2023-2024学年河南省周口恒大中学高一（上）期末数学试卷(含详细答案解析)

这是一份2023-2024学年河南省周口恒大中学高一（上）期末数学试卷(含详细答案解析)，共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知sinα>sinβ，sin(π+α)=12,α∈(−π2,0)，β∈(π,32π)，则( )
A. α+β>πB. α+β<πC. α−β≥−32πD. α−β≤−32π
2.已知集合A={−2,−1,0,1,2}，B={−1,0,1,2,3}，则A∩B=( )
A. {−2,3}B. {−1,0}C. {−1,0,1}D. {−1,0,1,2}
3.对∀x∈R，不等式(m2−4)x2+(m−2)x+1m+2>0恒成立，则实数m的取值范围是( )
A. [2,6]B. [2,6)∪{−2}
C. (−∞,−2)∪[2,6)D. [2,6)
4.已知幂函数f(x)=xα的图象经过点A(4,2)，B(16,m)，则m=( )
A. 4B. 8C. ±4D. ±8
5.已知函数f(x)=x2+(4a−3)x+3a, x<0lga(x+1)+1, x≥0(a>0,且a≠1)在R上单调递减，且关于x的方程|f(x)|=2−x恰好有两个不相等的实数解，则a的取值范围是( )
A. (0,23]B. [23,34]C. [13,23]∪{34}D. [13,23)∪{34}
6.已知f(x)是R上的奇函数，且当x>0时，f(x)=x−1，则x<0时f(x)=( )
A. −x−1B. x+1C. −x+1D. x−1
7.命题“∃m∈N， m2+1∈N”的否定是( )
A. ∃m∉N， m2+1∉NB. ∃m∈N， m2+1∉N
C. ∀m∉N， m2+1∉ND. ∀m∈N， m2+1∉N
8.“m=0”是“直线x+y−m=0与圆 (x−1)2+(y−1)2=2相切”的( )
A. 充要条件B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.已知a>0，b>0，2a+b=1则( )
A. ab的最大值为18B. 1a+2b的最小值为6
C. a−18b的最大值为0D. a+18b的最小值为18
10.下列函数中，图象关于y轴对称的是( )
A. f(x)=x4−3x2B. f(x)=csx|x|
C. f(x)=ln( x2+1−1)D. f(x)=x3−3x,x>0x3+3x,x<0
11.若a>0，b>0，且2a+b=1，则下列说法正确的是( )
A. ab有最大值18B. 2a+ b有最大值2
C. 1a+ab有最小值4D. 4a2+b2有最小值 22
12.已知0A. sin(sinx)C. cs(csx)三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知幂函数f(x)=(n2+2n−2)xn2−3n(n∈Z)在(0,+∞)上是减函数，则n的值为______.
14.已知A={x|−2≤x≤4}，B={x|x>a}，A∩B≠⌀，则实数a的取值范围是______.
15.函数f(x)= x+2+1x的定义域是______.
16.下面有四个说法：
(1)a<1且b<1⇒a+b<2且ab<1；
(2)a<1且b<1⇒ab−a−b+1<0；
(3)a>|b|⇒a2>b2；
(4)x>1⇒1x≤1
其中正确的是______.
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
设tanα=2，计算下列各式的值：
(1)2sinα+csα3sinα−csα；
(2)2sin2α−sinαcsα.
18.(本小题12分)
已知角α满足sinα−csα=− 55.
(1)求tanα的值；
(2)若角α是第三象限角，f(α)=sin(α−π)tan(5π+α)cs(π+α)tan(2π−α)cs(−3π2−α)，求f(α)的值.
19.(本小题12分)
已知lg168=a，16b=7，用a，b表示lg3256.
20.(本小题12分)
已知向量a=(cs3x2,sin3x2)，b=(csx2,−sinx2)，函数f(x)=a⋅b−m|a+b|+1，x∈[−π3,π4]，m∈R.
(1)若f(x)的最小值为11，求实数m的值；
(2)是否存在实数m，使函数g(x)=f(x)+2419m2，x∈[−π3,π4]有四个不同的零点？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由.
