8函数的奇偶性与周期性专项训练—2024届艺术班高考数学一轮复习（文字版 含答案）

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A．f(x)＝eq \r(x) B．f(x)＝eq \f(1,x2)
C．f(x)＝2x＋2－x D．f(x)＝－cs x
解析：选B 对于A，偶函数与单调递减均不满足；对于B，符合题意；对于C，不满足单调递减；对于D，不满足单调递减．
2．(2023·陕西三模)设f(x)是定义域为R的偶函数，且feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2＋x))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－x))，feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝eq \f(1,2)，则feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2023,2)))＝( )
A．－eq \f(1,2) B．eq \f(1,2)
C．－eq \f(3,2)D．eq \f(3,2)
解析：选B 因为f(x)是定义域为R的偶函数，所以feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2＋x))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－x))＝f(x)，
所以f(x)的周期为2，
所以feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2023,2)))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2023,2)－1012))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))＝
feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝eq \f(1,2)．故选：B．
3．(2023·南昌模拟)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x＋3)＝－f(x)，g(x)＝f(x)－2为奇函数，则f(198)＝( )
A．0B．1
C．2 D．3
解析：选C 因为f(x＋3)＝－f(x)，
所以f(x＋6)＝－f(x＋3)＝f(x)，
所以f(x)的周期为6，
又geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))－2为奇函数，
所以feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))－2＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－x))－2＝0，
所以f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))＋f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－x))＝4，
令x＝0，得2feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0))＝4，所以feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0))＝2，
所以feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(198))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0＋6×33))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0))＝2．
4．已知f(x)在R上是奇函数，且满足f(x＋4)＝f(x)，当x∈(0，2)时，f(x)＝2x2，则f(7)＝( )
A．2B．－2
C．－98 D．98
解析：选B 因为f(x＋4)＝f (x)，所以4函数f(x)的一个周期，又f(x)在R上是奇函数，所以f(7)＝f(－1)＝－f (1)＝－2．
5．(2023·长沙模拟)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，f(x)在[0，＋∞)上单调递减，且f(3)＝0，则不等式(2x－5)f(x－1)<0的解集为( )
A．(－∞，－2)∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,2)，4))
B．(4，＋∞)
C．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2，\f(5,2)))∪(4，＋∞)
D．(－∞，－2)
解析：选C 依题意，函数的大致图象如下图：
因为f(x)是定义在R上的偶函数，在[0，＋∞)上单调递减，且f(3)＝0，
所以f(x)在(－∞，0]上单调递增，且f(－3)＝0，
则当x>3或x<－3时，f(x)<0；
当－30，
不等式(2x－5)f(x－1)<0化为eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2x－5>0，,f（x－1）<0))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2x－5<0，,f（x－1）>0，))
所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2x－5>0，,x－1>3))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2x－5>0，,x－1<－3))
或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2x－5<0，,－3解得x>4或x∈∅或－24，
即原不等式的解集为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2，\f(5,2)))∪(4，＋∞)．
6．已知f(x)是定义在R上的奇函数，f(x＋1)＝f(1－x)，且f(－1)＝1，则f(2 025)＝( )
A．1B．0
C．－2 021 D．－1
解析：选D 因为f(x)为奇函数，
所以f(x＋1)＝f(1－x)＝－f(x－1)，
所以f(x＋3)＝f(x＋2＋1)
＝－f(x＋2－1)＝f(x－1)，
所以f(x＋4)＝f(x)，
即f(x)是周期为4的函数，
故f(2 025)＝f(1)＝－f(－1)＝－1．
故选D．
7．(2023·莆田模拟)已知函数feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ax＋b))图象的对称轴为x＝c，则feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))图象的对称轴为( )
A．x＝ab＋cB．x＝ab－c
C．x＝ac＋b D．x＝ac－b
解析：选C 设geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ax＋b))，
则geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(c－x))＝geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(c＋x))，
故feq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(a\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(c－x))＋b))＝feq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(a\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(c＋x))＋b))，整理得到feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ac＋b－ax))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ac＋b＋ax))，
所以feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))图象的对称轴为x＝ac＋b．
故选：C．
8．(2023·河北邢台月考)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x＋1)＝－f(x)，若f(x)在[－1，0]上单调递减，则f(x)在[1，3]上是( )
A．增函数B．减函数
C．先增后减的函数 D．先减后增的函数
解析：选D ∵ f(x＋1)＝－f(x)，∴f(x＋2)＝－f(x＋1)＝ f(x)，∴函数的周期是2．又f(x)在定义域R上是偶函数，在[－1，0]上是减函数，∴函数f(x)在[0，1]上是增函数，∴函数f(x)在[1，2]上是减函数，在[2，3]上是增函数，∴f(x)在[1，3]上是先减后增的函数．
9．已知函数f(x)是R上的奇函数，当x＞0时，f(x)＝ln x＋eq \f(a,2x)，若f(e)＋f(0)＝－3，e是自然对数的底数，则f(－1)＝( )
A．eB．2e
C．3e D．4e
解析：选D 依题意得f(0)＝0，f(－x)＝－f(x)，
由f(e)＋f(0)＝－3，
即f(e)＝ln e＋eq \f(a,2e)＝－3，得a＝－8e，
所以当x＞0时f(x)＝ln x－eq \f(4e,x)，所以f(－1)＝－f(1)＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ln 1－\f(4e,1)))＝4e．
10．(2023·张家口一模)已知f(x)＝1＋eq \f(a,e2x－1)是奇函数，则实数a＝__________．
解析：由题意得f(x)＝－f(－x)，所以1＋eq \f(a,e2x－1)＝－1－eq \f(a,e－2x－1)，解得a＝2．
答案：2
11．设函数f(x)是定义在R上周期为2的偶函数，当x∈[0，1]时，f(x)＝x＋1，则feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))＝________．
解析：依题意得，f(2＋x)＝f(x)，
f(－x)＝f(x)，则feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))
＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝eq \f(1,2)＋1＝eq \f(3,2)．
答案：eq \f(3,2)
12．定义域为R的奇函数feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))满足当x>0时，feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))＝x2＋ax．若feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1))＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－3))＝0，则feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2))＝______．
解析：因为feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))是定义域为R的奇函数，且feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1))＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－3))＝0，
所以feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1))＝－feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－3))，
即feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3))，
又当x>0时，feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))＝x2＋ax，
所以x＝2是y＝x2＋ax图象的对称轴，所以a＝－4，
即当x>0时，feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))＝x2－4x，feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2))＝－4，
所以feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2))＝－feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2))＝4．
答案：4