数学必修 第二册第六章 平面向量及其应用6.4 平面向量的应用第3课时同步达标检测题

这是一份数学必修 第二册第六章 平面向量及其应用6.4 平面向量的应用第3课时同步达标检测题，共30页。

【必做题】
一、单选题
1．（2022秋·天津滨海新·高一校考期末）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，那么是（ ）
A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．无法确定
【答案】B
【分析】已知等式左边利用平方差公式即完全平方公式化简，整理后利用勾股定理的逆定理判断即可得到结果.
【详解】在中，，
，即，
则为直角三角形，
故选：B.
2．（2022春·北京大兴·高一统考期末）如图，两点在河的两岸，在同侧的河岸边选取点，测得的距离，则两点间的距离为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据正弦定理求解即可
【详解】因为，故，由正弦定理，，故m
故选：D
3．（2022春·河北保定·高一统考期末）一艘船航行到点处时，测得灯塔与其相距30海里，如图所示.随后该船以20海里/小时的速度，沿直线向东南方向航行1小时后到达点，测得灯塔在其北偏东方向，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由题意可知的值，利用正弦定理即可求解.
【详解】解：由题意可知，，海里，
由正弦定理可得=，代入数据得.
故选：C.
4．（2022春·吉林长春·高一校考期中）在中，角的对边分别为，若，且，则为（ ）
A．等边三角形B．等腰三角形
C．等腰直角三角形D．直角三角形
【答案】C
【分析】根据已知等式可配凑出，进而得到，依次计算出各个角即可确定结果.
【详解】由得：，即，
，，，则，
为等腰直角三角形.
故选：C.
5．（2023·高一课时练习）三角形两边之差为2，且这两边的夹角的余弦值为，面积为14，此三角形是（ ）．
A．钝角三角形；B．锐角三角形；C．直角三角形；D．不能确定．
【答案】B
【分析】由题意，利用余弦定理求得三边，再求得三角的余弦值判断.
【详解】解：设三角形两边a，b之差为2，且这两边的夹角的余弦值为，
则，，，
由，得，
解得，
由余弦定理得，
则，
所以，
所以三角形是锐角三角形，
故选：B
6．（2022春·辽宁沈阳·高一沈阳市第一二〇中学校考期末）圭表（如图甲）是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标竿（称为“表”）和一把呈南北方向水平固定摆放的与标竿垂直的长尺（称为“圭”），当太阳在正午时刻照射在表上时，日影便会投影在圭面上，圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，日影长度最短的那一天定为夏至．图乙是一个根据某地的地理位置设计的主表的示意图，已知某地冬至正午时太阳高度角（即∠ABC）大约为15°，夏至正午时太阳高度角（即∠ADC）大约为60°，圭面上冬至线与夏至线之间的距离（即DB的长）为a，则表高（即AC的长）为（注：）（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由锐角三角函数的定义与同角三角函数的关系求解，
【详解】设表高为，则，，
而，得，，
故，
得，
故选：D
二、多选题
7．（2022·高一单元测试）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，若边BC的中线，则下列结论正确的有（ ）
A．B．
C．D．△ABC的面积为
【答案】ACD
【分析】根据正弦定理，结合平面向量加法的几何意义、平面向量数量积的定义、三角形面积公式进行求解即可.
【详解】根据正弦定理，由
，
因为，所以，因此，
因为，所以，因此选项A正确，选项B不正确；
因为是中线，所以由
，或舍去，
因此，所以选项C正确；
△ABC的面积为，所以选项D正确，
故选：ACD
8．（2022·高一单元测试）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则有两解
C．若为钝角三角形，则
D．若，则面积的最大值为
【答案】ABD
【分析】由正弦定理可判断A；由可判断B；由大边对大角结合余弦定理可判断C；由余弦定理与基本不等式可判断D.
【详解】对于A选项，若，则，由正弦定理可得，
所以，故A正确；
对于B选项，，则，
所以有两解，故B正确；
对于C选项，当为钝角三角形，且C为钝角时，，
可得，若C不为钝角，则得不到，故C错误；
对于D选项，由余弦定理与基本不等式可得，
即，当且仅当时，等号成立，
所以，故D正确．
故选：ABD.
三、填空题
9．（2023·高一课时练习）已知的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，，则一定为_____三角形．
【答案】等腰
【分析】根据正弦定理边角互化即得.
【详解】因为，
由正弦定理可得，即，
故一定为等腰三角形.
故答案为：等腰.
10．（2022春·上海虹口·高一上海市复兴高级中学校考期中）在中，设、、分别是三个内角、、所对的边，，，面积，则内角的大小为__．
【答案】或
【分析】由三角形面积公式进行求解即可.
