2021年新高考数学名校地市选填压轴题好题汇编（十七）（原卷版+解析版）

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1．（2021•房山区一模）祖暅是我国南北朝时代伟大的科学家，他在实践的基础上提出了体积计算的原理：“幂势既同，则积不容异”．意思是，如果两个等高的几何体在同高处截得的截面面积恒等，那么这两个几何体的体积相等．此即祖暅原理．利用这个原理求球的体积时，需要构造一个满足条件的几何体，已知该几何体三视图如图所示，用一个与该几何体的下底面平行相距为的平面截该几何体，则截面面积为
A．B．C．D．
2．（2021•房山区一模）已知等差数列的前项和为，且，，则下面结论错误的是
A．B．
C．D．与均为的最小值
3．（2021•海淀区一模）我国魏晋时期的数学家刘徽创造了一个称为“牟合方盖”的立体图形来推算球的体积，如图1，在一个棱长为的立方体内作两个互相垂直的内切圆柱，其相交的部分就是牟合方盖，如图2，设平行于水平面且与水平面距离为的平面为，记平面截牟合方盖所得截面的面积为，则函数的图象是
A．B．
C．D．
4．（2021•西城区一模）抛物线具有以下光学性质：从焦点出发的光线经抛物线反射后平行于抛物线的对称轴．该性质在实际生产中应用非常广泛．如图，从抛物线的焦点发出的两条光线，分别经抛物线上的，两点反射，已知两条入射光线与轴所成锐角均为，则两条反射光线和之间的距离为
A．B．C．D．
5．（2021•西城区一模）若非空实数集中存在最大元素和最小元素，则记△．下列命题中正确的是
A．已知，，，，且△△，则
B．已知，，，，则存在实数，使得△
C．已知，，，若△，则对任意，，都有
D．已知，，，，则对任意的实数，总存在实数，使得△
6．（2021•怀柔区一模）形状、节奏、声音或轨迹，这些现象都可以分解成自复制的结构．即相同的形式会按比例逐渐缩小，并无限重复下去，也就是说，在前一个形式中重复出现被缩小的相同形式，依此类推，如图所示，将图1的正三角形的各边都三等分，以每条边中间一段为边再向外做一个正三角形，去掉中间一段得到图2，称为“一次分形”；用同样的方法把图2中的每条线段重复上述操作，得到图3，称为“二次分形”；依次进行“次分形”，得到一个周长不小于初始三角形周长100倍的分形图，则最小值是 （取，
A．15B．16C．17D．18
7．（2021•沙坪坝区校级模拟）已知正实数，满足，则的最小值为
A．2B．4C．D．
8．（2021•香坊区校级二模）已知抛物线与双曲线有共同的焦点，为坐标原点，在轴上方且在双曲线上，则的最小值为
A．B．C．D．
9．（2021•香坊区校级二模）设函数在内有意义，对于给定的正数，已知函数，取函数，若对任意的，恒有，则的最小值为
A．1B．2C．3D．4
10．（2021•厦门一模）铸于明嘉靖十二年的泰山岱庙铁塔，造型质朴雄伟，原有十三级，抗日战争中被日军飞机炸毁，现仅存三级，它的底座是近似圆形的，如图1．我国古代工匠已经知道，将长方体砖块以某个固定的角度相接就可砌出近似圆形的建筑，现存铁塔的底座是用10块一样的长方体砖块砌成的近似圆形的墙面，每块长方体砖块底面较长的边长为1个单位，相邻两块砖之间的夹角固定为，如图2，则此近似圆形墙面内部所能容纳最大圆的半径是
A．B．C．D．
11．（2021•河南模拟）已知双曲线的右焦点为，过点且垂直于轴的直线与双曲线的渐近线交于点在第一象限内），以为直径的圆与双曲线的另一条渐近线交于点，若，则双曲线的离心率为
A．B．C．D．2
12．（2021•香坊区校级二模）已知定义域为的函数在，单调递减，且，则使得不等式成立的实数的取值范围是
A．B．或C．或D．或
13．（2021•香坊区校级二模）已知函数定义在上的奇函数，当时，，给出下列命题：
①当时，；
②函数有2个零点；
③的解集为，，；
④，，都有．
其中正确的命题是
A．①③B．②③C．②④D．③④
