高中数学人教A版 (2019)必修 第二册8.6 空间直线、平面的垂直习题

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第二册8.6 空间直线、平面的垂直习题，共7页。

1．已知直线m，b，c和平面α，下列条件中，能使m⊥α的是( )
A．m⊥b，m⊥c，b⊥α，c⊥αB．m⊥b，b∥α
C．m∩b＝A，b⊥αD．m∥b，b⊥α
【答案】D
【解析】由线线平行及线面垂直的判定知选项D正确．
2．△ABC所在的平面为α，直线l⊥AB，l⊥AC，直线m⊥BC，m⊥AC，则直线l，m的位置关系是( )
A．相交 B．异面
C．平行 D．不确定
【答案】C
【解析】因为l⊥AB，l⊥AC且AB∩AC＝A，所以l⊥平面ABC．同理可证m⊥平面ABC，所以l∥m．故选C．
3．已知直线m，n是异面直线，则过直线n且与直线m垂直的平面( )
A．有且只有一个 B．至多一个
C．有一个或无数个 D．不存在
【答案】B
【解析】若异面直线m，n垂直，则符合要求的平面有一个，否则不存在．
4．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，BB1与平面ACD1所成角的正弦值为( )
A． eq \f(\r(2),3) B． eq \f(\r(3),3)
C． eq \f(2,3) D． eq \f(\r(6),3)
【答案】B
【解析】如图所示，连接BD，AC，交于点O，连接D1O．由于BB1∥DD1，∴DD1与平面ACD1所成的角就是BB1与平面ACD1所成的角．设D到平面ACD1的距离为d，DD1与平面ACD1所成的角为θ，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1．由VD－ACD1＝VD1－ACD得 eq \f(1,3)× eq \f(\r(3),4)×( eq \r(2))2·d＝ eq \f(1,3)×1×1× eq \f(1,2)×1，解得d＝ eq \f(\r(3),3)．所以sin θ＝ eq \f(d,DD1)＝ eq \f(\r(3),3)．
5．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下列判断正确的是( )
A．A1C⊥平面AB1D1B．A1C⊥平面AB1C1D
C．A1B⊥平面AB1D1D．A1B⊥AD1
【答案】A
【解析】如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，A1C1⊥B1D1，又CC1⊥B1D1，且A1C1∩CC1＝C1，∴B1D1⊥平面A1C1CA，则A1C⊥B1D1，同理A1C⊥AB1，则A1C⊥平面AB1D1，故A正确，B不正确；连接D1C，AC，则∠AD1C为A1B与AD1所成角，为60°，故C，D不正确．故选A．
6．(多选)如图，PA⊥矩形ABCD所在的平面，则下列结论中正确的有( )
A．PB⊥BCB．PD⊥CD
C．PD⊥BDD．PA⊥BD
【答案】ABD
【解析】PA⊥平面ABCD⇒PA⊥BD，D正确；
eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(PA⊥平面ABCD⇒PA⊥BC,平面ABCD为矩形⇒AB⊥BC))⇒BC⊥平面PAB⇒BC⊥PB，故A正确；同理B正确；C不正确．
7．在下列四个正方体中，能得出AB⊥CD的是( )
A．① B．①②
C．②③ D．④
【答案】A
【解析】如图．
在①中，∵BE⊥CD，AE⊥CD，BE∩AE＝E，∴CD⊥平面ABE，∵AB⊂平面ABE，∴AB⊥CD，故①正确；在②中，∵CD∥AE，△ABE是等边三角形，∴AB与CD异面，且所成角为60°，故②错误；在③中，CD∥BE，∠ABE＝45°，∴AB 与CD异面，且所成角为45°，故③错误；在④中，CD∥BE，tan ∠ABE＝ eq \f(AE,BE)＝ eq \r(2)，∴AB与CD异面，且不垂直，故④错误．故选A．
8．若a，b表示直线，α表示平面，给出下列命题：①a⊥α，b∥α⇒a⊥b；②a⊥α，a⊥b⇒b∥α；③a∥α，a⊥b⇒b⊥α；④a⊥α，b⊥α⇒a∥b．其中正确的命题为__________．(填序号)
【答案】①④
【解析】由线面垂直的性质知①、④正确．②中b可能满足b⊂α，故②错误；③中b可能与α相交(不垂直)，也可能平行，故③错误．
9．如图，PA⊥平面ABC，在△ABC中，BC⊥AC，则图中直角三角形的个数为__________．
【答案】4
【解析】 eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(PA⊥平面ABC,BC⊥AC))⇒ eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(PA⊥BC,AC⊥BC,PA∩AC＝A))⇒BC⊥平面PAC⇒BC⊥PC，∴直角三角形有△PAB，△PAC，△ABC，△PBC．
10．(2023年云南期末)如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2．
(1)求正方体的体积；
