高中人教A版 (2019)6.1 平面向量的概念学案

   6.1平面向量的概念

导学案

编写：廖云波      初审：孙锐      终审：孙锐  廖云波

【学习目标】

1.能结合物理中的力、位移、速度等具体背景认识向量，掌握向量与数量的区别.

2.会用有向线段作向量的几何表示，了解有向线段与向量的联系与区别，会用字母表示向量.

3.理解零向量、单位向量、平行向量、共线向量、相等向量及向量的模等概念，会辨识图形中这些相关的概念．

【自主学习】

知识点1 向量

既有大小，又有方向的量叫做向量．

知识点2  向量的几何表示

以A为起点、B为终点的有向线段记作.

知识点3  向量的有关概念

(1)零向量：长度为0的向量叫做零向量，记作0.

(2)单位向量：长度等于1个单位的向量，叫做单位向量．

(3)相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量．

(4)平行向量(共线向量)：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，也叫共线向量．

①记法：向量a平行于向量b，记作a∥b.

②规定：零向量与任一向量平行．

【合作探究】

探究一  向量的概念

【例1】判断下列命题是否正确，并说明理由．

(1)若向量a与b同向，且|a|>|b|，则a>b；

(2)若|a|＝|b|，则a与b的长度相等且方向相同或相反；

(3)由于0方向不确定，故0不能与任意向量平行；

(4)向量a与向量b平行，则向量a与b方向相同或相反；

(5)起点不同，但方向相同且模相等的向量是相等向量．

[分析]　解答本题可从向量的定义、向量的模、相等向量、平行向量等概念入手，逐一判断真假．

[解]　(1)不正确．因为向量由两个因素来确定，即大小和方向，所以两个向量不能比较大小．

(2)不正确．由|a|＝|b|只能判断两向量长度相等，不能确定它们方向的关系．

(3)不正确．依据规定：0与任意向量平行．

(4)不正确．因为向量a与向量b若有一个是零向量，则其方向不定．

(5)正确．对于一个向量只要不改变其大小与方向，是可以任意移动的．

归纳总结：1判断一个量是否为向量，应从两个方面入手：①是否有大小，②是否有方向.

2注意两个特殊向量：零向量和单位向量.

3注意平行向量与共线向量的含义.

【练习1-1】下列物理量中不是向量的有(　 　)

①质量；②速度；③力；④加速度；⑤路程；⑥密度；⑦功；⑧电流强度．

A．5个　　　B．4个  C．3个　　　D．2个

解析：(1)看一个量是否为向量，就要看它是否具备向量的两个要素：大小和方向，特别是方向的要求，对各量从物理本身的意义作出判断，②③④既有大小也有方向，是向量，①⑤⑥⑦⑧只有大小没有方向，不是向量．

【练习1-2】在下列命题中，真命题为(　 　)

A．两个有共同起点的单位向量，其终点必相同

B．向量与向量的长度相等

C．向量就是有向线段

D．零向量是没有方向的

解析：(2)由于单位向量的方向不一定相同，故其终点不一定相同，故A错误；任何向量都有方向，零向量的方向是任意的，并非没有方向，故D错误；有向线段是向量的形象表示，但并非说向量就是有向线段，故C错误，故选B.

探究二  向量的几何表示

【例2】一辆汽车从A点出发向西行驶了100 km到达B点，然后又改变方向向西偏北50°走了200 km到达C点，最后又改变方向，向东行驶了100 km到达D点．

(1)作出向量、、；

(2)求||.

解　

(1)向量、、如图所示．

(2)由题意，易知与方向相反，故与共线，

又||＝||，

∴在四边形ABCD中，AB綊CD.

∴四边形ABCD为平行四边形．

∴＝，∴||＝||＝200 km.

归纳总结：1用向量表示的几何问题，要研究其图形的几何特性，然后作出解答.

2作向量时，关键是找出向量的起点和终点，如果已知起点，先确定向量的方向，然后根据向量的长度找出终点.

【练习2】在如图的方格纸上，已知向量a，每个小正方形的边长为1.