21.(本小题12分)
已知函数f(x)=4x+k⋅2x+14x+2x+1.
(1)若对任意的x∈R，f(x)>0恒成立，求实数k的取值范围；
(2)若f(x)的最小值为−2，求实数k的值．
22.(本小题12分)
已知函数f(x)=x(ex+ae−x)，
(1)当a=−1时，判断并证明f(x)的奇偶性；
(2)是否存在实数a，使得f(x)是奇函数？若存在，求出a；若不存在，说明理由．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：因为β∈(π,3π2)，
所以π−β∈(−π2,0)，且sin(π−β)=sinβ，
sinα>sinβ，
则sinα>sin(π−β)，得α>π−β，即α+β>π.
故选：A.
根据已知条件，结合正弦函数的单调性，即可求解．
本题主要考查正弦函数的单调性，属于基础题．
2.【答案】D
【解析】解：因为A={−2,−1,0,1,2}，B={−1,0,1,2,3}，
所以A∩B={−1,0,1,2}.
故选：D.
根据集合交集运算求解即可．
本题主要考查了集合交集运算，属于基础题．
3.【答案】D
【解析】解：∵对∀x∈R，不等式(m2−4)x2+(m−2)x+1m+2>0恒成立，
①当m2−4=0且m+2≠0，即m=2时，14>0对x∈R恒成立，
∴m=2满足题意；
②当m≠2且m≠−2时，
则有m2−4>0△=(m−2)2−4(m−2)<0，解得2综合①②，可得2≤m<6，
故实数m的取值范围为[2,6),
故选：D.
对m进行分类讨论，利用二次函数的性质列出不等关系，求解即可得到实数m的取值范围．
本题考查了一元二次不等式的解法，函数的恒成立问题，同时考查了二次函数的相关性质，研究二次函数时，要抓住开口方向，对称轴以及判别式等．属于中档题．
4.【答案】A
【解析】解：幂函数f(x)=xα的图象经过点A(4,2)，B(16,m)，
则4α=2，即22α=2，所以2α=1，解得α=12，
所以f(x)=x12，则m=f(16)=1612=4.
故选：A.
首先求出函数解析式，再代入计算可得．
本题主要考查幂函数的概念，属于基础题．
5.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了方程的解的个数问题，以及参数的取值范围，考查了学生的分析问题和解决问题的能力，以及数形结合的思想．
根据分段函数的单调性判断出a的大致范围，再利用函数的图象，推出a的范围．
【解答】
解：函数f(x)在R上单调递减，
则：3−4a2≥00解得13≤a≤34；
在同一直角坐标系中，画出函数y=|f(x)|和函数y=2−x的图象，如下图：
由图象可知，在[0,+∞)上，|f(x)|=2−x有且仅有一个解，
故在(−∞,0)上，|f(x)|=2−x有且仅有一个解，
当3a>2即a>23时，联立x2+(4a−3)x+3a=2−x，
即x2+(4a−2)x+3a−2=0，x<0，
则Δ=(4a−2)2−4(3a−2)=0，
解得a=34或1(舍去)，
当a=34时，方程可化为(x+12)2=0，x=−12符合题意；
当1≤3a≤2即13≤a≤23时，由图象可知，符合条件，
综上：a的取值范围为[13,23]∪{34}，
故选：C.
6.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了利用函数的奇偶性求解析式，属于基础题．
根据x>0时函数的表达式，可得x<0时f(−x)=−x−1，再利用奇函数的定义，即可算出当x<0时函数f(x)的表达式．
【解答】
解：设x<0，则−x>0，
∵当x>0时，f(x)=x−1，
∴当x<0时，f(−x)=−x−1，
又∵f(x)是R上的奇函数，
∴f(x)=−f(−x)，
∴当x<0时，f(x)=−f(−x)=x+1，
故选B.
7.【答案】D
【解析】解：命题“∃m∈N， m2+1∈N”为存在量词命题，
其否定为：∀m∈N， m2+1∉N.
故选：D.
