数学必修 第二册第六章 平面向量及其应用6.1 平面向量的概念导学案

《6.1平面向量的概念》

导学案   参考答案

新课导学 

（一）新知导入

【思考1】 位移与距离不是同一个概念;这些量中有些只有大小,没有方向,但有些既有大小又有方向,因此应该从大小和方向两个方面对这些量进行区分.

（二）平面向量的概念

（1）向量的实际背景与概念

向量与数量的定义：我们把既有大小，又有方向的量叫做向量，而把只有大小，没有方向的量称为数量。

向量在物理学中称为矢量；数量在物理学中称为标量。

数量与向量的区别：数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、能比较大小；而向量既有大小又有方向,向量是不能比较大小的。

（2）向量的几何表示

1.有向线段：具有方向的线段叫做有向线段，它包含三个要素：起点、方向、长度

以A为起点、B为终点的有向线段记作，线段AB的长度叫做有向线段的长度记作||

2.向量的表示：(1)几何表示：向量可以用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的大小，有向线段的方向表示向量的方向.

(2)字母表示：向量可以用字母a，b，c，…表示(印刷用黑体a，b，c，书写时用，，).

【思考】向量只有大小和方向两个要素，与起点无关，只要大小相等和方向相同，则这两个向量就是相同的向量.

有向线段有起点、方向与长度三个要素，若起点不同，尽管方向与长度相同，也是不同的有向线段.

（3）模、零向量、单位向量：

向量的大小，称为向量的长度(或称模)，记作||.

长度为0的向量叫做零向量，记作0；

长度等于1个单位长度的向量，叫做单位向量。

【思考1】零向量的方向是任意的．两个单位向量的方向不一定相同.

【思考2】有四种情形:模相等,方向相同;模相等,方向不相同;模不相等,方向相同;模不相等,方向不相同.

【辩一辩】1.如果|| >||，那么>.(×)

2.若a，b都是单位向量，则a＝b.(×)

3.若a＝b，且a与b的起点相同，则终点也相同.(√)

4.零向量的大小为0，没有方向.(×)

（4）相等向量与共线向量

1.平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量.

记法：向量a与b平行，记作a∥b

规定：零向量与任意向量平行。

2.相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。

3.共线向量：由于任一组平行向量都可以平移到同一直线上，所以平行向量也叫做共线向量.

共线向量与平行向量关系：如图所示,因为任一组平行向量都可移到同一直线上（向量具有自由性，与有向线段的起点无关）,所以平行向量就是共线向量。

【探究1】不一定，只有当两个平行向量相等时，它们才有相同的终点.

【探究2】可能.事实上，考虑到零向量的特殊性，向量平行有如下三种情况：

(1)两个向量a，b中，有一个为零向量，另一个为非零向量；

(2)两个向量均为非零向量，方向相同，但模不相等；

(3)两个向量均为非零向量，方向相反，模相等或不相等皆可.

【探究3】方向相同或相反.

【辩一辩】答案:(1)×(2)×(3)√(4)√（5）×

（三）典型例题

【例1】 解析：＝，A，B，C，D四点可能在同一条直线上，故①不正确；在▱ABCD中，||＝||，与平行且方向相同，故＝，故②正确；a＝b，则|a|＝|b|，且a与b的方向相同；b＝c，则|b|＝|c|，且b与c的方向相同，则a与c长度相等且方向相同，故a＝c，故③正确．　

答案：②③

【巩固练习1】解析：两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的方向不一定相同，终点也不一定相同；C选项，当b＝0时，a与c可能不共线；两个单位向量平行也可能反向，则不相等，故B，C，D都错误，A正确.故选A.

答案：A

【例2】解析：如图中的，和.

【巩固练习2】解：①作出向量，，，如图所示：

②由题意得，△BCD是直角三角形，其中∠BDC＝90°，BC＝10米，CD＝10米，所以BD＝10米．△ABD是直角三角形，其中∠ABD＝90°，AB＝5米，BD＝10米，所以AD＝＝5(米)．所以||＝5米．

【例3】解析：如图所示，满足与平行且长度为2的向量有，，，，，，，共8个．

答案：8

【变式探究1】解：与同向且长度为2的向量占与平行且长度为2的向量中的一半，共4个.

【变式探究2】解：图中每个小正方形的对角线所在的向量中,与向量方向相同的向量与其相等,共有8个.

【巩固练习3】解：(1)与O的模相等的向量有O，A，C三个向量．

(2)与O的模相等且方向相反的向量为O，A.

(3)与A共线的向量有D，C，B.

（四）操作演练  素养提升

答案：1.B  2.B 3.C  4.B