高中数学人教A版 (2019)必修 第二册6.4 平面向量的应用练习题

《第四节　平面向量的应用》同步练习

（课时3  余弦定理、正弦定理（3.余弦定理、正弦定理应用举例））

一、基础巩固

知识点1　测量距离

1.如图所示,为了测量某湖泊两侧A,B的距离,某同学首先选定了与A,B不共线的一点C,然后给出四种测量方案(△ABC的角A,B,C所对的边分别记为a,b,c):

①测量角A,角C,b;②测量a,b,角C;

③测量角A,角B,a;④测量a,b,角B.

则一定能确定A,B间距离的方案是(　　)

A.①②③  B.②③④  C.①③④  D.①②③④

2.[2022西南大学附属中学高二上开学考试]如图,A,B,C为山脚两侧共线的三点,在山顶P处测得这三点的俯角分别为α=30°,β=45°,γ=30°.现计划沿直线AC开通一条穿山隧道DE,经测量AD=100 m,BE=33 m,BC=100 m,则PB=　　m,DE=　　　　 m.(精确到1 m,附:≈1.414,≈1.732.) 

知识点2　测量高度

3.(多选)[2022江苏苏州陆慕高级中学高一下期中]甲、乙两楼相距20 m,从乙楼楼底仰望甲楼楼顶的仰角为60°,从甲楼楼顶望乙楼楼顶的俯角为30°,则(　　)

A.甲楼的高度为20 m  B.甲楼的高度为10 m

C.乙楼的高度为 m  D.乙楼的高度为10 m

4.如图所示,为测一建筑物的高度,在地面上选取A,B两点,从A,B两点测得建筑物顶端的仰角分别为30°,45°,且A,B两点间的距离为60 m,则该建筑物的高度为(　　)

A.(30+30)m B.(30+15)m

C.(15+30)m D.(15+15)m

知识点3　测量角度

5.[2022河北保定高一期末]一艘船航行到点A处时,测得灯塔C与其相距30海里,如图所示.随后该船以20海里/时的速度,沿直线向东南方向航行1小时后到达点B,测得灯塔C在其北偏东25°方向,则sin∠ACB= (　　)

A. 70°   B. 75°   C.cos 70°   D.

6.[2022江西南昌高一下期中]如图,在离地面h m的热气球M上,观察到山顶C处的仰角为θ,在山脚A处观察到山顶C处的仰角为60°,且热气球M在地面上的射影D在A左侧.若A到热气球的距离AM=400 m,山的高度BC=600 m,∠ACM=45°,则θ=(　　)

A.30°   B.25°   C.20°   D.15°

二、能力提升

1.(多选)如图,某人在一条水平公路旁的山顶P处测得小车在A处的俯角为30°,该小车在公路上由东向西匀速行驶7.5分钟后,到达B处,此时测得俯角为45°.已知小车的速度是20 km/h,且cos∠AOB=-,则(　　)

A.此山的高PO= km

B.小车从A到B的行驶过程中观测P点的最小仰角为30°

C.PA=2 km

D.小车从A到B的行驶过程中观测P点的最大仰角的正切值为

2.[2022江苏扬州高邮高一下期中]如图,飞机的航线和山顶在同一个铅垂面内,若飞机的高度为海拔19 km,速度为300 km/h,飞行员先在A处看到山顶C处的俯角为45°,经过2 min 后,又在B处看到山顶C处的俯角为75°,则山的海拔约为(结果精确到0.1,参考数据:≈1.732)(　　)

A.4.3 km 　 B.5.3 km 　 C.6.3 km 　 D.13.7 km

3.如图,某湖有一半径为100 m的半圆形岸边,现决定在圆心O处设立一个水文监测中心(大小忽略不计),在其正东方向相距200 m的点A处安装一套监测设备.为了监测数据更加准确,在半圆弧上的点B以及湖中的点C处,再分别安装一套监测设备,且满足AB=AC,∠BAC=90°.定义:四边形OACB及其内部区域为“直接监测覆盖区域”.设∠AOB=θ,则“直接监测覆盖区域”面积的最大值为　　　　. 

4.如图,A,B是海面上位于东西方向相距4(3+)n mile的两个观测点,现位于A点北偏东45°,B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号,位于B点南偏西60°且与B点相距16 n mile的C点的救援船立即前往营救,其航行速度为24 n mile/h,则BD=

　    　 n mile,该救援船到达D点所需的时间为　　　　h.

5.如图,某人在塔AB的正东方向上的C处,在与塔垂直的水平面内沿南偏西60°的方向以每小时6 km的速度步行1 min后到达D处,在点D处望见塔的底端B在东北方向上.已知沿途某人看塔的仰角∠AEB=α,α的最大值为60°.

(1)该人沿南偏西60°的方向走到仰角α最大时,走了几分钟?

(2)求塔高.