(1)试以B为终点画一个向量b，使b＝a；

(2)在图中画一个以A为起点的向量c，使|c|＝，并说出向量c的终点的轨迹是什么？

解　(1)根据相等向量的定义，所作向量与向量a平行，且长度相等(作图略)．

(2)由平面几何知识可知所有这样的向量c的终点的轨迹是以A为圆心，半径为的圆(作图略)．

探究三  相等向量和共线向量

【例3】如图所示，△ABC的三边均不相等，E、F、D分别是AC、AB、BC的中点．

(1)写出与共线的向量；

(2)写出与的模大小相等的向量；

(3)写出与相等的向量．

解　(1)因为E、F分别是AC、AB的中点，

所以EF綊BC.又因为D是BC的中点，

所以与共线的向量有：

，，，，，，.

(2)与模相等的向量有：，，，，.

(3)与相等的向量有：与.

归纳总结：

1.共线向量和相等向量有何关系？

共线向量不一定是相等向量，而相等向量一定是共线向量.

2.如何利用向量相等或共线证明线段相等、平行问题？

①证明线段相等，只要证明相应的向量长度模相等.

②证明线段平行，先证明相应的向量共线，再说明线段不共线.

【练习3】如图，设O是正六边形ABCDEF的中心，分别写出图中所示向量与、、相等的向量．

解　＝＝；

＝＝；

＝＝＝.

课后作业

A组 基础题

一、选择题

1．下列物理量：①质量；②速度；③位移；④力；⑤加速度；⑥路程．其中是向量的有(　　)

A．2个  B．3个  C．4个  D．5个

答案　C

解析　②③④⑤是向量．

2．下列说法中正确的个数是(　　)

①零向量是没有方向的；②零向量的长度为0；③零向量的方向是任意的；④单位向量的模都相等．

A．0  B．1  C．2  D．3

答案　D

3．给出下列三个命题：

①两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；

②若|a|＝|b|，则a＝b；

③若＝，则四边形ABCD是正方形．

其中不正确的命题的个数为(　　)

A．2个  B．3个  C．0个  D．1个

答案　B

4．下列说法正确的是(　　)

A．数量可以比较大小，向量也可以比较大小

B．方向不同的向量不能比较大小，但同向的可以比较大小

C．向量的大小与方向有关

D．向量的模可以比较大小

答案　D

解析　A中不管向量的方向如何，它们都不能比较大小，所以A不正确；由A的过程分析可知方向相同的向量也不能比较大小，所以B不正确；C中向量的大小即向量的模，指的是有向线段的长度，与方向无关，所以C不正确；D中向量的模是一个数量，可以比较大小，所以D正确．

5．如图，在四边形ABCD中，若＝，则图中相等的向量是(　　)

A.与  　B.与

C.与  　D.与

答案　D

解析　∵＝，∴四边形ABCD是平行四边形，∴AC、BD互相平分，∴＝.

6．设O是正方形ABCD的中心，则向量，，，是(　　)

A．相等的向量  B．平行的向量

C．有相同起点的向量  D．模相等的向量

答案　D

解析　这四个向量的模相等．

7．若a为任一非零向量，b为模为1的向量，下列各式：

①|a|>|b|；②a∥b；③|a|>0；④|b|＝±1，其中正确的是(　　)

A．①④  B．③  C．①②③  D．②③

答案　B

解析　a为任一非零向量，故|a|＞0.

8.如图，等腰梯形ABCD中，对角线AC与BD交于点P，点E，F分别在两腰AD，BC上，EF过点P，且EF∥AB，则(　　)

A.＝  B.＝

C.＝  D.＝

答案　D

解析　由平面几何知识知，与方向不同，故≠；与方向不同，故≠；与模相等而方向相反，故≠；与模相等且方向相同，

∴＝.

二、填空题

9．如图，在△ABC中，若DE∥BC，则图中所示向量中是共线向量的有____________________．

答案　与，与，与

解析　观察图形，并结合共线向量的定义可得解．

10．在四边形ABCD中，∥且||≠||，则四边形ABCD的形状是________．

答案　梯形

解析　∵∥且||≠||，

∴AB∥DC，但AB≠DC，∴四边形ABCD是梯形．

三、解答题

11.如图，在四边形ABCD中，＝，N、M分别是AD、BC上的点，且＝.

求证：＝.

证明　∵＝，

∴||＝||且AB∥CD，

∴四边形ABCD是平行四边形，

∴||＝||，且DA∥CB.

又∵与的方向相同，

∴＝.同理可证，四边形CNAM是平行四边形，

∴＝.∵||＝||，||＝||，

∴||＝||.

