2023-2024学年河南省焦作市博爱一中高一（上）期末数学试卷(含详细答案解析)

这是一份2023-2024学年河南省焦作市博爱一中高一（上）期末数学试卷(含详细答案解析)，共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知对一切x∈[2,3]，y∈[3,6]，不等式mx2−xy+y2≥0恒成立，则实数m的取值范围是( )
A. m≤6B. −6≤m≤0C. m≥0D. 0≤m≤6
2.已知a>b>c>d，则下列不等式一定成立的是( )
A. ac>bdB. aec>bed
C. ea⋅ec>eb⋅edD. aln(c−d)>bln(c−d)
3.函数f(x)=(12)−x2+4x−6的单调递减区间是( )
A. (−∞,−2)B. (−∞,2)C. (2,+∞)D. (−2,+∞)
4.函数f(x)=lga(x+1)+lga(1−x)(a>0,a≠1,x∈[0, 22])，若f(x)max−f(x)min=1，则a的值为( )
A. 4B. 4或14C. 2或12D. 2
5.已知f(x)是定义在R上的奇函数，f(1+x)为偶函数，且当0A. f(x)的周期为2
B. f(1)+f(2)+…+f(2023)=3
C. g(x)=f(x)+12x−1的所有零点之和为16
D. f(x)sinπx2≥0
6.有一组样本数据，x1，x2，…，xn，其平均数为a，中位数为b，方差为c，极差为d.由这组数据得到新样本数据，y1，y2，…，yn，其中yi=2xi+8(i=1,2,…，n)，则新样本数据的( )
A. 样本平均数为2aB. 样本中位数为2bC. 样本方差为4cD. 样本极差为2d+8
7.中国茶文化博大精深.茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关.经验表明，有一种茶90℃的水泡制，再等到茶水温度降至60℃时饮用，可以产生最佳口感.某研究人员在室温下，每隔1min测一次茶水温度，得到数据如下：
为了描述茶水温度y℃与放置时间xmin的关系，现有以下两种函数模型供选择：
①y=kax+30(k∈R,0选择最符合实际的函数模型，可求得刚泡好的茶水达到最佳口感所需放置时间大约为(参考数据：lg2≈0.301，lg3≈0.477)( )
A. 5.5minB. 6.5minC. 7.5minD. 8.5min
二、多选题：本题共5小题，共25分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
8.已知函数f(x)=x2+2x−3,x≤0,−2+lnx,x>0,若方程f(x)=k有三个不等的实数解x1，x2，x3且x1A. k∈(−4,−3)B. x3∈(1e2,1e]
C. x1x3+x2x3∈[−2e,−2e2)D. x1x2<1
9.已知函数f(x)，g(x)的定义域均为R，且g(x)=f(4+x)，f(x+y)+f(x−y)=g(x−4)f(y)，g(−3)=1，则下列说法正确的有( )
A. f(1)=1B. f(x)为奇函数C. f(x)的周期为6D. k=12026f(k)=−3
10.已知函数f(x)=ax(a>0,且a≠1)的反函数为g(x)，则( )
A. g(x)=lgax(a>0,且a≠1)且定义域是(0,+∞)
B. 函数f(x)与g(x)的图象关于直线y=x对称
C. 若f(2)=14，则g( 22)=−12
D. 当a>1时，函数f(x)与g(x)的图象的交点个数可能是0，1，2
11.已知函数f(x)=−ax+2,x≥a(x−2)2,xA. 当a=0时，f(x)的最小值为0
B. 若f(x)存在最小值，则a的取值范围为(−∞,0]
C. 若f(x)是减函数，则a的取值范围为(0,2]
D. 若f(x)存在零点，则a的取值范围为(−∞,− 2]∪(0, 2]∪(2,+∞)
12.有一组样本甲的数据xi，一组样本乙的数据2xi+1，其中xi(i=1,2,3,4,5,6,7,8)为不完全相等的正数，则下列说法正确的是( )
A. 样本甲的极差一定小于样本乙的极差
B. 样本甲的方差一定大于样本乙的方差
C. 若样本甲的中位数是m，则样本乙的中位数是2m+1
D. 若样本甲的平均数是n，则样本乙的平均数是2n+1
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知x>0，y>0，m>0，且(mx−y)(1x−1y)=4，则m的最小值为______.
