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    人教A版 (2019)必修 第二册第七章 复数7.2 复数的四则运算当堂达标检测题

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    这是一份人教A版 (2019)必修 第二册第七章 复数7.2 复数的四则运算当堂达标检测题,共13页。

    一、单选题
    1.若,是虚数单位,,则等于( )
    A.B.C.D.
    【答案】D
    【分析】根据复数相等可得,,进而即得.
    【详解】因为,
    所以,,即,,
    所以.
    故选:D.
    2.设复数z满足,z在复平面内对应的点为(x,y),则
    A.B.C.D.
    【答案】C
    【分析】本题考点为复数的运算,为基础题目,难度偏易.此题可采用几何法,根据点(x,y)和点(0,1)之间的距离为1,可选正确答案C.
    【详解】则.故选C.
    【点睛】本题考查复数的几何意义和模的运算,渗透了直观想象和数学运算素养.采取公式法或几何法,利用方程思想解题.
    3.已知关于x的方程(x2+mx)+2xi=-2-2i(m∈R)有实数根n,且z=m+ni,则复数z等于( )
    A.3+iB.3-i
    C.-3-iD.-3+i
    【答案】B
    【分析】根据复数相等得出的值,进而得出复数z.
    【详解】由题意知(n2+mn)+2ni=-2-2i,
    即,解得,
    故选:B
    4.若,则实数的值为( )
    A.8B.C.0D.8或0
    【答案】D
    【分析】根据复数相等的定义求解.
    【详解】,又,
    所以,解得或,
    所以或8.
    故选:D.
    5.若i为虚数单位,复数z满足,则的最大值为( )
    A.B.C.D.
    【答案】D
    【分析】设(),则由题意可得,由此可知在如图所示有阴影上,而表示到点的距离,结合图形求解即可
    【详解】解:设(),则,
    因为,
    所以,
    所以在如图所示有阴影上,
    因为表示到点的距离,而到的距离为,大圆的半径为,
    所以的最大值为,
    故选:D
    6.已知复数和,则“”是“”的( )
    A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件
    【答案】A
    【分析】根据复数的性质及充分条件、必要条件求解即可.
    【详解】,复数和是实数,成立,
    当时,例如,推不出,
    所以“”是“”的充分不必要条件.
    故选:A
    二、多选题
    7.若复数满足其中是虚数单位,复数的共轭复数为,则( )
    A.B.的实部是
    C.的虚部是D.复数在复平面内对应的点在第一象限
    【答案】ABC
    【分析】直接由复数的概念、复数的模、复数的几何意义及共轭复数依次判断4个选项即可.
    【详解】由题意知:,A正确;的实部是,虚部是,B、C正确;
    ,在复平面内对应的点在第四象限,D错误.
    故选:ABC.
    8.对于复数 (,∈R),下列说法正确的是( )
    A.若,则为纯虚数B.若,则,
    C.若,则为实数D.的平方等于1
    【答案】BC
    【分析】根据复数的相关概念判断即可;
    【详解】解:对于A,当时,为实数,故A错误;
    对于B,若,则解得,故B正确;
    对于C,若,则为实数,故C正确;
    对于D,的平方为,故D错误.
    故选:BC
    三、填空题
    9.若复数,则实数的值为________.
    【答案】3
    【分析】由题意知为实数,实部大于或等于,虚部等于,即可求解.
    【详解】因为复数不能比较大小,所以为实数,
    可得解得
    所以实数的值为,
    故答案为:
    10.如果复数z满足,那么的最大值是______.
    【答案】
    【分析】由复数模的几何意义得出对应的点的性质,设,计算模可得最大值.
    【详解】,则复数对应的点在和1两个数对应点的连线段上,
    即设,则,,
    ,时,得最大值为.
    故答案为:.
    11.若复数z对应的点在直线y=2x上,且|z|=,则复数z=____________
    【答案】1+2i或-1-2i
    【分析】设复数z=a+2ai(a∈R),利用|z|=,求出,即可得出结果.
    【详解】依题意可设复数z=a+2ai(a∈R),
    由|z|=,
    得=,
    解得a=±1,
    故z=1+2i或z=-1-2i.
    故答案为:1+2i或-1-2i.
    12.已知,,,则______.
    【答案】
    【分析】设,,根据复数模长运算可求得,代入即可整理求得结果.
    【详解】设,,
    ,,,,

    解得:,

    .
    故答案为:.
    四、解答题
    13.在复平面内,分别用点和向量表示下列复数:
    1,,.
    【答案】答案见解析
    【分析】根据复数的几何意义,明确每个复数的实部与虚部,在复平面上作出对应的点,可得答案.
    【详解】设复数1,,在复平面内对应的点分别为,,,则,,,与之对应的向量可用,,来表示,如图所示.
    14.已知关于的方程有实根,求以及实数的值.
    【答案】或
    【分析】将代入方程,由复数相等可构造方程组求得结果.
    【详解】是方程的实根,,即,
    ,解得:或.
    15.设复数,满足,,求的值.
    【答案】
    【分析】设复数,所对应的点为,, 根据复数的几何意义及复数的模,判定平行四边形为菱形,,进而根据复数的减法的几何意义用几何方法计算.
    【详解】如图,设复数,所对应的点为,,;
    由已知,,
    ∴平行四边形为菱形,且,都是正三角形,
    ∴,