【详解】∵的面积，
∴，
∵，
∴或．
故答案为：或.
11．（2022春·云南文山·高一统考期末）如图所示，要在两山顶间建一索道，需测量两山顶间的距离.现选择与山脚在同一平面的点为观测点，从点测得点的仰角点的仰角以及，若米，米，则等于__________米.
【答案】
【分析】在中根据求出，在中根据求出，在中由余弦定理得：求解.
【详解】在中，，
所以，
在中，，，
所以，
在中，，，，
由余弦定理得：
所以(米).
故答案为：.
四、解答题
12．（2022春·新疆巴音郭楞·高一校考阶段练习）如图，两座相距60 m的建筑物AB，CD的高度分别为20 m，50 m，BD为水平面，求从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角．
【答案】
【分析】先求得，然后利用余弦定理求得，由此求得正确答案.
【详解】由勾股定理得：，
，
由余弦定理得：，
因为，
所以.
13．（2022春·新疆巴音郭楞·高一校考阶段练习）如图，，两点分别在河的两侧，为了测量，两点之间的距离，在点的同侧选取点，测得，，米，求，两点之间的距离．
【答案】米.
【分析】直接利用正弦定理和特殊角的三角函数的值即得．
【详解】根据已知条件：，，米，
所以：，
利用正弦定理：则，
所以(米)．
14．（2022秋·河北保定·高一保定一中校考期末）如图，保定市某中学在实施“五项管理”中，将学校的“五项管理”做成宣传牌（CD），放置在教学楼的顶部（如图所示），该中学数学活动小组在山坡的坡脚A处测得宣传牌底部D的仰角为60°，沿该中学围墙边坡AB向上走到B处测得宣传牌顶部C的仰角为45°．已知山坡AB的坡度为．
(1)求点B距水平面AE的高度BH；
(2)求宣传牌CD的高度．（结果保留根号）
【答案】(1)2m
(2)
【分析】（1）根据坡度比以及勾股定理即可求解，
（2）根据锐角三角形的边角关系即可结合图形关系进行求解.
【详解】（1）由于所以,
设，则，
所以
（2）过点作，垂足为,则,
在中，
又，
故宣传牌CD的高度为，
15．（2023·高一课时练习）已知岛南偏西38°方向，与岛距离为海里的处有一艘缉私艇．岛处的一艘走私船正以10海里/时的速度向岛北偏西22°方向行驶，问缉私艇朝何方向以多大速度行驶，恰好用0.5小时能截住该走私船？（参考数据）
【答案】缉私艇朝正北方向，以海里/时的速度，恰好用0.5小时能截住该走私船
【分析】利用余弦定理求得正确答案.
【详解】设缉私艇在处截住该走私船，
依题意，
由余弦定理得，
所以缉私艇速度为海里/时，
，为锐角，所以，
所以缉私艇朝正北方向，以海里/时的速度，恰好用0.5小时能截住该走私船.
【选做题】
一、单选题
1．（2022秋·河北保定·高一保定一中校考期末）如图，在中，，将绕顶点C逆时针旋转得到，M是BC的中点，P是的中点，连接PM．若，则线段PM的最大值为（ ）
A．2.5B．C．3D．4
【答案】C
【分析】由题意，借助余弦定理得，进而可得到线段PM的最大值.
【详解】由题意，
绕顶点C逆时针旋转得到，P是的中点，则
设,
则，
，
，
故选：C.
2．（2022春·河南信阳·高一信阳高中校考阶段练习）在中，若，则的面积的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据题意，利用余弦定理得到关于的表达式，再利用三角形面积公式，结合二次函数最值的求法即可得解.
【详解】依题意，不妨设，，，则，，
由余弦定理得，即，则，
故，则，
所以，
又因为，
故，
当，即时，取得最大值，此时，，能组成三角形．
所以，即.
故选：A.
3．（2022春·吉林长春·高一校考期中）如图所示，为了测量山高，选择和另一座山的山顶作为测量基点，从点测得点的仰角，点的仰角，，从点测得，已知山高，则山高（单位：）为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】分析出为等腰直角三角形，求出的长，在中，利用正弦定理可求得的长，然后在中可求得的长，即为所求.
【详解】在中，，因为，则为等腰直角三角形，
故，
在中，，，则，
由正弦定理可得，，
在中，，又因为，则.
故选：C.