14.若不等式lg1+(3−t)3x4≥(x−1)lg4对于任意x∈(−∞,1)恒成立，则实数t的取值范围是______.
15.函数f(x)=|lnx|,016.若函数f(x)=(12)−x2+2x−2的单调递增开区间为D，对∀x∈D，2x2−2ax+2a2−1>1，则实数a的取值范围是______.
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知集合A={x|x−2x−1<0}，集合B={x|(x+1)(x−a)<0}(a>−1).
(1)当a=3时，求A∩B；
(2)若A⊆B，求a的取值范围.
18.(本小题12分)
平面直角坐标系中，角α的始边与x轴非负半轴重合，终边与单位圆的交点为P(−13,2 23).
(1)求sinα，tan2α；
(2)化解并求值：sin(7π2+α)tan(α−π)cs(α−π2)cs(π−α).
19.(本小题12分)
已知函数f(x)=lga(2−2x)+lga(x+5).
(1)求函数f(x)的定义域；
(2)若函数f(x)的最大值为2，求a的值.
20.(本小题12分)
建设生态文明是关系人民福祉、关乎民族未来的长远大计.某市通宵营业的大型商场，为响应国家节能减排的号召，在气温低于0℃时，才开放中央空调，否则关闭中央空调.如图是该市冬季某一天的气温(单位： ℃)随时间t(0≤t≤24,单位：小时)的大致变化曲线，若该曲线近似满足f(t)=Asin(ωt−2π3)+b(A>0,ω>0)关系.
(1)求y=f(t)的表达式；
(2)请根据(1)的结论，求该商场的中央空调在一天内开启的时长.
21.(本小题12分)
已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示.
(1)求f(x)的解析式；
(2)设函数g(x)= 3f(x)−f(x+π12)，求g(x)的最大值.
22.(本小题12分)
设常数a<0，函数f(x)=2x+a2x−a.
(Ⅰ)判断并证明函数f(x)在R上的单调性；
(Ⅱ)若存在区间[m,n](m答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：∵x∈[2,3]，y∈[3,6]，则1x∈[13,12]，
∴yx∈[1,3]，
又因为mx2−xy+y2≥0恒成立，且x∈[2,3]，x2>0，
可得m≥yx−(yx)2，
令t=yx∈[1,3]，
则原题意等价于对一切t∈[1,3]，m≥t−t2恒成立，
y=t−t2的开口向下，对称轴t=12，
则当t=1时，y=t−t2取到最大值为ymax=1−12=0，
故实数m的取值范围是m≥0.
故选：C.
令t=yx，分析可得原题意等价于对一切t∈[1,3]，m≥t−t²恒成立，根据恒成立问题结合二次函数的性质分析运算，即可得解．
本题主要考查函数恒成立问题，考查转化思想与运算求解能力，属于中档题．
2.【答案】C
【解析】解：对于选项A：不妨令a=2，b=1，c=−2，d=−3，
此时a>b>c>d，
但ac=−4<−3=bd，故选项A错误；
对于选项B：因为c>d，
所以ec>ed，
不妨令a=−ed，b=−ec，
此时a>b，
但aec=−ec+d=−bed，故选项B错误；
对于选项C：由a>b>c>d，
所以ea>eb>ec>ed>0，
则ea⋅ec>eb⋅ed，选项C正确；
对于选项D：若a>b，
不妨令c=2，d=1，
此时c>d，
而aln(c−d)=0=bln(c−d)，故选项D错误．
故选：C.
由题意，利用举例法即可判断选项A，B，D；利用不等式性质和指数函数单调性即可判断选项C.
本题考查不等式性质以及不等式的大小比较，考查了逻辑推理和运算能力．
3.【答案】B
【解析】解：∵y=−x2+4x−6在(−∞,2)上是增函数，
在[2,+∞)上是减函数；
又∵y=(12)x在R上是减函数；
故函数f(x)=(12)−x2+4x−6的单调递减区间是(−∞,2).
故选：B.
