轴长为，双曲线的半焦距，
双曲线的焦距为．
故选：．
18．（2020秋•海原县校级期末）若对任意实数恒成立，则实数的取值范围是
A．B．C．D．
【解析】解：对任意实数恒成立，
①当，即时，不等式为，不是对任意实数满足，故不符合题意；
②当，即时，由对任意实数恒成立，
，解得，
实数的取值范围是．
故选：．
19．（2020秋•济南期末）早在古希腊时期，亚历山大的科学家赫伦就发现：光从一点直接传播到另一点选择最短路径，即这两点间的线段．若光从一点不是直接传播到另一点，而是经由一面镜子（即便镜面是曲面）反射到另一点，仍然选择最短路径．已知曲线，且将假设为能起完全反射作用的曲面镜，若光从点射出，经由上一点反射到点，则
A．B．3C．D．7
【解析】解：曲线的图象如图，
椭圆的焦点坐标为，，由椭圆定义可知，
曲线上任意一点与两焦点的距离和为定值，即，
则，
当、、共线时，最大为，
的最小值为．
故选：．
20．（2020秋•南平期末）已知点为双曲线右支上一点，点，分别为双曲线的左右焦点，点是△的内心（三角形内切圆的圆心），若恒有成立，则双曲线的离心率取值范围是
A．B．，C．，D．，
【解析】解：设△的内切圆半径为，则，，
，
，
，
由双曲线的定义可知：，，
，即．
又，
双曲线的离心率的范围是，．
故选：．
21．（2020秋•江岸区校级期末）甲乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止．设甲在每局中获胜的概率为，乙在每局中获胜的概率为，且各局胜负相互独立，设比赛停止时已打局数为，则
A．B．C．D．
【解析】解：依题意知，的所有可能值为2，4，6，
设每两局比赛为一轮，则该轮结束时比赛停止的概率为．
若该轮结束时比赛还将继续，
则甲、乙在该轮中必是各得一分，此时，该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响．
从而有，
，
，
．
故选：．
22．（2020秋•江岸区校级期末）正方体的棱长为4，点在棱上，且，点是正方体下底面内（含边界）的动点，且动点到直线的距离与点到点的距离的平方差为16，则动点到点的最小值是
A．B．C．D．
【解析】解：如图所示，作，垂足为，则平面，
过点作，则平面，
所以即为点到直线的距离，
因为，且，
所以，
所以点的轨迹是以为准线，点为焦点的抛物线，
如图建立直角坐标系，则点的轨迹方程为，
点，设点，，
则．
故选：．
23．（2020秋•江岸区校级期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点，，，在椭圆上，若，且，则椭圆的离心率为
A．B．C．D．
【解析】解：由椭圆的对称性可知，四边形为平行四边形，且，
所以，在三角形中，因为，
所以可设，则，
由余弦定理可得：，
所以，即，
由椭圆的定义可得：，
所以椭圆的离心率为，
故选：．
24．（2020•湖北二模）设为最接近的整数，如（1），（2），（3），（4），（5），，若正整数满足，则
A．B．C．D．
【解析】解：第一组：，，共2个，之和为2；
第二组：，，，，共4个，之和为2；
第三组：，，，，，，个，之和为2；
第四组：，，，共8个，之和为2；
第组：共个，之和为2；
，
故一共有2017组，
则，
故选：．
25．（2020秋•东莞市期末）如图，四边形中，平分，，，若，则四边形周长的最大值为
A．24B．C．D．
【解析】解：设，则由平分，可得：，
，，设，
由，可得：，可得：，
在中，由余弦定理，可得：，可得：，①
在中，由余弦定理，可得：，可得：，②
由①②联立解得：，可得：，，
在中，由余弦定理可得：，
在中，由余弦定理，可得：，当且仅当时等号成立，
，解得：，当且仅当时等号成立，
四边形周长，当且仅当时等号成立．
故选：．
二．多选题（共4小题）
26．（2021•全国模拟）设函数，则
A．B．的最大值为
C．在，单调递增D．在单调递减
【解析】解：对于：函数，所以满足，故正确；
