新教材同步系列2024春高中数学第六章平面向量及其应用6.3平面向量基本定理及坐标表示6.3.1平面向量基本定理课后提能训练新人教A版必修第二册

这是一份新教材同步系列2024春高中数学第六章平面向量及其应用6.3平面向量基本定理及坐标表示6.3.1平面向量基本定理课后提能训练新人教A版必修第二册，共6页。

第六章　6.3　6.3.1A级——基础过关练1．如图，在矩形ABCD中，若 eq \o(BC,\s\up6(→))＝5e1， eq \o(DC,\s\up6(→))＝3e2，则 eq \o(OC,\s\up6(→))＝(　　)A． eq \f(1,2)(5e1＋3e2) B． eq \f(1,2)(5e1－3e2)C． eq \f(1,2)(3e2－5e1) D． eq \f(1,2)(5e2－3e1)2．已知非零向量 eq \o(OA,\s\up6(→))， eq \o(OB,\s\up6(→))不共线，且2 eq \o(OP,\s\up6(→))＝x eq \o(OA,\s\up6(→))＋y eq \o(OB,\s\up6(→))，若 eq \o(PA,\s\up6(→))＝λ eq \o(AB,\s\up6(→))(λ∈R)，则x，y满足的关系是(　　)A．x＋y－2＝0 B．2x＋y－1＝0C．x＋2y－2＝0 D．2x＋y－2＝03．(多选)设e1，e2是平面内的一组基底，则下面的四组向量能作为基底的有(　　)A．e1＋e2和e1－e2 B．e1和e1＋e2C．e1＋3e2和e2＋3e1 D．3e1－2e2和4e2－6e14．(2023年重庆模拟)在△ABC中，D为BC的中点，E为边AC上靠近点C的三等分点，记 eq \o(AD,\s\up6(→))＝a， eq \o(BE,\s\up6(→))＝b，用a，b表示 eq \o(BC,\s\up6(→))为(　　)A． eq \f(1,3)a＋b B．－ eq \f(2,3)a＋2bC．2a－b D． eq \f(2,5)a＋ eq \f(6,5)b5．如图，在正方形ABCD中，点E满足 eq \o(AE,\s\up6(→))＝ eq \o(ED,\s\up6(→))，点F满足 eq \o(CF,\s\up6(→))＝2 eq \o(FB,\s\up6(→))，那么 eq \o(EF,\s\up6(→))＝(　　)A． eq \f(1,2) eq \o(AB,\s\up6(→))－ eq \f(1,3) eq \o(AD,\s\up6(→)) B． eq \f(1,3) eq \o(AB,\s\up6(→))＋ eq \f(1,2) eq \o(AD,\s\up6(→))C． eq \o(AB,\s\up6(→))－ eq \f(1,6) eq \o(AD,\s\up6(→)) D． eq \o(AB,\s\up6(→))＋ eq \f(1,6) eq \o(AD,\s\up6(→))6．(2023年新干一模)在△ABC中， eq \o(AD,\s\up6(→))＝λ eq \o(DB,\s\up6(→))，E为CD的中点， eq \o(AE,\s\up6(→))＝－ eq \f(5,6) eq \o(CA,\s\up6(→))＋ eq \f(1,3) eq \o(CB,\s\up6(→))，则λ＝(　　)A．2 B．1C． eq \f(1,2) D． eq \f(1,3)7．若点D在三角形ABC的边BC上，且 eq \o(CD,\s\up6(→))＝4 eq \o(DB,\s\up6(→))＝r eq \o(AB,\s\up6(→))＋s eq \o(AC,\s\up6(→))，则3r＋s的值为(　　)A． eq \f(16,5) B． eq \f(12,5)C． eq \f(8,5) D． eq \f(4,5)8．(2023年南京模拟)已知向量a，b不共线，且向量a＋tb与(3t－2)a＋b的方向相反，则实数t的值为__________．9．已知O，A，B是平面上的三个点，直线AB上有一点C，满足2 eq \o(AC,\s\up6(→))＋ eq \o(CB,\s\up6(→))＝0，若 eq \o(OA,\s\up6(→))＝a， eq \o(OB,\s\up6(→))＝b，用a，b表示向量 eq \o(OC,\s\up6(→))，则 eq \o(OC,\s\up6(→))＝__________．