利用复合函数的单调性判断函数的单调区间．
本题考查了复合函数的单调性的判断，属于基础题．
4.【答案】C
【解析】解：由题意可得f(x)=lga(1−x2)，
当0由f(x)max−f(x)min=1，可得f( 22)−f(0)=1，
即lga(1−12)−lga(1−0)=1，解得a=12，
当a>1，由复合函数单调性可得f(x)=lga(1−x2)在区间[0, 22]上单调递减，
由f(x)max−f(x)min=1，可得f(0)−f( 22)=1，
即lga(1−0)−lga(1−12)=1，解得a=2，
综上所述：a=2或12.
故选：C.
对a分两种情况，再结合复合函数判断函数f(x)在区间[0, 22]上单调性，求出最值代入求解即可．
本题考查了复合函数、对数函数的单调性，是基础题．
5.【答案】D
【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，f(x)是定义在R上的奇函数，则f(−x)=−f(x)，
又由f(1+x)为偶函数，则f(x)的图象关于直线x=1对称，则有f(−x)=f(x+2)，
故有f(x+2)=−f(x)，变形可得f(x+4)=−f(x+2)=f(x)，f(x)的周期为4，A错误；
对于B，由A的结论，f(x+2)=−f(x)，则有f(x)+f(x+2)=0，
可得：f(1)+f(3)=0，f(2)+f(4)=0，
则有f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=0，
又由f(x)的周期为4，
故f(1)+f(2)+…+f(2023)=507×[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)]−f(2024)=507×[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)]−f(0)=0，
B错误；
对于C，g(x)的零点可看作y=f(x)与y=−12x+1的图象交点的横坐标，
作出y=f(x)与y=−12x+1的图象，如图：
观察图形知，直线y=−12x+1与y=f(x)的图象共有7个交点，且它们关于点(2.0)成中心对称，
故函数g(x)的所以所有零点之和为3×4+2=14，C错误；
对于D，设F(x)=f(x)sinπx2，
函数y=sinπx2的周期T′=2ππ2=4，易得F(x)的周期为4，
在区间[0,2]上，f(x)≥0，sinπx2≥0，此时有f(x)sinπx2≥0，
在区间[−2,0]上，f(x)≤0，sinπx2≤0，此时有f(x)sinπx2≥0，
而F(x)的周期为4，故有f(x)sinπx2≥0恒成立，D正确．
故选：D.
根据题意，由f(x)的奇偶性和对称性分析f(x)的周期可得A错误，由f(x)的周期和解析式分析f(1)+f(2)+…+f(2023)的值，可得B错误，g(x)的零点可看作y=f(x)与y=−12x+1的图象交点的横坐标，作出y=f(x)与y=−12x+1的图象，结合函数零点的定义分析可得C错误，设F(x)=f(x)sinπx2，结合f(x)的图象以及y=sinπx2的性质，分析可得D正确，综合可得答案．
本题考查抽象函数的性质以及应用，涉及函数的奇偶性、对称性和周期性，属于中档题．
6.【答案】C
【解析】解：A选项，由题意得x1+x2+⋯+xn=na，
则y−=y1+y2+⋯+ynn=2(x1+x2+⋯+xn)+8nn=2a+8，故A错误；
B选项，由于yi=2xi+8(i=1,2,⋯,n)，
故x1，x2…，xn的大小排列顺序与变化后的y1，y2…，yn的大小排列顺序一致，
由于x1，x2…，xn的中位数为b，故y1，y2…，yn的中位数为2b+8，B错误；
C选项，由题意得(x1−a)2+(x2−a)2+⋯+(xn−a)2n=c，
所以(y1−y−)2+(y2−y−)2+⋯+(yn−y−)2n
=(2x1+8−2a−8)2+(2x2+8−2a−8)2+⋯+(2xn+8−2a−8)2n
=4(x1−a)2+4(x2−a)2+⋯+4(xn−a)2n=4c，C正确；
D选项，由于yi=2xi+8(i=1,2,⋯,n)，
故x1，x2…，xn中最大值和最小值，
经过变化后仍然为y1，y2…，yn中的最大值和最小值，
即xmax−xmin=d，则ymax−ymin=2xmax+8−(2xmin+8)=2d，D错误．
故选：C.