14．（2021•香坊区校级二模）若点的坐标为，点为抛物线上的动点，是拋物线的焦点，当周长取得最小值时的面积为
A．B．C．D．3
15．（2021•道里区校级二模）设函数，为自然对数的底数），若曲线上存在点，，使得，则的取值范围是
A．，B．，C．，D．，
16．（2021•道里区校级二模）设为坐标原点，直线与双曲线的两条渐近线分别交于，两点，若的面积为8，则的焦距的最小值为
A．32B．16C．8D．4
17．（2021•大庆一模）由抛物线绕它的对称轴旋转所得到的曲面叫抛物面，用于加热水和食物的太阳灶应用了抛物线的光学性质：一束平行于抛物线轴的光线，经过抛物面的反射集中于它的焦点．用一过抛物线轴的平面截抛物面，将所截得的抛物线放在直角坐标系中，对称轴与轴重合，顶点与原点重合，如图，若抛物线过点，平行于对称轴的光线经过点反射后，反射光线交抛物线于点，则线段的中点到准线的距离为
A．B．C．D．2
18．（2021•大庆一模）已知，函数在上单调递增，则的取值范围是
A．，B．C．D．
19．（2021•大庆一模）已知函数，则函数零点的个数是
A．6B．5C．4D．3
20．（2021•齐齐哈尔一模）在等腰梯形中，，且，，若双曲线以，为焦点，且过，两点，则双曲线的离心率的取值范围为
A．B．C．D．
21．（2021•齐齐哈尔一模）若直角坐标平面内，两点满足：
①点，都在函数的图象上；
②点，关于原点对称，则称点是函数的一个“姊妹点对”．点对与可看作是同一个“姊妹点对”．
已知函数．恰有两个“姊妹点对”，则实数的取值范围是
A．B．C．D．
22．（2021•临汾模拟）已知圆．若直线上存在点，过点作圆的两条切线，切点为，，使得，则的取值范围是
A．B．，，C．D．，
23．（2021•临汾模拟）点，，，在同一个球的球面上，，，若四面体体积的最大值为，则这个球的表面积为
A．B．C．D．
24．（2021•山西一模）函数有两个零点，则的取值范围为
A．B．C．D．
25．（2021•山西一模）已知数列中，，，对于，且，有，若，，且，互质），则等于
A．8089B．8088C．8087D．8086
26．（2021•山西一模）一个圆锥的底面圆周和顶点都在一个球面上，已知圆锥的底面面积与球面面积比值为，则这个圆锥体积与球体积的比值为
A．B．C．或D．或
27．（2021•宝鸡二模）已知双曲线的左、右焦点分别为，，为坐标原点，为双曲线在第一象限上的点，直线，分别交双曲线的左，右支于另一点，，若，且，则双曲线的离心率为
A．B．3C．2D．
28．（2021•宝鸡二模）如图是一个底面半径和高都是1的圆锥形容器，匀速给容器注水，则容器中水的体积是水面高度的函数，若正数，满足，则（a）（b）的最小值为
A．B．C．D．
29．（2020•黑龙江二模）已知双曲线与函数的图象交于点，若函数的图象与点处的切线过双曲线左焦点，则双曲线的离心率是
A．B．C．D．
30．（2020•定远县模拟）已知函数，若关于的方程恰有三个不相等的实数解，则的取值范围是
A．，B．C．，D．，
31．（2021•未央区校级模拟）如图所示，在直角梯形中，，、分别是、上的点，，且（如图．将四边形沿折起，连结、、（如图．在折起的过程中，下列说法中错误的个数是
①平面；
②、、、四点不可能共面；
③若，则平面平面；
④平面与平面可能垂直．
A．0B．1C．2D．3
二．多选题（共2小题）
32．（2021•沙坪坝区校级模拟）已知等比数列首项，公比为，前项和为，前项积为，函数，若，则
A．为单调递增的等差数列
B．
C．为单调递增的等比数列
D．使得成立的的最大值为6
33．（2020•聊城一模）已知直线与抛物线相交于，两点，点是抛物线的准线与以为直径的圆的公共点，则下列结论正确的是
A．B．
C．D．的面积为
三．填空题（共17小题）
34．（2021•房山区一模）设函数的定义域为，若对任意，存在，使为常数）成立，则称函数在上的“半差值”为．下列四个函数中，满足所在定义域上“半差值”为2的函数是 （填上所有满足条作的函数序号）．
