高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册2.4 圆的方程课堂检测

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册2.4 圆的方程课堂检测，共24页。试卷主要包含了已知中，，，，已知圆，已知圆C，已知的三个顶点分别为，，等内容，欢迎下载使用。
专题强化训练四：直线和圆的方程解答题必刷题（25道）
1．（2023·抚松县第一中学高二开学考试）已知中，，，．
（1）求中平行于边的中位线所在直线的一般式方程；
（2）求边的中线所在直线的一般式方程．
2．（2023·全国高二课时练习）在平面直角坐标系中，设直线，直线，.
（1）求证：直线过定点，并求出点的坐标；
（2）当时，设直线，的交点为，过作轴的垂线，垂足为，求点到直线的距离，并求的面积.
3．（2020·云南省下关第一中学高二月考（理））已知圆：，直线：.
（1）证明直线总与圆相交；
（2）当直线被圆所截得的弦长为时，求直线的方程.
4．（2020·安徽桐城市第八中学高二月考）已知圆C：，直线l：
（1）求证：对，直线l与圆C总有两个交点；
（2）设直线l与圆C交于点A，B，若，求直线l的倾斜角；
（3）设直线l与圆C交于点A，若定点满足，求此时直线l的方程．
5．（2020·河北武强中学高二月考）已知圆内有一点，过点作直线交圆于、两点．
（1）当经过圆心时，求直线的方程；
（2）当弦的长为时，求直线的方程．
6．（2023·全国高二单元测试）已知圆，是直线上的动点，过点作圆的切线，切点为.
(1)当切线的长度为时，求点的坐标.
(2)若的外接圆为圆，试问：当点运动时，圆是否过定点？若过定点，求出所有的定点的坐标；若不过定点，请说明理由.
7．（2023·梅河口市第五中学高二开学考试）已知平面直角坐标系上一动点到点的距离是点到点的距离的倍．
（1）求点的轨迹方程：
（2）若点与点关于点对称，求、两点间距离的最大值；
（3）若过点的直线与点的轨迹相交于、两点，，则是否存在直线，使取得最大值，若存在，求出此时的方程，若不存在，请说明理由．
8．（2023·江苏高二专题练习）已知的三个顶点分别为，，．
（1）若过的直线将分割为面积相等的两部分，求b的值；
（2）一束光线从点出发射到BC上的D点，经BC反射后，再经AC反射到x轴上的F点，最后再经x轴反射，反射光线所在直线为l，证明直线l经过一定点，并求出此定点的坐标．
9．（2023·江苏高二专题练习）设直线l的方程为（）
（1）求证：不论a为何值，直线l必过一定点；
（2）若直线l分别与x轴正半轴，y轴正半轴交于点，，当面积为12时，求的周长；
（3）已知a为整数且直线l在两坐标轴上的截距也均为整数，求此时直线l的方程．
10．（2023·安徽高二期中（文））已知圆：.
（1）若圆的切线在x轴和y轴上截距相等，求切线的方程；
（2）从圆外一点向圆引切线PM，M为切点，O为坐标原点，且有，求使最小的点P的坐标.
11．（2023·江西新余四中）已知点在圆：上运动，点．
（1）若点是线段的中点，求点的轨迹的方程；
（2）过原点且不与轴重合的直线与曲线交于，两点，是否为定值？若是定值，求出该值；否则，请说明理由．
12．（2023·山东菏泽·高二期末）已知以点为圆心的圆与______，过点的动直线与圆相交于，两点、从①直线相切；②与圆关于直线对称；③圆的公切线长这3个条件中任选一个，补充在上面问题的横线上并回答下列问题．
（1）求圆的方程；
（2）当时，求直线的方程．
注：若选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
13．（2023·全国高二课时练习）如图，已知的边所在直线的方程为，满足，点在边所在直线上且满足.
（1）求边所在直线的方程；
（2）求外接圆的方程；
14．（2023·江西景德镇一中高二期末（文））已知直线，的方程为.
（1）求证：与相交；
（2）若与的交点为、两点，求的面积最大值.（为坐标原点）
15．（2023·北京八中高二期末）已知中，在轴上，点是边上一动点，点关于的对称点为.
（1）求边所在直线的方程；
（2）当与不重合时，求四边形的面积；
（3）直接写出的取值范围.
16．（2023·全国高二专题练习）已知圆C与y轴相切，圆心C在射线上，且截直线所得弦长为．
（1）求圆C的方程；
（2）已知点，直线与圆C交于A、B两点，是否存在m使得，若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．
17．（2023·全国高二专题练习）已知曲线C：表示圆，圆心为C.
（1）求圆C的面积的取值范围；
（2）若曲线C与直线交于M､N两点，且，求实数m的值.