A选项，由平均数的定义得到y−=2a+8；B选项，x1，x2…，xn的大小排列顺序与变化后的y1，y2…，yn的大小顺序一致，由此可得；C选项，由方差的定义计算出y1，y2…，yn的方差；D选项，由xmax−xmin=d，得到ymax−ymin=2d，D错误．
本题考查方差，中位数，平均数，极差，数字特征，属于中档题．
7.【答案】B
【解析】解：由表格中数据可得，每分钟茶水温度的减少值呈现越来越小的变化趋势，
故选用模型①为更符合实际的模型，
由x=0时，y=90，代入y=kax+30，得90=k+30，解得k=60，
所以y=60ax+30，由x=1时，y=84，可得84=60a+30，解得a=910，
即y=60(910)x+25，由题有：60=60(910)x+30，
所以12=(910)x,lg12=lg(910)x=xlg910，
解得：x=lg12lg910=−lg22lg3−1=lg21−2lg3=0.3011−2×0.477≈6.5，
即刚泡好的茶水达到最佳口感所需放置时间大约为6.5min.
故选：B.
根据每分钟茶水温度的减少值呈现越来越小的变化趋势，可判定应当选择模型①为更符合实际的模型，利用前两组数据可以求得k和a的值，进而将最佳口感温度代入所求得解析式，利用对数的运算性质求得x的值，即可做出判断．
本题考查了根据实际问题增长率选择合适的函数模型及指数函数模型的应用，属于中档题．
8.【答案】BCD
【解析】解：因为f(x)的大致图象如图所示：
若方程f(x)=k有三个不等的实数解，
根据图象可得k∈(−4,−3],故A错误；
由二次函数的性质可知x1+x2=−2，且−2≤x2<−1令−2+lnx=−3，得x=1e，
令−2+lnx=−4，得x=1e2，
则x3∈(1e2,1e],故B正确；
所以x1x3+x2x3=(x1+x2)x3=−2x3∈[−2e,−2e2),故C正确；
因为x1x2=(−x1)⋅(−x2)≤(−x1−x22)2=1，
当且仅当x1=x2时，等号成立，因为x1≠x2，所以x1x2<1，故D正确．
故选：BCD.
作出函数的图象，结合图象及二次函数、基本不等式的性质逐一判断即可．
本题考查了函数与方程思想，考查了二次函数、对数函数的性质，考查了数形结合思想，属于中档题．
9.【答案】ACD
【解析】解：对于A，g(−3)=f(1)=1，故A正确；
又因为g(x)=f(4+x)，
所以g(x−4)=f(x)，
所以f(x+y)+f(x−y)=f(x)f(y)，
令y=1，
则f(x+1)+f(x−1)=f(x)①，
所以f(x+2)+f(x)=f(x+1)②，
①+②可得f(x−1)+f(x+2)=0，
所以f(x)+f(x+3)=0，f(x)=−f(x+3)，
所以f(x+6)=−f(x+3)=f(x)，
故f(x)=f(x+6)，
所以f(x)为周期函数且T=6，故C正确；
令x=0，f(y)+f(−y)=f(0)f(y)，
令x=1，y=0，2f(1)=f(1)f(0)，则f(0)=2，
故x=0，f(y)+f(−y)=2f(y)⇒f(y)=f(−y)，
故f(x)为偶函数，所以B不正确；
因为f(x)=f(x+6)=f(−x)，
所以f(x)关于x=3对称，
且f(0)=2，f(1)=1，
令x=1，y=1，则f(2)=−1，
令x=2，y=1，f(3)=−2，
则f(4)=f(2)=−1，f(5)=f(1)=1，f(6)=f(0)=2，
所以f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)=0，
则k=12026f(k)=f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=−3，故D正确．
故选：ACD.
