人教A版 (2019)必修 第二册7.3* 复数的三角表示学案

这是一份人教A版 (2019)必修 第二册7.3* 复数的三角表示学案，共11页。

前面已经学习过了复数的两种表示．一是代数表示，即z＝a＋bi(a，b∈R)；二是几何表示，复数z既可以用复平面上的点Z(a，b)表示，也可以用复平面上的向量eq \(OZ,\s\up7(→))来表示．现在需要学习复数的三角表示，即用复数z的模和辐角来表示复数．
问题：复数的三角形式在复数的运算中有怎样的作用？
知识点1 复数的三角表示式
1．一般地，任何一个复数z＝a＋bi都可以表示成r(cs θ＋isin θ)的形式．其中r是复数z的模；θ是以x轴的非负半轴为始边，向量eq \(OZ,\s\up7(→))所在射线(射线OZ)为终边的角，叫做复数z＝a＋bi的辐角．r(cs θ＋isin θ)叫做复数z＝a＋bi的三角表示式，简称三角形式．为了与三角形式区分开来，a＋bi叫做复数的代数表示式，简称代数形式．
2．任何一个不为零的复数的辐角有无限多个值，且这些值相差2π的整数倍．我们规定在0≤θ＜2π范围内的辐角θ的值为辐角的主值．通常记作arg_z，即0≤arg z＜2π．例如，arg 1＝0，arg i＝eq \f(π,2)，arg(－1)＝π，arg(－i)＝eq \f(3,2)π．
3．两个非零复数相等当且仅当它们的模与辐角的主值分别相等．
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)复数0的辐角一定是0．( )
(2)一个给定的复数，其辐角也是唯一确定的．( )
(3)复数i的辐角可以为－eq \f(3,2)π．( )
[答案] (1)× (2)× (3)√
2．将下列复数表示为三角形式：
(1)－5i＝________；
(2)－10＝________；
(3)2－2i＝________．
(1)5eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(3,2)π＋isin\f(3,2)π))；(2)10(cs π＋isin π)；(3)2eq \r(2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(7,4)π＋isin \f(7,4)π)) [(1)－5i＝5eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs \f(3,2)π＋isin \f(3,2)π))；(2)－10＝10(cs π＋isin π)；(3)2－2i＝2eq \r(2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs \f(7,4)π＋isin \f(7,4)π))．]
知识点2 复数三角形式乘法法则与几何意义
1．已知z1＝r1(cs θ1＋isin θ1)，z2＝r2(cs θ2＋isin θ2)，则z1z2＝r1r2[cs(θ1＋θ2)＋isin(θ1＋θ2)]．
这就是说，两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和．
2．复数乘法的几何意义
两个复数z1，z2相乘时，先分别画出与z1，z2对应的向量eq \(OZ1,\s\up7(→))，eq \(OZ2,\s\up7(→))，然后把向量eq \(OZ1,\s\up7(→))绕点O按逆时针方向旋转角θ2(如果θ2＜0，就要把eq \(OZ1,\s\up7(→))绕点O按顺时针方向旋转角|θ2|)，再把它的模变为原来的r2倍，得到向量eq \(OZ,\s\up7(→))，eq \(OZ,\s\up7(→))表示的复数就是积z1z2．
3．若非零复数z＝r(cs θ＋isin θ)，则z·eq \(z,\s\up6(－))＝________．
r2 [共轭复数在复平面内对应的点关于x轴对称，因此－θ是eq \(z,\s\up6(－))的一个辐角，则eq \(z,\s\up6(－))＝r[cs(－θ)＋isin(－θ)]，
故z·eq \(z,\s\up6(－))＝r(cs θ＋isin θ)·r[cs(－θ)＋isin(－θ)]＝r2[cs(θ－θ)＋isin(θ－θ)]＝r2．]
知识点3 复数三角形式除法法则与几何意义
1．eq \f(z1,z2)＝eq \f(r1cs θ1＋isin θ1,r2cs θ2＋isin θ2)＝eq \f(r1,r2)[cs(θ1－θ2)＋isin(θ1－θ2)]．
这就是说，两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差．
2．复数除法的几何意义
两个复数z1，z2相除时，先分别画出与z1，z2对应的向量eq \(OZ1,\s\up7(→))，eq \(OZ2,\s\up7(→))，然后把向量eq \(OZ1,\s\up7(→))绕点O按顺时针方向旋转角θ2(如果θ2＜0，就要把eq \(OZ1,\s\up7(→))绕点O按逆时针方向旋转角|θ2|)，再把它的模变为原来的eq \f(1,r2)倍，得到向量eq \(OZ,\s\up7(→))，eq \(OZ,\s\up7(→))表示的复数就是商eq \f(z1,z2)．
