7．3　复数的三角表示

这是一份7．3　复数的三角表示，文件包含7．3复数的三角表示doc、7．3应用案巩固提升doc等2份试卷配套教学资源，其中试卷共19页， 欢迎下载使用。

7．3*　复数的三角表示

考点
学习目标
核心素养
复数的三角形式
了解复数的三角形式，了解复数的代数表示与三角表示之间的关系
数学抽象
复数三角形式乘、除运算的
三角表示及其几何意义
了解复数乘、除运算的三角表示及其几何意义
数学抽象、数学运算

问题导学
预习教材P83－P89的内容，思考以下问题：
1．复数z＝a＋bi的三角形式是什么？
2．复数的辐角、辐角的主值是什么？
3．复数三角形式的乘、除运算公式是什么？
4．复数三角形式乘、除运算的几何意义是什么？

1．复数的三角表示式及复数的辐角和辐角的主值
一般地，任何一个复数z＝a＋bi都可以表示成r(cos θ＋isin θ)的形式，其中，r是复数z的模；θ是以x轴的非负半轴为始边，向量所在射线(射线)为终边的角，叫做复数z＝a＋bi的辐角，我们规定在0≤θ<2π范围内的辐角θ的值为辐角的主值，通常记作argz.r(cos θ＋isin θ)叫做复数z＝a＋bi的三角表示式，简称三角形式．a＋bi叫做复数的代数表示式，简称代数形式．
■名师点拨
(1)任何一个不为零的复数的辐角有无限多个值，且这些值相差2π的整数倍．
(2)复数0的辐角是任意的．
(3)在0≤θ＜2π范围内的辐角θ的值为辐角的主值，通常记作argz，且0≤argz＜2π.
(4)两个非零复数相等当且仅当它们的模与辐角的主值分别相等．
2．复数三角形式的乘、除运算
若复数z1＝r1(cos θ1＋isin θ1)，z2＝r2(cos θ2＋isin θ2)，且z1≠z2，则
(1)z1z2＝r1(cos θ1＋isin θ1)·r2(cos θ2＋isin θ2)
＝r1r2[cos(θ1＋θ2)＋isin(θ1＋θ2)]．
(2)＝
＝[cos(θ1－θ2)＋isin(θ1－θ2)]．
即：两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和．
两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差．

判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)复数的辐角是唯一的．(　　)
(2)z＝cos θ－isin θ是复数的三角形式．(　　)
(3)z＝－2(cos θ＋isin θ)是复数的三角形式．(　　)
(4)复数z＝cos π＋isin π的模是1，辐角的主值是π.(　　)
答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√
复数z＝1＋i的三角形式为z＝________．
解析：r＝，cos θ＝＝，
又因为1＋i对应的点位于第一象限，
所以arg(1＋i)＝.
所以1＋i＝.
答案：
复数6的代数形式为________．
解析：6＝6cos＋6isin＝6i.
答案：6i
6×4＝________；
6÷4＝________．
解析：6×4
＝24
＝24i.
6÷4
＝
＝
＝＋i.
答案：24i　＋i


复数的代数形式与三角形式的互化
角度一　代数形式化为三角形式
　把下列复数的代数形式化成三角形式：
(1)＋i；
(2)－i.
【解】　(1)r＝＝2，因为＋i对应的点在第一象限，
所以cos θ＝，即θ＝，
所以＋i＝2.
(2)r＝＝2，cos θ＝，
又因为－i对应的点位于第四象限，
所以θ＝.
所以－i＝2.

复数的代数形式化三角形式的步骤
(1)先求复数的模．
(2)决定辐角所在的象限．
(3)根据象限求出辐角．
(4)求出复数的三角形式．
[提醒]　一般在复数三角形式中的辐角，常取它的主值这既使表达式简便，又便于运算，但三角形式辐角不一定取主值．　
角度二　三角形式化为代数形式
　分别指出下列复数的模和辐角的主值，并把这些复数表示成代数形式．
(1)4；
(2)(cos 60°＋isin 60°)；
(3)2.
【解】　(1)复数4的模r＝4，辐角的主值为θ＝.
4＝4cos ＋4isin
＝4×＋4×i
＝2＋2i.
(2)(cos 60°＋isin 60°)的模r＝，辐角的主值为θ＝60°.
(cos 60°＋isin 60°)＝×＋×i
＝＋i.
(3)2
＝2
＝2.
所以复数的模r＝2，辐角的主值为π.
2＝2cos π＋2isin π
＝2×＋2×i
＝1－i.