对于的几何意义为单位圆上动点与点连线的斜率的2倍，
相切时，最大值为，故错误；
对于：当时，动点在第二象限从左向右运动，斜率先增大后减小，故错误；
对于：当时，动点在第一象限从左向右运动，斜率逐渐减小，故正确；
如图所示：
故选：．
27．（2020秋•济南期末）汉代数学名著《九章算术》第九卷《勾股》章中提到了著名的“勾股容方”问题．如图，正方形内接于直角三角形，其中，，，，则下列关系式成立的是
A．B．
C．D．
【解析】解：因为正方形内接于直角三角形，其中，，，
所以，整理可得，①
由①可得，可得正确；
因为，由①可得，
即，可得，故错误；
由①可得，当且仅当时等号成立，
可得，当且仅当时等号成立，故错误；
因为，所以
，
故，故错误．
故选：．
28．（2020秋•济南期末）设抛物线的准线与对称轴交于点，过点作抛物线的两条切线，切点分别为和，则
A．点坐标为B．直线的方程为
C．D．
【解析】解：抛物线的标准方程为，其准线方程为，
点为，即选项正确；
的，，
设点的坐标为，则在点处的切线斜率为，
，
，解得，
点的纵坐标为，
直线的方程为，即选项正确；
不妨取，，，，
，，，，
，即，故选项正确；
，即选项错误．
故选：．
29．（2020秋•雁塔区校级期末）已知点，的坐标分别是，，直线，相交于点，且它们的斜率分别为，，下列命题是真命题的有
A．若，则的轨迹是椭圆（除去两个点）
B．若，则的轨迹是抛物线（除去两个点）
C．若，则的轨迹是双曲线（除去两个点）
D．若，则的轨迹是一条直线（除去一点）
【解析】解：不妨设点，
选项，不妨设，则有，
消去参数得，，所以不正确；
选项，不妨设，则有，
消去参数得，，，所以正确；
选项，，整理得，所以正确；
选项，，整理得，，所以正确．
故选：．
三．填空题（共21小题）
30．（2021•全国模拟）对一个物理量做次测量，并以测量结果的平均值作为该物理量的最后结果．已知最后结果的误差，为使误差在的概率不小于0.9545，至少要测量 32 次．（若，则．
【解析】解：根据正态曲线的对称性知，要使得误差在的概率不小于0.9545，
则，，且，，
所以，
解得，，即的最小值32．
故答案为：32．
31．（2020秋•静安区期末）如图所示，在平面直角坐标系中，动点以每秒的角速度从点出发，沿半径为2的上半圆逆时针移动到，再以每秒的角速度从点沿半径为1的下半圆逆时针移动到坐标原点，则上述过程中动点的纵坐标关于时间的函数表达式为 ．
【解析】解：当在大圆上半圆上运动时，，，
由任意角的三角函数的定义，可得的纵坐标为，；
当点在小圆下半圆上运动时，，，
可得点纵坐标为，．
动点的纵坐标关于时间的函数表达式为．
故答案为：．
32．（2020•新建区校级模拟）已知双曲线的左，右焦点分别为，，过右支上一点作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为．若的最小值为，则双曲线的离心率为 ．
【解析】解：由双曲线定义知，，则，，
所以，过作双曲线一条渐近线的垂线垂足为，交右支于点，
此时最小且最小值为，易求焦点到渐近线的距离为
即，所以，即，，
可求离心率．
故答案为：．
33．（2020秋•杨浦区校级期末）如果是椭圆上的动点，是椭圆上的动点，那么面积的最大值为 12 ．
【解析】解：面积
，
设，，，，
可得，
所以，
由题意可设，，
则，
当时，即，时，取得最大值12．
故答案为：12．
34．（2020秋•杨浦区校级期末）已知方程有两个不等的实根，则实数的取值范围为 ．
【解析】解：根据题意画出图形，如图所示：
表示一条直线，方程右边，
当直线与半圆相切时，圆心到直线的距离，即，
解得：或（舍去），
则当直线与半圆有两个公共点，
即方程方程有两个不等的实根，
此时的取值范围为．
故答案为：．
35．（2020秋•杨浦区校级期末）已知，，，为圆上的两点，且，设，为弦上一点，且，则的最小值为 ．
【解析】解：由题设可得：，，，，
，，即，
，
，，，为圆上的两点，且，
，即，
