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【单元测试】高中数学人教A版(2019)必修第二册--《第六章 平面向量及应用》单元测试1（含解析）
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这是一份【单元测试】高中数学人教A版(2019)必修第二册--《第六章 平面向量及应用》单元测试1（含解析），共15页。
人教A版（2019）必修第二册《第六章 平面向量及应用》单元测试
一 、单选题（本大题共8小题，共40分）
1.（5分）(理) 已知向量a→=(2cosϕ,2sinϕ)，ϕ∈(π2,π)，向量b→=(0,-1)，则向量a→与b→的夹角为( )
A. ϕ B. π2+φ C. φ-π2 D. 3π2-φ
2.（5分）在ΔABC中，点D为边AB上一点，若BC⊥CD，AC=32，AD=3，sin∠ABC=33，则ΔABC的面积是( )
A. 922 B. 1522 C. 62 D. 122
3.（5分）ΔABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b=6，c=2，∠A的平分线AD交BC于点D，且AD=3.设P为ΔABC内一点，且PA→.PB→=0，∠APC=150°，则tan∠PAB=
A. 39 B. 36 C. 239 D. 233
4.（5分）在ΔABC中，c=3，B=45°，C=60°，则b=( )
A. 22 B. 32 C. 322 D. 2
5.（5分）△ABC的内角A，B，C的对边为a，b，c，满足2ccosB+bcosA=acos(A+C)，c=2，a=4，D为边AC上一点满足CD→=2DA→，则|BD→|=()
A. 433 B. 169 C. 43 D. 23
6.（5分）已知向量a→=(k,2k-1)，b→=(1,3)，若a→//b→，则a→.b→=( )
A. 15 B. 65 C. -10 D. -6
7.（5分）在ΔABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，若b=3，B=60°，若ΔABC仅有一个解，则a的取值范围是( )
A. (0,3]∪{ 2} B. (0,32)
C. (0,32]∪{ 2} D. { 2}
8.（5分）已知向量a→=(1,2)，b→=(-1,m)，若a→⊥b→，则m的值为( )
A. -2 B. 2 C. 12 D. -12
二 、多选题（本大题共5小题，共25分）
9.（5分）若a→，b→，c→是任意的非零向量，则下列叙述正确的是()
A. 若a→=b→，则|a→|=|b→|
B. 若a→⋅c→=b→⋅c→，则a→=b→
C. 若a→//b→，b→//c→，则a→//c→
D. 若|a→+b→|=|a→-b→|，则a→⊥b→
10.（5分）已知A(2,4)，B(4,1)，C(9,5)，D(7,8)，如下四个结论正确的是( )
A. AB→⊥AC→
B. 四边形ABCD为平行四边形
C. AC→与BD→夹角的余弦值为729145
D. |AB→+AC→|=85
11.（5分）在ΔABC中，角A，B，C所对边长为a，b，c，A=π3，角A的平分线AD交BC于D，且AD=2，则下列说法正确的是( )
A. 若c=2，则BD=6-2 B. 若c=2，则ΔABC的外接圆半径是2
C. 3bc=b+c D. bc⩾163
12.（5分）在ΔABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A=π3，b+c=10，a=210，则三角形的面积不可能是( )
A. 53 B. 63 C. 143 D. 163
13.（5分）已知数列{an}，a1=1，a2=5，在平面四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点E，且AE→=2EC→，当n⩾2时，恒有BD→=(an-2an-1)BA→+(an+1-3an)BC→，则()
A. 数列{an}为等差数列 B. BE→=13BA→+23BC→
C. 数列{an}为等比数列 D. an+1-an=4n
三 、填空题（本大题共5小题，共25分）
14.（5分）已知在ΔABC和点M满足 MA→+MB→+MC→=0→，若存在实数m使得AB→+AC→=mAM→成立，则m=______．
15.（5分）在锐角ΔABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若b=2，B=π3且c⋅sinA=3a⋅cosC，则ΔABC的面积为 ______ ．
16.（5分）已知向量a→，b→满足|a→|=1，|b→|=2，且|2a→+b→|=10，则a→⋅b→=________.
17.（5分）△ABC中，角A，B，C对边分别为a，b，c，点P是△ABC所在平面内的动点，满足OP→=OB→+λ(BC→|BC→|+BA→|BA→|)(λ>0).射线BP与边AC交于点D.若B=π3，BD=2，则△ABC面积的最小值为 ______.
18.（5分）在四边形，ABCD中，若AB→=DC→，且|AB→+AD→|=|AB→-AD→|，则四边形ABCD的形状是 ______ .
四 、解答题（本大题共5小题，共60分）
19.（12分）已知ΔABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.设3sin Bsin C+3sin Csin B=3sin2Asin Bsin C+42.
(1)求tanA的值；
(2)若2sin B=3sin C，且SΔABC=22，求a的值．
20.（12分）在①3c2=16S+3(b2-a2)；②5bcosC+4c=5a，这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题目．
在ΔABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设ΔABC的面积为S，已知______．
(1)求tanB的值；
(2)若S=42，a=10，求b的值．
21.（12分）在ΔABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b=1，面积S=a28sinA.再从以下两个条件中选择其中一个作为已知，求三角形的周长．
(1)B=π6；
(2)B=C．
22.（12分）已知|a→|=4，|b→|=3，(2a→-3b→)⋅(2a→+b→)=61.求：
(1)a→与b→的夹角
(2)|a→+b→|.