18．（2020·浙江高二期中）已知圆M过，，且圆心M在直线上.
（1）求圆M的标准方程；
（2）过点的直线m截圆M所得弦长为，求直线m的方程；
（3）过直线l: x+y+4=0上任意一点P向圆M作两条切线，切点分别为C，D.记线段CD的中点为Q，求点Q到直线l的距离的取值范围.
19．（2023·全国高二专题练习）已知直线与圆交于两点．
（1）求出直线恒过定点的坐标
（2）求直线的斜率的取值范围
（3）若为坐标原点，直线的斜率分别为，试问是否为定值？若是，求出该定值：若不是，请说明理由．
20．（2020·安徽立人中学高二期中（文））已知圆过点，且与圆关于直线对称．
（1）求圆、圆的方程；
（2）过点Q向圆和圆各引一条切线，切点分别为C，D，且，则是否存在一定点M，使得Q到M的距离为定值？若存在，求出M的坐标，并求出的值；若不存在，请说明理由．
21．（2023·全国高二课时练习）在平面直角坐标系xOy中，圆O：x2+y2＝64，以O1（9，0）为圆心的圆记为圆O1，已知圆O1上的点与圆O上的点之间距离的最大值为21.
（1）求圆O1的标准方程；
（2）求过点M（5，5）且与圆O1相切的直线的方程；
（3）已知直线l与x轴不垂直，且与圆O，圆O1都相交，记直线l被圆O，圆O1截得的弦长分别为d，d1.若，求证：直线l过定点.
22．（2023·全国高二课时练习）（1）已知点P(x，y)在圆C：x2＋y2－6x－6y＋14＝0上，求x2＋y2＋2x＋3的最大值与最小值．
（2）已知实数x，y满足(x－2)2＋y2＝3，求的最大值与最小值．
23．（2020·辽宁高二期中）已知圆与轴负半轴的交点为A，点在直线上，过点作圆的切线，切点为.
（1）若，切点，求直线；
（2）若，求实数的取值范围.
24．（2023·内蒙古包头·高二期末）已知圆：，是圆内一点，是圆外一点．
（1）是圆中过点最长的弦，是圆中过点最短的弦，求四边形的面积；
（2）过点作直线交圆于、两点，求面积的最大值，并求此时直线的方程．
25．（2020·安徽桐城市第八中学高二月考）已知直线l：与圆C：交于A，B两点，过点的直线m与圆C交于M，N两点．
（1）若直线m垂直平分弦AB，求实数a的值；
（2）若，求以MN为直径的圆的方程；
（3）已知点，在直线SC上为圆心，存在定点异于点，满足：对于圆C上任一点P，都有为一常数，试求所有满足条件的点T的坐标及该常数．
参考答案
1．（1）；（2）．
（1）因为，，，由中点坐标公式可知，线段的中点为，线段的中点为，所以BC边的中位线所在直线方程为：，
整理得：．
（2）因为线段的中点为，所以边的中线所在直线的方程为：，
整理得：．
2．
【详解】
解：（1）∵直线，
∴，由，得，
∴直线过定点.
（2）当时，直线，直线，由，得，即，∴.
所以直线的方程为，即，
∴点到直线的距离.
∵点到直线的距离为3-2=1，，
∴的面积.
3．【详解】
解：（1）证明：∵圆：，∴圆心，半径，
∵直线：，整理得：，
令，解得：，∴直线过定点，
∴，
∴定点在圆内，∴直线总与圆相交.
（2）∵直线被圆所截得的弦长为，
∴圆心到直线的距离，
∵直线：，
∴，
∴，解得或，
将或，代入直线：，
∴直线的方程：或.
4．
【详解】
（1）由直线可得：，故直线过定点.
因为，故在圆内，所以直线与圆总有两个不同的交点；
（2）因为，故到直线的距离，
又圆心到直线的距离为，
所以，解得，故直线的斜率为，
所以其倾斜角为或；
（3）由（1）可得在圆内.
设，则，故.
设的中点为，则且.
设，因为，故，
解得，所以，所以，
故直线或.
5．（1）；（2）或．
【详解】
（1）圆心坐标为（1，0），，，
整理得．
（2）圆的半径为3，当直线的斜率存在时，设直线的方程为，
整理得，
圆心到直线的距离为，
解得，代入整理得．
当直线的斜率不存在时，直线的方程为，经检验符合题意．
∴直线的方程为或．
6．(1)或；(2)过定点，定点和.
【详解】
(1)由题可知圆的圆心为，半径.
设，因为是圆的一条切线，所以.
在中，，故.
又，
所以，解得或.
所以点的坐标为或.
(2)因为，所以的外接圆圆是以为直径的圆，且的中点坐标为，所以圆的方程为，
即.