4．计算eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs \f(2,3)π＋isin \f(2,3)π))÷2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs \f(π,6)＋isin \f(π,6)))＝________．
eq \f(1,2)i [原式＝eq \f(1,2)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)π－\f(π,6)))＋isin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)π－\f(π,6)))))＝eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs \f(π,2)＋isin \f(π,2)))＝eq \f(1,2)i．]
类型1 复数的代数形式与三角形式的互化
代数形式化为三角形式
【例1】 (对接教材P84例1)把下列复数的代数形式化成三角形式：
(1)eq \r(,3)＋i；
(2)eq \r(,2)－eq \r(,2)i．
[解] (1)r＝eq \r(,3＋1)＝2，因为eq \r(,3)＋i对应的点在第一象限，
所以cs θ＝eq \f(\r(,3),2)，即θ＝eq \f(π,6)，
所以eq \r(,3)＋i＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(π,6)＋isin\f(π,6)))．
(2)r＝eq \r(,2＋2)＝2，cs θ＝eq \f(\r(,2),2)，
又因为eq \r(,2)－eq \r(,2)i对应的点位于第四象限，
所以θ＝eq \f(7π,4)．
所以eq \r(,2)－eq \r(,2)i＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(7π,4)＋isin\f(7π,4)))．
将复数代数形式化为三角形式的步骤是什么？
[提示] (1)先求复数的模．
(2)决定辐角所在的象限．
(3)根据象限求出辐角．
(4)求出复数的三角形式．
提醒：一般在复数三角形式中的辐角，常取它的主值，这使表达式简便，又便于运算，但三角形式辐角不一定取主值．
三角形式化为代数形式
【例2】 (对接教材P85例2)分别指出下列复数的模和辐角的主值，并把这些复数表示成代数形式．
(1)4eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(π,6)＋isin\f(π,6)))；
(2)eq \f(\r(,3),2)(cs 60°＋isin 60°)；
(3)2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(π,3)－isin\f(π,3)))．
[解] (1)复数4eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(π,6)＋isin\f(π,6)))的模r＝4，辐角的主值为θ＝eq \f(π,6)．
4eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(π,6)＋isin\f(π,6)))＝4cseq \f(π,6)＋4isineq \f(π,6)
＝4×eq \f(\r(,3),2)＋4×eq \f(1,2)i
＝2eq \r(,3)＋2i．
(2)eq \f(\r(,3),2)(cs 60°＋isin 60°)的模r＝eq \f(\r(,3),2)，辐角的主值为θ＝60°．
eq \f(\r(,3),2)(cs 60°＋isin 60°)＝eq \f(\r(,3),2)×eq \f(1,2)＋eq \f(\r(,3),2)×eq \f(\r(,3),2)i
＝eq \f(\r(,3),4)＋eq \f(3,4)i．
(3)2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(π,3)－isin\f(π,3)))
＝2eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2π－\f(π,3)))＋isin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2π－\f(π,3)))))
＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(5,3)π＋isin\f(5,3)π))．
所以复数的模r＝2，辐角的主值为eq \f(5,3)π．
2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(5,3)π＋isin\f(5,3)π))＝2cseq \f(5,3)π＋2isineq \f(5,3)π
＝2×eq \f(1,2)＋2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(,3),2)))i
＝1－eq \r(,3)i．
复数的三角形式z＝rcs θ＋isin θ必须满足“模非负、余正弦、＋相连、角统一、i跟sin”，否则就不是三角形式，只有化为三角形式才能确定其模和辐角，如本例3.
