人教A版 (2019)必修 第二册第七章 复数7.2 复数的四则运算当堂达标检测题

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一、单选题
1．若，是虚数单位，，则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据复数相等可得，，进而即得.
【详解】因为，
所以，，即，，
所以．
故选：D．
2．设复数z满足，z在复平面内对应的点为(x，y)，则
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考点为复数的运算，为基础题目，难度偏易．此题可采用几何法，根据点（x，y）和点(0，1)之间的距离为1，可选正确答案C．
【详解】则．故选C．
【点睛】本题考查复数的几何意义和模的运算，渗透了直观想象和数学运算素养．采取公式法或几何法，利用方程思想解题．
3．已知关于x的方程（x2＋mx）＋2xi＝－2－2i（m∈R）有实数根n，且z＝m＋ni，则复数z等于（ ）
A．3＋iB．3－i
C．－3－iD．－3＋i
【答案】B
【分析】根据复数相等得出的值，进而得出复数z.
【详解】由题意知（n2＋mn）＋2ni＝－2－2i，
即，解得，
故选：B
4．若，则实数的值为（ ）
A．8B．C．0D．8或0
【答案】D
【分析】根据复数相等的定义求解．
【详解】，又，
所以，解得或，
所以或8．
故选：D．
5．若i为虚数单位，复数z满足，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】设（），则由题意可得，由此可知在如图所示有阴影上，而表示到点的距离，结合图形求解即可
【详解】解：设（），则，
因为，
所以，
所以在如图所示有阴影上，
因为表示到点的距离，而到的距离为，大圆的半径为，
所以的最大值为，
故选：D
6．已知复数和，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据复数的性质及充分条件、必要条件求解即可.
【详解】，复数和是实数，成立，
当时，例如，推不出，
所以“”是“”的充分不必要条件.
故选：A
二、多选题
7．若复数满足其中是虚数单位，复数的共轭复数为，则（ ）
A．B．的实部是
C．的虚部是D．复数在复平面内对应的点在第一象限
【答案】ABC
【分析】直接由复数的概念、复数的模、复数的几何意义及共轭复数依次判断4个选项即可.
【详解】由题意知：，A正确；的实部是，虚部是，B、C正确；
，在复平面内对应的点在第四象限，D错误.
故选：ABC.
8．对于复数 (，∈R)，下列说法正确的是（ ）
A．若，则为纯虚数B．若，则，
C．若，则为实数D．的平方等于1
【答案】BC
【分析】根据复数的相关概念判断即可；
【详解】解：对于A，当时，为实数，故A错误；
对于B，若，则解得，故B正确；
对于C，若，则为实数，故C正确；
对于D，的平方为，故D错误.
故选：BC
三、填空题
9．若复数，则实数的值为________.
【答案】3
【分析】由题意知为实数，实部大于或等于，虚部等于，即可求解.
【详解】因为复数不能比较大小，所以为实数，
可得解得
所以实数的值为，
故答案为：
10．如果复数z满足，那么的最大值是______．
【答案】
【分析】由复数模的几何意义得出对应的点的性质，设，计算模可得最大值．
【详解】，则复数对应的点在和1两个数对应点的连线段上，
即设，则，，
，时，得最大值为．
故答案为：．
11．若复数z对应的点在直线y＝2x上，且|z|＝，则复数z＝____________
【答案】1＋2i或－1－2i
【分析】设复数z＝a＋2ai(a∈R)，利用|z|＝，求出，即可得出结果.
【详解】依题意可设复数z＝a＋2ai(a∈R)，
由|z|＝，
得＝，
解得a＝±1，
故z＝1＋2i或z＝－1－2i.
故答案为：1＋2i或－1－2i.
12．已知，，，则______．
【答案】
【分析】设，，根据复数模长运算可求得，代入即可整理求得结果.
【详解】设，，
，，，，
，
解得：，
，
.
故答案为：.
四、解答题
13．在复平面内，分别用点和向量表示下列复数：
1，，．
【答案】答案见解析
【分析】根据复数的几何意义，明确每个复数的实部与虚部，在复平面上作出对应的点，可得答案.
【详解】设复数1，，在复平面内对应的点分别为，，，则，，，与之对应的向量可用，，来表示，如图所示．
14．已知关于的方程有实根，求以及实数的值.
【答案】或
【分析】将代入方程，由复数相等可构造方程组求得结果.
【详解】是方程的实根，，即，
，解得：或.
15．设复数，满足，，求的值．
【答案】
【分析】设复数，所对应的点为,, 根据复数的几何意义及复数的模，判定平行四边形为菱形，，进而根据复数的减法的几何意义用几何方法计算.
【详解】如图，设复数，所对应的点为，，；
由已知，，
∴平行四边形为菱形，且，都是正三角形，
∴，
，
∴．
16．已知，i为虚数单位.