10．如图所示，D是BC边的一个四等分点．试用基底 eq \o(AB,\s\up6(→))， eq \o(AC,\s\up6(→))表示 eq \o(AD,\s\up6(→))．B级——能力提升练11．(多选)如果e1，e2是平面内所有向量的一组基底，那么(　　)A．若实数m，n使得me1＋ne2＝0，则m＝n＝0B．空间任一向量a可以表示为a＝λ1e1＋λ2e2，其中λ1，λ2为实数C．对于实数m，n，me1＋ne2一定在此平面上D．对于平面内的某一向量a，存在两对以上的实数m，n，使a＝me1＋ne212．(2023年济南模拟)已知等腰直角三角形ABC中，A＝ eq \f(π,2)，M，N分别是边AB，BC的中点，若 eq \o(BC,\s\up6(→))＝s eq \o(AN,\s\up6(→))＋t eq \o(CM,\s\up6(→))，其中s，t为实数，则s＋t＝(　　)A．－1 B．1C．2 D．－213．在△ABC中，D为AC上的一点，满足 eq \o(AD,\s\up6(→))＝ eq \f(1,3) eq \o(DC,\s\up6(→))．若P为BD上的一点，满足 eq \o(AP,\s\up6(→))＝m eq \o(AB,\s\up6(→))＋n eq \o(AC,\s\up6(→))(m＞0，n＞0)，则mn的最大值为_________； eq \f(4,m)＋ eq \f(1,n)的最小值为_________．14．已知平行四边形ABCD中，E为CD的中点， eq \o(AP,\s\up6(→))＝y eq \o(AD,\s\up6(→))， eq \o(AQ,\s\up6(→))＝x eq \o(AB,\s\up6(→))，其中x，y∈R，且均不为0．若 eq \o(PQ,\s\up6(→))∥ eq \o(BE,\s\up6(→))，则 eq \f(x,y)＝__________．15．如图，在▱ABCD中， eq \o(AB,\s\up6(→))＝a， eq \o(AD,\s\up6(→))＝b，BM＝ eq \f(2,3)BC，AN＝ eq \f(1,4)AB．(1)试用向量a，b来表示 eq \o(DN,\s\up6(→))， eq \o(AM,\s\up6(→))；(2)AM交DN于点O，求AO∶OM的值．答案1【答案】A【解析】 eq \o(OC,\s\up6(→))＝ eq \f(1,2) eq \o(AC,\s\up6(→))＝ eq \f(1,2)( eq \o(BC,\s\up6(→))＋ eq \o(AB,\s\up6(→)))＝ eq \f(1,2)( eq \o(BC,\s\up6(→))＋ eq \o(DC,\s\up6(→)))＝ eq \f(1,2)(5e1＋3e2)．2【答案】A【解析】由 eq \o(PA,\s\up6(→))＝λ eq \o(AB,\s\up6(→))，得 eq \o(OA,\s\up6(→))－ eq \o(OP,\s\up6(→))＝λ( eq \o(OB,\s\up6(→))－ eq \o(OA,\s\up6(→)))，即 eq \o(OP,\s\up6(→))＝(1＋λ) eq \o(OA,\s\up6(→))－λ eq \o(OB,\s\up6(→))．因为2 eq \o(OP,\s\up6(→))＝x eq \o(OA,\s\up6(→))＋y eq \o(OB,\s\up6(→))，所以 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝2＋2λ，,y＝－2λ，))消去λ，得x＋y－2＝0．3【答案】ABC【解析】∵e1，e2是平面内的一组基底，∴e1，e2不共线．而4e2－6e1＝－2(3e1－2e2)，则根据向量共线定理可得(4e2－6e1)∥(3e1－2e2)，根据基底的条件，选项D不符合题意．A，B，C均可．故选ABC．