eq \([跟进训练])
1．下列复数是不是复数的三角形式？如果不是，把它们表示成三角形式．
(1)eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(π,4)－isin\f(π,4)))；
(2)－eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(π,3)＋isin\f(π,3)))；
(3)eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin\f(3π,4)＋ics\f(3π,4)))；
(4)cseq \f(7π,5)＋isineq \f(7π,5)；
(5)eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(π,2)＋isin\f(π,6)))．
[解] 根据复数三角形式的定义可知，(1)、(2)、(3)、(5)不是，(4)是复数的三角形式．
(1)原式＝eq \f(1,2)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)))＋isin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)))))．
(2)原式＝eq \f(1,2)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(π＋\f(π,3)))＋isin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(π＋\f(π,3)))))
＝eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(4π,3)＋isin\f(4π,3)))．
(3)原式＝eq \f(1,2)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－\f(3π,4)))＋isin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－\f(3π,4)))))
＝eq \f(1,2)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)))＋isin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)))))．
(5)原式＝eq \f(1,4)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(π,2)＋isin\f(π,2)))．
类型2 复数三角形式的乘、除运算
【例3】 计算：
(1)8eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(4,3)π＋isin\f(4,3)π))×4eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(5,6)π＋isin\f(5,6)π))；
(2)eq \r(,3)(cs 225°＋isin 225°)÷[eq \r(,2)(cs 150°＋isin 150°)]；
(3)4÷eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(π,4)＋isin\f(π,4)))．
[解] (1)8eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(4,3)π＋isin\f(4,3)π))×4eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(5,6)π＋isin\f(5,6)π))
＝32eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,3)π＋\f(5,6)π))＋isin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,3)π＋\f(5,6)π))))
＝32eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(13,6)π＋isin\f(13,6)π))
＝32eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(π,6)＋isin\f(π,6)))
＝32eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(,3),2)＋\f(1,2)i))
＝16eq \r(,3)＋16i．
(2)eq \r(,3)(cs 225°＋isin 225°)÷[eq \r(,2)(cs 150°＋isin 150°)]
＝eq \f(\r(,3),\r(,2))[cs(225°－150°)＋isin(225°－150°)]
＝eq \f(\r(,6),2)(cs 75°＋isin 75°)＝eq \f(\r(,6),2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(,6)－\r(,2),4)＋\f(\r(,6)＋\r(,2),4)i))
＝eq \f(6－2\r(,3),8)＋eq \f(6＋2\r(,3),8)i
＝eq \f(3－\r(,3),4)＋eq \f(3＋\r(,3),4)i．
(3)4÷eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(π,4)＋isin\f(π,4)))
＝4(cs 0＋isin 0)÷eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(π,4)＋isin\f(π,4)))
＝4eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)))＋isin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)))))
＝2eq \r(,2)－2eq \r(,2)i．
1．乘法法则：模相乘，辐角相加．
2．除法法则：模相除，辐角相减．
3．复数的n次幂，等于模的n次幂，辐角为n倍．
eq \([跟进训练])
2．计算：
(1)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\r(,2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(π,3)＋isin\f(π,3)))))eq \s\up12(2)；
(2)eq \r(,2)(cs 75°＋isin 75°)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)－\f(1,2)i))；
(3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)＋\f(\r(,3),2)i))÷eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(π,3)＋isin\f(π,3)))))．
