数学4.3 等比数列第三课时教案

这是一份数学4.3 等比数列第三课时教案，共8页。

课题：等比数列的前n项和公式
课型：
课时教学目标
（1）在问题情境中，经历等比数列的前n项和公式的探究和推导过程，能说出“错位相减法”的特点、适用条件以及操作步骤，说明等比数列的前n项和公式的结构特征，解释等比数列通项公式与前n项和公式的关系，并能联用两个公式解决“知三求二”的问题，能说出等比数列前n项和公式与指数函数之间的共性与差异，发展数学运算和逻辑推理素养.
（2）能借助等比数列前n项和公式的推导过程，解释等比数列的定义在推导前n项和公式中的作用，体会公式推导过程中蕴含的特殊与一般、转化与化归、分类与整合等数学思想.
教学重点和难点
（1）教学重点：等比数列的前n项和公式的推导.
（2）教学难点：等比数列的前n项和公式的推导.
教学资源和教学方法
教学过程
教学环节
师生活动
设计意图
教师个人二次备课
环节一
创设情境，提出问题
问题情境 国际象棋起源于古代印度.相传国王要奖赏国际象棋的发明者，问他想要什么.发明者说：“请在棋盘的第1个格子里放上1颗麦粒，第2个格子里放上2颗麦粒，第3个格子里放上4颗麦粒……依此类推，每个格子里放的麦粒数都是前一个格子里放的麦粒数的2倍，直到第64个格子.请给我足够的麦粒以实现上述要求.”国王觉得这个要求不高，就欣然同意了.已知1000颗麦粒的质量约为40g,据查，2016~2017年度世界小麦产量约为7.5亿吨，根据以上数据，判断国王是否能实现他的诺言.
问题1 上述问题可以转化为一个什么数学问题？你将如何解决这个问题？
师生活动 引导学生从实际背景中抽象出等比数列模型，如果把各格所放的麦粒数看成一个数列，我们可以得到一个等比数列，它的首项是1，公比是2，求第1个格子到第64个格子各格所放的麦粒数总和就是求这个等比数列前64项的和.由于项数较多，直接计算繁琐不易操作，适时引起学生的认知冲突，引入本课时重点探究内容.
本课时开头用一个有趣的故事情境来引入数列的求和问题，激发学生的探究欲望，与等差数列前n项和公式的推导所不同的是，这个求国际象棋棋盘上所有麦粒总质量的情境只提供了一个求等比数列的问题背景，而没有提供算法，可为后续学习提供更大的思考空间.
通过将实际问题抽象成数学问题，激起学生的认知冲突，引入本课时的学习内容，为学生后续探究公式作准备.
环节二
合作探究，推导公式
问题2 一般地，如何求一个等比数列的前n项和呢？
师生活动 教师启发学生思考，看能否利用已有的经验和方法，比如等差数列前n项和公式推导所用的“倒序相加法”去推导.碰到困难后，师生一起分析原因，引导学生从等比数列的概念去展开思考.
追问1 前n项和公式是用“有限”项数的式子表示的，根据前n项和定义Sn=a1+a2+⋯+an，该如何消除带“…”的部分，用基本量α1和q表示通项呢？
师生活动 教师启发学生通过对等比数列前n项和公式的观察和分析开展探究，学生小组合作交流，充分思考后展示小组研究成果.对“消项”方法的探究要让学生充分思考，不断尝试，尤其是要充分利用等比数列的定义，从如何用基本量α1和q表示通项αn展开思考.教师不宜过多强调“错位相减法”，避免学生先入为主，限制思维空间.教学中可能会出现如下几种推导思路：
思路一（错位相减法）：Sn=a1+a1q+a1q2+⋯+a1qn−2+a1qn−1，
两边同乘以q，得
qSn=a1q+a1q2+a1q3+⋯+a1qn−1+a1qn,
往后错一位相减可得1−qSn=a11−qn，此处根据展示情况适时引导学生进行分类讨论.
当q≠1时，Sn=a11−qn1−q；
当q=1，Sn=na1.
思路二：由Sn=a1+a1q+a1q2+⋯+a1qn−2+a1qn−1得
Sn−a1=a1q+a1q2+⋯+a1qn−2+a1qn−1，
Sn−an=a1+a1q+a1q2+⋯+a1qn−2，
发现Sn−a1=qSn−an，化简可得Sn=a1−anq1−q=a11−qn1−qq≠1，注意验证n=1时等式是否成立.
思路三：Sn=a1+a1q+a1q2+⋯+a1qn−2+a1qn−1=a1+qa1+a1q+⋯+a1qn−2=a1+qSn−1,
再利用Sn=Sn−1+an n≥2，消去Sn−1后可以得到Sn=a1+qSn−an，
从而求出Sn=a1−anq1−q=a11−qn1−qq≠1，注意验证n=1时等式是否成过.