由，解得或，
所以圆过定点和.
7．（1）；（2）14；（3）存在；或．
【详解】
解：（1）由已知，．
，即，
（2）设，因为点与点关于点对称，
则点坐标为，
点在圆上运动，
点的轨迹方程为，
即：，
；
（3）由题意知的斜率一定存在，设直线的斜率为，且，，
则：，
联立方程：，
，
又直线不点，．
点到直线的距离，，
，
，，
当时，取得最大值，此时，，
直线得方程为或．
8．
【详解】
（1）直线BC的方程为：，
直线只能与BC、AB相交，其与BC的交点为Q点，
由得，，
直线与x轴交点为，，
由，即，
化简得：，又，
，解得：，
而，．
（2）设，直线AC的方程为：，直线BC的方程为：，
设关于直线AC的对称点为，
则，解得，
同理可得关于直线BC的对称点为，
则在直线ED上，所以直线ED的斜率为，
的斜率为，l方程为，即，
过定点．
9．
【详解】
（1）直线l的方程为（），
整理可得：，
当时不论a为何值，，
即，，
可证当不论a为何值，直线恒过定点；
（2）时，，即，
因为时，直线与x轴无交点，所以，
令时，，即，，
因为这两个点分别在x轴正半轴，y轴正半轴，
所以，且，所以，
所以，
当且仅当，即时，面积最小，此时，，
所以这时周长为；
（3）因为直线l在两坐标轴上的截距均为整数，
即，都是整数，
而，所以，，0，2，
又当，直线过原点也符合题意，
所以直线方程分别为：，，，，．
10．（1），，；（2）.
【详解】
（1）圆：的标准方程为，所以圆心，.
设圆的切线在x轴和y轴上的截距分别为a，b，
①当时，切线方程可设为，即，由点到直线的距离公式，得.
所以切线方程为.
②当时，切线方程为，即.
由点到直线的距离公式，得，.
所以切线方程为，.
综上，所求切线方程为，，.
（2）由圆的切线性质可知：，
∵，∴.
即.
整理得.
∴.
当时，最小，此时，
∴.
11．（1）；（2）是定值．
【详解】
（1）圆的圆心，半径为4，
设的中点为，则，
依题意，，所以点的轨迹是以为圆心，2为半径的圆，
即的轨迹的方程为；
（2）因过原点且不与轴重合，则可设直线的方程为．
由消去并整理得，
依题意知，是上述关于x的一元二次方程的两根，则，，
于是有，
所以是定值.
12．（1）选①②③均有：；（2）或．
【详解】
解：选①
（1）由直线与圆相切知圆的半径为点到直线的距离
即，所以圆的方程为．
（2）记线段的中点为，依据可得
且，，则
即点到直线的距离为1，
若直线的斜率存在设为，直线：即，
所以，解得，直线的方程为．
若直线的斜率不存在，直线的方程为，符合题意．
综上直线的方程为或．
选②由与圆关于直线对称知圆的半径，
所以圆的方程为．
（2）同上.
选③（1）圆的公切线长，设圆的半径为则
，解得，或，舍去．
所以圆的方程为．
（2）同上．
13．（1）；（2）.
【详解】
（1）由，可得，
又由在上，所以，所以为，
因为边所在直线的方程为，斜率为,
所以直线的斜率为，
又因为点在直线上，所以边所在直线的方程为，
即.
（2）由（1）边所在直线的方程为，
联立方程组，可得，
因为，所以为斜边上的中点，即为外接圆的圆心，
又由，
所以外接圆的方程为.
14．解：（1）由题知直线，的标准方程为，
所以直线过定点，为圆的圆心，
所以直线过的圆心，故与相交；
（2）由（1）知直线过圆的圆心，的半径为，
所以，
所以当到直线的距离最大时，的面积取最大值，
故当直线与直线垂直时，到直线的距离最大，最大值为，
所以的面积最大值为
15．（1）；（2）；（3）.
【详解】
（1）设，因为，所以，
又，所以，
所以，所以，所以，
所以边所在直线的方程为：，即；
（2）因为点关于的对称点为，且在上，
所以到所在直线的距离等于到所在直线的距离，
又因为有公共底边，所以四边形，
又因为到所在直线的距离为，，
所以；
（3）的取值范围是.
(理由供参考：设，
因为关于的对称点为，所以，
所以，
所以，
又因为，所以，
所以
16．（1）；（2）．
【详解】
（1）设圆C的方程为
圆心C在射线上，所以
圆C与y轴相切，则
点到直线的距离 ，
由于截直线所得弦长为，所以
则得，又 所以(舍去)，
故圆C的方程为；
（2）由（1）得，因为，
所以在线段的中垂线上，则，
因为，所以 解得
17．（1）（2）
【详解】
（1）因为曲线C：表示圆，
所以，解得，
所以圆的半径，
所以圆C的面积.