23.（12分）已知ΔABC中，tanB=2tanA，tanC=3tanA，且A为锐角．
(1)求cosA的值；
(2)若SΔABC=30，求BC的值．
答案和解析
1.【答案】D;
【解析】解：∵a→=(2cosϕ,2sinϕ)，b→=(0,-1)
∴|a→|=2，|b→|=1，a→⋅b→=-2sinϕ
设向量a→与b→的夹角为θ
则cosθ=a→.b→|a→|.|b→|=-sinϕ
又∵0°⩽θ⩽180°，ϕ∈(π2,π)
θ=3π2-φ
故选D．
由向量a→=(2cosϕ,2sinϕ)，b→=(0,-1)，根据向量模与数量积运算公式，我们易计算出|a→|，|b→|，a→⋅b→，代入cosθ=a→.b→|a→|.|b→|我们易求出向量a→与b→的夹角．
该题考查的知识点是平面向量数量积的坐标表示、模、夹角，其中利用cosθ=a→.b→|a→|.|b→|计算两个向量的夹角是解答本题的关键，属中档题．
2.【答案】C;
【解析】
此题主要考查的是解三角形的应用和余弦定理，属于中等题.
先根据余弦定理求出CD的长，即可得BD，BC的长，后求ΔABC的面积即可.
解：∵BC⊥CD，
∴∠BCD=π2，则cos∠ADC=cos(∠CBA+π2)=-sin∠CBA=-33.
在ΔACD中，AC=32，AD=3，
由余弦定理得(32)2=3+CD2-23×CD×(-33)，
解得CD=3.
在RtΔBCD中，CD=3，sin∠ABC=33，
则BD=33，BC=32.
故SΔABC=12AB.BC.sin∠ABC=12×43×32×33=62.
故选C.
3.【答案】B;
【解析】
此题主要考查正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用，属于较难题.
利用角平分线性质以及余弦定理，得出BC的值，从而得出ΔABC为等腰三角形，设∠PAB=α，在ΔPAC运用正弦定理建立关于α的三角函数方程即可求解.
解：由题意，根据角平分线的性质，得ACAB=CDBD=3，设BD=x，则CD=3x，
由cos∠ADB=-cos∠ADC，得x2+3-223x=-3x2+3-623.3x，解得x=6-22，
所以BC=BD+CD=2，则AB=BC，所以ΔABC为等腰三角形，
在ΔABC中，由余弦定理得cos∠ABC=2+2-62×2×2=-12，
所以∠ABC=120°，所以∠BAC=∠ACB=30°，
设∠PAB=α，因为PA→⋅PB→=0，所以∠APB=90°，得PA=2cosα，
因为∠PAB+∠PAC=∠PAC+∠PCA=30°，所以∠PCA=∠PAB=α，
在ΔPAC中，由正弦定理得6sin150°=2cosαsinα，化简得tanα=36，即tan∠PAB=36.
故选B.
4.【答案】D;
【解析】
此题主要考查正弦定理的应用，属于基础题，直接利用正弦定理化简求解即可.
解：在ΔABC中，c=，B=45°，C=60°，
则b===.
故选D.
5.【答案】C;
【解析】解：∵由2ccosB+bcosA=acos(A+C)，
可得：2sinCcosB+sinBcosA=-sinAcosB，即2sinCcosB=-sin(A+B)=-sinC，
∵sinC≠0，
∴cosB=-12.
又∵CD→=2DA→，
∴BD→-BC→=2(BA→-BD→)，即BD→=23BA→+13BC→，
两边平方可得：BD→2=(23BA→+13BC→)2=49BA→2+19BC→2+49BA→⋅BC→=169+169-169=169，
解得|BD→|=43.
故选：C.
利用三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得cosB=-12，由已知可得BD→=23BA→+13BC→，两边平方，利用平面向量数量积的运算即可求解．
本题主要考查了三角函数恒等变换以及平面向量数量积的运算，考查了转化思想，属于基础题．
6.【答案】C;
【解析】
这道题主要考查了向量平行及垂直的坐标表示，属于基础试题．
由a→//b→，结合向量平行的坐标表示可求k，然后结合向量垂直的坐标表示可求．
解：∵a→=(k,2k-1)，b→=(1,3)，且a→//b→，
∴3k-(2k-1)=0，
∴k=-1，
则a→.b→=k+3(2k-1)=-10
故选C．
7.【答案】A;
【解析】
由题意可知，有两种情形满足题意①b=asinB；②b⩾a，代入数据解之即可．
该题考查正弦定理的应用，考查学生的分析能力和逻辑推理能力，属于中档题．
解：因为B为锐角，所以ΔABC仅有一个解，有两种情形：
①b=asinB，即3=a×32，所以a=2；
②b⩾a，即0
故选：A．
8.【答案】C;
【解析】
此题主要考查了向量垂直与向量数量积之间的关系，属于基础题.
根据两向量垂直，其数量积为0，列式解得m的值.
解：∵a→=1,2,b→=-1,m,a→⊥b→，
∴-1+2m=0，
∴m=12.
故选C .
9.【答案】ACD;
【解析】解：对应A，若a→=b→，则向量a→,b→长度相等，方向相同，故|a→|=|b→|，故A正确；
对于B，当a→⊥c→且b→⊥c→时，a→⋅c→=b→⋅c→=0，但a→，b→可以不相等，故B错误；
对应C，若a→//b→，b→//c→，则a→,b→方向相同或相反，b→,c→方向相同或相反，
故a→,c→的方向相同或相反，故a→//c→，故C正确；
对应D，若|a→+b→|=|a→-b→|，则a→2+2a→·b→+b→2=a→2-2a→·b→+b→2，∴a→·b→=0，
∴a→⊥b→，故D正确．
故选：ACD.
根据平面向量的定义、数量积定义、共线向量定义进行判断．
本题考查平面向量的有关定义，性质，数量积与向量间的关系，属于基础题．
10.【答案】BD;
【解析】
此题主要考查了向量的坐标运算、向量的数量积、向量模的坐标表示，属于基础题.
求出向量坐标，再利用向量的数量积、向量共线以及向量模的坐标表示即可一一判断.