思路四：根据等比数列的定义a2a1=a3a2=⋯=anan−1=qn≥2，
再利用合比定理可以得到a2+a3+⋯+ana1+a2+⋯+an−1=q，可得Sn−a1Sn−an=q，
从而求出Sn=a1−anq1−q=a11−qn1−qq≠±1，注意验证n=1时等式是否成立.
教师根据学生展示情况适时进行点评，启发学生认识到几种方法本质上都是利用等比数列的定义，通过不同的方式进行消项，其中的“错位相减法”对定义的利用更充分，更易于理解和操作.
追问2 我们知道，当公差不为零时，等差数列前n项和公式是一个特殊的二次函数，请问等比数列前n项和公式跟什么函数有关联？
师生活动 学生思考后小组交流，由小组代表展示结论.当q=1时，Sn=na1是关于n的一次函数；当q≠1时，Sn=a1（1−qn）1−q=a11−qqn+a11−q是一个特珠的指数型函数.
追问3 与等差数列类似，等比数列还有一个求和公式，你能写出来吗？
师生活动 引导学生类比等差数列，自己推出由首项a1，公比q和第n项an组成的另一个等比数列前n项和公式Sn=a1−anq1−qq≠1，并分析两个公式各适用于什么条件.
问题3 你觉得本节课开头故事里的国王能够兑现承诺吗？
师生活动 学生根据公式计算出数值后得出结论，教师适时评价.由a1=1,q=2,n=64,可得S64=1×1−2641−2=264−1，这个数字超过1.84 × 1019，麦粒的总质量超过7000亿吨，约是2016~2017年度世界小麦产量的981倍，国王显然不可能实现他的诺言.
等比数列前n项和公式的推导是本节课的重难点，而如何避免“强行”得到错位相减法是教学中需要认真思考的问题.要引导学生从两个方面展开思考：一是推导公式要从“无限”项到“有限”项，消项的思想必须贯穿在探究中；二是当“倒序相加法”等已知方法无法迁移使用时，要抓住等比数列的定义和前n项和公式的特点进行探究.本设计意在让学生通过经历整个推导过程，充分感悟由“多”到“少”，由“无限”到“有限”的数学思想，进一步体会数学的简洁和严谨.
与等比数列通项公式与指数函数的关系类似，等比数列前n项和公式与指数函数也存在关联，这体现了数学知识的关联性和整体性，对等比数列前n项和另外一个公式的推导，可以让学生加深对公式的理解，在后续学习中能够正确选择恰当的公式.
利用推导出来的公式解决开头的问题，符合学生认知规律.结论能让学生感受到指数爆炸式增长的“威力”.
环节三
例题练习，巩固理解
例7 已知数列{an}是等比数列.
（1）若a1=12，q=12，求S8；
（2）若a1=27，a9=1243，q<0，求S8；
（3）若a1=8，q=12，Sn=312，求n.
师生活动 学生选择公式进行求解，并在小组内交流解题方法，教师适时点评.
追问 例7的求解过程具有什么共同特点？其中主要运用了什么思想方法？对于等比数列的相关量a1，an，q，n，Sn，已知几个量就可以确定其他量？
师生活动 教师引导学生类比等差数列类似题型，归纳共同特征：对等比数列的五个基本量a1，an，q，n，Sn，已知其中三个量，就可以根据等比数列通项公式和前n项和公式，确定其他两个量（即“知三求二”问题）.这其实是一个通过基本量解方程的过程，其中蕴含的主要是方程的思想.
例8 已知等比数列{an}的首项为－1，前n项和为Sn，若S10S5=3132，求公比q.
师生活动 学生独立思考完成后在小组内交流，小组代表展示.教师评价时注意强调对公比q是否为1的讨论，强化学生对等比数列前n项和公式为分类表达式的理解.经验证当q=1时不合题意；当q≠1时，根据公式列出关于q的方程，可求出q=−12.
变式 已知等比数列的首项为－1，前n项和为Sn，若S4S2=2，求公比q.
师生活动 教师引导学生分析解题过程，关注对公比q的取值进行分类讨论.
例9 已知等比数列{an}的公比q≠−1，前n项和为Sn.证明Sn，S2n−Sn，S3n−S2n成等比数列，并求这个数列的公比.
师生活动 教师让学生讨论，并适时启发学生归纳等比数列的证明方法.学生独立完成解题过程，并进行展示交流，教师及时评价.师生一起对比定义法和等比中项法，突出算法选择的重要性，进一步强化分类讨论意识.另外，教师可适时指出本题的结论是等比数列的一个性质.当q=1时符合题意；当q≠1时，根据公式可得到S2n−SnSn=S3n−S2nS2n−Sn=qn.
追问1 同学们能否不用分类讨论的方式证明该结论？
师生活动 小组合作交流后进行展示.教师适时启发学生利用数列前n项和的定义，再结合等比数列的定义，思考探究后得出思路：由数列的前n项和的定义，得S2n−Sn=an+1+an+2+⋯+a2n=qna1+a2+⋯+an，S3n−S2n=a2n+1+a2n+2+⋯+a3n=q2na1+a2+⋯+an，这样就避免了对q的分类讨论.
