高中数学人教A版 (2019)必修 第二册6.2 平面向量的运算导学案

第六章 平面向量及其应用

6.2.3 向量的数乘运算

学案

学习目标

1.通过实例分析，掌握平面向量数乘运算及其运算规则.
2.理解平面向量的数乘运算的几何意义.
3.理解两个平面向量共线的含义.
4.了解平面向量的线性运算性质及其几何意义.

知识汇总

1.向量的数乘运算：一般地，规定实数与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作，它的长度与方向规定如下：

（1）；

（2）当时，的方向与a的方向相同；当时，的方向与a的方向相反.

由（1）可知，当时，，由（1）（2）可知，.

2.向量数乘的运算律：设，为实数，那么：

（1）；

（2）；

（3）.

特别地，有，.

3.向量的线性运算：向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算.向量线性运算的结果仍是向量.对于任意向量a，b，以及任意实数，，，恒有.

4.向量共线定理：向量与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数，使.

习题检测

1.在中，，，若点D满足，则(   )
A. B. C. D.

2.如图，在中，为线段上的一点，且，则(   ).

A.，  B.，

C.，  D.，

3.若，与的方向相反，且，则(   )
A. B. C. D.

4.已知，是不共线的向量，，，那么，，三点共线的充要条件为(   )
A. B. C. D.

5.（多选）若点D，E，F分别为的边BC，CA，AB的中点，且，，则下列结论正确的是(   )
A.  B.
C.  D.

6.化简：______________.

7.设向量，不平行，向量与平行，则实数________.

8.设D，E分别是的边AB，BC上的点，，.若(，为实数)，则的值为___________.

9.设，是不共线的两个非零向量，若，，，求证：A，B，C三点共线.

10.如图，在中，，P是BN上的一点，若，求实数m的值.
 

答案以及解析

1.答案：A

解析：.故选A.

2.答案：D

解析：由，得，整理得，所以，，故选D.

3.答案：B

解析：与的方向相反，存在实数，使，，即，，.

4.答案：B

解析：因为，，三点共线，所以向量.令，，，由，是不共线的向量，得，解得，.故选B.

5.答案：ABC

解析：在中，，故A正确；，故B正确；，，故C正确；，故D不正确.故选ABC.

6.答案：

解析：

.

7.答案：

解析：因为向量，不平行，向量与平行，所以存在实数，使得，即，解得，所以.

8.答案：

解析：由已知，

所以，，从而.

9.解析：由题意得，

，

所以与共线，且有公共端点B，所以A，B，C三点共线.

10.解析：，

.
，

设，则，
即.
，不共线，，

.