∵DN∥MB且与的方向相同，∴＝.

12．某人从A点出发向东走了5米到达B点，然后改变方向按东北方向走了10米到达C点，到达C点后又改变方向向西走了10米到达D点．

(1)作出向量，，.

(2)求的模．

解　(1)作出向量，，如图所示：

(2)由题意得，△BCD是直角三角形，其中∠BDC＝90°，BC＝10米，CD＝10米，所以BD＝10米．

△ABD是直角三角形，其中∠ABD＝90°，AB＝5米，BD＝10米，所以AD＝＝5(米)．

所以||＝5米．

13.一辆消防车从A地去B地执行任务，先从A地向北偏东30°方向行驶2千米到D地，然后从D地沿北偏东60°方向行驶6千米到达C地，从C地又向南偏西30°方向行驶2千米才到达B地．

(1)在如图所示的坐标系中画出，，，；

(2)求B地相对于A地的位置向量．

解　

(1)向量，，，如图所示．

(2)由题意知＝，

∴AD綊BC，则四边形ABCD为平行四边形，

∴＝，则B地相对于A地的位置向量为“北偏东60°，6千米”．

B组 能力提升

一、选择题

1.给出下列命题：①两个具有公共终点的向量一定是共线向量；②两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小；③若（λ为实数），则λ必为零；④已知λ，μ为实数，若，则与共线，其中错误命题的个数为（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】C

【解析】对于①，两个具有公共终点的向量，不一定是共线向量，①错误；

对于②，向量是有方向和大小的矢量，不能比较大小，

但它们的模能比较大小，②正确；

对于③，时为实数），或，③错误；

对于④，若时，，此时与不一定共线，④错误；

综上，其中错误命题为①③④，共3个．故选：．

2.有下列命题：①若向量与同向，且，则；②若四边形是平行四边形，则；③若，，则；④零向量都相等.其中假命题的个数是（   ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】C

【解析】对于①，因为向量是既有大小又有方向的量，不能比较大小，故①是假命题；

对于②，在平行四边形中，是大小相等，方向相反的向量，即，故②是假命题；

对于③，显然若，，则，故③是真命题；

对于④，因为大小相等，方向相同的向量是相等向量，而零向量的方向任意，故④是假命题.

故选：C.

3.下列命题中正确的是(    )

A．若，则 B．若，则

C．若，则与可能共线 D．若，则一定不与共线

【答案】C

【解析】因为向量既有大小又有方向，所以只有方向相同､大小(长度)相等的两个向量才相等，因此A错误；

两个向量不相等，但它们的模可以相等，故B错误；无论两个向量的模是否相等，这两个向量都可能共线，故C正确，D错误.故选：C

4.给出下列四个命题：

①若，则；

②若，，，是不共线的四点，则“”是“四边形为平行四边形”的充要条件；

③若，，则；

④的充要条件是且.

其中正确命题的序号是(    )

A．②③ B．①② C．③④ D．②④

【答案】A

【解析】①不正确.两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同.

②正确.∵，∴且，又，，，是不共线的四点，∴四边形为平行四边形；反之，若四边形为平行四边形，则，且方向相同，因此.

③正确.∵，∴的长度相等且方向相同，又，∴的长度相等且方向相同，∴的长度相等且方向相同，故.

④不正确.当且方向相反时，即使，也不能得到，故且不是的充要条件，而是必要不充分条件.

综上所述，正确命题的序号是②③.

故选：A.

二、填空题

5．已知在边长为2的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，则||＝________.

答案　2

解析　易知AC⊥BD，且∠ABD＝30°，设AC与BD交于点O，则AO＝AB＝1.在Rt△ABO中，易得||＝，∴||＝2||＝2.　　

三、解答题

6.如图，在平行四边形ABCD中，O是两对角线AC，BD的交点，设点集S＝{A，B，C，D，O}，向量集合T＝{|M，N∈S，且M，N不重合}，试求集合T中元素的个数．

解　由题意知，集合T中的元素实质上是S中任意两点连成的有向线段，共有20个，即，，，；，，，；，，，；，，，；，，，.由平行四边形的性质可知，共有8对向量相等，即＝，＝，＝，＝，＝，＝，＝，＝.

∵集合中元素具有互异性，∴集合T中的元素共有12个．