高中数学人教A版 (2019)必修 第二册7.3* 复数的三角表示精品导学案

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第二册7.3* 复数的三角表示精品导学案，共7页。学案主要包含了学习过程，学习小结，精炼反馈，学习重难点，学习目标，核心素养等内容，欢迎下载使用。




【学习过程】


一、问题导学


预习教材内容，思考以下问题：


1．复数z＝a＋bi的三角形式是什么？


2．复数的辐角、辐角的主值是什么？


3．复数三角形式的乘、除运算公式是什么？


4．复数三角形式乘、除运算的几何意义是什么？




















二、合作探究


1．复数的代数形式与三角形式的互化


角度一 代数形式化为三角形式


把下列复数的代数形式化成三角形式：


（1）eq \r(3)＋i；


（2）eq \r(2)－eq \r(2)i.











【解】（1）r＝eq \r(3＋1)＝2，因为eq \r(3)＋i对应的点在第一象限，


所以cs θ＝eq \f(\r(3),2)，即θ＝eq \f(π,6)，


所以eq \r(3)＋i＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(π,6)＋isin\f(π,6))).


（2）r＝eq \r(2＋2)＝2，cs θ＝eq \f(\r(2),2)，


又因为eq \r(2)－eq \r(2)i对应的点位于第四象限，


所以θ＝eq \f(7π,4).


所以eq \r(2)－eq \r(2)i＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(7π,4)＋isin\f(7π,4))).


角度二 三角形式化为代数形式


分别指出下列复数的模和辐角的主值，并把这些复数表示成代数形式．


（1）4eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs \f(π,6)＋isin \f(π,6)))；


（2）eq \f(\r(3),2)(cs 60°＋isin 60°)；


（3）2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs \f(π,3)－isin \f(π,3))).




















【解】（1）复数4eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs \f(π,6)＋isin \f(π,6)))的模r＝4，辐角的主值为θ＝eq \f(π,6).


4eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs \f(π,6)＋isin \f(π,6)))＝4cs eq \f(π,6)＋4isin eq \f(π,6)


＝4×eq \f(\r(3),2)＋4×eq \f(1,2)i


＝2eq \r(3)＋2i.


（2）eq \f(\r(3),2)(cs 60°＋isin 60°)的模r＝eq \f(\r(3),2)，辐角的主值为θ＝60°.


eq \f(\r(3),2)(cs 60°＋isin 60°)＝eq \f(\r(3),2)×eq \f(1,2)＋eq \f(\r(3),2)×eq \f(\r(3),2)i


＝eq \f(\r(3),4)＋eq \f(3,4)i.


（3）2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs \f(π,3)－isin \f(π,3)))


＝2eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2π－\f(π,3)))＋isin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2π－\f(π,3)))))


＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(5,3)π＋isin \f(5,3)π)).


所以复数的模r＝2，辐角的主值为eq \f(5,3)π.


2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs \f(5,3)π＋isin \f(5,3)π))＝2cs eq \f(5,3)π＋2isin eq \f(5,3)π


＝2×eq \f(1,2)＋2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(3),2)))i


＝1－eq \r(3)i.


2．复数三角形式的乘、除运算


计算：


（1）8eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs \f(4,3)π＋isin\f(4,3)π))×4eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs \f(5,6)π＋isin\f(5,6)π))；


（2）eq \r(3)(cs 225°＋isin 225°)÷[eq \r(2)(cs 150°＋isin 150°)]；


（3）4÷eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs \f(π,4)＋isin \f(π,4))).




















【解】（1）8eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs \f(4,3)π＋isin\f(4,3)π))×4eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs \f(5,6)π＋isin\f(5,6)π))


＝32eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,3)π＋\f(5,6)π))＋isin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,3)π＋\f(5,6)π))))


＝32eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs \f(13,6)π＋isin \f(13,6)π))


＝32eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs \f(π,6)＋isin \f(π,6)))


＝32eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)＋\f(1,2)i))


＝16eq \r(3)＋16i.


（2）eq \r(3)(cs 225°＋isin 225°)÷[eq \r(2)(cs 150°＋isin 150°)]


＝eq \f(\r(3),\r(2))[cs(225°－150°)＋isin(225°－150°)]


＝eq \f(\r(6),2)(cs 75°＋isin 75°)


＝eq \f(\r(6),2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(6)－\r(2),4)＋\f(\r(6)＋\r(2),4)i))


＝eq \f(6－2\r(3),8)＋eq \f(6＋2\r(3),8)i


＝eq \f(3－\r(3),4)＋eq \f(3＋\r(3),4)i.


（3）4÷eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs \f(π,4)＋isin \f(π,4)))


＝4(cs 0＋isin 0)÷eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs \f(π,4)＋isin \f(π,4)))


＝4eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)))＋isin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)))))


＝2eq \r(2)－2eq \r(2)i.