    ∴.
    16.已知,i为虚数单位.
    (1)若,求;
    (2)若,求实数a,b的值.
    【答案】(1);(2)
    【解析】(1)求出的共轭复数,代入化简,再求;
    (2)根据,得到,列方程组即可求解.
    【详解】(1)已知,,

    .
    (2),

    ,解得.
    【点睛】此题考查复数的基本运算,涉及共轭复数,复数的模长,根据两个复数相等列方程组求解.
    【选做题】
    一、单选题
    1.若,则( )
    A.B.C.D.
    【答案】C
    【分析】由共轭复数的概念及复数的运算即可得解.
    【详解】
    故选 :C
    2.设,则( )
    A.B.C.D.
    【答案】C
    【分析】设,利用共轭复数的定义以及复数的加减法可得出关于、的等式,解出这两个未知数的值,即可得出复数.
    【详解】设,则,则,
    所以,,解得,因此,.
    故选:C.
    3.若复数z满足,则复数z的虚部为( )
    A.B.C.D.
    【答案】B
    【分析】先利用复数的四则运算得到z的代数形式,再利用复数的概念进行求解.
    【详解】由题意,得,
    所以,则复数的虚部为.
    故选:.
    4.已知(),则复数( )
    A.B.C.D.
    【答案】C
    【分析】根据已知条件,结合复数的四则运算,以及复数相等的条件,即可求解.
    【详解】∵且,则,,
    ∴.
    故选:C.
    5.已知复数,则z的共轭复数在复平面内对应的点位于( )
    A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
    【答案】A
    【分析】根据复数的运算,求得复数,再利用复数的表示,即可得到复数对应的点,得到答案.
    【详解】复数,

    所以复数在复平面内对应的点的坐标为,位于复平面内的第一象限.
    故选:A
    6.已知复数z满足,则实数a的取值范围为( )
    A.B.C.D.
    【答案】D
    【分析】设,由复数相等,得出的关系式,消去得到关于的一元二次方程有实数解,利用,求解即可得出答案.
    【详解】设,则,
    整理得:,
    所以,消去得,
    因为方程有解,所以,解得:.
    故选:D.
    二、多选题
    7.已知i为虚数单位,下列说法正确的是( )
    A.若复数,则
    B.若复数z满足,则复平面内z对应的点Z在一条直线上
    C.若是纯虚数,则实数
    D.复数的虚部为
    【答案】AB
    【分析】根据复数的运算直接计算可知A;由复数的模的公式化简可判断B;根据纯虚数的概念列方程直接求解可知C;由虚部概念可判断D.
    【详解】对于A:因为,所以,故A正确;
    对于B:设,代入,得,整理得,即点Z在直线上,故B正确;
    对于C:是纯虚数,则,即,故C错误;
    对于D:复数的虚部为,故D错误.
    故选:AB.
    8.设复数,(,i为虚数单位),是z的共轭复数,则下列说法正确的是( )
    A.若,则B.若,则
    C.D.
    【答案】ABD
    【分析】由复数相等可判断A;求出与z可判断B;求出的模长可判断C;由可判断D.
    【详解】复数,则,若,则,所以A正确;
    当,,所以B正确;
    ,所以,所以C不正确;
    ,所以D正确.
    故选:ABD.
    三、填空题
    9.若复数在复平面内对应的点为,则________.
    【答案】##
    【分析】由复数对应点写出复数,再应用复数的除法化简即可.
    【详解】由题设,,故.
    故答案为:
    10.若是关于的实系数方程的一个复数根,则___________
    【答案】1
    【分析】利用实系数方程虚根成对定理,转化求解即可.
    【详解】因为是关于的实系数方程的一个复数根,所以也是方程的根,
    由根与系数的关系可知:,所以,.
    所以
    故答案为:1.
    11.设,若,则__________.
    【答案】-2
    【分析】求出,算出,再利用复数的乘法和乘方的运算律计算即可.
    【详解】
    ,故



    故答案为:-2
    【点睛】本题考查复数的次幂运算,熟练复数乘法和乘方的运算律是求解的关键.需要掌握一定的整体代换技巧和转化与化归数学思想.
    12.已知,关于x的一元二次方程的一个根z是纯虚数,则________.
    【答案】##
    【分析】设,代入原方程后可求的值.
    【详解】设,则,
    因为,故 ,解得,
    故,故,
    故答案为:
    四、解答题
    13.设,,求,,值.
    【答案】,,
    【分析】根据复数的四则运算计算即可得出答案
    【详解】解:因为,.
    所以,

    14.计算:
    (1);
    (2)已知,,求,.
    【答案】(1)(2)
    【分析】(1)根据复数的加减法法则,实部与实部对应加减,虚部与虚部对应加减,即可运算得到结果;
    (2)根据复数的加法、减法法则运算即可.
    【详解】(1);
    (2),,

    15.复数,其中为虚数单位.
    (1)求及;
    (2)若,求实数,的值.
    【答案】(1),
    (2)
    【分析】(1)首先根据复数的运算求解出复数,进而根据复数的模长公式求解;
    (2)首先将代入等式,然后根据等式关系构造方程组,解方程组即可得到实数,的值.
    【详解】(1)∵,
    ∴.
    (2)由(1)可知,
    由,得:,
    即,∴,解得
    16.计算:(1);
    (2).
    【答案】(1)513;(2).
    【分析】(1)借助,以及复数的四则运算,即得解;
    (2)借助,,,以及复数的四则运算,即得解.
    【详解】(1)由于

    (2)由于,,,

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