参考答案

一、基础巩固

1.A　对于①,利用内角和定理先求出B=π-A-C,再利用正弦定理,解出c的值是唯一的;对于②,直接利用余弦定理cos C=,即可解出c的值是唯一的;对于③,利用正弦定理,求出b,再利用余弦定理可求出c的值是唯一的;对于④,利用正弦定理,求角A,当a>b,且sin A=<1时,角A可能为锐角或钝角,有两个不同的结果,其余弦值有一正一负两个不同的结果,于是接下来再利用余弦定理求c时会有两个不同结果,故不一定能唯一确定点A,B间的距离.故选A.

2.193　240　解析由题意,得∠BCP=30°,∠BPC=15°,BC=100,sin 15°=sin(45°-30°)=.由,即,得PB==50()≈193(m).在△PAB中,因为α=30°,所以A=30°,∠APB=105°.又sin 105°=sin(60°+45°)=,由,即,得AB==25(8+4)≈373(m),所以DE=AB-AD-BE=373-100-33=240(m).

3.AC　如图所示,在Rt△ABD中,∠ABD=60°,BD=20 m,所以AD=BDtan 60°=20 m,AB==40 m.在△ABC中,∠ABC=∠BAC=30°,所以可设AC=BC=x m.由余弦定理得AB2=AC2+BC2-2AC·BC·cos∠ACB,即1 600=x2+x2+x2,解得x=.所以甲楼、乙楼的高度分别为20 m, m,故选AC.

4.A　在△PAB中,∠PAB=30°,∠APB=15°,AB=60 m,sin 15°=sin(45°-30°)=,由正弦定理,得PB==30()(m),所以建筑物的高度为PBsin 45°=30()×=(30+30)(m),故选A.

5.A　由题意可知,∠ABC=45°+25°=70°,AB=20海里,由正弦定理可得,代入数据得sin∠ACB=sin 70°.

6.D　在Rt△ABC中,BC=600 m,∠CAB=60°,所以AC==400(m).在△MAC中,由正弦定理知,解得sin∠AMC=,所以∠AMC=60°或120°.若∠AMC=60°,则∠MAC=75°,∠MAD=45°,所以θ=60°-45°=15°;若∠AMC=120°,则∠MAC=15°,∠MAB=75°,此时D在A右侧,不符合题意.综上所述,θ=15°.故选D.

二、能力提升

1.BCD　由题意可得∠OAP=30°,∠OBP=45°,设OP=x km.又OP⊥OA,OP⊥OB,则OA=x km,OB=x km.因为AB=7.5××20=(km),所以cos∠AOB==-,解得x=1,从而PA=2 km,故A错误,C正确;易知sin∠AOB=,所以由等面积法可得O到AB的距离h= km,所以小车从A到B的行驶过程中,距离O点的距离范围是[,].由题图可知,距离O点越远,仰角越小,距离O点越近,仰角越大,故在A处时,仰角最小,为30°,最大仰角的正切值为,故B,D正确.故选BCD.

2.B　如图,过C点作直线AB的垂线,垂足为D.由题意得AB=300×=10(km),∠ACB=30°,因为,所以BC=AB·=10(km).又sin 75°=sin(45°+30°)=,所以CD=BC·sin∠CBD=10=5(+1)≈13.66(km).故山的海拔约为19-13.66≈5.3(km).

3.(10 000+25 000)m2　解析在△OAB中,因为∠AOB=θ,OB=100,OA=200,所以AB2=OB2+OA2-2OB·OAcos θ,即AB=100,所以S四边形OACB=S△OAB+S△ABC=OA·OBsin θ+AB2=1002(sin θ-2cos θ+).令tan φ=2,则S四边形OACB=1002[sin(θ-φ)+]≤1002(),所以“直接监测覆盖区域”面积的最大值为(10 000+25 000)m2.

4.8　1　解析由题意可知,在△ADB中,∠DAB=45°,∠DBA=30°,则∠ADB=180°-45°-30°=105°.由正弦定理,得,即.由sin 105°=sin(45°+60°)=,代入上式得DB=8n mile.在△BCD中,BC=16,DB=8,∠CBD=60°.由余弦定理得,CD2=BC2+BD2-2BC·BDcos 60°=(16)2+(8)2-2×16×8=242,所以CD=24,所以该救援船到达D点所需的时间为=1(h).

5.解析(1)依题意,知在△DBC中,∠BCD=30°,∠DBC=180°-45°=135°,CD=100 m,D=180°-135°-30°=15°.

 由正弦定理,得BC==50(-1)(m).

在Rt△ABE中,tan α= .

因为AB为定长,

所以当BE的长最小时,α取最大值60°,此时BE⊥CD.

当BE⊥CD时,在Rt△BEC中,

EC=BCcos∠BCE=50(-1)×=25(3-)(m).

设该人沿南偏西60°的方向走到仰角α最大时,走了t min,

则t=.

(2)由(1),知当α取得最大值60°时,BE⊥CD.

在Rt△BEC中,BE=BCsin∠BCE,

所以在Rt△ABE中,AB=BE×tan 60°=BC×sin∠BCE×tan 60°=50(-1)×=25(3-)(m),

即所求塔高为25(3-)m.