数学必修 第二册第六章 平面向量及其应用6.4 平面向量的应用第3课时练习题

这是一份数学必修 第二册第六章 平面向量及其应用6.4 平面向量的应用第3课时练习题，共12页。

【必做题】
一、单选题
1．（2022秋·天津滨海新·高一校考期末）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，那么是（ ）
A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．无法确定
2．（2022春·北京大兴·高一统考期末）如图，两点在河的两岸，在同侧的河岸边选取点，测得的距离，则两点间的距离为（ ）
A．B．C．D．
3．（2022春·河北保定·高一统考期末）一艘船航行到点处时，测得灯塔与其相距30海里，如图所示.随后该船以20海里/小时的速度，沿直线向东南方向航行1小时后到达点，测得灯塔在其北偏东方向，则（ ）
A．B．C．D．
4．（2022春·吉林长春·高一校考期中）在中，角的对边分别为，若，且，则为（ ）
A．等边三角形B．等腰三角形
C．等腰直角三角形D．直角三角形
5．（2023·高一课时练习）三角形两边之差为2，且这两边的夹角的余弦值为，面积为14，此三角形是（ ）．
A．钝角三角形；B．锐角三角形；C．直角三角形；D．不能确定．
6．（2022春·辽宁沈阳·高一沈阳市第一二〇中学校考期末）圭表（如图甲）是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标竿（称为“表”）和一把呈南北方向水平固定摆放的与标竿垂直的长尺（称为“圭”），当太阳在正午时刻照射在表上时，日影便会投影在圭面上，圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，日影长度最短的那一天定为夏至．图乙是一个根据某地的地理位置设计的主表的示意图，已知某地冬至正午时太阳高度角（即∠ABC）大约为15°，夏至正午时太阳高度角（即∠ADC）大约为60°，圭面上冬至线与夏至线之间的距离（即DB的长）为a，则表高（即AC的长）为（注：）（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
7．（2022·高一单元测试）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，若边BC的中线，则下列结论正确的有（ ）
A．B．
C．D．△ABC的面积为
8．（2022·高一单元测试）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则有两解
C．若为钝角三角形，则
D．若，则面积的最大值为
三、填空题
9．（2023·高一课时练习）已知的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，，则一定为_____三角形．
10．（2022春·上海虹口·高一上海市复兴高级中学校考期中）在中，设、、分别是三个内角、、所对的边，，，面积，则内角的大小为__．
11．（2022春·云南文山·高一统考期末）如图所示，要在两山顶间建一索道，需测量两山顶间的距离.现选择与山脚在同一平面的点为观测点，从点测得点的仰角点的仰角以及，若米，米，则等于__________米.
四、解答题
12．（2022春·新疆巴音郭楞·高一校考阶段练习）如图，两座相距60 m的建筑物AB，CD的高度分别为20 m，50 m，BD为水平面，求从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角．
13．（2022春·新疆巴音郭楞·高一校考阶段练习）如图，，两点分别在河的两侧，为了测量，两点之间的距离，在点的同侧选取点，测得，，米，求，两点之间的距离．
14．（2022秋·河北保定·高一保定一中校考期末）如图，保定市某中学在实施“五项管理”中，将学校的“五项管理”做成宣传牌（CD），放置在教学楼的顶部（如图所示），该中学数学活动小组在山坡的坡脚A处测得宣传牌底部D的仰角为60°，沿该中学围墙边坡AB向上走到B处测得宣传牌顶部C的仰角为45°．已知山坡AB的坡度为．
(1)求点B距水平面AE的高度BH；
(2)求宣传牌CD的高度．（结果保留根号）
15．（2023·高一课时练习）已知岛南偏西38°方向，与岛距离为海里的处有一艘缉私艇．岛处的一艘走私船正以10海里/时的速度向岛北偏西22°方向行驶，问缉私艇朝何方向以多大速度行驶，恰好用0.5小时能截住该走私船？（参考数据）
【选做题】
一、单选题
1．（2022秋·河北保定·高一保定一中校考期末）如图，在中，，将绕顶点C逆时针旋转得到，M是BC的中点，P是的中点，连接PM．若，则线段PM的最大值为（ ）
A．2.5B．C．3D．4
2．（2022春·河南信阳·高一信阳高中校考阶段练习）在中，若，则的面积的最大值为（ ）
A．B．C．D．
3．（2022春·吉林长春·高一校考期中）如图所示，为了测量山高，选择和另一座山的山顶作为测量基点，从点测得点的仰角，点的仰角，，从点测得，已知山高，则山高（单位：）为（ ）
A．B．C．D．
4．（2023秋·吉林·高一吉林一中校考阶段练习）在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，S为的面积，且，则的取值范围为（ ）．
A．B．C．D．
5．（2022春·四川成都·高一统考期末）在中，角A､B､C所对的边分别为a､b､c，若，，，点O､H分别为的外心和重心，则的值为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
6．（2022春·吉林长春·高一校考期中）已知的内角的对边分别为，若，且，延长至.则下面结论正确的是（ ）
A．
B．
C．若，则周长的最大值为
D．若，则面积的最大值为
三、填空题
7．（2023·高一课时练习）在中，，则的形状为______．
8．（2022春·山东临沂·高一校考阶段练习）法国数学家费马被称为业余数学之王，很多数学定理以他的名字命名.对而言，若其内部的点满足，则称为的费马点.如图所示，在中，已知，设为的费马点，且满足，.则的外接圆直径长为______.
