高中数学人教A版 (2019)必修 第二册7.3* 复数的三角表示课堂检测

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第二册7.3* 复数的三角表示课堂检测，共19页。

一、单选题
1．以下不满足复数的三角形式的是（ ）．
A．；
B．；
C．；
D．．
【答案】C
【分析】逐一计算每个选项即可得答案.
【详解】对于A：，符合；
对于B：，符合；
对于C：，不符合；
对于D：，符合
故选：C.
2．关于复数（a，，为虚数单位），下列说法正确的是（ ）
A．若则B．若为的共轭复数，则
C．复数的虚部为D．若，则在复平面内对应的点的坐标为
【答案】D
【分析】对于选项，直接求负数的模；对于选项，考察共轭复数概念，若一个复数为，则其共轭复数为；对于选项，通过分子分母同时乘以分母的共轭复数即可.
【详解】对于选项，若，则，故答案错误；
对于选项，若为的共轭复数，则，，故答案错误；
对于选项，复数的虚部为，故答案错误；
对于选项，若，则，故答案正确.
故选：
3．欧拉公式（i为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，表示的复数位于复平面内（ ）．
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
【答案】B
【分析】根据欧拉公式，得到，再利用复数的除法化简，然后利用复数的几何意义求解.
【详解】解：因为，
，
所以复数在复平面中对应的点位于第二象限，
故选：B．
4．大数学家欧拉发现了一个公式：，是虚数单位，为自然对数的底数.此公式被誉为“数学中的天桥”.根据此公式，（ ）（注：底数是正实数的实数指数幂的运算律适用于复数指数幂的运算）
A．1B．C．iD．
【答案】D
【分析】先根据公式将原式变为，再根据注释将原式变为，结合三角函数的诱导公式即可计算出结果.
【详解】因为，
所以，
故选：D.
5．棣莫弗公式（其中为虚数单位）是由法国数学家棣莫弗（1667-1754年）发现的，根据棣茣弗公式可知，复数在复平面内所对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
【答案】C
【分析】根据棣莫弗公式及诱导公式代入计算即可．
【详解】解：由已知得，
复数在复平面内所对应的点的坐标为，位于第三象限．
故选：C．
6．设，则复数的辐角主值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据复数三角形式下的乘除运算及辐角的定义即可求解．
【详解】解：，
因为，
所以，所以，
所以该复数的辐角主值为．
故选：B.
7．已知，则的幅角主值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】运用复数除法得到复数的代数标准式，再利用复数的三角式公式得解
【详解】
设辅角为，则 又

故选：D
8．在复平面内，复数对应向量为（为坐标原点），设，以射线为始边，为终边逆时针旋转所得的角为，则，法国数学家棣莫弗发现棣莫弗定理：，，则，由棣莫弗定理导出了复数乘方公式：，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先将表示为三角形式，然后结合棣莫弗定理求得正确答案.
【详解】由题意，得当时，，，
∴
．
∵，
∴，
故选：D
二、多选题
9．已知为虚数单位，若，，…，，则.特别地，如果，那么，这就是法国数学家棣莫佛（1667—1754年）创立的棣莫佛定理.根据上述公式，可判断下列命题错误的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，，则
D．若，，则
【答案】BCD
【分析】根据题目中的已知条件，依次判断各项正误.
【详解】A.若，则，所以该选项正确；
B.若，则，所以该选项错误；
C.若，，则
，所以该选项错误；
D.，，则
.所以该选项错误.
故选：BCD.
10．欧拉公式(其中i为虚数单位，)，是由瑞士著名数学家欧拉创立的，公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数的数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位，被誉为数学中的天桥，依据欧拉公式，下列选项能确的是（ ）
A．复数对应的点位于第三象限B．为纯虚数
C．的共轭复数为；D．复数的模长等于
【答案】BCD
【分析】对于，，根据，，即可判断出；对于，根据欧拉公式逐项计算，然后判断正误即可．
【详解】解：对于，由于，
，，
，，
表示的复数在复平面中位于第二象限，故错误；
对于，，可得为纯虚数，故正确；
对于，，的共轭复数为，故正确．
对于，，
可得其模的长为
，故正确；
故选：．
11．如果非零复数z有一个辐角为，那么下列对z判断错误的是（ ）
A．辐角唯一B．辐角主值唯一
C．辐角主值为D．辐角主值为
【答案】ACD
【分析】由给出的非0复数有一个辐角为，结合辐角主值的概念得答案．
【详解】辐角主值的范围是，，任何一个复数都有唯一的辐角主值，
非0复数有一个辐角为，则该复数有唯一的一个辐角主值．
故选：ACD．
12．设非零复数、所对应的向量分别为，，则下列选项能推出的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】AD
【分析】A根据的几何意义判断；B由即可判断；C由即可判断；D由并结合向量数量积的运算律即可判断.