根据已知得g(x−4)=f(x)，将f(x+y)+f(x−y)=g(x−4)f(y)转化为f(x+y)+f(x−y)=f(x)f(y)，给x，y取值推导奇偶性和周期性解决问题．
本题考查了用赋值法求抽象函数的值、抽象函数的奇偶性、周期性，属于中档题．
10.【答案】ABD
【解析】解：对A，根据同底数的指数函数与对数函数互为反函数，则g(x)=lgax(a>0,且a≠1)且定义域是(0,+∞)，故A正确；
对B，根据反函数的特点知函数f(x)与g(x)的图象关于直线y=x对称，故B正确；
对C，若f(2)=14，则a2=14，
解得a=12或−12(舍去)，
则g(x)=lg12x，则g( 22)=lg12 22=12，故C错误；
对于D：如图所示，
当a>e1e时，函数y=ax与y=lgax的图象无公共点(如图1)；
当a=e1e时，函数y=ax与y=lgax的图象有一个公共点(如图2)；
当1所以当a>1时，f(x)与g(x)的图象的交点个数可能为0，1，2，故D正确，
故选：ABD.
根据指数函数与对数函数的关系一一分析即可．
本题主要考查了指数函数和对数函数的性质，考查了数形结合的数学思想，属于中档题．
11.【答案】BCD
【解析】解：A项，a=0时，f(x)=2,x≥0(x−2)2,x<0，如图，
f(x)的最小值为2，A项错误；
B项，当a>0时，y=−ax+2，x≥a，单调递减，如图，
此时函数没有最小值，则a≤0，
y=−ax+2，x≥a的最小值为−a2+2，只需满足−a2+2≤(a−2)2，
解得：a∈R，则a≤0，则a的取值范围为(−∞,0],B项正确；
C项，若f(x)是减函数，如图：
则需满足−a<0，且a≤2，且−a2+2≤(a−2)2，则0则a的取值范围为(0,2],C项正确；
D项，令(x)=(x−2)2=0，x2，
令f(x)=−ax+2=0，x≥a若有解，则2a≥a，
解得a≤− 2或0综上若f(x)存在零点，
则a的取值范围为(−∞,− 2]∪(0, 2]∪(2,+∞),D正确．
故选：BCD.
分段考虑两段函数的性质，再通过观察整个图象的特点即可得．
本题考查分段函数的性质，考查函数与方程的关系，属于难题．
12.【答案】ACD
【解析】解：不妨设样本甲的数据为0则样本乙的数据为2x1+1≤2x2+1≤⋅⋅⋅≤2x8+1，且2x1+1<2x8+1，
对于选项A：样本甲的极差为x8−x1>0，样本乙的极差(2x8+1)−(2x1+1)=2(x8−x1)，
因为2(x8−x1)−(x8−x1)=x8−x1>0，即2(x8−x1)>x8−x1，
所以样本甲的极差一定小于样本乙的极差，故A正确；
对于选项B：记样本甲的方差为s甲2>0，则样本乙的方差为4s甲2，
因为4s甲2−s甲2=3s甲2>0，即4s甲2>s甲2，
所以样本甲的方差一定小于样本乙的方差，故B错误；
对于选项C：因为样本甲的中位数是m=x4+x52，
则样本乙的中位数是n=(2x4+1)+(2x5+1)2=x4+x5+1=2m+1，故C正确；
对于选项D：有一组样本甲的数据xi，一组样本乙的数据2xi+1，其中xi(i=1,2,3,4,5,6,7,8)为不完全相等的正数，
若样本甲的平均数是n，则样本乙的平均数是2n+1，故D正确．
故选：ACD.
根据统计中的相关概念和性质运算求解．
本题主要考查统计的知识，属于基础题．
13.【答案】9
【解析】解：根据已知等式整理得m+1−(mxy+yx)=4，即mxy+yx=m−3.
因为x>0，y>0，m>0，所以mxy+yx=m−3≥2 mxy⋅yx=2 m.
令t= m>0，则t2−2t−3≥0，解得t≥3或t≤−1(舍去)，
即 m≥3，解得m≥9，故m的最小值是9.
故答案为：9.