3．复数三角形式乘、除运算的几何意义


在复平面内，把复数3－eq \r(3)i对应的向量分别按逆时针和顺时针方向旋转eq \f(π,3)，求所得向量对应的复数．























【解】因为3－eq \r(3)i＝2eq \r(3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)－\f(1,2)i))


＝2eq \r(3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs \f(11,6)π＋isin \f(11,6)π))


所以2eq \r(3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs \f(11,6)π＋isin \f(11,6)π))×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs \f(π,3)＋isin \f(π,3)))


＝2eq \r(3)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(11,6)π＋\f(π,3)))＋isin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(11,6)π＋\f(π,3)))))


＝2eq \r(3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs \f(13,6)π＋isin \f(13,6)π))


＝2eq \r(3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs \f(π,6)＋isin \f(π,6)))


＝3＋eq \r(3)i，


2eq \r(3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs \f(11,6)π＋isin \f(11,6)π))×eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)))＋isin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)))))


＝2eq \r(3)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(11,6)π－\f(π,3)))＋isin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(11,6)π－\f(π,3)))))


＝2eq \r(3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs \f(3,2)π＋isin \f(3,2)π))


＝－2eq \r(3)i.


故把复数3－eq \r(3)i对应的向量按逆时针旋转eq \f(π,3)得到的复数为3＋eq \r(3)i，按顺时针旋转eq \f(π,3)得到的复数为－2eq \r(3)i.


【学习小结】


1．复数的三角表示式及复数的辐角和辐角的主值


一般地，任何一个复数z＝a＋bi都可以表示成r(csθ＋isinθ)的形式，其中，r是复数z的模；θ是以x轴的非负半轴为始边，向量eq \(OZ,\s\up6(→))所在射线(射线eq \(OZ,\s\up6(→)))为终边的角，叫做复数z＝a＋bi的辐角，我们规定在0≤θ<2π范围内的辐角θ的值为辐角的主值，通常记作argz.r(csθ＋isinθ)叫做复数z＝a＋bi的三角表示式，简称三角形式．a＋bi叫做复数的代数表示式，简称代数形式．


2．复数三角形式的乘、除运算


若复数z1＝r1(csθ1＋isinθ1)，z2＝r2(csθ2＋isinθ2)，且z1≠z2，则


（1）z1z2＝r1(csθ1＋isinθ1)·r2(csθ2＋isinθ2)


＝r1r2[cs(θ1＋θ2)＋isin(θ1＋θ2)]．


（2）eq \f(z1,z2)＝eq \f(r1（cs θ1＋isin θ1）,r2（cs θ2＋isin θ2）)


＝eq \f(r1,r2)[cs(θ1－θ2)＋isin(θ1－θ2)]．


即：两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和．


两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差．


【精炼反馈】


1．复数1－eq \r(3)i的辐角的主值是( )


A．eq \f(5,3)π B．eq \f(2,3)π


C．eq \f(5,6)π D．eq \f(π,3)


解析：选A．因为1－eq \r(3)i＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)－\f(\r(3),2)i))＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs \f(5,3)π＋isin \f(5,3)π))，所以1－eq \r(3)i辐角的主值为eq \f(5,3)π.


2．复数9(cs π＋isin π)的模是________．


答案：9


3．arg(－2i)＝________．


答案：eq \f(3,2)π


4．计算：


（1）(cs 75°＋isin 75°)(cs 15°＋isin 15°)；


（2）2(cs 300°＋isin 300°)÷eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\r(2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs \f(3,4)π＋isin \f(3,4)π)))).


解：（1）(cs 75°＋isin 75°)(cs 15°＋isin 15°)


＝cs(75°＋15°)＋isin(75°＋15°)


＝cs 90°＋isin 90°


＝i.


（2）2(cs 300°＋isin 300°)÷eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\r(2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs \f(3,4)π＋isin \f(3,4)π))))


＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs \f(5,3)π＋isin \f(5,3)π))÷eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\r(2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs \f(3,4)π＋isin \f(3,4)π))))


＝eq \r(2)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,3)π－\f(3,4)π))＋isin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,3)π－\f(3,4)π))))


＝eq \r(2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs \f(11,12)π＋isin \f(11,12)π))


＝－eq \f(1＋\r(3),2)＋eq \f(\r(3)－1,2)i.【学习重难点】
【学习目标】
【核心素养】
复数的三角形式
了解复数的三角形式，了解复数的代数表示与三角表示之间的关系
数学抽象
复数三角形式乘、除运算的


三角表示及其几何意义
了解复数乘、除运算的三角表示及其几何意义
数学抽象、数学运算