4【答案】D【解析】 eq \o(BC,\s\up6(→))＝ eq \o(BE,\s\up6(→))＋ eq \o(EC,\s\up6(→))＝ eq \o(BE,\s\up6(→))＋ eq \f(1,3) eq \o(AC,\s\up6(→))＝ eq \o(BE,\s\up6(→))＋ eq \f(1,3)( eq \o(AD,\s\up6(→))＋ eq \o(DC,\s\up6(→)))＝ eq \o(BE,\s\up6(→))＋ eq \f(1,3) eq \o(AD,\s\up6(→))＋ eq \f(1,3) eq \o(DC,\s\up6(→))＝ eq \o(BE,\s\up6(→))＋ eq \f(1,3) eq \o(AD,\s\up6(→))＋ eq \f(1,3)· eq \f(1,2) eq \o(BC,\s\up6(→))＝ eq \o(BE,\s\up6(→))＋ eq \f(1,3) eq \o(AD,\s\up6(→))＋ eq \f(1,6) eq \o(BC,\s\up6(→))，∴ eq \f(5,6) eq \o(BC,\s\up6(→))＝ eq \o(BE,\s\up6(→))＋ eq \f(1,3) eq \o(AD,\s\up6(→))，即 eq \o(BC,\s\up6(→))＝ eq \f(2,5) eq \o(AD,\s\up6(→))＋ eq \f(6,5) eq \o(BE,\s\up6(→))＝ eq \f(2,5)a＋ eq \f(6,5)b．故选D．5【答案】C【解析】 eq \o(EF,\s\up6(→))＝ eq \o(EA,\s\up6(→))＋ eq \o(AB,\s\up6(→))＋ eq \o(BF,\s\up6(→))＝－ eq \f(1,2) eq \o(AD,\s\up6(→))＋ eq \o(AB,\s\up6(→))＋ eq \f(1,3) eq \o(AD,\s\up6(→))＝－ eq \f(1,6) eq \o(AD,\s\up6(→))＋ eq \o(AB,\s\up6(→))．故选C．6【答案】A【解析】根据题意， eq \o(AD,\s\up6(→))＝λ eq \o(DB,\s\up6(→))，E为CD的中点， eq \o(AE,\s\up6(→))＝－ eq \f(5,6) eq \o(CA,\s\up6(→))＋ eq \f(1,3) eq \o(CB,\s\up6(→))，则 eq \o(AE,\s\up6(→))＝ eq \f(1,2)( eq \o(AC,\s\up6(→))＋ eq \o(AD,\s\up6(→)))＝ eq \f(1,2) eq \o(AC,\s\up6(→))＋ eq \f(1,2)× eq \f(λ,λ＋1) eq \o(AB,\s\up6(→))＝－ eq \f(1,2) eq \o(CA,\s\up6(→))＋ eq \f(1,2)× eq \f(λ,λ＋1)( eq \o(CB,\s\up6(→))－ eq \o(CA,\s\up6(→)))＝ eq \f(λ,2(λ＋1)) eq \o(CB,\s\up6(→))－ eq \f(2λ＋1,2(λ＋1)) eq \o(CA,\s\up6(→))，由 eq \f(2λ＋1,2(λ＋1))＝ eq \f(5,6)，且 eq \f(λ,2(λ＋1))＝ eq \f(1,3)，得λ＝2．故选A．7【答案】C【解析】因为 eq \o(CD,\s\up6(→))＝4 eq \o(DB,\s\up6(→))＝r eq \o(AB,\s\up6(→))＋s eq \o(AC,\s\up6(→))，所以 eq \o(CD,\s\up6(→))＝ eq \f(4,5) eq \o(CB,\s\up6(→))＝ eq \f(4,5)( eq \o(AB,\s\up6(→))－ eq \o(AC,\s\up6(→)))＝r eq \o(AB,\s\up6(→))＋s eq \o(AC,\s\up6(→))．所以r＝ eq \f(4,5)，s＝－ eq \f(4,5)．所以3r＋s＝ eq \f(12,5)－ eq \f(4,5)＝ eq \f(8,5)．8【答案】－ eq \f(1,3)【解析】∵a＋tb与(3t－2)a＋b共线，∴a＋tb＝λ[(3t－2)a＋b]，∴(3tλ－2λ－1)a＋(λ－t)b＝0．