【详解】A：等价于将绕原点逆时针旋转得到，即，符合；
B：等价于，即共线，不符合；
C：等价于，但不一定有，不符合；
D：等价于，两边平方并应用数量积的运算律可得，即，符合.
故选：AD
三、填空题
13．复数的三角形式为__________．
【答案】
【分析】直接写出复数的三角形式即可.
【详解】因为，所以z的三角形式可以写作.
故答案为：.
14．复数是方程的一个根，则______．
【答案】
【分析】由复数的三角表示下乘方运算公式计算即可.
【详解】解：由题意可知
，
故答案为：
15．设，，复平面上对应的点分别为，，，．若，，，则四边形的面积为______．
【答案】
【分析】根据题意，将复数改写成三角形式，结合已知条件分别算出、、、和，即可求解.
【详解】由，得，由，得，
因，所以，即，且，
又因，所以，即，且,
因此.
故答案为：.
16．把下列复数化为三角形式．
－3i＝________；－i＝________．
【答案】
【分析】根据复数的形式，由实部和虚部的值直接确定复数的三角形式.
【详解】根据复数的实部和虚部的值，可得：
的三角形式为，
，
故答案为：；.
四、解答题
17．已知，将复数表示成三角形式．
【答案】当，；
当，
【分析】求出复数的模长，根据，分两种情况，用复数的三角形式写出即可.
【详解】因为复数，则，
当时，，；
当，，.
18．是不是复数的三角形式？如果不是，将它表示成三角形式．
【答案】不是三角形式，三角形式表示为.
【分析】根据三角形式的定义判断，再根据三角形式的结构确定辐角主值即可求解.
【详解】因为三角形式是形如的形式，
所以不是三角形式，
因为，
且，
所以，
即复数的三角形式为.
19．已知复数，求复数的辐角主值.
【答案】
【分析】根据复数的除法运算化简可得答案.
【详解】解：＝＝＝－＋，
所以，
所以复数辐角的主值为π．
20．如图，若与分别表示复数Z1=1+2i，Z2=7+i，求，并判断的形状.
【答案】∠Z2OZ1=，为直角三角形.
【分析】利用复数的乘除运算以及复数的三角表示可得∠Z2OZ1=，由可得为直角三角形.
【详解】
=(1+i)
=，
∴∠Z2OZ1=，且.
∴为直角三角形.
【点睛】本题考查了复数的乘除运算、复数模的求法，考查了基本运算求解能力，属于基础题.
【选做题】
一、单选题
1．“复数的模与辐角分别相等”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】要对充分性和必要性进行判断，注意辐角可以相差的整数倍即可.
【详解】当复数的模与辐角分别相等时，一定有，充分性成立；
但当时，与的辐角可以相等，也可以相差的整数倍，必要性不成立.
综上，“复数的模与辐角分别相等”是“”的充分不必要条件.
故选：A.
【点睛】本题考查对复数三角形式的认知，要注意辐角是不唯一的.
2．欧拉公式（i为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，表示的复数位于复平面内（ ）．
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
【答案】B
【分析】根据欧拉公式，得到，再利用复数的除法化简，然后利用复数的几何意义求解.
【详解】解：因为，
，
所以复数在复平面中对应的点位于第二象限，
故选：B．
3．1748年，瑞士数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并写出以下公式，这个公式在复变论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”.根据此公式，有下列四个结论：①；②；③；④.其中所有正确结论的编号是（ ）
A．①②③B．②④C．①②D．①③
【答案】A
【分析】根据题设中的公式和复数运算法则逐项计算后可得正确的选项.
【详解】因为，故，故①正确.
，
所以，，故③正确，④错误.
而.
故②正确，
故选：A．
【点睛】本题考查新定义下复数的计算，考查了复数的三角形式及其运算，本题的关键是理解定义中给出的计算方法．
4．已知复数，则（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由已知，可根据题意直接表示出，化简即可得到结果.
【详解】由已知，复数，
故选：A．
5．若复数z在复平面内对应的点位于第二象限，则（ ）
A．不可能为纯虚数
B．在复平面内对应的点可能位于第二象限
C．在复平面内对应的点一定位于第三象限
D．在复平面内对应的点可能位于第四象限
【答案】D
【分析】利用第二象限的辐角范围确定的辐角范围，即可判断各选项的正误.
