高中数学人教A版 (2019)必修 第二册9.1 随机抽样教案

课程目标

学科素养

A. 正确理解随机抽样的概念，掌握抽签法、随机数表法的一般步骤；

2.在解决统计问题的过程中，学会用简单随机抽样的方法从总体中抽取样本。

3.通过对现实生活和其他学科中统计问题的提出，体会数学知识与现实世界及各学科知识之间的联系，认识数学的重要性。

1.数学抽象：简单随机抽样的概念

2.逻辑推理：抽签法与随机法的联系与区别

3.数学运算：抽签法与随机法的步骤

4.数学建模：抽签法与随机法的灵活运用

教学过程

教学设计意图

核心素养目标

一、情境与问题

  在现实生活中，我们经常会接触到各种统计数据，例如，人口总量、经济增长率、就业状况、物价指数、产品的合格率、商品的销售额、农作物的产量、人均水资源、居民人均年收入、电视台节目的收视率、学生的平均身高等.要正确阅读并理解这些数据，需要具备一些统计学的知识.

    统计学是通过收集数据和分析数据来认识未知现象的一门科学.面对一个统计问题,首先要根据实际需求,通过适当的方法获取数据，并选择适当的统计图表对数据进行整理和描述,在此基础上用各种统计方法对数据进行分析，从样本数据中提取需要的信息，推断总体的情况，进而解决相应的实际问题.

考察对象;统计的相关概念;若干个个体;数目

[讨论] 样本与样本容量有什么区别?

解:样本与样本容量是两个不同的概念.样本是从总体中抽取的个体组成的集合,是对象;样本容量是样本中个体的数目,是一个数.

    人口普查需要花费巨大的财力、物力,因而不宜经常进行,为了及时掌握全国人口变动状况,我国每年还会进行一次人口变动情况的调查.这种调查是抽取一部分居民进行调查，根据抽取的居民情况来推断总体的人口变动情况.

    像这样，根据一定目的，从总体中抽取一部分个体进行调查,并以此为依据对总体的情况作出估计和推断的调查方法，称为抽样调查.我们把从总体中抽取的那部分个体称为样本，样本中包含的个体数称为样本量.调查样本获得的变量值称为样本的观测数据，简称样本数据.

    抽样调查的目的是为了了解总体的情况.例如，抽样调查一批待售袋装牛奶的细菌数是否超标,其目的是要了解整批牛奶的细菌含量超标情况,而不只是局限在抽查到的那几袋牛奶的情况.因此，通过抽样调查了解总体的情况,自然希望抽取的样本数据能很好地反映总体的情况，即样本含有和总体基本相同的信息.

    假设口袋中有红色和白色共1000个小球，除颜色外，小球的大小、质地完全相同，你能通过抽样调查的方法估计带中红球所占的比例吗？

这里袋中所有小球是调查的总体，每一个小球是个体,小球的颜色是所关心的变量.我们可以从袋中随机地摸出一个球，记录颜色后放回，摇匀后再摸出一个球,如此重复n次.根据初中的概率知识可知，随着摸球次数的增加,摸到红球的频率会逐渐稳定于摸到红球的概率，即口袋中红球所占的比例，因此,我们可以通过放回摸球，用频率估计出红球的比例.

在有放回地摸球中,同一个小球有可能被摸中多次，极端情况是每次摸到同一个小球,而被重复摸中的小球只能提供同一个小球的颜色信息，如果我们采用不放回摸球,即从袋中摸出一个球后不再放回袋中，每次摸球都在余下的球中随机摸取,这样就可以避免同一个小球被重复摸中.特别地，当样本量n=1000时，不放回摸球已经把袋中的所有球取出，这就完全了解了袋中红球的比例，而有放回摸球一般还不能对袋中红球的比例作出准确的判断.

1.概念：

一般地,设一个总体含有N个个体,从中　　　　　　地抽取n个个体作为样本(n≤N),如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会　　　　,就把这种抽样方法叫作简单随机抽样,这样抽取的样本,叫作简单随机样本.；简单随机抽样；逐个不放回;都相等

2.最常用的简单随机抽样方法有两种:　　　　、

抽签法；随机数法

3.简单随机抽样的特点

有限的;小于或等于;逐个抽取;不放回;

问题1 一家家具厂要为树人中学高一年级制作课桌椅,他们事先想了解全体高一年级学生的平均身高,以便设定可调节课桌椅的标准高度.已知树人中学高一年级有712名学生,如果要通过简单随机抽样的方法调查高一年级学生的平均身高,应该怎么抽取样本?