解：由，
所以，，， BD→=3, 7，
对于A，，故A错误；
对于B，由，，则，
即与平行且相等，故B正确；
对于C，，故C错误；
对于D，，故D正确；
故选BD.
11.【答案】ABD;
【解析】解：对于A，c=2时，在ΔABD中，由余弦定理BD2=AB2+AD2-2AB⋅AD⋅cos∠BAD=4+4-2×2×2×32=2(4-23)=2(3-1)2，
所以BD=2(3-1)=6-2，故A正确；
对于B，若c=2时，ΔABD为等腰三角形，所以∠ABD=180°-30°2=75°，
所以在ΔABC中，∠ACB=180°-60°-75°=45°，由正弦定理2R=csinC=222=22，所以R=2，故B正确；
对于C，因为SΔABD+SΔADC=SΔABC，
所以12(b+c)⋅AD⋅sin30°=12bcsin60°，所以3bc=2(b+c)，故C错误；
对于D，因为3bc=2(b+c)⩾4bc，所以3(bc)2⩾16bc，可得bc⩾163，当且仅当b=c时，等号成立，故正确．
故选：ABD.
对于A，由已知在ΔABD中，利用余弦定理可求BD的值，即可得解；对于B，若c=2，可求∠ABD=75°，在ΔABC中，可求∠ACB=45°，由正弦定理即可求解；对于C，由题意利用三角形的面积公式即可求解；对于D，由题意利用基本不等式即可求解．
此题主要考查了余弦定理，正弦定理，三角形的面积公式，基本不等式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
12.【答案】BCD;
【解析】解：因为A=π3，b+c=10，a=210，
所以由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA，可得40=b2+c2-bc=(b+c)2-3bc=100-3bc，
解得bc=20，
所以SΔABC=12bcsinA=12×20×32=53.
故选：BCD.
由已知利用余弦定理可求bc的值，进而根据三角形的面积公式即可求解．
此题主要考查了余弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
13.【答案】BD;
【解析】解：对角线AC与BD交于点E，且AE→=2EC→，作图如下
AE→=2EC→，⇒AE→=23AC→，
⇒AB→+BE→=23(BC→-BA→)，
⇒BE→=23BC→+13BA→，故B正确；
∵B，E，D三点共线，则有BD→=λBE→，
∴{an-2an-1=13λan+1-3an=23λ，
于是an+1-3anan-2an-1=2，
⇒an+1=5an-4an-1，
对于求数列{an}的通项公式下面写两种解法：
解法1：所以an+1-an=4(an-an-1)，
故数列{an+1-an}是以a2-a1=4为首项，以4为公比的等比数列，
即an+1-an=4n，于是有
an-a1=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a3-a2)+(a2-a1)
=4n-1+4n-2+…+42+41=4(1-4n-1)1-4=43(4n-1-1)，
于是an=4n3-13，
解法2：
由特征根知：x2=5x-4
⇒x2-5x+4=0
⇒{x1=1x2=4，
∴an=A·x1n+B·x2n=A+B4n，
∵a1=1，a2=5，
∴{A+4B=1A+16B=5，
⇒{A=-13B=13，
∴an=4n3-13，
根据等差数列等比数列的定义可知，A，B错误；
an+1-an=(4n+13-13)-(4n3-13)=4n，
故D正确；
故选：BD.
由题意根据平面向量的线性运算可得BE→=23BC→+13BA→，进而判断B选项，再结合B，E，D三点共线，可得到an+1=5an-4an-1，进而求出数列{an}的通项公式，从而判断ACD的正误．
本题考查了平面向量的线性运算，等差等比数列的定义，数列通项的求法等知识点，主要考查学生分析问题解决问题的能力，综合性很强，属于难题．
14.【答案】3;
【解析】解：由点M满足MA→+MB→+MC→=0→，知点M为ΔABC的重心，
设点D为底边BC的中点，则AM→=23AD→=23× 12×(AB→+AC→)=13(AB→+AC→)
∴AB→+AC→=3AM→
∴m=3
故答案为：3
确定点M为ΔABC的重心，利用向量的加法法则，即可求得m的值．
该题考查平面向量的基本定理，考查向量的加法法则，解答该题的关键是确定点M为ΔABC的重心
15.【答案】3;
【解析】解：∵c.sinA=3a.cosC，由正弦定理可得sinC.sinA=3sinA.cosC．
∵sinA≠0, ∴sinC=3cosC，∴tanC=3，
又∵ΔABC是锐角三角形，
∴A=B=C=π3，
∴SΔABC=12×2×2×32=3，
故答案为3．
由条件利用正弦定理可得tanC=3，从而得到三角形为等边三角形，由此求得ΔABC的面积．
这道题主要考查正弦定理的应用，同角三角函数基本关系，属于中档题．
16.【答案】12;
【解析】【分析】
本题考查向量的数量积的运算，属于基础题，对|2a→+b→|=10两边同时平方，由数量积的运算可得答案.
【解答】
解：因为向量a→,b→，满足|a→|=1,|b→|=2,|2a→+b→|=10，
所以(2a→+b→)2=4|a→|2+|b→|2+4a→⋅b→=4+4+4a→⋅b→=10，
所以a→·b→=12
故答案为12 .