根据特称量词命题的否定为全称量词命题判断即可．
本题主要考查特称命题的否定，属于基础题．
8.【答案】B
【解析】解：若直线x+y−m=0与圆 (x−1)2+(y−1)2=2相切，
则(1,1)到x+y−m=0的距离是 2，
故|1+1−m| 2= 2，
故|2−m|=2，2−m=±2，
解得：m=0或m=4，
故“m=0”是“直线x+y−m=0与圆 (x−1)2+(y−1)2=2相切”
的充分不必要条件，
故选：B.
求出“m=0”是“直线x+y−m=0与圆 (x−1)2+(y−1)2=2相切”的充要条件，结合集合的包含关系判断即可．
本题考查了充分必要条件，考查直线和圆的位置关系，是一道基础题．
9.【答案】AC
【解析】解：对于A：1=2a+b≥2 2ab，所以ab≤18，当且仅当a=14，b=12时取到等号，A正确；
对于B：1a+2b=(1a+2b)(2a+b)=4+ba+4ab≥4+2 ba×4ab=8，
当且仅当a=14，b=12时取到等号，B错误；
对于C：2a+b=1⇒a=1−b2>0，所以b∈(0,1)，
所以a−18b=1−b2−18b=12−(b2+18b)，
因为b2+18b≥2 b2×18b=12，所以12−(b2+18b)≤12−12=0，
当且仅当a=14，b=12取到等号，C正确；
对于D：a+18b=1−b2+18b=12−18(4b−1b)，
由函数性质易知f(b)=4b−1b在(0,1)单调递增，
所以f(b)=4b−1b12−18×3=18，故D错误．
故选：AC.
A项，直接利用基本不等式；B项，利用“1”的代换；C项，将a表示出来，再利用基本不等式；D项，将a表示出来，利用函数的单调性求最值．
本题考查基本不等式的应用，属于中档题．
10.【答案】ABC
【解析】解：图象关于y轴对称的函数是偶函数．
A：该函数的定义域为全体实数，
因为f(−x)=x4−3x2=f(x)，所以该函数是偶函数，符合题意；
B：该函数的定义域为全体非零实数，
因为f(−x)=csx|x|=f(x)，所以该函数是偶函数，符合题意；
C：该函数的定义域为全体实数，
因为f(−x)=ln( x2+1−1)=f(x)，所以该函数是偶函数，符合题意；
D：f(1)=−2，f(−1)=−4，显然f(1)≠f(−1)，所以该函数不是偶函数，不符合题意．
故选：ABC.
根据偶函数的定义进行逐一判断即可．
本题主要考查了偶函数的定义的应用，属于基础题．
11.【答案】AC
【解析】解：对于A，ab=12×2ab≤12×(2a+b)24=18，当且仅当2a=b=12，即a=14，b=12时取等号，
所以ab有最大值18，故A正确；
对于B，因为2a+b≥2 2ab，所以2(2a+b)≥2a+b+2 2ab=( 2a+ b)2，
所以 2a+ b≤ 2(2a+b)= 2，
当且仅当2a=b=12，即a=14，b=12时取等号，
所以 2a+ b有最大值 2，故B错误；
对于C，1a+ab=2a+ba+ab=2+ba+ab≥2+2 ba⋅ab=4，
当且仅当ba=ab，即a=b=13时取等号，
所以1a+ab有最小值4，故C正确；
对于D，因为4a2+b2≥2×2ab，所以2(4a2+b2)≥4a2+b2+2×2ab=(2a+b)2，
所以4a2+b2≥(2a+b)22=12，当且仅当2a=b=12，即a=14，b=12时取等号，
所以4a2+b2有最小值12，故D错误．
故选：AC.
利用基本不等式逐一判断即可．
本题主要考查了基本不等式及相关结论在最值求解中的应用，属于中档题．
12.【答案】ABD
【解析】解：当0对于A选项，cs(sinx)=sin(π2−sinx)，且π2−sinx∈(π− 22,π2)，
所以，0因为函数y=sinx在(0,π2)上为增函数，故sin(sinx)对于B：因为0因为sinx+csx= 2sin(x+π4)< 2<π2，即0<π2−sinx<π2，
因为函数y=sinx在(0,π2)上为增函数，则sin(csx)对于C选项，因为函数f(x)=π2−2csx在(0,π4)上单调递增，
且f(0)=π2−2，f(π4)= 2，
所以，存在x0∈(0,π4)，使得f(x0)=π2−2csx0=0，则π2−csx0=csx0，
此时，sin(csx0)=sin(π2−csx0)=cs(csx0)，故C错；
对于D选项，因为0因为sinx+csx= 2sin(x+π4)< 2<π2，即0因为函数y=sinx在(0,π2)上为增函数，则sin(sinx)故选：ABD.