    在这个问题中，树人中学全部高一年级的学生构成调查的总体，每一位学生是个体,学生的身高是调查的变量.与“探究”栏目中估计红球的比例类似，我们可以对高一年级进行简单随机抽样，用抽出的样本的平均身高估计高一年级学生的平均身高.实现简单随机抽样的方法有很多，抽签法和随机数法是比较常用的两种方法.

下面分别介绍这两种方法.

1.抽签法：

    先给712名学生编号，例如按1～712进行编号，然后把所有编号写在外观、质地等无差别的小纸片(也可以是卡片、小球) 上作为号签,并将这些小纸片放在一个不透明的盒里,充分搅拌.最后从盒中不放回地逐个抽取号签，使与号签上的编号对应的学生进入样本，直到抽足样本所需要的人数.

为什么要给学生编号?编号用学号可以吗?

(1)抽签法的定义:

 一般地，抽签法就是把总体中的N个个体编号,把号码写在号签上,将号签放在一个容器中搅拌均匀,每次不放回地从中抽取一个号签,连续抽取n次,就得到一个容量为n的样本.

    抽签法的优点是简单易行，缺点是当总体较大时，操作起来比较麻烦，费时、费力，又不方便.因此,抽签法一般适用于总体中个体数不多的情形.

你认为抽签法有什么优点和缺点?当总体中的个体数很多时，用抽签法方便吗？

 (2)抽签法的优缺点:

2.随机数法

     先给712名学生编号,例如按1～712进行编号.用随机数工具产生1～712范围内的整数随机数，把产生随机数作为抽中编号，使与编号对应学生进入样本.重复上述过程,直到抽足所需要人数.

比较随机数法与抽签法，它们各有什么优点和缺点?

(2)随机数法的步骤:

①将总体的个体编号；

②在产生的随机数选择数字；

③读数获取样本号码.

(1)随机数法的概念:

  利用随机数工具产生的随机数进行抽样方法，叫做随机数法.

如果生成的随机数有重复，即同与编号被多次抽到，可以剔除重复的编号并重新产生随机数，直到产生的

不同编号个数等于样本所需要的人数.

一般说来，在计算器或计算机软件没有特殊设定的情况下，它们生成的随机数，都是可重复的.为了确认你使用的计算器或计算机软件的情况，可以查阅它的说明书，也可以通过测试它能否生成3个整数随机数1或2来进行判断.

(1)用随机试验生成随机数

(2)用信息技术生成随机数

准备10个大小、质地一样的小球,小球上分别写上数字0，1,2,…,9，把它们放入一个不透明的袋中,从袋中有放回摸取3次，每次摸取前充分搅拌,并把第一、二、三次摸到的数字分别作为百、十、个位数,这样就生成了一个三位随机数.如果这个三位数在1～712范围内,就代表对应编号的学生被抽中,否则舍弃编号. 这样产生的随机数可能会有重复.

进入计算器的计算模式(不同的计算器型号可能会有不同)，调出生成随机数的函数并设置参数，例如RandInt# (1, 712)， 按“=”键即可生成1~712范围内的整数随机数.重复按“=”键，可以生成多个随机数.这样产生的随机数可能会有重复.

①用计算器生成随机数

在电子表格软件的任一单元格中,输入“=RANDBETWEEN (1,712)”,即可生成一个1～712范围内的整数随机数.再利用电子表格软件的自动填充功能,可以快速生成大量的随机数(如下图1).这样产生的随机数可能会有重复.

②用电子表格软件生成随机数

在R软件的控制台中，输入“sample (1: 712， 50， replace=F) ”，按回车键，就可以得到50个1～712范围内的不重复的整数随机数(如下图).

③用R统计软件生成随机数

R软件是免费的统计软件,该软件具有比较强大数据处理、绘图和分析等统计功能，在统计学研究和学习中被广泛使用. 

编号;任选一个;方向;跳过;取出

    随着信息技术发展,人们更多利用计算器、数学软件、统计软件等来生成随机数.尤其是统计软件，可以非常方便地按要求生成各种随机数.用信息技术工具产生随机数最大的优点是方便、快捷.

    我们知道，在重复试验中，试验次数越多，频率接近概率的可能性越大.与此类似，用简单随机抽样的方法抽取学生，样本量越大,样本中不同身高的比例接近总体中相应身高的比例的可能性也越大，样本的平均身高接近总体的平均身高的可能性也越大.即对于样本的代表性,一般说来，样本量大的会好于样本量小的.尤其是样本量不大时，增加样本量可以较好地提高估计的效果.但是，在实际抽样中，样本量的增大会导致调查的人力、费用、时间等成本的增加.因此，抽样调查中样本量的选择要根据实际问题的需要，并不一定是越大越好.