4．（2023秋·吉林·高一吉林一中校考阶段练习）在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，S为的面积，且，则的取值范围为（ ）．
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用，三角形面积公式和余弦定理可得，故可得到，，然后利用正弦定理可得，利用换元法即可求解
【详解】中，由余弦定理得，，
且的面积为，由，得，
化简得；又，，所以，
化简得，解得或（不合题意，舍去）；
因为，所以，
所以，
由，且，，
解得，
所以，所以，所以；
设，其中，
所以，
又，所以时，y取得最大值为，
时，；时，，且．
所以，即的取值范围是，
故选：D
【点睛】方法点睛：解三角形中最值或范围问题，通常涉及与边长，周长有关的范围问题，与面积有关的范围问题，或与角度有关的范围问题，
常用处理思路：①余弦定理结合基本不等式构造不等关系求出答案；
②采用正弦定理边化角，利用三角函数的范围求出最值或范围，如果三角形为锐角三角形，或其他的限制，通常采用这种方法；
③巧妙利用三角换元，实现边化角，进而转化为正弦或余弦函数求出最值
5．（2022春·四川成都·高一统考期末）在中，角A､B､C所对的边分别为a､b､c，若，，，点O､H分别为的外心和重心，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】取的中点，作交于，过点作，连接，根据三角形重心和外心的定义可知，，在中，分别求出及，再利用余弦定理即可得出答案.
【详解】解：如图，取的中点，作交于，过点作，连接，
根据三角形重心的定义可知，
中，，则，
所以和均为等腰直角三角形，，
则，
根据三角形外心的定义可知，
由，
则，
则，，
则，则，
因为，，
所以，所以，
则，
在中，
，
所以.
故选：A.
【点睛】本题考查了三角形的三心问题，在三角形外心和重心的基础之上利用余弦定理解三角形的问题，关键是理解外心和重心的定义，有一定的难度.
二、多选题
6．（2022春·吉林长春·高一校考期中）已知的内角的对边分别为，若，且，延长至.则下面结论正确的是（ ）
A．
B．
C．若，则周长的最大值为
D．若，则面积的最大值为
【答案】ACD
【分析】利用两角和差余弦公式可化简已知等式求得，利用正弦定理边化角，结合同角三角函数平方关系可构造方程求得，进而知A正确；将的值代入已知等式可求得，知为等比三角形，得B错误；在中，利用余弦定理和基本不等式可求得的最大值，进而知C正确；设，代入三角形面积公式中，根据二次函数最值的求法可知D正确.
【详解】，
，解得：，
由得：，
，
，解得：（舍）或，
，，A正确；
，，，即，
为等边三角形，，B错误；
，，
在中，由余弦定理得：，
（当且仅当时取等号），
解得：，周长的最大值为，C正确；
设，则，
，
则当时，取得最大值，D正确.
故选：ACD.
三、填空题
7．（2023·高一课时练习）在中，，则的形状为______．
【答案】直角三角形
【分析】利用正弦定理和余弦定理化简已知条件，得到，由此判断出三角形的形状.
【详解】因为
据正、余弦定理得：，
，
即，
化简得：，
，
即，
所以为直角三角形.
故答案为：直角三角形.
8．（2022春·山东临沂·高一校考阶段练习）法国数学家费马被称为业余数学之王，很多数学定理以他的名字命名.对而言，若其内部的点满足，则称为的费马点.如图所示，在中，已知，设为的费马点，且满足，.则的外接圆直径长为______.
【答案】
【分析】由已知利用三角形的内角和定理可得，，可得在中，，可得，在中，由正弦定理可得的值，在中，利用余弦定理求出，在中，利用正弦定理即可求出外接圆的直径.
【详解】由已知，所以.
在中，，故.
在中，由正弦定理得，
而，，
故，
在中，利用余弦定理 ，即，
在中，利用正弦定理，故的外接圆直径长为.
故答案为：.
四、解答题
9．（2023春·江苏南京·高一南京市第二十九中学校考开学考试）在中，角所对的边长为，，．
(1)若，求的面积；
(2)是否存在正整数，使得为钝角三角形？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
【答案】(1)
(2)存在，
【分析】（1）利用正弦定理边角互化结合已知条件求得，再根据余弦定理和三角形面积公式求解即可；
（2）利用余弦定理和三角形两边之和大于第三边求解即可.
【详解】（1）因为，所以由正弦定理可得，
又因为，，
解得，，，
在中由余弦定理可得，
所以，
所以.
（2）因为，
所以为钝角三角形时，必为钝角，
所以由余弦定理得，
所以，解得，
又因为三角形的任意两边之和大于第三边，
所以，即，解得，
所以，
因为为正整数，
.