[解] (1)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\r(,2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(π,3)＋isin\f(π,3)))))eq \s\up12(2)
＝(eq \r(,2))2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(2,3)π＋isin\f(2,3)π))＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)＋\f(\r(,3),2)i))
＝－1＋eq \r(,3)i．
(2)eq \f(1,2)－eq \f(1,2)i＝eq \f(\r(,2),2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(,2),2)－\f(\r(,2),2)i))
＝eq \f(\r(,2),2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(7,4)π＋isin\f(7,4)π))，
所以eq \r(,2)(cs 75°＋isin 75°)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)－\f(1,2)i))
＝eq \r(,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(5,12)π＋isin\f(5,12)π))×eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(\r(,2),2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(7,4)π＋isin\f(7,4)π))))
＝eq \r(,2)×eq \f(\r(,2),2)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,12)π＋\f(7,4)π))＋isin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,12)π＋\f(7,4)π))))
＝cseq \f(26,12)π＋isineq \f(26,12)π＝cseq \f(π,6)＋isineq \f(π,6)
＝eq \f(\r(,3),2)＋eq \f(1,2)i．
(3)因为－eq \f(1,2)＋eq \f(\r(,3),2)i＝cseq \f(2,3)π＋isineq \f(2,3)π，
所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)＋\f(\r(,3),2)i))÷eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(π,3)＋isin\f(π,3)))))
＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(2,3)π＋isin\f(2,3)π))÷eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(π,3)＋isin\f(π,3)))))
＝eq \f(1,2)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)π－\f(π,3)))＋isin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)π－\f(π,3)))))
＝eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(π,3)＋isin\f(π,3)))＝eq \f(1,4)＋eq \f(\r(,3),4)i．
类型3 复数三角形式乘、除运算的几何意义
【例4】 在复平面内，把复数3－eq \r(,3)i对应的向量分别按逆时针和顺时针方向旋转eq \f(π,3)，求所得向量对应的复数．
[解] 因为3－eq \r(,3)i＝2eq \r(,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(,3),2)－\f(1,2)i))
＝2eq \r(,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(11,6)π＋isin\f(11,6)π))，
所以2eq \r(,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(11,6)π＋isin\f(11,6)π))×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(π,3)＋isin\f(π,3)))
＝2eq \r(,3)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(11,6)π＋\f(π,3)))＋isin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(11,6)π＋\f(π,3)))))
＝2eq \r(,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(13,6)π＋isin\f(13,6)π))
＝2eq \r(,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(π,6)＋isin\f(π,6)))
＝3＋eq \r(,3)i，
2eq \r(,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(11,6)π＋isin\f(11,6)π))×eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)))＋isin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)))))
＝2eq \r(,3)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(11,6)π－\f(π,3)))＋isin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(11,6)π－\f(π,3)))))
＝2eq \r(,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(3,2)π＋isin\f(3,2)π))
＝－2eq \r(,3)i．
故把复数3－eq \r(,3)i对应的向量按逆时针旋转eq \f(π,3)得到的复数为3＋eq \r(,3)i，按顺时针旋转eq \f(π,3)得到的复数为－2eq \r(,3)i．
利用复数乘除法的几何意义求解复平面内的点所对应的复数时，要注意点Z所对应的复数就是向量eq \(OZ,\s\up7(→))对应的复数，eq \(OZ,\s\up7(→))常常转化为eq \(OZ,\s\up7(→))＝eq \(OZ1,\s\up7(→))＋eq \(Z1Z,\s\up7(→)).而求解向量eq \(Z1Z,\s\up7(→))所对应的复数时，要注意它与已知或可求向量对应的复数之间的关系，即要明确模与辐角的变化，从而准确利用复数乘除法的几何意义求解.