17.【答案】433;
【解析】解：∵OP→=OB→+λ(BC→|BC→|+BA→|BA→|)(λ>0).∴BP→=λ(AB→|AB→|+AC→|AC→|)(λ>0)，
∴点P在∠ABC的平分线上，即BD为∠ABC的平分线，
在△ABD中，∠ABD=π6，BD=2，利用正弦定理得ADsinπ6=BDsinA，∴AD=1sinA，
在△ACD中，∠DBC=π6，BD=2，利用正弦定理得CD=1sinC，
设∠ADB=θ，则θ=5π6-A，
S△ABC=S△ABD+S△CBD=12AD⋅BDsinθ+12CD⋅BDsin(π-θ)
=12×2sinθ(1sinA+1sinC)=sin(5π6-A)[1sinA+1sin(2π3-A)]=sin(5π6-A)⋅sinA+sin(2π3-A)sinA·sin(2π3-A)
=sin(π6+A)(32sinA+32cosA)sinAsin(A+π3)=3sin2(A+π6)sinAsin(A+π3)，
设A+π6=α，则π6<α<5π6，12
=3sin2α34sin2α-14cos2α=3sin2αsin2α-14=3+34(sin2α-14)⩾3+33=433，当α=π2，即A=π3时取等号．
故答案为：433.
由已知得点P在∠ABC的平分线上，即BD为∠ABC的平分线，正弦定理得AD=1sinA，CD=1sinC，S△ABC=3sin2(A+π6)sinAsin(A+π3)，计算可得△ABC面积的最小值．
此题主要考查向量的线性运算，以及正弦定理和三角恒等变换，属难题．
18.【答案】矩形;
【解析】解：由AB→=DC→可判断四边形ABCD是平行四边形，由|AB→+AD→|=|AB→-AD→|可知对角线相等，
所以四边形ABCD的形状是矩形．
故答案为：矩形．
由AB→=DC→可判断四边形ABCD是平行四边形，由|AB→+AD→|=|AB→-AD→|可知对角线相等，最后可判定四边形ABCD的形状．
此题主要考查向量加减法几何意义，考查直观想象能力，属于基础题．
19.【答案】解：(1)由正弦定理，得3bc+3cb=3a2bc+42，
即3b2+3c2=3a2+42bc，
则b2+c2-a22bc=223=cosA，
而sin2A+cos2A=1，
又A∈(0,π)，解得sinA=13，
故tanA=sinAcosA=24；
(2)因为2sinB=3sinC，则b=3c2，
因为SΔABC=22，故12bcsinA=22，
故12×3c22×13=22，解得c=22，
故b=6，
则a=b2+c2-2bccosA
=36+8-2×6×22×223=23.;
【解析】此题主要考查正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式，考查运算求解能力以及化归与转化思想，属于中档题 .
(1)先利用正弦定理和余弦定理得cosA=223，则sinA=13，进而可求tan A的值；
(2)由正弦定理，得b=3c2，由SΔABC=22，可求出c，b的值，进而利用余弦定理，可得a的值．
20.【答案】①;
【解析】
这道题主要考查了正弦定理，余弦定理及三角形的面积公式在求解三角形中的应用，属于中档试题．
(1)先对选项结合余弦定理及三角形的面积公式进行化简可求tanB，
(2)结合(1)可求cosB，然后利用余弦定理及三角形的面积公式即可求解．
解：选①3c2=16S+3(b2-a2)，
(1)∵3c2=16S+3(b2-a2)，
∴3(c2+a2-b2)=16s即3×2accosB=16×12acsinB，
所以3cosB=4sinB即tanB=34；
(2)由(1)可得sinB=35，cosB=45，
∴S=12acsinB=12×10c×35=3c=42，即c=14，
由余弦定理可得，45=100+196-b22×10×14，
整理可得，b=62．
故答案为：①．
21.【答案】解：（1）选B=π6，
由正弦定理得，asinA=bsinB=csinC=2，
故a=2sinA，c=2sinC
因为S=a28sinA=14a，
故12acsinB=14ac=14a，
所以c=1，sinC=12，
故C=π6（5π6舍去），
从而△ABC为等腰三角形，A=2π3，a=3，
此时三角形的周长2+3；
（2）选B=C，
所以b=c=1，S=a28sinA=12bcsinA=12sinA，
故asinA=2，
由正弦定理得，bsinB=2，则sinB=12，
从而B=C=π6，
从而△ABC为等腰三角形，A=2π3，a=3，
此时三角形的周长为2+3．;
【解析】
(1)选B=π6，由已知结合正弦定理及三角形的面积公式可先求出c，C，结合已知数据分析得等腰三角形，即可求解；
(2)选B=C，由等腰三角形形状及三角形面积公式及正弦定理可求B，C，进而可求A，a，从而可求．
此题主要考查了正弦定理，三角形的面积公式的应用，属于中档题．
22.【答案】解：（1）∵|a→|=4，|b→|=3，(2a→-3b→).(2a→+b→)=61，
∴4a2→-4a→.b→-3b2→=61，
即4×42-4×4×3cos＜a→，b→＞-3×32=61．
化为cos＜a→，b→＞=-12．
∴＜a→，b→＞=2π3．
（2）|a→+b→|=a2→+b2→+2a→.b→=42+32-2×4×3×(-12)=13．;
【解析】
(1)利用向量的数量积运算即可得出；
(2)利用向量数量积的性质即可得出．
该题考查了向量数量积的运算及其性质，属于基础题．
23.【答案】解：（1）△ABC中，tanA=-tan（B+C）=-tanB+tanC1-tanBtanC=-2tanA+3tanA1-6tan2A，
解可得，tan2A=1，
∵A为锐角．
∴tanA=1，cosA=22；
（2）∵tanB=2tanA，tanC=3tanA，
由tanA=1可得tanB=2，tanC=3，
∴B，C都为锐角，
∴sinB=255，sinC=31010，
由正弦定理可得，asinA=bsinB，
∴b=asinBsinA=25522a=2105a，
∴S△ABC=12absinC=12a×2105×31010=3a25，
∴3a25=30，
∴BC=a=52．;
【解析】
(1)由tanA=-tan(B+C)，利用两角和的正切公式可求tanA，进而可求cosA，