用简单随机抽样方法抽取样本，样本量是否越大越好?

在简单随机抽样调查中，当样本量和总体一样大时，就是全面调查了.

由生活中的问题出发，提出问题，让学生感受到统计在生活中的广泛应用。发展学生数学抽象、直观想象和逻辑推理的核心素养。

通过人口普查问题，让学生感受学习抽样方法的必要性，发展学生数学抽象、逻辑推理的核心素养。

通过实例分析，让学生掌握简单随机抽样的两种基本方法，并熟悉的应用能力，提升推理论证能力，提高学生的数学抽象、数学建模及逻辑推理的核心素养。

三、达标检测

1.对于简单随机抽样,每个个体被抽到的机会(　)

A.相等         B.不相等      C.不确定         D.与抽取的次数有关

A[解析] (1)由简单随机抽样的概念可知,每个个体被抽到的机会相等,与抽取的次数无关.

2.为了了解某地区高三学生升学考试中数学成绩的情况,抽取了50本密封试卷,每本有30份试卷,则样本容量是(　　)

A.30           B.50        C.1500         D.150

C[解析] 样本容量为50×30=1500.

3.抽签法中确保样本具有代表性的关键是 (　)

A.制签       B.搅拌均匀       C.逐一抽取     D.抽取不放回

B[解析] (3)搅拌均匀是为了使每个个体进入样本的可能性相等,可以保证样本真实,反映总体特征.

4.下列5个抽样中,简单随机抽样的个数是(　　)

①从无数个个体中抽取50个个体作为样本;

②仓库中有1万支奥运火炬,从中一次性抽取100支火炬进行质量检查;

③某连队从200名党员官兵中,挑选出50名最优秀的官兵赶赴青海参加抗震救灾工作;

④一彩民选号,从装有36个大小、形状都相同的号签的盒子中无放回地抽出6个号签;

⑤箱子里共有100个零件,从中选出10个零件进行质量检验,在抽样操作中,从中任意取出1个零件进行质量检验后,再把它放回箱子里.

A.0      B.1       C.2           D.3

B[解析] 根据简单随机抽样的特点逐个判断.

①不是简单随机抽样,因为简单随机抽样要求被抽取的样本总体的个数是有限的.

②不是简单随机抽样,虽然“一次性抽取”和“逐个抽取”不影响个体被抽到的可能性,但简单随机抽样要求的是“逐个抽取”.

③不是简单随机抽样,因为50名官兵是从中挑出来的,是最优秀的,每个个体被抽到的可能性不同,不符合简单随机抽样中“等可能抽样”的要求.

④是简单随机抽样,因为总体中的个体数是有限的,并且是从总体中逐个进行抽取的,是不放回、等可能的抽样.

⑤不是简单随机抽样,因为它是有放回的抽样.综上,只有④是简单随机抽样.

5.用简单随机抽样方法从含有10个个体的总体中,抽取一个容量为3的样本,其中某一个体a“第一次被抽到”的可能性,“第二次被抽到”的可能性分别是(　　)

A.,       B.,C.,           D.,

A[解析] 在抽样过程中,个体a每一次被抽到的概率是相等的,都为.

6. 2022年第24届冬季奥林匹克运动会将在北京市和张家口市联合举行,这是中国历史上第一次举办冬季奥运会.组委会计划从某高校报名的20名志愿者中选取5人组成奥运志愿小组,请用抽签法设计抽样方案.

解:(1)将20名志愿者编号,号码分别是01,02,…,20;

(2)将号码分别写在20张大小、形状都相同的纸条上,揉成团,制成号签;

(3)将所得号签放在一个不透明的袋子中,并搅拌均匀;

(4)从袋子中依次不放回地抽取5个号签,并记录下上面的号码;

(5)所得号码对应的志愿者就是奥运志愿小组的成员.

7.有一批机器编号为1,2,3,…,112,请用随机数表法抽取10台入样,写出抽样过程(见课本本章随机数表).

解:第一步,将原来的编号调整为001,002,…,112.

第二步,在随机数表中任选一数作为开始,任选一方向作为读数方向.比如,选第9行第7个数“3”向右读(见课本本章随机数表).

第三步,从“3”开始向右读,每次取三位,凡不在001~112中的数跳过去不读,前面已经读过的数不读,依次可得到074,100,094,052,080,003,105,107,083,092.

第四步,对应原来编号为74,100,94,52,80,3,105,107,83,92的机器便是要抽取的对象.

通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题，发展学生的数学抽象、逻辑推理、数学运算、数学建模的核心素养。

四、小结

五、课时练

通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力。