（1）若，求；
（2）若，求实数a，b的值.
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）求出的共轭复数，代入化简，再求；
（2）根据，得到，列方程组即可求解.
【详解】（1）已知，，
，
.
（2），
，
，解得.
【点睛】此题考查复数的基本运算，涉及共轭复数，复数的模长，根据两个复数相等列方程组求解.
【选做题】
一、单选题
1．若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由共轭复数的概念及复数的运算即可得解.
【详解】
故选 ：C
2．设，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】设，利用共轭复数的定义以及复数的加减法可得出关于、的等式，解出这两个未知数的值，即可得出复数.
【详解】设，则，则，
所以，，解得，因此，.
故选：C.
3．若复数z满足，则复数z的虚部为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先利用复数的四则运算得到z的代数形式，再利用复数的概念进行求解.
【详解】由题意，得，
所以，则复数的虚部为．
故选：．
4．已知（），则复数（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据已知条件，结合复数的四则运算，以及复数相等的条件，即可求解.
【详解】∵且，则，，
∴.
故选：C.
5．已知复数，则z的共轭复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】A
【分析】根据复数的运算，求得复数，再利用复数的表示，即可得到复数对应的点，得到答案．
【详解】复数，
则
所以复数在复平面内对应的点的坐标为，位于复平面内的第一象限.
故选：A
6．已知复数z满足，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】设，由复数相等，得出的关系式，消去得到关于的一元二次方程有实数解，利用，求解即可得出答案.
【详解】设，则，
整理得：,
所以，消去得,
因为方程有解，所以，解得：.
故选：D.
二、多选题
7．已知i为虚数单位，下列说法正确的是（ ）
A．若复数，则
B．若复数z满足，则复平面内z对应的点Z在一条直线上
C．若是纯虚数，则实数
D．复数的虚部为
【答案】AB
【分析】根据复数的运算直接计算可知A；由复数的模的公式化简可判断B；根据纯虚数的概念列方程直接求解可知C；由虚部概念可判断D.
【详解】对于A：因为，所以，故A正确；
对于B：设，代入，得，整理得，即点Z在直线上，故B正确；
对于C：是纯虚数，则，即，故C错误；
对于D：复数的虚部为，故D错误.
故选：AB.
8．设复数，（，i为虚数单位），是z的共轭复数，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．D．
【答案】ABD
【分析】由复数相等可判断A；求出与z可判断B；求出的模长可判断C；由可判断D.
【详解】复数，则，若，则，所以A正确；
当，，所以B正确；
，所以，所以C不正确；
，所以D正确.
故选：ABD.
三、填空题
9．若复数在复平面内对应的点为，则________.
【答案】##
【分析】由复数对应点写出复数，再应用复数的除法化简即可.
【详解】由题设，，故.
故答案为：
10．若是关于的实系数方程的一个复数根，则___________
【答案】1
【分析】利用实系数方程虚根成对定理，转化求解即可．
【详解】因为是关于的实系数方程的一个复数根，所以也是方程的根，
由根与系数的关系可知：，所以，．
所以
故答案为：1．
11．设，若，则__________．
【答案】-2
【分析】求出，算出，再利用复数的乘法和乘方的运算律计算即可.
【详解】
，故
又
故
故
故答案为：-2
【点睛】本题考查复数的次幂运算，熟练复数乘法和乘方的运算律是求解的关键.需要掌握一定的整体代换技巧和转化与化归数学思想.
12．已知，关于x的一元二次方程的一个根z是纯虚数，则________．
【答案】##
【分析】设，代入原方程后可求的值.
【详解】设，则，
因为，故 ，解得，
故，故，
故答案为：
四、解答题
13．设，，求，，值．
【答案】，，
【分析】根据复数的四则运算计算即可得出答案
【详解】解：因为，．
所以，
，
14．计算：
（1）；
（2）已知，，求，．
【答案】（1）（2）
【分析】（1）根据复数的加减法法则，实部与实部对应加减，虚部与虚部对应加减，即可运算得到结果；
（2）根据复数的加法、减法法则运算即可.
【详解】（1）；
（2），，
，
15．复数，其中为虚数单位．
(1)求及；
(2)若，求实数，的值．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）首先根据复数的运算求解出复数，进而根据复数的模长公式求解；
（2）首先将代入等式，然后根据等式关系构造方程组，解方程组即可得到实数，的值.
【详解】（1）∵，
∴．
（2）由（1）可知，
由，得：，
即，∴，解得
16．计算：（1）；
（2）．
【答案】（1）513；（2）．
【分析】（1）借助，以及复数的四则运算，即得解；
（2）借助，，，以及复数的四则运算，即得解.
【详解】（1）由于
故
（2）由于，，，
故