(2)由(1)及已知，可求tanB，tanC，结合同角平方关系可求sinB，sinC，然后由正弦定理，asinA=bsinB，可求b，结合三角形的面积公式SΔABC=12absinC可求
此题主要考查了两角和的正切公式及同角基本关系，正弦定理，三角形的面积公式等知识的综合应用．
人教A版（2019）必修第二册《第六章 平面向量及应用》单元测试
一 、单选题（本大题共8小题，共40分）
1.（5分）(理) 已知向量a→=(2cosϕ,2sinϕ)，ϕ∈(π2,π)，向量b→=(0,-1)，则向量a→与b→的夹角为( )
A. ϕ B. π2+φ C. φ-π2 D. 3π2-φ
2.（5分）在ΔABC中，点D为边AB上一点，若BC⊥CD，AC=32，AD=3，sin∠ABC=33，则ΔABC的面积是( )
A. 922 B. 1522 C. 62 D. 122
3.（5分）ΔABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b=6，c=2，∠A的平分线AD交BC于点D，且AD=3.设P为ΔABC内一点，且PA→.PB→=0，∠APC=150°，则tan∠PAB=
A. 39 B. 36 C. 239 D. 233
4.（5分）在ΔABC中，c=3，B=45°，C=60°，则b=( )
A. 22 B. 32 C. 322 D. 2
5.（5分）△ABC的内角A，B，C的对边为a，b，c，满足2ccosB+bcosA=acos(A+C)，c=2，a=4，D为边AC上一点满足CD→=2DA→，则|BD→|=()
A. 433 B. 169 C. 43 D. 23
6.（5分）已知向量a→=(k,2k-1)，b→=(1,3)，若a→//b→，则a→.b→=( )
A. 15 B. 65 C. -10 D. -6
7.（5分）在ΔABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，若b=3，B=60°，若ΔABC仅有一个解，则a的取值范围是( )
A. (0,3]∪{ 2} B. (0,32)
C. (0,32]∪{ 2} D. { 2}
8.（5分）已知向量a→=(1,2)，b→=(-1,m)，若a→⊥b→，则m的值为( )
A. -2 B. 2 C. 12 D. -12
二 、多选题（本大题共5小题，共25分）
9.（5分）若a→，b→，c→是任意的非零向量，则下列叙述正确的是()
A. 若a→=b→，则|a→|=|b→|
B. 若a→⋅c→=b→⋅c→，则a→=b→
C. 若a→//b→，b→//c→，则a→//c→
D. 若|a→+b→|=|a→-b→|，则a→⊥b→
10.（5分）已知A(2,4)，B(4,1)，C(9,5)，D(7,8)，如下四个结论正确的是( )
A. AB→⊥AC→
B. 四边形ABCD为平行四边形
C. AC→与BD→夹角的余弦值为729145
D. |AB→+AC→|=85
11.（5分）在ΔABC中，角A，B，C所对边长为a，b，c，A=π3，角A的平分线AD交BC于D，且AD=2，则下列说法正确的是( )
A. 若c=2，则BD=6-2 B. 若c=2，则ΔABC的外接圆半径是2
C. 3bc=b+c D. bc⩾163
12.（5分）在ΔABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A=π3，b+c=10，a=210，则三角形的面积不可能是( )
A. 53 B. 63 C. 143 D. 163
13.（5分）已知数列{an}，a1=1，a2=5，在平面四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点E，且AE→=2EC→，当n⩾2时，恒有BD→=(an-2an-1)BA→+(an+1-3an)BC→，则()
A. 数列{an}为等差数列 B. BE→=13BA→+23BC→
C. 数列{an}为等比数列 D. an+1-an=4n
三 、填空题（本大题共5小题，共25分）
14.（5分）已知在ΔABC和点M满足 MA→+MB→+MC→=0→，若存在实数m使得AB→+AC→=mAM→成立，则m=______．
15.（5分）在锐角ΔABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若b=2，B=π3且c⋅sinA=3a⋅cosC，则ΔABC的面积为 ______ ．
16.（5分）已知向量a→，b→满足|a→|=1，|b→|=2，且|2a→+b→|=10，则a→⋅b→=________.
17.（5分）△ABC中，角A，B，C对边分别为a，b，c，点P是△ABC所在平面内的动点，满足OP→=OB→+λ(BC→|BC→|+BA→|BA→|)(λ>0).射线BP与边AC交于点D.若B=π3，BD=2，则△ABC面积的最小值为 ______.
18.（5分）在四边形，ABCD中，若AB→=DC→，且|AB→+AD→|=|AB→-AD→|，则四边形ABCD的形状是 ______ .
四 、解答题（本大题共5小题，共60分）
19.（12分）已知ΔABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.设3sin Bsin C+3sin Csin B=3sin2Asin Bsin C+42.
(1)求tanA的值；
(2)若2sin B=3sin C，且SΔABC=22，求a的值．
20.（12分）在①3c2=16S+3(b2-a2)；②5bcosC+4c=5a，这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题目．
在ΔABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设ΔABC的面积为S，已知______．
(1)求tanB的值；
(2)若S=42，a=10，求b的值．
21.（12分）在ΔABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b=1，面积S=a28sinA.再从以下两个条件中选择其中一个作为已知，求三角形的周长．
(1)B=π6；
(2)B=C．
22.（12分）已知|a→|=4，|b→|=3，(2a→-3b→)⋅(2a→+b→)=61.求：
(1)a→与b→的夹角
(2)|a→+b→|.