10．（2022春·广西桂林·高一校考期末）在锐角中，分别是角所对的边，且.
(1)求角；
(2)若，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理边角互化，结合三角恒等变换即可求解；
（2）利用正弦定理可得，结合三角恒等变换和锐角角的范围即可求解.
【详解】（1）因为中，即，
由正弦定理得，
所以，
又因为锐角，，，
所以，.
（2）由正弦定理可得：
，
因为是锐角三角形，所以 ，
解得，，
所以，
所以.
11．（2022春·河南平顶山·高一校考阶段练习）位于灯塔处正西方向相距的处有一艘甲船，需要海上加油位于灯塔处北偏东有一与灯塔相距的乙船在处求乙船前往支援处的甲船航行的距离和方向
【答案】乙船航行的距离为，方向为南偏西
【分析】根据题设条件画出示意图，利用余弦定理可得，再利用正弦定理，可求得，即得解．
【详解】解：根据题意，画出示意图如图，
由余弦定理得
，
于是，
由正弦定理得，所以，由图可知为锐角
又，所以
故乙船航行的距离为，方向为南偏西．
12．（2023秋·山东临沂·高一校考期末）记的内角的对边分别为，已知.
(1)若，求；
(2)若，求的范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用二倍角、辅助角和两角和差公式化简已知等式可求得，结合的范围可求得结果；
（2）由可知或，结合的范围可确定，利用两角和差公式化简得到，由的范围可求得结果.
【详解】（1）由得：，
，
即，
，，
，，，解得：.
（2）由（1）知：，
，，，
或，即或；
，当时，，不合题意，，
，
，，.
13．（2023·高一课时练习）如图，在与水平方向成角的斜坡 上有一塔 ，从测得塔的张角分别是，，若，求塔高 ．
【答案】
【分析】解，由正弦定理求得，在中,再由正弦定理即可求得.
【详解】在 中,,所以 ,
即，所以 ，
在中, ,
所以 ,
所以，
则塔高AD为.
14．（2022春·吉林长春·高一校考期中）如图，半圆的半径为为直径延长线上一点，为半圆上任意一点，以为边做等边三角形，设.
(1)当时，求四边形的面积；
(2)求线段长度的最大值，并指出此时的值.
【答案】(1)
(2)线段的最大值为，此时
【分析】（1）根据余弦定理求，再根据三角形面积公式求出两个三角形面积相加可得解；
（2）根据余弦定理求出，根据正弦定理和两角和的余弦公式求出，再根据余弦定理求出关于的关系式，根据正弦函数的最值可求出结果.
【详解】（1）在中，
，
因为为等边三角形，所以，
又，
所以四边形的面积为.
（2）在中，，
所以，
因为为等边三角形，所以，
在中，，，
，
所以
，
在中，
，
因为，所以当时，取得最大值，
所以的最大值为，此时.
15．（2023·高一课时练习）如图所示，一辆汽车从点出发沿一条直线公路以50千米/小时的速度匀速行驶（图中的箭头方向为汽车行驶方向），汽车开动的同时，在距汽车出发点点的距离为5千米、距离公路线的垂直距离为3千米的点的地方有一个人骑摩托车出发想把一件东西送给汽车司机．问骑摩托车的人至少以多大的速度匀速行驶才能赶上那辆汽车，此时他驾驶摩托车行驶了多少千米？
【答案】骑摩托车的人至少以千米/小时的速度匀速行驶才能赶上那辆汽车，此时他驾驶摩托车行驶了千米
【分析】利用余弦定理列方程，结合判别式来求得正确答案.
【详解】设摩托车在处追上汽车.设摩托车的速度为千米/小时，时间为小时.
依题意可知，为锐角，所以，
在三角形中，由余弦定理得：
，
整理得①，
上述方程有解，所以：
当，即时，，
当，即时，
，
整理得且，
所以当时，①即，解得小时，千米，
所以骑摩托车的人至少以千米/小时的速度匀速行驶才能赶上那辆汽车，此时他驾驶摩托车行驶了千米.
16．（2023·高一课时练习）抗击新冠肺炎的有效措施之一是早发现，早隔离．某地发现疫情，卫生部门欲将一块如图所示的四边形区域沿边界用固定高度的板材围城一个封闭隔离区，经测量，边界与的长都是200米，．
(1)若，求BC的长；（结果精确到米）
(2)围成该区域至多需要多少米长度的板材？（不计损耗，结果精确到米）
【答案】(1)163米
(2)631米
【分析】（1）由正弦定理求解即可；
（2）由正弦定理结合三角恒等变换与三角函数的性质求解即可
【详解】（1）连接，则在中，，
由正弦定理可得，
所以，
所以BC的长约为163米；
（2）设，
则，
在中，由得
，
，
所以，
所以当时，的最大值为，
所以此时围成该区域需要板材长度最大且为，
所以围成该区域至多需要631米长度的板材
17．（2023·高一课时练习）根据指令，机器人在平面上能完成下列动作：先原地旋转角度（为正时，按逆时针方向旋转；为负时，按顺时针方向旋转），再朝其面对的方向沿直线行走距离r.