点的轨迹为圆，
又，其几何意义为圆上一点到直线的距离的5倍，
又圆的圆心到直线的距离，
圆上一点到直线的距离的最小值为，
，
故答案为：．
36．（2020秋•大兴区期末）如图，在四面体中，其棱长均为1，，分别为，的中点．若，则 ；直线和的夹角为 ．
【解析】解：由，分别为，的中点可得，，
，
而，所以，，
．
连接、，在四面体中，其棱长均为1，
所以，而，
所以，
取的中点，，所以即为直线和的夹角，
在三角形中，，，
所以，
即直线和的夹角为．
故答案为：，．
37．（2020秋•大兴区期末）将一枚均匀的硬币连续抛掷次，以表示没有出现连续3次正面的概率．给出下列四个结论：
①；
②；
③当时，；
④．
其中，所有正确结论的序号是 ①③④ ．
【解析】解：对于①，将一枚均匀的硬币连续抛掷次，
以表示没有出现连续3次正面的概率，
，故①正确；
对于②，又投掷四次连续出现三次正面向上的情况只有：
正正正正或正正正反或反正正正，，故②错误；
对于④，共分三种情况：如果第次出现反面，
那么前次不出现连续三次正面和前次不出现连续三次正面是相同的，
这个时候不出现连续三次正面的概率是；
如果第次出现正面，第次出现反面，
那么前次不出现连续三次正面和前次不出现连续三次正面是相同的，
这个时候不出现连续三次正面的概率是；
如果第次出现正面，第次出现正面，第次出现反面，
那么前次不出现连续三次正面和前次不出现连续三次正面是相同的，
这时候不出现三次连续正面的概率是，
综上，，故④正确；
对于③，由④知，时，单调递减，又，
时，数列单调递减，即当时，，故③正确．
故答案为：①③④．
38．（2020秋•大通县期末）如图，四边形和均为正方形，它们所在的平面互相垂直，，分别为的，中点，是边靠近的三等分点，则直线与平面所成角的正切值为 ；异面直线与所成角的余弦值是 ．
【解析】解：由，，两两垂直，分别以，，所在的直线为，，轴，
建立空间直角坐标系如图所示：
不妨设，则，0，，，0，，，4，，，3，，
所以，
其中平面的一个法向量为，
所以与平面所成角的正弦值为，
所以；
又同量与所成角的余弦值为，
且，
所以异面直线与所成角的余弦值是．
故答案为：，．
39．（2020秋•海淀区期末）已知圆，直线，点，点．给出下列4个结论：
①当，直线与圆相离；
②若直线圆的一条对称轴，则；
③若直线上存在点，圆上存在点，使得，则的最大值为；
④为圆上的一动点，若，则的最大值为．
其中所有正确结论的序号是 ①②④ ．
【解析】解：当时，直线，
故圆的半径小于点到直线的距离，
所以当，直线与圆相离，故选项①正确；
因为圆的对称轴过圆心，故直线过点，
又直线，所以，故选项②正确；
考虑极限情况：，为切点时比，为割点时的更大，
故直线的斜率最大时，点，均应为切点，过作圆的切线，
则，
所以，故选项③错误；
设，，
则的中点，，
而，则点为以为直径的圆上，
设半径为，，则，
所以最大时应该是点的纵坐标加半径，即，
令，，，
令，得，，
，当时，，
所以的最大值为，故选项④正确；
故答案为：①②④．
40．（2020秋•丰台区期末）如果数列满足为常数），那么数列叫做等比差数列，叫做公比差．给出下列四个结论：
①若数列满足，则该数列是等比差数列；
②数列是等比差数列；
③所有的等比数列都是等比差数列；
④存在等差数列是等比差数列．
其中所有正确结论的序号是 ①③④ ．
【解析】解：根据题意，数列满足，则，
所以数列是等比差数列，故选项①正确；
对于数列，则不是常数，
所以数列不是等比差数列，故选项②错误；
由等比数列的定义可知，，
所以，
所以所有的等比数列都是等比差数列，故选项③正确；
设等差数列为，公差为，
所以，
当时，则，所以存在等差数列是等比差数列，故选项④正确．
故选：①③④．
41．（2020秋•西青区期末）已知抛物线的焦点为，准线为，过点的直线与抛物线交于两点，，，．
①抛物线焦点到准线的距离为2；
②若，则；
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