∵a，b不共线，∴ eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(3tλ－2λ－1＝0，,λ－t＝0，))解得t＝λ＝1或t＝λ＝－ eq \f(1,3)．当t＝1时，a＋b与a＋b同向，不符合题意；当t＝－ eq \f(1,3)时，a－ eq \f(1,3)b与－3a＋b反向，符合题意．9【答案】2a－b【解析】 eq \o(AC,\s\up6(→))＝ eq \o(OC,\s\up6(→))－ eq \o(OA,\s\up6(→))， eq \o(CB,\s\up6(→))＝ eq \o(OB,\s\up6(→))－ eq \o(OC,\s\up6(→))，因为2 eq \o(AC,\s\up6(→))＋ eq \o(CB,\s\up6(→))＝0，所以2( eq \o(OC,\s\up6(→))－ eq \o(OA,\s\up6(→)))＋( eq \o(OB,\s\up6(→))－ eq \o(OC,\s\up6(→)))＝0，所以 eq \o(OC,\s\up6(→))＝2 eq \o(OA,\s\up6(→))－ eq \o(OB,\s\up6(→))＝2a－b．10解：因为D是BC边的四等分点，所以 eq \o(BD,\s\up6(→))＝ eq \f(1,4) eq \o(BC,\s\up6(→))＝ eq \f(1,4)( eq \o(AC,\s\up6(→))－ eq \o(AB,\s\up6(→)))．所以 eq \o(AD,\s\up6(→))＝ eq \o(AB,\s\up6(→))＋ eq \o(BD,\s\up6(→))＝ eq \o(AB,\s\up6(→))＋ eq \f(1,4)( eq \o(AC,\s\up6(→))－ eq \o(AB,\s\up6(→)))＝ eq \f(3,4) eq \o(AB,\s\up6(→))＋ eq \f(1,4) eq \o(AC,\s\up6(→))．11【答案】AC【解析】选项B中应为“平面内任一向量”．选项D中，m，n应是唯一的．A，C正确．12【答案】D【解析】如图，根据题意得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\o(BC,\s\up6(→))＝\f(1,2)\o(BA,\s\up6(→))－\o(CM,\s\up6(→))①，,\o(BC,\s\up6(→))＝2\o(BA,\s\up6(→))＋2\o(AN,\s\up6(→))②，))联立①②消去 eq \o(BA,\s\up6(→))，得 eq \o(BC,\s\up6(→))＝－ eq \f(2,3) eq \o(AN,\s\up6(→))－ eq \f(4,3) eq \o(CM,\s\up6(→))．又∵ eq \o(BC,\s\up6(→))＝s eq \o(AN,\s\up6(→))＋t eq \o(CM,\s\up6(→))，∴根据平面向量基本定理，解得s＝－ eq \f(2,3)，t＝－ eq \f(4,3)，∴s＋t＝－2．故选D．13【答案】 eq \f(1,16)　16【解析】因为 eq \o(AD,\s\up6(→))＝ eq \f(1,3) eq \o(DC,\s\up6(→))，所以 eq \o(AC,\s\up6(→))＝4 eq \o(AD,\s\up6(→))．所以 eq \o(AP,\s\up6(→))＝m eq \o(AB,\s\up6(→))＋n eq \o(AC,\s\up6(→))＝m eq \o(AB,\s\up6(→))＋4n eq \o(AD,\s\up6(→))．因为B，P，D三点共线，所以m＋4n＝1，则4mn≤ eq \f((m＋4n)2,4)＝ eq \f(1,4)，则mn≤ eq \f(1,16)，即mn最大值为 eq \f(1,16)，当且仅当m＝4n时取等号； eq \f(4,m)＋ eq \f(1,n)＝(m＋4n)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,m)＋\f(1,n)))＝ eq \f(16n,m)＋ eq \f(m,n)＋8≥2 eq \r(16)＋8＝16，当且仅当m＝4n时取等号．