23.（12分）已知ΔABC中，tanB=2tanA，tanC=3tanA，且A为锐角．
(1)求cosA的值；
(2)若SΔABC=30，求BC的值．
答案和解析
1.【答案】D;
【解析】解：∵a→=(2cosϕ,2sinϕ)，b→=(0,-1)
∴|a→|=2，|b→|=1，a→⋅b→=-2sinϕ
设向量a→与b→的夹角为θ
则cosθ=a→.b→|a→|.|b→|=-sinϕ
又∵0°⩽θ⩽180°，ϕ∈(π2,π)
θ=3π2-φ
故选D．
由向量a→=(2cosϕ,2sinϕ)，b→=(0,-1)，根据向量模与数量积运算公式，我们易计算出|a→|，|b→|，a→⋅b→，代入cosθ=a→.b→|a→|.|b→|我们易求出向量a→与b→的夹角．
该题考查的知识点是平面向量数量积的坐标表示、模、夹角，其中利用cosθ=a→.b→|a→|.|b→|计算两个向量的夹角是解答本题的关键，属中档题．
2.【答案】C;
【解析】
此题主要考查的是解三角形的应用和余弦定理，属于中等题.
先根据余弦定理求出CD的长，即可得BD，BC的长，后求ΔABC的面积即可.
解：∵BC⊥CD，
∴∠BCD=π2，则cos∠ADC=cos(∠CBA+π2)=-sin∠CBA=-33.
在ΔACD中，AC=32，AD=3，
由余弦定理得(32)2=3+CD2-23×CD×(-33)，
解得CD=3.
在RtΔBCD中，CD=3，sin∠ABC=33，
则BD=33，BC=32.
故SΔABC=12AB.BC.sin∠ABC=12×43×32×33=62.
故选C.
3.【答案】B;
【解析】
此题主要考查正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用，属于较难题.
利用角平分线性质以及余弦定理，得出BC的值，从而得出ΔABC为等腰三角形，设∠PAB=α，在ΔPAC运用正弦定理建立关于α的三角函数方程即可求解.
解：由题意，根据角平分线的性质，得ACAB=CDBD=3，设BD=x，则CD=3x，
由cos∠ADB=-cos∠ADC，得x2+3-223x=-3x2+3-623.3x，解得x=6-22，
所以BC=BD+CD=2，则AB=BC，所以ΔABC为等腰三角形，
在ΔABC中，由余弦定理得cos∠ABC=2+2-62×2×2=-12，
所以∠ABC=120°，所以∠BAC=∠ACB=30°，
设∠PAB=α，因为PA→⋅PB→=0，所以∠APB=90°，得PA=2cosα，
因为∠PAB+∠PAC=∠PAC+∠PCA=30°，所以∠PCA=∠PAB=α，
在ΔPAC中，由正弦定理得6sin150°=2cosαsinα，化简得tanα=36，即tan∠PAB=36.
故选B.
4.【答案】D;
【解析】
此题主要考查正弦定理的应用，属于基础题，直接利用正弦定理化简求解即可.
解：在ΔABC中，c=，B=45°，C=60°，
则b===.
故选D.
5.【答案】C;
【解析】解：∵由2ccosB+bcosA=acos(A+C)，
可得：2sinCcosB+sinBcosA=-sinAcosB，即2sinCcosB=-sin(A+B)=-sinC，
∵sinC≠0，
∴cosB=-12.
又∵CD→=2DA→，
∴BD→-BC→=2(BA→-BD→)，即BD→=23BA→+13BC→，
两边平方可得：BD→2=(23BA→+13BC→)2=49BA→2+19BC→2+49BA→⋅BC→=169+169-169=169，
解得|BD→|=43.
故选：C.
利用三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得cosB=-12，由已知可得BD→=23BA→+13BC→，两边平方，利用平面向量数量积的运算即可求解．
本题主要考查了三角函数恒等变换以及平面向量数量积的运算，考查了转化思想，属于基础题．
6.【答案】C;
【解析】
这道题主要考查了向量平行及垂直的坐标表示，属于基础试题．
由a→//b→，结合向量平行的坐标表示可求k，然后结合向量垂直的坐标表示可求．
解：∵a→=(k,2k-1)，b→=(1,3)，且a→//b→，
∴3k-(2k-1)=0，
∴k=-1，
则a→.b→=k+3(2k-1)=-10
故选C．
7.【答案】A;
【解析】
由题意可知，有两种情形满足题意①b=asinB；②b⩾a，代入数据解之即可．
该题考查正弦定理的应用，考查学生的分析能力和逻辑推理能力，属于中档题．
解：因为B为锐角，所以ΔABC仅有一个解，有两种情形：
①b=asinB，即3=a×32，所以a=2；
②b⩾a，即0
故选：A．
8.【答案】C;
【解析】
此题主要考查了向量垂直与向量数量积之间的关系，属于基础题.
根据两向量垂直，其数量积为0，列式解得m的值.
解：∵a→=1,2,b→=-1,m,a→⊥b→，
∴-1+2m=0，
∴m=12.
故选C .
9.【答案】ACD;
【解析】解：对应A，若a→=b→，则向量a→,b→长度相等，方向相同，故|a→|=|b→|，故A正确；
对于B，当a→⊥c→且b→⊥c→时，a→⋅c→=b→⋅c→=0，但a→，b→可以不相等，故B错误；
对应C，若a→//b→，b→//c→，则a→,b→方向相同或相反，b→,c→方向相同或相反，
故a→,c→的方向相同或相反，故a→//c→，故C正确；
对应D，若|a→+b→|=|a→-b→|，则a→2+2a→·b→+b→2=a→2-2a→·b→+b→2，∴a→·b→=0，
∴a→⊥b→，故D正确．
故选：ACD.
根据平面向量的定义、数量积定义、共线向量定义进行判断．
本题考查平面向量的有关定义，性质，数量积与向量间的关系，属于基础题．
10.【答案】BD;
【解析】
此题主要考查了向量的坐标运算、向量的数量积、向量模的坐标表示，属于基础题.
求出向量坐标，再利用向量的数量积、向量共线以及向量模的坐标表示即可一一判断.
解：由，
所以，，， BD→=3, 7，
对于A，，故A错误；
对于B，由，，则，
即与平行且相等，故B正确；
对于C，，故C错误；
对于D，，故D正确；
故选BD.
