2023-2024学年河南省周口市鹿邑县高一（上）期末数学试卷(含详细答案解析)

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这是一份2023-2024学年河南省周口市鹿邑县高一（上）期末数学试卷(含详细答案解析)，共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.设集合A={x|−12A. {x|−1≤x<2}B. {x|x<2}
C. {x|−122.若p：a>3，q：关于x的方程x2+ax+1=0有两个不相等的实数根，则p是q成立的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
3.存在x∈[0,3]，使得不等式x2−4x−a≥0成立，则实数a的取值范围为( )
A. a≤−3B. a≤0C. −3≤a≤0D. 0≤a≤3
4.已知x>0，y>0，且2x+y=xy，则x+2y的最小值为( )
A. 8B. 8 2C. 9D. 9 2
5.设函数f(x)=lg12(x2−ax+3)在(2,3)上单调递减，则a的取值范围是( )
A. [72,4]B. (−∞,72]C. [4,+∞)D. [6,+∞)
6.已知π4<α<3π4，sin(α−π4)=45，csα=( )
A. 210B. − 210C. 7 210D. −7 210
7.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示，则f(1)的值为( )
A. − 3
B. −1
C. 1
D. 3
8.已知函数f(x)=2−|x|，g(x)=x2，设函数L(x)=f(x),f(x)≤g(x)g(x),f(x)>g(x)，则下列说法错误的是( )
A. L(x)是偶函数B. 函数L(x)有两个零点
C. L(x)在区间(−1,0)上单调递减D. L(x)有最大值，没有最小值
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.下列计算成立的是( )
A. lg28−lg24=lg24=2B. lg35+lg34=lg39=2
C. lg2+lg5=lg10=1D. lg223=3lg22=3
10.下列说法中正确为( )
A. 已知函数f(x)=2x2−ax+3，若∀x∈R，有f(1−x)=f(1+x)成立，则实数a的值为4
B. 若关于x的不等式kx2−6kx+k+8≥0恒成立，则k的取值范围为0C. 设集合M={1,2}，N={a2}，则“a=1”是“N⊆M”的充分不必要条件
D. 函数f(x)=|x|与函数g(x)=( x)2是同一个函数
11.已知f(x)=sin(ωx+π3+φ)(ω>0,|φ|<π2)为偶函数，g(x)=sin(ωx+φ)，则下列结论正确的是( )
A. φ=π6
B. 若g(x)的最小正周期为3π，则ω=23
C. 若g(x)在区间(0,π)上有且仅有3个最值点，则ω的取值范围为(73,103]
D. 若g(π4)= 32，则ω的最小值为2
12.已知函数f(x)=a⋅(14)|x|+b的图象过原点，且无限接近直线y=3，但又不与该直线相交，则( )
A. a=−3，b=3
B. f(x)的值域为(0,3)
C. 若f(x)=f(y)，且x≠y，则x+y=0
D. 若x三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.命题p：∀x>0，ex>1，则命题p的否定是______.
14.已知函数f(x)=−x3,x≤02x,x>0，则f[f(−1)]=______.
15.函数y=2cs(2x−π3)在x∈[π3,5π6]的值域是______.
16.写出一个同时满足下列条件的函数f(x)，如f(x)=__________.
①函数f(x)是奇函数；
②函数f(x)的最小正周期是12.
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知命题p：x∈[1,3]；命题q：m(1)若命题p是命题q的充分条件，求m的取值范围；
(2)当m=2时，已知p且q是假命题，p或q是真命题，求x的取值范围.
18.(本小题12分)
已知函数f(x)=2cs(π−x)cs(π2+x)+sin(−x)sin(3π2+x)2cs(2π−x)cs(π+x).
(Ⅰ)化简f(x)；
(Ⅱ)若f(α)=−3，求tan(α+π4)的值．
19.(本小题12分)
已知函数f(x)=cs2x+ 3sinxcsx−12(x∈R).
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)讨论f(x)在区间[−π4,π4]上的单调性；
20.(本小题12分)
已知函数f(x)=x−mnx2+1是定义在[−1,1]上的奇函数，且f(1)=12.