（2）因为圆心，半径，
所以圆心到直线的距离，
因为，所以，所以，解得，满足.
18．
【详解】
（1） 圆心在直线上，设圆的标准方程为：，
圆过点，，
，解得
圆的标准方程为.
（2）①当斜率不存在时，直线m的方程为：，直线m截圆M所得弦长为，符合题意；
②当斜率存在时，设直线m：，
圆心M到直线m的距离为
根据垂径定理可得，，，解得．
直线m的方程为，或.
（3）设，则切点弦所在的直线方程为
，
直线的方程为，
联立可得，
根据点到直线距离公式可得，．
19．（1）；（2）；（3）为定值.
【详解】
（1）将直线方程整理为：，
令，解得：，直线恒过定点；
（2）设直线斜率为，由（1）可知：直线方程可设为：，即；
圆方程可整理为，则其圆心，半径，
直线与圆交于两点，圆心到直线距离，
即，解得：，即直线斜率的取值范围为；
（3）设，
当时，与圆仅有一个交点，不合题意，，
则直线，可设直线方程为，
由得：，由（2）知：；
，，
，
为定值.
20．
【详解】
（1）设圆的圆心，
因为圆与圆关于直线对称，
可得，解得，
设圆的方程为，将点，代入可得，
所以圆的方程为，圆的方程为．
（2）由，根据切线长公式，可得，
设，则，
化简得，
所以存在定点使得Q到M的距离为定值．
21．
【详解】
解：（1）由题设得圆O1的半径为4，∴圆O1的标准方程为（x﹣9）2+y2＝16；
（2）①当切线的斜率不存在时，直线方程为x＝5符合题意；
②当切线的斜率存在时，设直线方程为y﹣5＝k（x﹣5），即kx﹣y+（5﹣5k）＝0，
∵直线和圆相切，∴，解得，从而切线方程为y.
故切线方程为y或x＝5；
证明：（3）设直线l的方程为y＝kx+m，则圆心O，圆心O1到直线l的距离分别为：
h，，
从而d，.
由2，得，
整理得m2＝4（9k+m）2，故m＝±2（9k+m），即18k+m＝0或6k+m＝0，
∴直线l为y＝kx﹣18k或y＝kx﹣6k，
因此直线l过点定点（18，0）或直线l过定点（6，0）.
22．（1）最小值为11，最大值为51；（2）最大值是－2＋，最小值为－2－.
【详解】
解：(1)圆方程化为(x－3)2＋(y－3)2＝4，圆心C(3，3)，半径r＝2.
x2＋y2＋2x＋3＝(x＋1)2＋y2＋2表示圆上点P(x，y)与定点A(－1，0)连线线段长度d的平方加上2.
因为|AC|＝5，所以3≤d≤7，
所以所求最小值为11，最大值为51.
(2)方程 (x－2)2＋y2＝3，表示以(2，0)为圆心，为半径的圆．
的几何意义是圆上一点与点(0，1)连线的斜率，所以设＝k，即y＝kx＋1.当直线y＝kx＋1与圆相切时，斜率取最大值和最小值，此时＝，解得k＝－2±，所以的最大值是－2＋，最小值为－2－.
23．（1）；（2）
【详解】
（1）由题意，直线切于点，则，又切点的坐标为，
所以，，
故直线的方程为，即.
联立直线和，解得即，
所以直线的斜率为，故直线的方程为.
（2）设，由，可得，即，
即满足的点的轨迹是一个圆，
所以问题可转化为直线与圆有公共点，
所以，即，
解得.
24．（1）；（2），.
【详解】
（1）过最长的弦为直径，最短的弦为垂直于的弦，
圆的半径，，
所以，，
所以．
（2），，
当时，面积的最大值为，
此时，到的距离为2，所以的倾斜角为或，
则的斜率为，所以，的方程为．
25．（1）；（2）；（3）在直线上存在定点使得为常数.
【详解】
（1）依题意，圆C方程变形为，圆心，半径
又直线l的方程即为，因为垂直平分弦，圆心必在直线上
过点和，斜率，；
（2）设垂直于的弦长为，，
由圆的垂径定理和勾股定理可得：
，所以，因此是MN的中点，
所以以MN为直径的圆就是以为圆心，2为半径的圆，方程为：
；
（3）设直线上的点取直线与圆的交点，则
取直线与圆的交点，则.
令，解得或（舍去，与重合），此时
若存在这样的定点满足题意，则必为
证明如下：
点满足题意.设圆上任意一点，则
，
综上可知，在直线上存在定点使得为常数.