11.【答案】ABD;
【解析】解：对于A，c=2时，在ΔABD中，由余弦定理BD2=AB2+AD2-2AB⋅AD⋅cos∠BAD=4+4-2×2×2×32=2(4-23)=2(3-1)2，
所以BD=2(3-1)=6-2，故A正确；
对于B，若c=2时，ΔABD为等腰三角形，所以∠ABD=180°-30°2=75°，
所以在ΔABC中，∠ACB=180°-60°-75°=45°，由正弦定理2R=csinC=222=22，所以R=2，故B正确；
对于C，因为SΔABD+SΔADC=SΔABC，
所以12(b+c)⋅AD⋅sin30°=12bcsin60°，所以3bc=2(b+c)，故C错误；
对于D，因为3bc=2(b+c)⩾4bc，所以3(bc)2⩾16bc，可得bc⩾163，当且仅当b=c时，等号成立，故正确．
故选：ABD.
对于A，由已知在ΔABD中，利用余弦定理可求BD的值，即可得解；对于B，若c=2，可求∠ABD=75°，在ΔABC中，可求∠ACB=45°，由正弦定理即可求解；对于C，由题意利用三角形的面积公式即可求解；对于D，由题意利用基本不等式即可求解．
此题主要考查了余弦定理，正弦定理，三角形的面积公式，基本不等式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
12.【答案】BCD;
【解析】解：因为A=π3，b+c=10，a=210，
所以由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA，可得40=b2+c2-bc=(b+c)2-3bc=100-3bc，
解得bc=20，
所以SΔABC=12bcsinA=12×20×32=53.
故选：BCD.
由已知利用余弦定理可求bc的值，进而根据三角形的面积公式即可求解．
此题主要考查了余弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
13.【答案】BD;
【解析】解：对角线AC与BD交于点E，且AE→=2EC→，作图如下
AE→=2EC→，⇒AE→=23AC→，
⇒AB→+BE→=23(BC→-BA→)，
⇒BE→=23BC→+13BA→，故B正确；
∵B，E，D三点共线，则有BD→=λBE→，
∴{an-2an-1=13λan+1-3an=23λ，
于是an+1-3anan-2an-1=2，
⇒an+1=5an-4an-1，
对于求数列{an}的通项公式下面写两种解法：
解法1：所以an+1-an=4(an-an-1)，
故数列{an+1-an}是以a2-a1=4为首项，以4为公比的等比数列，
即an+1-an=4n，于是有
an-a1=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a3-a2)+(a2-a1)
=4n-1+4n-2+…+42+41=4(1-4n-1)1-4=43(4n-1-1)，
于是an=4n3-13，
解法2：
由特征根知：x2=5x-4
⇒x2-5x+4=0
⇒{x1=1x2=4，
∴an=A·x1n+B·x2n=A+B4n，
∵a1=1，a2=5，
∴{A+4B=1A+16B=5，
⇒{A=-13B=13，
∴an=4n3-13，
根据等差数列等比数列的定义可知，A，B错误；
an+1-an=(4n+13-13)-(4n3-13)=4n，
故D正确；
故选：BD.
由题意根据平面向量的线性运算可得BE→=23BC→+13BA→，进而判断B选项，再结合B，E，D三点共线，可得到an+1=5an-4an-1，进而求出数列{an}的通项公式，从而判断ACD的正误．
本题考查了平面向量的线性运算，等差等比数列的定义，数列通项的求法等知识点，主要考查学生分析问题解决问题的能力，综合性很强，属于难题．
14.【答案】3;
【解析】解：由点M满足MA→+MB→+MC→=0→，知点M为ΔABC的重心，
设点D为底边BC的中点，则AM→=23AD→=23× 12×(AB→+AC→)=13(AB→+AC→)
∴AB→+AC→=3AM→
∴m=3
故答案为：3
确定点M为ΔABC的重心，利用向量的加法法则，即可求得m的值．
该题考查平面向量的基本定理，考查向量的加法法则，解答该题的关键是确定点M为ΔABC的重心
15.【答案】3;
【解析】解：∵c.sinA=3a.cosC，由正弦定理可得sinC.sinA=3sinA.cosC．
∵sinA≠0, ∴sinC=3cosC，∴tanC=3，
又∵ΔABC是锐角三角形，
∴A=B=C=π3，
∴SΔABC=12×2×2×32=3，
故答案为3．
由条件利用正弦定理可得tanC=3，从而得到三角形为等边三角形，由此求得ΔABC的面积．
这道题主要考查正弦定理的应用，同角三角函数基本关系，属于中档题．
16.【答案】12;
【解析】【分析】
本题考查向量的数量积的运算，属于基础题，对|2a→+b→|=10两边同时平方，由数量积的运算可得答案.
【解答】
解：因为向量a→,b→，满足|a→|=1,|b→|=2,|2a→+b→|=10，
所以(2a→+b→)2=4|a→|2+|b→|2+4a→⋅b→=4+4+4a→⋅b→=10，
所以a→·b→=12
故答案为12 .
17.【答案】433;
【解析】解：∵OP→=OB→+λ(BC→|BC→|+BA→|BA→|)(λ>0).∴BP→=λ(AB→|AB→|+AC→|AC→|)(λ>0)，
∴点P在∠ABC的平分线上，即BD为∠ABC的平分线，
在△ABD中，∠ABD=π6，BD=2，利用正弦定理得ADsinπ6=BDsinA，∴AD=1sinA，
在△ACD中，∠DBC=π6，BD=2，利用正弦定理得CD=1sinC，
设∠ADB=θ，则θ=5π6-A，
S△ABC=S△ABD+S△CBD=12AD⋅BDsinθ+12CD⋅BDsin(π-θ)
=12×2sinθ(1sinA+1sinC)=sin(5π6-A)[1sinA+1sin(2π3-A)]=sin(5π6-A)⋅sinA+sin(2π3-A)sinA·sin(2π3-A)
=sin(π6+A)(32sinA+32cosA)sinAsin(A+π3)=3sin2(A+π6)sinAsin(A+π3)，
设A+π6=α，则π6<α<5π6，12
=3sin2α34sin2α-14cos2α=3sin2αsin2α-14=3+34(sin2α-14)⩾3+33=433，当α=π2，即A=π3时取等号．
故答案为：433.