利用诱导公式结合正弦函数的单调性可判断A选项；利用辅助角公式结合正弦函数的单调性可判断BD选项；利用零点存在定理结合诱导公式可判断C选项．
本题考查了三角函数单调性的应用，三角函数值域的求解，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属中档题．
13.【答案】1
【解析】解：幂函数f(x)=(n2+2n−2)xn2−3n(n∈Z)中，
令n2+2n−2=1，
解得n=−3或n=1；
又f(x)在(0,+∞)上是减函数，
所以n2−3n<0，
解得0所以n的值为1.
故答案为：1.
根据幂函数的定义和性质，列方程和不等式求出n的值．
本题考查了幂函数的定义与性质的应用问题，是基础题．
14.【答案】a<4
【解析】解：∵A={x|−2≤x≤4}，B={x|x>a}，且A∩B≠⌀，
∴a<4，
故答案为：a<4.
由A与B，以及A与B的交集不为空集，确定出a的范围即可．
此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．
15.【答案】{x|x≥−2且x≠0}
【解析】解：∵函数f(x)= x+2+1x，
∴x+2≥0x≠0，
解得x≥−2且x≠0；
∴函数f(x)的定义域为{x|x≥−2且x≠0}.
故答案为：{x|x≥−2且x≠0}.
根据函数f(x)= x+2+1x解析式，列出是解析式有意义的不等式组，求出解集即可．
本题考查了根据函数的解析式求定义域的应用问题，是基础题目．
16.【答案】(3)(4)
【解析】解：(1)若a=−2，b=−2，满足a<1且b<1，但ab=4<1不成立，所以(1)错误．
(2)因为ab−a−b+1=(a−1)(b−1)，所以若a<1且b<1，则a−1<0，b−1<0，
所以ab−a−b+1>0，所以(2)错误．
(3)因为a>|b|，所以a>0，所以a2>b2；成立．
(4)由x>1，得到0<1x<1，所以1x≤1成立．
故答案为：(3)(4).
分别利用不等式的性质进行判断．
本题主要考查不等式性质的应用，不成立的不等式们可以考虑使用特殊值法．
17.【答案】解：(1)因为tanα=2，所以2sinα+csα3sinα−csα=2tanα+13tanα−1=2×2+13×2−1=1；
(2)因为tanα=2，所以2sin2α−sinαcsα=2sin2α+2cs2αsin2α−sinαcsα
=2tan2α+2tan2α−tanα=2×22+222−2=5.
【解析】(1)弦化切，再利用同角三角函数基本关系式求解即可；
(2)弦化切，再利用同角三角函数基本关系式求解即可．
本题考查了同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
18.【答案】解：(1)由题意和同角三角函数基本关系式，有sinα−csα=− 55sin2α+cs2α=1，
消去sinα得5cs2α− 5csα−2=0，解得csα=2 55或csα=− 55，
当角α是第一象限角时，csα=2 55,sinα= 55,tanα=12，
因为角α是第三象限角，csα=− 55,sinα=−2 55,tanα=2.
(2)由题意可得f(α)=−sinαtanα(−csα)−tanαsinα=−csα，
因为角α是第三象限角，
所以csα=− 55，所以f(α)= 55.
【解析】(1)利用同角三角函数基本关系式列方程组求解即可；
(2)利用诱导公式求解即可．
本题主要考查了同角基本关系在三角函数求值化简中的应用，属于中档题．
19.【答案】解：∵16b=7，∴b=lg167，
∴lg3256=lg1656lg1632=lg168+lg167lg2425=45(a+b).