四、解答题
9．（2023春·江苏南京·高一南京市第二十九中学校考开学考试）在中，角所对的边长为，，．
(1)若，求的面积；
(2)是否存在正整数，使得为钝角三角形？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
10．（2022春·广西桂林·高一校考期末）在锐角中，分别是角所对的边，且.
(1)求角；
(2)若，求的取值范围.
11．（2022春·河南平顶山·高一校考阶段练习）位于灯塔处正西方向相距的处有一艘甲船，需要海上加油位于灯塔处北偏东有一与灯塔相距的乙船在处求乙船前往支援处的甲船航行的距离和方向
12．（2023秋·山东临沂·高一校考期末）记的内角的对边分别为，已知.
(1)若，求；
(2)若，求的范围.
13．（2023·高一课时练习）如图，在与水平方向成角的斜坡 上有一塔 ，从测得塔的张角分别是，，若，求塔高 ．
14．（2022春·吉林长春·高一校考期中）如图，半圆的半径为为直径延长线上一点，为半圆上任意一点，以为边做等边三角形，设.
(1)当时，求四边形的面积；
(2)求线段长度的最大值，并指出此时的值.
15．（2023·高一课时练习）如图所示，一辆汽车从点出发沿一条直线公路以50千米/小时的速度匀速行驶（图中的箭头方向为汽车行驶方向），汽车开动的同时，在距汽车出发点点的距离为5千米、距离公路线的垂直距离为3千米的点的地方有一个人骑摩托车出发想把一件东西送给汽车司机．问骑摩托车的人至少以多大的速度匀速行驶才能赶上那辆汽车，此时他驾驶摩托车行驶了多少千米？
16．（2023·高一课时练习）抗击新冠肺炎的有效措施之一是早发现，早隔离．某地发现疫情，卫生部门欲将一块如图所示的四边形区域沿边界用固定高度的板材围城一个封闭隔离区，经测量，边界与的长都是200米，．
(1)若，求BC的长；（结果精确到米）
(2)围成该区域至多需要多少米长度的板材？（不计损耗，结果精确到米）
17．（2023·高一课时练习）根据指令，机器人在平面上能完成下列动作：先原地旋转角度（为正时，按逆时针方向旋转；为负时，按顺时针方向旋转），再朝其面对的方向沿直线行走距离r.
(1)现机器人在直角坐标系的坐标原点，且面对x轴正方向，试给机器人下一个指令，使其移动到点；
(2)机器人在完成该指令后，发现在点处有一小球正向坐标原点作匀速直线滚动，已知小球滚动的速度为机器人直线行走速度的2倍，若忽略机器人原地旋转所需的时间，问机器人最快可在何处截住小球？并给出机器人截住小球所需的指令（参考数据：）.
18．（2022春·上海普陀·高一曹杨二中校考期中）如图所示，我国黄海某处的一个圆形海域上有四个小岛，小岛与小岛、小岛相距都为5公里，与小岛相距为公里．已知角为钝角，且．
(1)求小岛与小岛之间的距离；
(2)记为，为，求的值．
19．（2022春·江苏苏州·高一校联考期末）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足
(1)求角C；
(2)CD是的角平分线，若，的面积为，求c的值.
20．（2022春·广东汕尾·高一统考期末）某大学科研团队在如下图所示的长方形区域内（包含边界）进行粒子撞击实验，科研人员在A、O两处同时释放甲、乙两颗粒子.甲粒子在A处按方向做匀速直线运动，乙粒子在O处按方向做匀速直线运动，两颗粒子碰撞之处记为点P，且粒子相互碰撞或触碰边界后爆炸消失.已知长度为6分米，O为中点.
(1)已知向量与的夹角为，且足够长.若两颗粒子成功发生碰撞，求两颗粒子运动路程之和的最大值；
(2)设向量与向量的夹角为（），向量与向量的夹角为（），甲粒子的运动速度是乙粒子运动速度的2倍.请问的长度至少为多少分米，才能确保对任意的，总可以通过调整甲粒子的释放角度，使两颗粒子能成功发生碰撞？