2021学年8.4 空间点、直线、平面之间的位置关系教学设计

空间点线面的位置关系

【学习目标】

（1）理解空间直线、平面位置关系的定义；

（2）了解可以作为推理依据的公理和定理；

（3）能运用公理、定理和已经获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题。

【要点梳理】

要点一、直线与直线的位置关系

（1）位置关系的分类

（2）异面直线所成的角

①定义：设a,b是两条异面直线，经过空间中任一点O作直线a’∥a,b’∥b,把a’与b’所成的锐角（或直角）叫做异面直线a与b所成的角（或夹角）

②范围：

要点诠释：证明两直线为异面直线的方法：

1、定义法（不易操作）

2、反证法：先假设两条直线不是异面直线，即两直线平行或相交，由假设的条件出发，经过严密的推理，导出矛盾，从而否定假设肯定两条直线异面。此法在异面直线的判定中经常用到。

3、客观题中，也可用下述结论：

过平面外一点和平面内一点的直线，与平面内不过该点的直线是异面直线，如图：

要点二、直线和平面、两个平面的位置关系

1、直线和平面的位置关系

2、两个平面的位置关系

要点三、平行公理、等角定理

平行于同一条直线的两条直线互相平行。（但垂直于同一条直线的两直线的位置关系可能平行，可能相交，也可能异面）

空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。

要点诠释：

（1）以空间几何体为载体，考查逻辑推理能力；

（2）通过判断位置关系，考查空间想象能力；

（3）应用公理、定理证明点共线、线共面等问题；

（4）多以选择、填空的形式考查，有时也出现在解答题中。

【典型例题】

类型一、异面直线的判定

例1已知空间四边形ABCD.

(1)求证：对角线AC与BD是异面直线;

(2)若AC⊥BD,E,F,G,H分别这四条边AB,BC,CD,DA的中点,试判断四边形EFGH的形状;

(3)若AB＝BC＝CD＝DA,作出异面直线AC与BD的公垂线段.翰林汇

【证明】(1)（反证法）假设AC与BD不是异面直线，则AC与BD共面，

所以A、B、C、D四点共面

这与空间四边形ABCD的定义矛盾

所以对角线AC与BD是异面直线

 (2)解：∵E,F分别为AB,BC的中点,∴EF//AC,且EF=AC.

同理HG//AC,且HG=AC.∴EF平行且相等HG,∴EFGH是平行四边形.

又∵F,G分别为BC,CD的中点,∴FG//BD,∴∠EFG是异面直线AC与BD所成的角.

∵AC⊥BD,∴∠EFG=90o.∴EFGH是矩形.

(3)  作法取BD中点E,AC中点F,连EF,则EF即为所求.

【变式】如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1中，M、N分别是A1B1、B1C1的中点。问：

（1）AM和CN是否是异面直线？说明理由；（2）D1B和CC1是否是异面直线？说明理由。

【解析】（1）不是异面直线。理由：连接MN、A1C1、AC。∵M、N分别是A1B1、B1C1的中点，∴MN// A1C1，又∵A1A CC1，∴A1ACC1为平行四边形。∴A1C1//AC，得到MN//AC，∴A、M、N、C在同一平面内，故AM和CN不是异面直线。

（2）是异面直线。证明如下：

∵ABCD-A1B1C1D1是正方体，∴B、C、C1、D1不共面。假设D1B与CC1不是异面直线，则存在平面α，使D1B平面α，CC1平面α，∴D1、B、C、C1∈α，∴与ABCD-A1B1C1D1是正方体矛盾。∴假设不成立，即D1B与CC1是异面直线

【点评】（1）易证MN//AC，∴AM与CN不异面。（2）由图易判断D1B和CC1是异面直线，证明时常用反证法。

类型二、平面的基本性质及平行公理的应用

例2如图，四边形ABEF和ABCD都是直角梯形，∠BAD=∠FAB=900，BCAD，BEFA，G、H分别为FA、FD的中点。

（1）证明：四边形BCHG是平行四边形；

（2）C、D、F、E四点是否共面？为什么？

【解析】（1）

（2）方法一：

方法二：如图，延长FE，DC分别与AB交于点M，，∵BEAF，∴B为MA中点。∵BCAD，∴B为中点，∴M与重合，即FE与DC交于点M（），∴C、D、F、E四点共面。