由已知得点P在∠ABC的平分线上，即BD为∠ABC的平分线，正弦定理得AD=1sinA，CD=1sinC，S△ABC=3sin2(A+π6)sinAsin(A+π3)，计算可得△ABC面积的最小值．
此题主要考查向量的线性运算，以及正弦定理和三角恒等变换，属难题．
18.【答案】矩形;
【解析】解：由AB→=DC→可判断四边形ABCD是平行四边形，由|AB→+AD→|=|AB→-AD→|可知对角线相等，
所以四边形ABCD的形状是矩形．
故答案为：矩形．
由AB→=DC→可判断四边形ABCD是平行四边形，由|AB→+AD→|=|AB→-AD→|可知对角线相等，最后可判定四边形ABCD的形状．
此题主要考查向量加减法几何意义，考查直观想象能力，属于基础题．
19.【答案】解：(1)由正弦定理，得3bc+3cb=3a2bc+42，
即3b2+3c2=3a2+42bc，
则b2+c2-a22bc=223=cosA，
而sin2A+cos2A=1，
又A∈(0,π)，解得sinA=13，
故tanA=sinAcosA=24；
(2)因为2sinB=3sinC，则b=3c2，
因为SΔABC=22，故12bcsinA=22，
故12×3c22×13=22，解得c=22，
故b=6，
则a=b2+c2-2bccosA
=36+8-2×6×22×223=23.;
【解析】此题主要考查正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式，考查运算求解能力以及化归与转化思想，属于中档题 .
(1)先利用正弦定理和余弦定理得cosA=223，则sinA=13，进而可求tan A的值；
(2)由正弦定理，得b=3c2，由SΔABC=22，可求出c，b的值，进而利用余弦定理，可得a的值．
20.【答案】①;
【解析】
这道题主要考查了正弦定理，余弦定理及三角形的面积公式在求解三角形中的应用，属于中档试题．
(1)先对选项结合余弦定理及三角形的面积公式进行化简可求tanB，
(2)结合(1)可求cosB，然后利用余弦定理及三角形的面积公式即可求解．
解：选①3c2=16S+3(b2-a2)，
(1)∵3c2=16S+3(b2-a2)，
∴3(c2+a2-b2)=16s即3×2accosB=16×12acsinB，
所以3cosB=4sinB即tanB=34；
(2)由(1)可得sinB=35，cosB=45，
∴S=12acsinB=12×10c×35=3c=42，即c=14，
由余弦定理可得，45=100+196-b22×10×14，
整理可得，b=62．
故答案为：①．
21.【答案】解：（1）选B=π6，
由正弦定理得，asinA=bsinB=csinC=2，
故a=2sinA，c=2sinC
因为S=a28sinA=14a，
故12acsinB=14ac=14a，
所以c=1，sinC=12，
故C=π6（5π6舍去），
从而△ABC为等腰三角形，A=2π3，a=3，
此时三角形的周长2+3；
（2）选B=C，
所以b=c=1，S=a28sinA=12bcsinA=12sinA，
故asinA=2，
由正弦定理得，bsinB=2，则sinB=12，
从而B=C=π6，
从而△ABC为等腰三角形，A=2π3，a=3，
此时三角形的周长为2+3．;
【解析】
(1)选B=π6，由已知结合正弦定理及三角形的面积公式可先求出c，C，结合已知数据分析得等腰三角形，即可求解；
(2)选B=C，由等腰三角形形状及三角形面积公式及正弦定理可求B，C，进而可求A，a，从而可求．
此题主要考查了正弦定理，三角形的面积公式的应用，属于中档题．
22.【答案】解：（1）∵|a→|=4，|b→|=3，(2a→-3b→).(2a→+b→)=61，
∴4a2→-4a→.b→-3b2→=61，
即4×42-4×4×3cos＜a→，b→＞-3×32=61．
化为cos＜a→，b→＞=-12．
∴＜a→，b→＞=2π3．
（2）|a→+b→|=a2→+b2→+2a→.b→=42+32-2×4×3×(-12)=13．;
【解析】
(1)利用向量的数量积运算即可得出；
(2)利用向量数量积的性质即可得出．
该题考查了向量数量积的运算及其性质，属于基础题．
23.【答案】解：（1）△ABC中，tanA=-tan（B+C）=-tanB+tanC1-tanBtanC=-2tanA+3tanA1-6tan2A，
解可得，tan2A=1，
∵A为锐角．
∴tanA=1，cosA=22；
（2）∵tanB=2tanA，tanC=3tanA，
由tanA=1可得tanB=2，tanC=3，
∴B，C都为锐角，
∴sinB=255，sinC=31010，
由正弦定理可得，asinA=bsinB，
∴b=asinBsinA=25522a=2105a，
∴S△ABC=12absinC=12a×2105×31010=3a25，
∴3a25=30，
∴BC=a=52．;
【解析】
(1)由tanA=-tan(B+C)，利用两角和的正切公式可求tanA，进而可求cosA，
(2)由(1)及已知，可求tanB，tanC，结合同角平方关系可求sinB，sinC，然后由正弦定理，asinA=bsinB，可求b，结合三角形的面积公式SΔABC=12absinC可求
此题主要考查了两角和的正切公式及同角基本关系，正弦定理，三角形的面积公式等知识的综合应用．
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