(1)求m，n的值；
(2)判断f(x)在[−1,1]上的单调性，并用定义证明．
21.(本小题12分)
已知函数f(x)=ax2+bx−5，f(x)的图象关于直线x=2对称，f(−1)=0.
(1)求f(x)的解析式；
(2)若函数f(x)在区间[t,t+3]上的最小值为−8，求t的值．
22.(本小题12分)
已知函数f(x)=sin2x+csx−a.
(1)求f(x)在[π2,π]上的值域；
(2)当a>0时，已知g(x)=alg2(x+3)−2，若∀x1∈[1,5],∃x2∈[π2,π]，使得g(x1)≥f(x2)，求a的取值范围.
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：由集合A={x|−12把两集合的x的范围画在数轴上，如图所示：
则A∩B={x|−12故选：C.
分别把集合A和集合B中x的范围表示在数轴上，根据交集的定义即可得到两集合的交集．
此题考查了交集的运算，考查了数形结合的数学思想，是一道基础题．
2.【答案】A
【解析】解：由Δ=a2−4>0，解得a>2或a<−2，
由于a>3⇒a>2或a<−2，但a>2或a<−2不能推出a>3，
故p是q成立的充分不必要条件．
故选：A.
根据方程有两个不相等的实数根，得到a>2或a<−2，进而判断出答案．
本题考查充分不必要条件的应用，属于基础题．
3.【答案】B
【解析】解：存在x∈[0,3]，使得不等式x2−4x−a≥0成立，等价于a≤(x2−4x)max.
令y=x2−4x，x∈[0,3]，
当x=0时，ymax=0，
所以a≤0.
故选：B.
分离参数结合二次函数的单调性求最值即可．
本题考查二次不等式的解法，属于中档题．
4.【答案】C
【解析】解：x>0，y>0，且2x+y=xy，可得：1x+2y=1，
则x+2y=(x+2y)(1x+2y=)=5+2xy+2yx≥5+2 2xy⋅2yx=5+4=9，当且仅当x=y=3，取得最小值9.
故选：C.
由条件可得1x+2y=1，x+2y=(x+2y)(1x+2y=)=5+2xy+2yx，运用基本不等式即可得到所求最小值．
本题考查最值的求法，注意运用乘1法和基本不等式，考查变形的技巧和运算能力，属于基础题．
5.【答案】B
【解析】解：令u=x2−ax+3，因为函数y=lg12u在(0,+∞)上为减函数，
且函数f(x)=lg12(x2−ax+3)在(2,3)上单调递减，
所以，函数u=x2−ax+3在(2,3)上为增函数，所以a2≤2，解得a≤4，
且u>0在(2,3)上恒成立，则u|x=2=4−2a+3=7−2a≥0，解得a≤72.
所以，a的取值范围是(−∞,72].
故选：B.
令u=x2−ax+3，利用复合函数的单调性可知函数u=x2−ax+3在(2,3)上为增函数，且u>0在(2,3)上恒成立，由此可得出关于实数a的不等式组，由此可求得实数a的取值范围．
本题考查复合函数的单调性，属于中档题．
6.【答案】B
【解析】解：∵π4<α<3π4，
∴π2<α+π4<π，
∵sin(α−π4)=45，
∴cs(α+π4)=−45.
∴sin(α+π4)= 1−cs2(α+π4)=35，
∴csα=cs[(α+π4)−π4]=cs(π4+α)csπ4+sin(π4+α)sinπ4=−45× 22+35× 22=− 210.
故选：B.
依题意，利用同角三角函数间的关系式可求得sin(α+π4)= 1−cs2α=35，再利用两角差的正弦即可求得csα的值．
本题考查两角和与差的余弦函数，考查同角三角函数间的关系式的应用，考查运算求解能力，属于中档题．
7.【答案】B
【解析】解：根据题中所给图象可知，函数f(x)的最小正周期T=2×(23+13)=2，
A=2，ω=2πT=π，f(23)=2sin(π×23+φ)=−2，2π3+φ=kπ−π2，k∈Z，
φ=kπ−7π6，k∈Z，又0<φ<π，∴φ=5π6，
∴f(x)=2sin(πx+5π6)，∴f(1)=2sin(π+5π6)=−1.