【解析】由已知可得b=lg167，再利用换底公式化简可得．
本题考查了对数的换底公式的应用，属于基础题．
20.【答案】解：(1)∵a⋅b=cs3x2csx2+sin3x2(−sinx2)=cs2x，
a+b=(cs3x2+csx2,sin3x2−sinx2)，
∴|a+b|= (cs3x2+csx2)2+(sin3x2−sinx2)2= 4cs2x，
∵x∈[−π3,π4]，
∴|a+b|=2csx，
∴f(x)=cs2x−2mcsx+1=2cs2x−2mcsx.
令t=csx∈[12,1]，
∴y=2t2−2mt，
∵ymin=11，对称轴为t=m2，
①当m2<12，即m<1时，当t=12时，ymin=12−m=11，
∴m=−212；
②当12≤m≤1，即1≤m≤2时，当t=m2时，ymin=−m22=11，
∴m∈⌀；
③m2>1，即m>2时，当t=1时，ymin=2−2m=11，
∴m=−92舍去．
综上，m=−212.
(2)令g(x)=f(x)+24m249=0，即2cs2x−2mcsx+24m249=0，
∴csx=3m7或4m7，
∵y=g(x),x∈[−π3,π4]有四个不同的零点，
∴csx=3m7和csx=4m7在x∈[−π3,π4]上共有四个不同的实根，
∴ 22≤3m7<1 22≤4m7<13m7≠4m7，即7 26≤m<737 28≤m<74m≠0，
解得7 26≤m<74.
所以m的取值范围为[7 26,74).
【解析】(1)求出函数f(x)的表达式，利用换元法结合一元二次函数的最值性质进行讨论求解即可．
(2)由g(x)=0得到方程的根，利用三角函数的性质进行求解即可．
本题考查三角函数的性质，函数的零点以及复合函数的应用，属难题．
21.【答案】解：(1)∵4x+2x+1>0，∴f(x)>0恒成立，等价于4x+k⋅2x+1>0恒成立，即k>−2x−2−x恒成立，
∵−2x−2−x=−(2x+2−x)≤−2，当且仅当2x=2−x即x=0时取等号，
∴k>−2；
(2)f(x)=4x+k⋅2x+14x+2x+1=1+k−12x+12x+1，
令t=2x+12x+1⩾3,则y=1+k−1t(t⩾3)，
当k>1时，y∈(1,k+23]无最小值，舍去；
当k=1时，y=1最小值不是−2，舍去；
当k<1时，y∈[k+23,1),最小值为k+23=−2，⇒k=−8；
综上所述，k=−8.
【解析】【试题解析】
本题考查复合函数的单调性、函数的恒成立问题及函数的最值问题，考查转化思想，属于中档题.
(1)将原题进行转化，找到等价于等式，分离出参数k后转化为求函数的最值问题即可；
(2)利用换元法，得到等式y=k−1t+1(t≥3)，分情况讨论求出f(x)的最小值，令其为−2即可求出k值．
22.【答案】解：(1)由于x∈R，当a=−1时，f(x)=x(ex−e−x)，再根据f(−x)=(−x)(e−x−ex)=f(x)，可得f(x)是偶函数．
(2)假设存在实数a使得f(x)是奇函数，
∵f(−x)=(−x)(e−x+aex)，−f(x)=−x(ex+ae−x)，
要使f(−x)=−f(x)对任意x∈R恒成立，即ex+ae−x=e−x+aex恒成立，
故有(a−1)ex=(a−1)e−x，即(a−1)(e2x−1)=0恒成立，
∴a−1=0，
∴a=1，即存在实数a，满足条件．
【解析】(1)根据函数的定义域关于原点对称，且当a=−1时，f(x)=x(ex−e−x)，满足f(−x)=f(x)，可得f(x)是偶函数．
(2)假设存在实数a使得f(x)是奇函数，则应有f(−x)=−f(x)对任意x∈R恒成立，化简得(a−1)(e2x−1)=0恒成立，可得a=1，从而得出结论．
本题主要考查函数的奇偶性的判断和证明，函数的奇偶性的应用，函数的恒成立问题，属于中档题．