(1)现机器人在直角坐标系的坐标原点，且面对x轴正方向，试给机器人下一个指令，使其移动到点；
(2)机器人在完成该指令后，发现在点处有一小球正向坐标原点作匀速直线滚动，已知小球滚动的速度为机器人直线行走速度的2倍，若忽略机器人原地旋转所需的时间，问机器人最快可在何处截住小球？并给出机器人截住小球所需的指令（参考数据：）.
【答案】(1)
(2)机器人最快可在处截住小球，指令为.
【分析】（1）根据求得正确答案.
（2）利用余弦定理列方程，结合判别式以及“指令”求得正确答案.
【详解】（1）依题意可知，为锐角，所以，
所以指令为.
（2）设，设机器人的速度为，则小球的速度为，
设机器人在处截住小球，时间为，
，所以，
由余弦定理得，
整理得，
解得（）或（，舍去），
当时，，
所以机器人最快可在处截住小球，
此时，
，为锐角，所以，
所以，
故指令为.
18．（2022春·上海普陀·高一曹杨二中校考期中）如图所示，我国黄海某处的一个圆形海域上有四个小岛，小岛与小岛、小岛相距都为5公里，与小岛相距为公里．已知角为钝角，且．
(1)求小岛与小岛之间的距离；
(2)记为，为，求的值．
【答案】(1)2
(2)
【分析】(1) 在中，利用余弦定理即可求解；
(2) 在中，先利用正弦定理求出，然后利用两角和的正弦公式即可求解.
【详解】（1）由题意可知：，，
因为角为钝角，，所以，
在中，由余弦定理得，，
所以，解得或（舍），
所以小岛与小岛之间的距离为2．
（2）在中，由正弦定理，因为，
所以，则，
因为，所以为锐角，所以，
因为，
，
所以
．
19．（2022春·江苏苏州·高一校联考期末）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足
(1)求角C；
(2)CD是的角平分线，若，的面积为，求c的值.
【答案】(1)；
(2)
【分析】（1）先由正弦定理得，化简整理得，再由余弦定理求得，即可求解；
（2）先由面积求得，再由角平分线得，结合平面向量得，平方整理求得，再由（1）中即可求出c的值.
【详解】（1）由正弦定理得，即，整理得，
化简得，由余弦定理得，又，则；
（2）
由面积公式得，解得，又CD是的角平分线，则，
即，则，
所以，即，
整理得，又，解得，则，
由（1）知，则.
20．（2022春·广东汕尾·高一统考期末）某大学科研团队在如下图所示的长方形区域内（包含边界）进行粒子撞击实验，科研人员在A、O两处同时释放甲、乙两颗粒子.甲粒子在A处按方向做匀速直线运动，乙粒子在O处按方向做匀速直线运动，两颗粒子碰撞之处记为点P，且粒子相互碰撞或触碰边界后爆炸消失.已知长度为6分米，O为中点.
(1)已知向量与的夹角为，且足够长.若两颗粒子成功发生碰撞，求两颗粒子运动路程之和的最大值；
(2)设向量与向量的夹角为（），向量与向量的夹角为（），甲粒子的运动速度是乙粒子运动速度的2倍.请问的长度至少为多少分米，才能确保对任意的，总可以通过调整甲粒子的释放角度，使两颗粒子能成功发生碰撞？
【答案】(1)；
(2)的长度至少分米.
【分析】（1）根据题意在中运用余弦定理以及基本不等式求解即可；
（2）过作，垂足为，设，则，由余弦定理求出，进而求出，得出，并求其最大值，再由恒等式得出的最小值即可.
【详解】（1）设两颗粒子在点相撞，在中，
由余弦定理得，
即，
，
，
即，，
当且仅当时，等号成立，
所以两颗粒子运动路程和的最大值为；
（2）过作，垂足为，
设，则，
由余弦定理可得，
，，，
，
当即时，即取得最大值，
易知恒成立，
，
的长度至少为分米，才能确保对任意的，总可以通过调整乙粒子的释放角度，使两颗粒子成功碰撞.