复数的三角形式z＝r(cos θ＋isin θ)必须满足“模非负、余正弦、＋相连、角统一、i跟sin”，否则就不是三角形式，只有化为三角形式才能确定其模和辐角，如本例(3)．　
　下列复数是不是复数的三角形式？如果不是，把它们表示成三角形式．
(1)；
(2)－；
(3)；
(4)cos ＋isin ；
(5).
解：根据复数三角形式的定义可知，(1)、(2)、(3)、(5)不是，(4)是复数的三角形式．
(1)原式＝；
(2)原式＝
＝；
(3)原式＝
＝；
(5)原式＝.

复数三角形式的乘、除运算
　计算：
(1)8×4；
(2)(cos 225°＋isin 225°)÷[(cos 150°＋isin 150°)]；
(3)4÷.
【解】　(1)8×4
＝32
＝32
＝32
＝32
＝16＋16i.
(2)(cos 225°＋isin 225°)÷[(cos 150°＋isin 150°)]
＝[cos(225°－150°)＋isin(225°－150°)]
＝(cos 75°＋isin 75°)
＝
＝＋i
＝＋i.
(3)4÷
＝4(cos 0＋isin 0)÷
＝4
＝2－2i.

(1)乘法法则：模相乘，辐角相加．
(2)除法法则：模相除，辐角相减．
(3)复数的n次幂，等于模的n次幂，辐角的n倍．　
　计算：
(1)；
(2)(cos 75°＋isin 75°)×；
(3)÷.
解：(1)
＝()2
＝2
＝－1＋i.
(2)－i＝
＝，
所以(cos 75°＋isin 75°)×
＝×
＝×
＝cos π＋isin π
＝cos ＋isin
＝＋i.
(3)因为－＋i＝cos π＋isin π，
所以÷
＝÷
＝
＝
＝＋i.

复数三角形式乘、除运算的几何意义
　在复平面内，把复数3－i对应的向量分别按逆时针和顺时针方向旋转，求所得向量对应的复数．
【解】　因为3－i＝2
＝2
所以2×
＝2
＝2
＝2
＝3＋i，
2×
＝2
＝2
＝－2i.
故把复数3－i对应的向量按逆时针旋转得到的复数为3＋i，按顺时针旋转得到的复数为－2i.

两个复数z1，z2相乘时，先分别画出与z1，z2对应的向量，，然后把向量绕点O按逆时针方向旋转角θ2(如果θ2<0，就要把绕点O按顺时针方向旋转角|θ2|)，再把它的模变为原来的r2倍，得到向量，表示的复数就是积z1z2.　
　在复平面内，把与复数＋i对应的向量绕原点O按逆时针方向旋转，然后将其长度伸长为原来的2倍，求与所得向量对应的复数．(用代数形式表示)
解：＋i＝，由题意得
×
＝×2
＝3
＝3i，
即与所得向量对应的复数为3i.