【详解】由为第二象限，其对应辐角范围为，
所以对应辐角为，
故在复平面内对应的点可能位于第三、四象限及y轴的负半轴.
所以A、B、C错误，D正确.
故选：D
6．设，则下列命题中的真命题为（ ）
A．若，则
B．若，则为纯虚数
C．若，则或
D．若，则
【答案】C
【分析】根据虚数不能比较大小判断A，取可判断B，根据复数模的性质判断C，取特例可判断D.
【详解】当为实数时，成立，否则不成立，故A错误；
当时，满足，但不为纯虚数，故B错误；
当时，，故或，所以或，故C正确；
当时，，，即，故D错误.
故选：C
二、多选题
7．以下不是复数的三角形式是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AD
【分析】提取复数的模，结合三角函数的值即可化代数形式为三角形式．
【详解】解：，所以B正确，而，故C正确.
故选：AD
8．在复平面内，复数z＝a＋bi对应向量为（O为坐标原点，）．设，射线Ox为始边，OZ为终边逆时针旋转的角为，则．数学家棣莫弗发现：设，则，我们称这个结论为英弗定理，并由此定理推出了复数乘方公式：，根据以上信息，下列说法正确的是（ ）
A．当r＝1，时，B．当r＝1，时，
C．D．当r＝1，时，若n为偶数，则复数为纯虚数
【答案】BC
【分析】利用复数乘方公式即可判断选项A；利用复数的三角形式以及共轭复数的定义即可判断选项B；利用复数的三角形式与模的计算公式即可判断选项C；利用复数乘方公式化简，取验证，即可判断选项D．
【详解】解：对于A，当，时，，故选项A错误；
对于B，当，时，，
所以，故选项B正确；
对于C，，则，
所以，
又，
所以，故选项C正确；
对于D，当，时，，
取时，则为偶数，此时不是纯虚数，故选项D错误．
故选：BC．
三、填空题
9．复数的三角形式的辐角主值为___________.
【答案】##
【分析】直接由辐角主值的概念求解即可.
【详解】由辐角主值的概念知，的辐角主值为.
故答案为：.
10．是虚数单位，则的值为__________.
【答案】
【分析】先化简复数，再利用复数模的定义求所给复数的模．
【详解】．
【点睛】本题考查了复数模的运算，是基础题.
11．设复数，其中为虚数单位，若满足，则____________．
【答案】
【分析】根据题意，求出复数的代数形式，结合其三角形式即可求解.
【详解】由，得，即，
因，
所以.
故答案为：.
12．利用1的立方根，则8立方根是______．
【答案】，
【分析】设立方根为形式，由可得且，结合求结果.
【详解】令1的立方根为且，则，
所以，即，且，即，故且，
则且，
当时，
当时，
当时；
同理，令且，
所以，即，且，即，故且，
则且，
当时，
当时，
当时；
故答案为：，
四、解答题
13．已知实数，写出下列复数的辐角主值．
(1)a；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)0
(2)
(3)
(4)
【分析】根据辐角主值的定义，整理每个小题中复数的一般形式，找出实部与虚部，找出对应复平面的点，可得答案.
（1）
复数对应的复数为，其辐角主值为0；
（2）
复数对应的复数为，对应的点在y轴正半轴，其辐角主值为；
（3）
复数对应的复数为，对应的点在x轴负半轴，其辐角主值为；
（4）
复数对应的复数为，对应的点在y轴负半轴，其辐角主值为．
14．求下列复数的模和辐角主值.
(1)；
(2).
【答案】(1)复数z的模为32，辐角主值为
(2)复数的模是，辐角主值为
【分析】直接求出复数的模，然后根据其对应的点可得辐角主值.
（1）
（1）
，
∴复数z的模为32，辐角主值为.
（2）
，
则复数的模.
设辐角为，则，
∵点在第四象限，
∴，，
∴.
15．化简：
(1)；
(2)．
【答案】(1)；
(2).
【分析】(1)利用复数三角形式的乘法法则直接进行计算作答.
(2)利用复数三角形式的除法法则直接进行计算作答.
（1）
.
（2）
.
16．回答下面两题
(1)求证：；
(2)写出下列复数z的倒数的模与辐角：
①；②；③．
【答案】(1)详见解析
(2)详见解析
【分析】（1）证法1，按照复数三角形式的除法运算法则计算；
证法2，等价转化为证明两个复数相乘；
（2）将复数化成三角形式，用（1）的结论求出，再化为三角形式.
【详解】（1）证法1：左边右边
证法2：
，
∴原等式成立.
（2）①时，
，
的模为，辐角为.
②时，
.
的模为1，辐角为.
③时，
，
的模为1，辐角为.