追问2 同学们想一想为什么题目条件中强调“公比q≠−1”？
师生活动 教师可以启发学生讨论当q=−1时，可能出现的问题.例如，通项公式为αn=−1n的数列，当n为偶数时，Sn=0，导致结论不成立.
这个环节主要是通过等比数列通项公式和前n项和公式的联用帮助学生巩固公式，掌握基本量的确定方法，强化方程的思想，提升学生的数学运算素养.
相较于例7，例8的解答中涉及对公比q取值的讨论，学生容易忽视q=1的情形.此环节设置例题和变式主要是通过题目的对比，引导学生注意对q的取值情况进行分类讨论.
例9条件中出现了等比数列的前n项和，所以例9与例8的解决过程类似，教科书中对公比q的取值进行分类讨论，再利用等比数列的前n项和公式加以证明，这种方法体现了计算在证明中的作用.追问1中的方法对于等比数列的概念揭示得更充分，方法也更为简洁.追问2中，通过对条件q≠−1的分析，帮助学生更准确地分析题意，进一步养成严谨的思维习惯，发展逻辑推理素养.
环节四
小结提升，形成结构
问题4 回顾本节课的学习内容，回答下列问题：
（1）等比数列前n项和公式的推导过程是怎样的？其中蕴含了哪些思想方法？
（2）你认为等比数列前n项和公式与等差数列前n项和公式的共性和区别是什么？
（3）运用等比数列前n项和公式时要注意些什么？
师生活动 先让学生思考并在小组内适当交流，再让学生发言，教师引导完善。
回顾公式的推导过程，促进学生对等比数列概念的深入理解，有助于学生体会其中蕴含的“消项”方法和“无限到有限”的数学思想，积累数学活动经验，发展逻辑推理和数学运算素养，等比数列与等差数列的研究思路类似，学生认识到等比数列具有其不同于等差数列的特征，有利于形成辩证地、多角度地看待问题的意识.对等比数列前n项和公式中公比q取值的讨论，是学生容易忽略的，小结中需要再次强调.
环节五
目标检测，检验效果
1.已知数列{an}是等比数列.若a3=32，S3=92，求a1与q.
检测目标 本题主要检测学生对公式以及等比数列中基本量“知三求二”的掌握情况，测评学生运用分类讨论和函数与方程的思想进行运算求解的能力.
2.如果一个等比数列前5项的和等于10，前10项的和等于50，那么这个数列的公比等于多少？
检测目标 本题主要检测学生利用等比数列前n项和公式解决数学问题的能力，测评学生运用分类讨论和函数与方程的思想进行运算求解的能力.
3.已知a≠b，且ab≠0.对于n∈N∗，证明：
an+an−1b+an−2b2+⋯+abn−1+bn=an+1−bn+1a−b
检测目标 本题主要检测学生对等比数列定义及等比数列前n项和公式的掌握情况，测评学生运用特殊与一般、转化与化归的思想进行逻辑推理和运算求解的能力.
师生活动 学生独立思考完成后，小组交流展示.运用信息技术展示3名学生代表的解答，师生共同评价，教师适时规范解答步骤.教师对共性的问题予以辨析和强调.
本环节的3道检测题均来自教科书课后练习，根据学生认知规律适当调整了顺序，主要检测学生对本课时重难点内容的掌握情况.3道题难度适中，层次分明，学生经历了类似例题的学习，前2题能够顺利完成，第3题中字母较多，对学生解题会造成一定的干扰，可能还会出现解题步骤不够严谨规范的问题，教学中需要教师重点关注，这组检测题的评价方式主要采用小组互评、师生共评和教师讲评.
环节六
布置作业，应用迁移
1.基础性作业
（1）必做题：教科书第37页练习第1（1）（2）题，第3、4题；第40页习题4.3第3（1）题.
（2）选做题：教科书第41页习题4.3第7题.
2.拓展性作业
完成教科书第40页习题4.3第3（2）题，并根据所用方法归纳此类数列求和的一般方法.
第37页练习第1（1）（2）题，第3题和第4题主要评价学生对利用公式求解等比数列基本量的掌握情况，测评学生运用特殊与一般、函数与方程的思想进行运算求解的能力.习题4.3第3题第（1）题主要评价学生对数列求和综合应用的掌握情况，测评学生运用转化与化归的思想进行逻辑推理和运算求解的能力，习题4.3第7题主要评价学生在综合情境中对等比数列定义及数列求和的掌握情况，测评学生运用转化与化归的思想进行逻辑推理和运算求解的能力，拓展性作业主要评价学生对错位相减法的掌握情况，测评学生运用分类整合和转化与化归的思想进行逻辑推理和运算求解的能力.
作业设计
板书设计
教学反思