故选：B.
根据三角函数图象确定解析式，再求f(1)即可．
本题考查三角函数的性质，属于基础题．
8.【答案】B
【解析】解：在同一直角坐标系中，画出函数f(x)=2−|x|，g(x)=x2的图象，
从而得函数L(x)=f(x),f(x)≤g(x)g(x),f(x)>g(x)图象，如图实线部分：
对于A，∵函数L(x)图象关于y轴对称，∴L(x)是偶函数，故A正确；
对于B，根据零点的定义结合函数L(x)的图象知，函数L(x)有三个零点，分别为±2，0，故B错误；
对于C，从函数L(x)图象观察得L(x)在区间(−1,0)上单调递减，故C正确；
对于D，从函数L(x)图象观察得L(x)有最大值，没有最小值，故D正确．
故选：B.
画出函数L(x)的图象，数形结合对各个选项逐个判断即可．
本题考查分段函数的应用，考查数形结合思想，是中档题．
9.【答案】CD
【解析】【分析】
本题考查了对数运算性质应用，属于基础题．
由对数运算性质依次化简四个选项即可．
【解答】
解：lg28−lg24=lg22=1，
故选项A错误；
lg35+lg34=lg320≠2，
故选项B错误；
lg2+lg5=lg10=1，
故选项C正确；
lg223=3lg22=3，
故选项D正确；
故选：CD.
10.【答案】AC
【解析】解：对于A：由于∀x∈R，有f(1−x)=f(1+x)成立，故f(x)=2x2−ax+3的对称轴为x=1，故a4=1，解得a=4，故A正确；
对于B：当k=0时，kx2−6kx+k+8≥0即为8≥0，显然恒成立，故0对于C：若N⊆M，则a2=1，或a2=2，解得a=±1，或± 2，所以{1}⊂{−1,1,− 2, 2}，所以“a=1”是“N⊆M”的充分不必要条件，故C正确；
对于D：因为f(x)的定义域为R，g(x)的定义域为[0,+∞),两函数定义域不同，故不是同一个函数，故D错误．
故选：AC.
根据函数的对称性性质、一元二次不等式恒成立的处理方法、条件的充分性与必要性的判断思路、相等函数的概念逐项判断．
本题考查命题真假的判断方法，以及二次函数的对称性、恒成立问题，相等函数的概念等，属于中档题．
11.【答案】ABC
【解析】解：f(x)为偶函数得f(0)=1，即sin(φ+π3)=1，
可知φ=π6，则g(x)=sin(ωx+π6)，A正确；
由T=3π=2πω，得ω=23，B正确；
对于C，x∈(0,π)，令t=ωx+π6∈(π6,ωπ+π6)，若g(x)在区间(0,π)上有且仅有3个最值点，
则y=sint的极值点为π2，3π2，5π2，所以有5π2<ωπ+π6≤7π2，解得73<ω≤103，C正确；
由g(π4)= 32得πω4+π6=π3+2kπ或2π3+2kπ，k∈Z，
由πω4+π6=π3+2kπ或πω4+π6=2π3+2kπ，k∈Z，当k=0时，ω=23或2，D错误．
故选：ABC.