将已知等式化简整理，得到mxy+yx=m−3，然后利用基本不等式建立关于m的不等式，解之即可得到本题的答案．
本题主要考查不等式的解法、利用基本不等式求最值等知识，考查了计算能力，属于中档题．
14.【答案】(−∞,2]
【解析】解：∵lg1+(3−t)3x4≥(x−1)lg4=lg4x−1，∴lg1+(3−t)3x4≥lg4x−1，
∴1+(3−t)3x4≥4x−1，即1+(3−t)3x≥4x对于任意x∈(−∞,1)恒成立，
∴t≤(13)x−(43)x+3对于任意x∈(−∞,1)恒成立，
∴t≤[(13)x−(43)x+3]min，
∵函数y=(13)x−(43)x+3在(−∞,1)上单调递减，
∴y>(13)1−(43)1+3=2，即t≤2，
∴实数t的取值范围是(−∞,2]
故答案为：(−∞,2].
根据对数运算将问题等价转化为t≤(13)x−(43)x+3对于任意x∈(−∞,1)恒成立，再根据y=(13)x−(43)x+3的单调性，求出最值得到t的取值范围即可．
本题考查了利用不等式恒成立求参数的取值范围，考查了转化思想，属中档题．
15.【答案】[32,138)
【解析】解：因为函数f(x)=|lnx|,0由f(a)=f(b)，得lna=−lnb=ln1b，所以ab=1；
因为y=ln2⋅sinπx4，2≤x<10时，函数图象的一条对称轴是x=6，
由f(c)=f(d)，得c+d=12，
所以a+3(c+d)64a2b=a+916a，
由−lna12，
又因为a<1，所以12由对勾函数的性质，得a+916a≥2 a⋅916a=32，当且仅当a=916a，即a=34时取等号；
且12+916×12=138，1+916=2516，
所以a+916a的取值范围是[32,138).
故答案为：[32,138).
根据函数f(x)的图象与性质，得出ab=1，c+d=12，化简a+3(c+d)64a2b=a+916a，求出a的取值范围，再求a+916a的取值范围．
本题考查了分段函数的图象与性质应用问题，也考查了运算求解能力，是难题．
16.【答案】(−∞,0]∪[1,+∞)
【解析】解：f(x)=(12)−x2+2x−2的单调递增即y=−x2+2x−2的减区间，
其对称轴是x=1，故D=(1,+∞)，
∵对∀x∈(1,+∞)，2x2−2ax+2a2−1>1，
∴x2−2ax+2a2−1>0在(1,+∞)上恒成立，
对称轴是x=a，Δ=4−4a2，
①a>1或a<−1时，Δ<0，此时x2−2ax+2a2−1>0恒成立，
②a=1时，x2−2ax+2a2−1=(x−1)2，∵x>1，∴x2−2ax+2a2−1>0恒成立，
③−1≤a<1时，y=x2−2ax+2a2−1在(1,+∞)递增，
故只需满足x=1时，x2−2ax+2a2−1≥0即可，
即2a(a−1)≥0，结合−1≤a<1，解得：−1≤a≤0，
综上：a的取值范围是(−∞,0]∪[1,+∞).
故答案为：(−∞,0]∪[1,+∞).
根据函数的单调性问题转化为x2−2ax+2a2−1>0在(1,+∞)上恒成立，结合二次函数的性质求出a的范围即可．
本题考查了复合函数的单调性以及二次函数的性质，考查分类讨论思想，是中档题．
17.【答案】解：(1)x−2x−1<0⇔(x−1)(x−2)<0⇒1所以A=(1,2)
当a=3时，解得B=(−1,3)，则A∩B=(1,2)；
(2)A=(1,2)，B=(−1,a)，
∵A⊆B，
∴a≥2，
故a的范围为{a|a≥2}.
【解析】(1)先求出集合A，B，然后结合集合的交集运算即可求解；
(2)由已知结合集合的包含关系即可求解．
本题主要考查了集合的交集运算及集合包含关系的应用，属于基础题．
18.【答案】解：(1)根据三角函数的定义：csα=−13，sinα=2 23，
则tanα=−2 2，tan2α=2tanα1−tan2α=−4 2−7=4 27；
(2)sin(7π2+α)tan(α−π)cs(α−π2)cs(π−α)=−csαtanαsinα(−csα)=csα⋅sinαcsαsinα⋅csα=1csα=−3.