14【答案】 eq \f(1,2)【解析】因为 eq \o(PQ,\s\up6(→))＝ eq \o(AQ,\s\up6(→))－ eq \o(AP,\s\up6(→))＝x eq \o(AB,\s\up6(→))－y eq \o(AD,\s\up6(→))，由 eq \o(PQ,\s\up6(→))∥ eq \o(BE,\s\up6(→))，可设 eq \o(PQ,\s\up6(→))＝λ eq \o(BE,\s\up6(→))，即x eq \o(AB,\s\up6(→))－y eq \o(AD,\s\up6(→))＝λ( eq \o(CE,\s\up6(→))－ eq \o(CB,\s\up6(→)))＝λeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)\o(AB,\s\up6(→))＋\o(AD,\s\up6(→))))＝－ eq \f(λ,2) eq \o(AB,\s\up6(→))＋λ eq \o(AD,\s\up6(→))，所以 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝－\f(1,2)λ，,y＝－λ，))则 eq \f(x,y)＝ eq \f(1,2)．15解：(1)因为AN＝ eq \f(1,4)AB，所以 eq \o(AN,\s\up6(→))＝ eq \f(1,4) eq \o(AB,\s\up6(→))＝ eq \f(1,4)a．所以 eq \o(DN,\s\up6(→))＝ eq \o(AN,\s\up6(→))－ eq \o(AD,\s\up6(→))＝ eq \f(1,4)a－b．因为BM＝ eq \f(2,3)BC，所以 eq \o(BM,\s\up6(→))＝ eq \f(2,3) eq \o(BC,\s\up6(→))＝ eq \f(2,3) eq \o(AD,\s\up6(→))＝ eq \f(2,3)b．所以 eq \o(AM,\s\up6(→))＝ eq \o(AB,\s\up6(→))＋ eq \o(BM,\s\up6(→))＝a＋ eq \f(2,3)b．(2)因为A，O，M三点共线，所以 eq \o(AO,\s\up6(→))∥ eq \o(AM,\s\up6(→))．设 eq \o(AO,\s\up6(→))＝λ eq \o(AM,\s\up6(→))，则 eq \o(DO,\s\up6(→))＝ eq \o(AO,\s\up6(→))－ eq \o(AD,\s\up6(→))＝λ eq \o(AM,\s\up6(→))－ eq \o(AD,\s\up6(→))＝λeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(2,3)b))－b＝λa＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)λ－1))b．因为D，O，N三点共线，所以 eq \o(DO,\s\up6(→))∥ eq \o(DN,\s\up6(→))．所以存在实数μ，使 eq \o(DO,\s\up6(→))＝μ eq \o(DN,\s\up6(→))，则λa＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)λ－1))b＝μeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)a－b))．由于向量a，b不共线，则 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(λ＝\f(1,4)μ，,\f(2,3)λ－1＝－μ，))解得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(λ＝\f(3,14)，,μ＝\f(6,7)．))所以 eq \o(AO,\s\up6(→))＝ eq \f(3,14) eq \o(AM,\s\up6(→))， eq \o(OM,\s\up6(→))＝ eq \f(11,14) eq \o(AM,\s\up6(→))．所以AO∶OM＝3∶11＝ eq \f(3,11)．