eq \([跟进训练])
3．在复平面内，把与复数eq \f(3\r(,3),4)＋eq \f(3,4)i对应的向量绕原点O按逆时针方向旋转eq \f(π,3)，然后将其长度伸长为原来的2倍，求与所得向量对应的复数．(用代数形式表示)
[解] eq \f(3\r(,3),4)＋eq \f(3,4)i＝eq \f(3,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(π,6)＋isin\f(π,6)))，
由题意得eq \f(3,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(π,6)＋isin\f(π,6)))×2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(π,3)＋isin\f(π,3)))
＝eq \f(3,2)×2eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)＋\f(π,3)))＋isin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)＋\f(π,3)))))
＝3eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(π,2)＋isin\f(π,2)))
＝3i，
即与所得向量对应的复数为3i．
1．复数1－eq \r(,3)i的辐角的主值是( )
A．eq \f(5,3)π B．eq \f(2,3)π C．eq \f(5,6)π D．eq \f(π,3)
A [因为1－eq \r(,3)i＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)－\f(\r(,3),2)i))＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(5,3)π＋isin\f(5,3)π))，
所以1－eq \r(,3)i辐角的主值为eq \f(5,3)π．]
2．将复数4eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)))＋isin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)))))化成代数形式，正确的是( )
A．4 B．－4 C．4i D．－4i
D [4eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)))＋isin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)))))＝4[0＋i(－1)]＝－4i，故选D．]
3．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs \f(π,6)＋isin \f(π,6)))×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs \f(π,3)＋isin \f(π,3)))＝( )
A．1 B．－1 C．i D．－i
C [eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs \f(π,6)＋isin \f(π,6)))×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs \f(π,3)＋isin \f(π,3)))＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)＋\f(π,3)))＋isineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)＋\f(π,3)))＝cs eq \f(π,2)＋isin eq \f(π,2)＝i，故选C．]
4．复数z＝cs eq \f(π,15)＋isin eq \f(π,15)是方程x5－α＝0的一个根，那么α的值等于________．
eq \f(1,2)＋eq \f(\r(3),2)i [由题意，得α＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs \f(π,15)＋isin \f(π,15)))5＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs \f(2π,15)＋isin \f(2π,15)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs \f(2π,15)＋isin \f(2π,15)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs \f(π,15)＋isin \f(π,15)))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs \f(4π,15)＋isin \f(4π,15)))·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs \f(π,15)＋isin \f(π,15)))＝cs eq \f(π,3)＋isin eq \f(π,3)＝eq \f(1,2)＋eq \f(\r(3),2)i．]
回顾本节知识，自我完成以下问题：
(1)如何实现复数的代数形式与三角形式的互化？
(2)如何计算复数的乘、除运算？
(3)复数三角形式乘、除运算的几何意义是什么？
四元数简介
数学中的数，除了实数、复数之外，还有四元数．一般地，形如a＋bi＋cj＋dk的数为四元数，其中a，b，c，d都是实数，i，j，k都是虚数单位，这些虚数单位满足
i2＝j2＝k2＝－1．
给定两个四元数，可以进行同复数类似的加法和减法运算，例如
(2＋3i＋4j＋5k)＋(6＋7i＋8j＋9k)
＝8＋10i＋12j＋14k．
不过，对于两个四元数相乘来说，情况就比复数相乘复杂得多．因为此时，除了会出现i2，j2，k2之外，还会出现ij，ik，jk，ji，ki，kj等．一般地，两个四元数相乘时，规定
ij＝－ji＝k，
jk＝－kj＝i，
ki＝－ik＝j．
例如，
(2＋3i＋4j＋5k)(6＋7i＋8j＋9k)
＝(12－21－32－45)＋(14＋18＋36－40)i＋(16＋24
＋35－27)j＋(18＋30＋24－28)k
＝－86＋28i＋48j＋44k．
由此也可以看出，四元数的乘法是不满足交换律的．
不过，有意思的是，与复数的乘法能够表示平面直角坐标系中的旋转类似，四元数的乘法能够表示空间中的旋转．因此，四元数在描述三维旋转、姿态方面有一些独特的优点，人们经常使用四元数去描述飞行器、机器人等的姿态．感兴趣的同学请自行查阅有关资料．
顺带提及的是，有同学可能会想：既然能有四元数，那有没有三元数呢？能不能规定形如a＋bi＋cj的数为三元数呢？其中a，b，c都是实数，i，j都是虚数单位．对这个问题感兴趣的同学，可以考虑一下此时i与j的积ij的结果是什么，由此是否出现矛盾，等等．
学 习 任 务
核 心 素 养
1．了解复数的三角形式，了解复数的代数表示与三角表示之间的关系．
2．了解复数乘、除运算的三角表示及其几何意义．
1．借助复数的三角形式，培养数学抽象的核心素养．
2．通过复数三角形式的运算，培养数学运算的核心素养．