【解析】(1)结合三角函数的定义及二倍角公式即可求解；
(2)结合诱导公式进行化简即可求解．
本题主要考查了三角函数的定义及诱导公式，二倍角公式，同角基本关系的应用，属于中档题．
19.【答案】解：(1)令2−2x>0x+5>0，解得−5所以函数f(x)的定义域{x|−5(2)函数f(x)=lga(2−2x)+lga(x+5)=lga(−2x2−8x+10)，
设t(x)=−2x2−8x+10=−2(x+2)2+18，则t(x)在(−5,−2)单调递增，在(−2,1)单调递减，
因为函数f(x)有最大值，根据复合函数的单调性性质，所以a>1，
所以函数f(x)也在(−5,−2)单调递增，在(−2,1)单调递减，
故函数f(x)的最大值为f(−2)=lga18=2，即a=3 2.
【解析】(1)根据解析式，列出不等式组，得函数的定义域；
(2)根据复合函数单调性“同增异减”的性质，判断a>1，得函数f(x)的单调性，得最大值为f(−2)，解得a的值．
本题主要考查函数定义域的求解，还考查了函数单调性域最值关系的应用，属于中档题．
20.【答案】解：(1)由图可知A=12−(−4)2=8，且b=12+(−4)2=4，
又T2=14−2，∴周期T=24，∴ω=π12，
又根据五点法可得π12×14+φ=π2，
∴φ=−2π3，
∴f(t)=8sin(π12t−2π3)+4，(0≤t≤24)；
(2)令f(t)=8sin(π12t−2π3)+4<0，
∴sin(π12t−2π3)<−12，
∴7π6+2kπ<π12t−2π3<11π6+2kπ，(k∈Z)，
∴22+24k∴0≤t<6或22∴该商场的中央空调在一天内开启的时长为8小时．
【解析】(1)根据三角函数的图象性质即可求解；
(2)解三角不等式即可得解．
本题考查三角函数的图象性质，三角不等式的求解，属中档题．
21.【答案】解：(1)由题图可得A=2，3T4=13π12−π3=3π4，
所以T=π，ω=2πT=2，所以f(x)=2sin(2x+φ)，
又f(π3)=2sin(2π3+φ)=0，即sin(2π3+φ)=0，
所以2π3+φ=kπ，k∈Z，
因为|φ|<π2，所以φ=π3，
故函数f(x)=2sin(2x+π3).
(2)由(1)知，g(x)= 3f(x)−f(x+π12)=2 3sin(2x+π3)−2sin[2(x+π12)+π3]
=2 3(12sin2x+ 32cs2x)−2cs2x= 3sin2x+cs2x=2sin(2x+π6)，
所以当2x+π6=2kπ+π2，k∈Z，
即x=kπ+π6，k∈Z时，g(x)取最大值2.
【解析】(1)根据图象求出A，ω和φ，即可得函数f(x)的解析式；
(2)根据函数解析式之间的关系可得g(x)，由三角恒等变换化简g(x)=2sin(2x+π6)，进而可求解．
本题主要考查三角函数的图象和性质，根据图象求出函数的解析式是解决本题的关键，属于中档题．
22.【答案】解：(Ⅰ)f(x)在R上是增函数．
证明：f(x)=1+2a2x−a，
在R上任取x1，x2，且x1∵a<0，2x1>0，2x2>0，
∴2x1−a>0，2x2−a>0，
∵x1∴2x2<2x1，
∴f(x1)∴f(x)在R上是增函数；
(Ⅱ)∵f(x)在R上是增函数，
∴1+2a2m−a=2m1+2a2n−a=2n，
由此可知m，n是方程1+2a2x−a=2x的两个不相等实数根，即方程(2x)2−(a+1)⋅2x−a=0有两个不相等的实数根．
令t=2x，则方程t2−(a+1)t−a=0(t>0)有两个不相等的正实数根，
Δ=(a+1)2−4a>0a+1>0−a>0，解得−3+2 2故实数a的取值范围是{a|−3+2 2【解析】(Ⅰ)先判断f(x)的单调性，再用定义法证明，即可求证；
(Ⅱ)m，n是方程1+2a2x−a=2x的两个不相等实数根，再结合换元法，以及二次函数的性质，即可求解．
本题主要考查函数的单调性性质与判断，属于中档题．放置时间/min
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