①；②；③；④．
35．（2021•海淀区一模）若实数，满足方程组，则的一个值是 ．
36．（2021•海淀区一模）对平面直角坐标系中的两组点，如果存在一条直线使这两组点分别位于该直线的两侧，则称该直线为“分类直线”，对于一条分类直线，记所有的点到的距离的最小值为，约定：越大，分类直线的分类效果越好，某学校高三（2）出的7位同学在2020年期间网购文具的费用（单位：百元）和网购图书的费用（单位：百元）的情况如图所示，现将，，和归为第Ⅰ组点，将，和归为第Ⅱ组点，在上述约定下，可得这两组点的分类效果最好的分类直线，记为．给出下列四个结论：
①直线比直线的分类效果好；
②分类直线的斜率为2；
③该班另一位同学小明的网购文具与网购图书的费用均为300元，则小明的这两项网购花销的费用所对应的点与第Ⅱ组点位于的同侧；
④如果从第Ⅰ组点中去掉点，第Ⅱ组点保持不变，则分类效果最好的分类直线不是．
其中所有正确结论的序号是 ．
37．（2021•西城区一模）长江流域水库群的修建和联合调度，极大地降低了洪涝灾害风险，发挥了重要的防洪减灾效益．每年洪水来临之际，为保证防洪需要、降低防洪风险，水利部门需要在原有蓄水量的基础上联合调度，统一蓄水，用蓄满指数（蓄满指数来衡量每座水库的水位情况．假设某次联合调度要求如下：
（ⅰ）调度后每座水库的蓄满指数仍属于区间，；
（ⅱ）调度后每座水库的蓄满指数都不能降低；
（ⅲ）调度前后，各水库之间的蓄满指数排名不变．
记为调度前某水库的蓄满指数，为调度后该水库的蓄满指数，给出下面四个关于的函数解析式：
①；②；③；④．
则满足此次联合调度要求的函数解析式的序号是 ．
38．（2021•西城区一模）已知函数，若对任意都有为常数），则常数的一个取值为 ．
39．（2021•怀柔区一模）如图，在直角梯形中，，，，，，为线段上一个动点，设，，对于函数给出下列四个结论：
①当时，函数的值域为，；
②，都有（1）成立；
③，函数的最大值都等于4；
④，函数的最小值为负数．
其中所有正确结论的序号是 ．
40．（2021•沙坪坝区校级模拟）在长方体中，底面是边长为4的正方形，侧棱，点是的中点，点是侧面内的动点（包括四条边上的点），且满足，则四棱锥的体积的最大值是 ．
41．（2020•绵阳模拟）2019年10月1日，在庆祝新中国成立70周年阅兵中，由我国自主研制的军用飞机和军用无人机等参阅航空装备分秒不差飞越天安门，状军威，振民心，令世人瞩目．飞行员高超的飞行技术离不开艰苦的训练和科学的数据分析．一次飞行训练中，地面观测站观测到一架参阅直升机以千米小时的速度在同一高度向正东飞行，如图，第一次观测到该飞机在北偏西的方向上，1分钟后第二次观测到该飞机在北偏东的方向上，仰角为，则直升机飞行的高度为 （结果保留根号）．
42．（2021•香坊区校级二模）如图，在中，，是边上的高，若，则的面积为 ．
43．（2021•香坊区校级二模）直线过双曲线的右焦点，且与双曲线在第一象限的交点为，为原点，，则双曲线的左焦点的坐标为 ；离心率为 ．
44．（2021•道里区校级二模）设，，分别为内角，，的对边．已知，则 ，的取值范围为 ．
45．（2021•大庆一模）如图，已知正方体，点，，分别是，，的中点，与平面 （填“平行”或“不平行” ；在正方体的12条面对角线中，与平面平行的面对角线有 条．
46．（2021•齐齐哈尔一模）将正整数排成如下数阵：
用表示第行第列的数，若，则的值为 ．
47．（2021•临汾模拟）已知函数．若存在，使得，则的取值范围是 ．
48．（2021•山西一模）已知抛物线的焦点为，点，，点的直线与此抛物线交于，，两点，若且，则 ．
49．（2021•宝鸡二模）一个多面体的顶点是四个半径为且两两外切的球的球心，则该多面体内切球的半径为 ；内切球的体积为 ．
50．（2020•东莞市一模）已知三棱锥中，，，，，面面，则此三棱锥的外接球的表面积为 ．