(2)求证：A1D∥平面B1BCC1；
(3)求证：BC1⊥平面A1B1CD．
【答案】(1)解：正方体的体积为V＝2×2×2＝8．
(2)证明：∵A1B1∥DC，A1B1＝DC，
∴四边形A1B1CD为平行四边形．
∴A1D∥B1C．
∵B1C⊂平面B1BCC1，A1D⊄平面B1BCC1，∴A1D∥平面B1BCC1．
(3)证明：∵A1B1⊥平面B1BCC1，BC1⊂平面B1BCC1，∴BC1⊥A1B1．
又∵BC1⊥B1C，A1B1∩B1C＝B1，A1B1，B1C⊂平面A1B1CD，
∴BC1⊥平面A1B1CD．
B级——能力提升练
11．已知三棱锥P－ABC中，若PA，PB，PC两两互相垂直，作PO⊥平面ABC，垂足为O，则点O是△ABC的( )
A．外心 B．内心
C．重心 D．垂心
【答案】D
【解析】如图，连接AO并延长，交BC于点D，连接BO并延长，交AC于点E．因为PA⊥PB，PA⊥PC，故PA⊥平面PBC，故PA⊥BC．因为PO⊥平面ABC，故PO⊥BC，故BC⊥平面PAO，故AO⊥BC，即AD⊥BC．同理可证BE⊥AC．故O是△ABC的垂心．故选D．
12．(多选)(2023年四川期中)如图，PA垂直于以AB为直径的圆所在平面，C为圆上异于A，B的任意一点，则下列关系中正确的有( )
A．PA⊥BCB．BC⊥平面PAC
C．AC⊥PBD．PC⊥BC
【答案】ABD
【解析】在A中，∵PA垂直于以AB为直径的圆所在平面ABC，BC⊂平面ABC，∴PA⊥BC，故A正确；在B中，∵C为圆上异于A，B的任意一点，∴BC⊥AC，∵PA⊥BC，PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC，故B正确；在C中，∵AC⊥BC，∴若AC⊥PB，则AC⊥平面PBC，则AC⊥PC，与AC⊥PA矛盾，故AC与BC不垂直，故C错误；在D中，∵BC⊥平面PAC，PC⊂平面PAC，∴PC⊥BC，故D正确．故选ABD．
13．如图，在三棱锥P－ABC中，PA⊥底面ABC，∠BAC＝90°，F是AC的中点，E是PC上的点，且EF⊥BC，则 eq \f(PE,EC)＝__________．
【答案】1
【解析】在三棱锥P－ABC中，因为PA⊥底面ABC，∠BAC＝90°，所以AB⊥平面APC．因为EF⊂平面PAC，所以EF⊥AB．因为EF⊥BC，BC∩AB＝B，所以EF⊥底面ABC，所以PA∥EF．因为F是AC的中点，E是PC上的点，所以E是PC的中点，所以 eq \f(PE,EC)＝1．
14．如图，空间四边形ABCD的对棱AD，BC成60°的角，且AD＝BC＝a，平行于AD与BC的截面分别交AB，AC，CD，BD于点E，F，G，H．当 eq \f(AE,AB)＝__________时，截面EFGH的面积最大，最大面积为__________．
【答案】 eq \f(1,2) eq \f(\r(3),8)a2
【解析】∵AD与BC成60°角，∴∠HGF＝60°或120°．设 eq \f(AE,AB)＝x，则 eq \f(EF,BC)＝ eq \f(AE,AB)＝x．又∵BC＝a，∴EF＝ax．由 eq \f(EH,AD)＝ eq \f(BE,AB)＝1－x，得EH＝a(1－x)．∴S四边形EFGH＝EF×EH×sin 60°＝ax×a(1－x)× eq \f(\r(3),2)＝ eq \f(\r(3),2)a2(－x2＋x)．当x＝ eq \f(1,2)时，S最大值＝ eq \f(\r(3),8)a2，即当 eq \f(AE,AB)＝ eq \f(1,2)时，截面的面积最大，最大面积为 eq \f(\r(3),8)a2．
15．(2023年株洲一模)如图1，已知菱形ABCD中，∠DAB＝60°，沿对角线BD将其翻折，使∠ABC＝90°，设此时AC的中点为O，如图2．
(1)求证：点O是点D在平面ABC上的射影；
(2)求直线AD与平面BCD所成角的余弦值．
(1)证明：因为DA＝DC，O为AC的中点，所以DO⊥AC．
设菱形ABCD的边长为2，因为∠ABC＝90°，所以AC＝2 eq \r(2)．
如图，连接BO，则BO＝ eq \r(2)．
因为AD＝DC＝2，AC＝2 eq \r(2)，所以AD2＋DC2＝AC2．所以AD⊥DC．所以DO＝ eq \r(2)．
因为BD＝2，所以DO2＋BO2＝DB2．
所以DO⊥BO．
又因为AC∩BO＝O，
所以DO⊥平面ABC．
所以点O是点D在平面ABC上的射影．
(2)解：设点A到平面BCD的距离为h，设菱形ABCD的边长为2，则△BCD的面积为 eq \r(3)，
所以VA－BCD＝ eq \f(1,3)× eq \r(3)×h＝ eq \f(\r(3),3)h，
△ABC的面积为 eq \f(1,2)×2×2＝2．
由(1)知DO⊥平面ABC，DO＝ eq \r(2)，
所以VD－ABC＝ eq \f(1,3)×2× eq \r(2)＝ eq \f(\r(3),3)h，
所以h＝ eq \f(2\r(6),3)．
设直线AD与平面BCD所成角为θ，
则sin θ＝ eq \f(h,AD)＝ eq \f(\f(2\r(6),3),2)＝ eq \f(\r(6),3)，所以cs θ＝ eq \f(\r(3),3)．