【变式】已知，从平面外一点引向量

，

（1）求证：四点共面；（2）平面平面．

【解析】法一：（1）∵四边形是平行四边形，∴，

∵，

∴共面；

（2）∵，又∵，

∴

所以，平面平面．

法二：（1）

∴

∴    同理  又 ∴

∴共面；

（2）由（1）知：，从而可证

同理可证，所以，平面平面．

类型三、异面直线所成的角

例3空间四边形ABCD中，AB=CD且AB与CD所成的角为300，E、F分别是BC、AD的中点，求EF与AB所成角的大小。

【答案】取AC的中点G，连接EG、FG，则EG//AB，GF//CD，且由AB=CD知EG=FG，∴∠GEF（或它的补角）为EF与AB所成的角，∠ＥＧＦ（或它的补角）为ＡＢ与ＣＤ所成的角。

∵ＡＢ与CD所成的角为300，∴∠ＥＧＦ=300或1500。由EG=FG知ΔEFG为等腰三角形，当∠ＥＧＦ=300时，∠GEF=750；当∠ＥＧＦ=1500时，∠GEF=150。故EF与AB所成的角为150或750。

【解析】要求EF与AB所成的角，可经过某一点作两条直线的平行线，考虑到E、F为中点，故可过E或F作AB的平行线。取AC的中点，平移AB、CD，使已知角和所求的角在一个三角形中求解。

类型四、点共线、线共点、线共面问题

例4．如图，已知：E、F、G、H分别是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱AB、BC、CC1、C1D1的中点，证明：FE、HG、DC三线共点．

证明：连结C1B，HE，FG，由题意知HC1平行与EB，∴四边形HC1BE是平行四边形．

∴HE∥C1B.

又C1G＝GC＝CF＝BF，

故GFC1B，

∴GF∥HE，且GF≠HE，

∴HG与EF相交．

设交点为K，

则K∈HG，

HG⊂平面D1C1CD，

∴K∈平面D1C1CD.

∵K∈EF，EF⊂平面ABCD，∴K∈平面ABCD.

∵平面D1C1CD∩平面ABCD＝DC，

∴K∈DC，∴FE、HG、DC三线共点。

【变式】如右图，在四面体ABCD中作截面PQR，若PQ、CB的延长线交于M，RQ、DB的延长线交于N，RP、DC的延长线交于K。求证：M、N、K三点共线。

【证明】 因为M∈PQ平面PQR，M∈BC平面BCD，又因为M是平面PQR与平面BCD的一个公共点，即M在平面PQR与平面BCD的交线l上。

同理可证：N、K也在l上，所以M、N、K三点共线。

例5．. 如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为AB中点，F为AA1中点，

求证：(1) E、C、D1、F四点共面；

(2) CE、D1F、DA三线共点．

【证明】(1) 连结A1B 则EF∥A1B  A1B∥D1C

∴EF∥D1C     ∴E、F、D1、C四点共面

(2) 面D1A∩面CA＝DA

∴EF∥D1C  且EF＝D1C

∴D1F与CE相交  又D1F面D1A，CE面AC

∴D1F与CE的交点必在DA上

∴CE、D1F、DA三线共点．

【变式】在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为AB中点，F为AA1中点，

求证：CE、D1F、DA三线共点

【证明】因为EF//CD1且等于CD1，所以分别连接D1F、CE并延长交于一点P。

因为D1F平面A1D1DA，所以P∈平面A1D1DA

又因为CE平面AC，所以P∈平面ABCD，因为平面A1D1DA∩平面ABCD=AD，

所以P∈AD，所以CE、D1F、DA三线共点。