f(x)为偶函数得f(0)=1，可知φ=π6，则g(x)=sin(ωx+π6)，再利用正弦型三角函数的周期、单调性与最值等性质求解即可．
本题考查正弦型三角函数函数的单调性、最值以及周期性等性质和性质的应用，属于中档题．
12.【答案】AC
【解析】解：因为函数f(x)=a⋅(14)|x|+b的图像过原点，所以f(0)=a+b=0，即b=−a，
所以f(x)=a⋅(14)|x|−a=a[(14)|x|−1]，
因为(14)|x|∈(0,1],所以(14)|x|−1∈(−1,0],
所以当a>0时，f(x)∈(−a,0]；当a<0时，f(x)∈[0,−a),
又因为f(x)的图像无限接近直线y=3，但又不与该直线相交，
所以a=−3，b=3，所以f(x)=−3(14)|x|+3，故A正确；
因为(14)|x|∈(0,1],所以f(x)=−3(14)|x|+3∈[0,3),故B错误；
因为f(x)=−3(14)|x|+3的定义域为R，所以当x<0时，f(x)=3−3⋅4x单调递减；
当x>0时，f(x)=−3(14)x+3单调递增，
又因为f(−x)=−3(14)|−x|+3=−3(14)|x|+3=f(x)，所以f(x)为偶函数，
所以若f(x)=f(y)，且x≠y，则x=−y，即x+y=0，故C正确；
由于在(−∞,0)上，f(x)=3−3⋅4x单调递减，故若xf(y)，故D错误．
故选：AC.
由函数f(x)的图像经过原点，结合指数函数的性质分析可得a，b的值，即可判断选项A的正误；可得函数f(x)的解析式，求函数f(x)的值域，分析函数f(x)的奇偶性和单调性判断选项B，C，D的正误．
本题考查指数函数的图像与性质，考查学生的逻辑思维能力，属中档题．
13.【答案】∃x0>0，ex0≤1
【解析】解：命题为全称命题，则命题的否定为∃x0>0，ex0≤1，
故答案为：∃x0>0，ex0≤1.
根据含有量词的命题的否定即可得到结论．
本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．
14.【答案】2
【解析】解：∵函数f(x)=−x3,x≤02x,x>0，
∴f(−1)=−(−1)3=1，
f[f(−1)]=f(1)=21=2.
故答案为：2.
利用函数的性质求解．
本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要注意函数性质的合理运用．
15.【答案】[−2,1]
【解析】解：对于函数y=2cs(2x−π3)，当x∈[π3,5π6] 时，2x−π3∈[π3,4π3]，
cs(2x−π3)∈[−1,12]，故函数y的值域是[−2,1]，
故答案为：[−2,1].
由题意，利用余弦函数的定义域和值域，得出结论．
本题主要考查余弦函数的定义域和值域，属于基础题．
16.【答案】sin4πx或tan2πx(答案不唯一)
【解析】【分析】
本题考查函数的奇偶性与周期性，属于基础题．
由函数为奇函数，令f(x)=sinωx，ω>0或f(x)=tanωx，ω>0，由最小正周期求出ω，得到答案．
【解答】
解：不妨令f(x)=sinωx，ω>0，
故2πω=12，解得ω=4π，
故f(x)=sin4πx，
也可令f(x)=tanωx，ω>0，
故πω=12，解得ω=2π，
故f(x)=tan2πx.
故答案为：sin4πx或tan2πx(答案不唯一).
17.【答案】解：(1)由已知可得，m<12m+3≥3，解得0≤m<1，即m的取值范围是[0,1)；
(2)当m=2时，命题q：2因为p且q是假命题，p或q是真命题，
所以，命题p与命题q一真一假．
当p真q假时，
有1≤x≤3x≤2或1≤x≤3x>7，
所以有1≤x≤2；
当p假q真时，
有x<1232所以有3综上所述，x的取值范围是[1,2]∪(3,7].
【解析】(1)根据已知列出不等式组，求解即可得出答案；
(2)由已知可得q：2本题考查命题真假的应用，属于基础题．
18.【答案】解：(I)f(x)=2cs(π−x)cs(π2+x)+sin(−x)sin(3π2+x)2cs(2π−x)cs(π+x).