1．复数1－i的辐角的主值是(　　)
A.π　　　　　　　　 B.π
C.π D.
解析：选A.因为1－i＝2＝2，所以1－i辐角的主值为π.
2．复数9(cos π＋isin π)的模是________．
答案：9
3．arg(－2i)＝________．
答案：π
4．计算：
(1)(cos 75°＋isin 75°)(cos 15°＋isin 15°)；
(2)2(cos 300°＋isin 300°)÷.
解：(1)(cos 75°＋isin 75°)(cos 15°＋isin 15°)
＝cos(75°＋15°)＋isin(75°＋15°)
＝cos 90°＋isin 90°
＝i.
(2)2(cos 300°＋isin 300°)÷
＝2÷
＝
＝
＝－＋i.
[A　基础巩固]
1．复数－i的三角形式是(　　)
A．cos＋isin　　 B．cos ＋isin
C．cos －isin D．cos ＋isin
解析：选A.－i＝cos π＋isin π
＝cos＋isin
＝cos＋isin.
2．复数sin 50°－isin 140°的辐角的主值是(　　)
A．150° B．40°
C．－40° D．320°
解析：选D.sin 50°－isin 140°＝cos(270°＋50°)＋isin(180°＋140°)　
＝cos 320°＋isin 320°.
3．复数sin 4＋icos 4的辐角的主值为(　　)
A．4 B.－4
C．2π－4 D.－4
解析：选D.sin 4＋icos 4＝cos＋isin.
4．若复数cos θ＋isin θ和sin θ＋icos θ相等，则θ的值为(　　)
A. B.或
C．2kπ＋(k∈Z) D．kπ＋(k∈Z)
解析：选D.因为cos θ＋isin θ＝sin θ＋icos θ，
所以cos θ＝sin θ，即tan θ＝1，
所以θ＝＋kπ，(k∈Z)．
5．如果θ∈，那么复数(1＋i)(cos θ－isin θ)的三角形式是(　　)
A.
B.[cos(2π－θ)＋isin(2π－θ)]
C.
D.
解析：选A.因为1＋i＝，
cos θ－isin θ＝cos(2π－θ)＋isin(2π－θ)，
所以(1＋i)(cos θ－isin θ)
＝
＝.
6．已知z＝cos ＋isin ，则argz2＝________．
解析：因为argz＝，所以argz2＝2argz＝2×＝.
答案：
7．把复数1＋i对应的向量按顺时针方向旋转，所得到的向量对应的复数是________．
解析：(1＋i)
＝
＝
＝＝1－i.
答案：1－i
8．设复数z1＝1＋i，z2＝＋i，则的辐角的主值是_________________．
解析：由题知，z1＝2，z2＝2，
所以的辐角的主值为－＝.
答案：
9．设复数z1＝＋i，复数z2满足|z2|＝2，已知z1z的对应点在虚轴的负半轴上，且argz2∈(0，π)，求z2的代数形式．
解：因为z1＝2，设z2＝2(cos α＋isin α)，α∈(0，π)，所以z1z＝8.由题设知2α＋＝2kπ＋(k∈Z)，所以α＝kπ＋(k∈Z)，又α∈(0，π)，所以α＝，所以z2＝2＝－1＋i.　
10．已知z＝－2i，z1－z2＝0，argz2＝，若z1，z2在复平面内分别对应点A，B，且|AB|＝，求z1和z2.
解：由题设知z＝1－i，因为|AB|＝，即|z1－z2|＝，
所以|z1－z2|＝|z2－z2|＝|(1＋i)z2－z2|＝|iz2|＝|z2|＝，又argz2＝，
所以z2＝，
z1＝z2＝(1＋i)z2＝·＝2.
[B　能力提升]
11．若复数z＝(a＋i)2的辐角的主值是，则实数a的值是(　　)
A．1 B．－1
C．－ D．－
解析：选B.因为z＝(a＋i)2＝(a2－1)＋2ai，argz＝，
所以，所以a＝－1，故选B.
12．设π<θ<，则复数的辐角的主值为(　　)
A．2π－3θ B．3θ－2π
C．3θ D．3θ－π
解析：选B.＝＝cos 3θ＋isin 3θ.
因为π<θ<，所以3π<3θ<，
所以π<3θ－2π<，故选B.
13．已知复数z满足z2＋2z＋4＝0，且argz∈，则z的三角形式为________．
解析：由z2＋2z＋4＝0，得z＝(－2±2i)＝－1±i.
因为argz∈，
所以z＝－1－i应舍去，
所以z＝－1＋i＝2.
答案：z＝2
14．已知k是实数，ω是非零复数，且满足argω＝π，(1＋)2＋(1＋i)2＝1＋kω.
(1)求ω的值；
(2)设z＝cos θ＋isin θ，θ∈[0，2π]，若|z－ω|＝1＋，求θ的值．
解：(1)设ω＝r(r>0)，可求出r＝，即ω＝－1＋i.
(2)|z－ω|＝.
因为|z－ω|＝1＋，
所以＝1＋，
化简得cos＝1，
而≤θ＋≤，
所以θ＋＝2π，即θ＝.
[C　拓展探究]
15．设O为复平面的原点，A、B为单位圆上两点，A、B所对应的复数分别为z1、z2，z1、z2的辐角的主值分别为α、β.若△AOB的重心G对应的复数为＋i，求tan(α＋β)．
解：由题意可设z1＝cos α＋isin α，z2＝cos β＋isin β.
因为△AOB的重心G对应的复数为＋i，
所以＝＋i，即
所以
所以tan ＝，故tan(α＋β)＝＝.