=−2csx(−sinx)−sinx(−csx)2csx(−csx)，
=2sinxcsx+sinxcsx−2cs2x，
=3sinx−2csx，
=−32tanx，
(II)因为f(α)=−32tanα=−3，
∴tanα=2，
tan(α+π4)=tanα+11−tanα=−3
【解析】(I)由已知结合诱导公式进行化简即可；
(II)由已知结合两角和的正切公式即可求解．
本题主要考查了诱导公式，和差角公式在三角求值中的应用，属于基础试题．
19.【答案】解：(1)f(x)=12+12cs2x+ 32sin2x−12=sin(2x+π6)，
∴T=π；
(2)依题意，令−π2+2kπ≤2x+π6≤π2+2kπ,k∈Z，
解得−π3+kπ≤x≤π6+kπ,k∈Z，
∴f(x)的单调递增区间为[−π3+kπ,π6+kπ],k∈Z；
设A=[−π4,π4],B=[−π3+kπ,π6+kπ]，易知A∩B=[−π4,π6]，
∴当x∈[−π4,π4]时，f(x)在区间[−π4,π6]上单调递增，区间(π6,π4]上单调递减．
【解析】(1)化简可得f(x)=sin(2x+π6)，进而求得最小正周期；
(2)先求得f(x)的单调递增区间为[−π3+kπ,π6+kπ],k∈Z，进而求得f(x)在区间[−π4,π4]上的单调性．
本题考查三角函数的恒等变换，以及三角函数的图象及性质，考查运算化简能力，属于基础题．
20.【答案】解：(1)根据题意，函数f(x)=x−mnx2+1是定义在[−1,1]上的奇函数，
则f(0)=−m=0，则m=0，
又由f(1)=12，则f(1)=1n+1=12，则n=1，
故m=0，n=1；
(2)f(x)在[−1,1]上为增函数，
证明：设−1≤x1又由−1≤x10，x1x2−1<0，
则f(x1)−f(x2)<0，
函数f(x)在[−1,1]上为增函数．
【解析】(1)根据题意，由奇函数的性质可得f(0)=−m=0，可得m=0，又由f(1)=12可得f(1)=1n+1=12，解可得n的值，即可得答案；
(2)根据题意，利用作差法分析可得答案．
本题考查函数奇偶性的性质以及应用，涉及函数单调性的证明，属于基础题．
21.【答案】解：(1)因为函数的对称轴为x=2，则−b2a=2，
又f(−1)=a−b−5=0，则解得a=1，b=−4，
所以函数的解析式为f(x)=x2−4x−5；
(2)f(x)=x2−4x−5=(x−2)2−9，
当t>2时，函数在[t,t+3]上单调递增，所以f(x)min=f(t)=t2−4t−5=−8，解得t=3或1(舍去)，
当t≤2≤t+3，即−1≤t≤2时，f(x)min=−9≠−8，
当t+3<2，即t<−1时，函数在[t,t+3]上单调递减，所以f(x)min=f(t+3)=(t+3)2−4(t+3)−5=t2+2t−8=−8，解得t=−2或0(舍去)，
综上，实数t的值为3或−2.
【解析】(1)利用函数的对称轴以及f(−1)=0建立方程，即可求出a，b的值，由此即可求解；(2)讨论对称轴与区间的三种位置关系，分别求出函数的最小值，建立方程即可求解．
本题考查了二次函数的图象性质，涉及到分类讨论思想的应用，考查了学生运算求解能力，属于基础题．
22.【答案】解：(1)f(x)=sin2x+csx−a=−cs2x+csx+1−a，x∈[π2,π]，
令t=csx，
则f(t)=−t2+t+1−a=−(t−12)2+54−a，t∈[−1,0]，函数的对称轴为t=12，开口向下，
故当t=−1时，y取得最小值−1−a，当t=0时，y取得最大值1−a，
故f(x)的值域为[−1−a,1−a]；
(2)∀x1∈[1,5],∃x2∈[π2,π]，使得g(x1)≥f(x2)，
则g(x)min≥f(x)min，
由(1)可得，f(x)min=−1−a，
当a>0时，
g(x)=alg2(x+3)−2在[1,5]上单调递增，
当x=1时，g(x)取得最小值g(1)=2a−2，
故2a−2≥−1−a，解得a≥13，
故a的取值范围为[13,+∞).
【解析】(1)根据已知条件，结合二次函数的性质以及换元法，即可求解；
(2)根据已知条件，推得g(x)min≥f(x)min，依次求出二者的最小值，即可求解．
本题主要考查三角函数的最值，考查转化能力，属于中档题．