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40圆的方程 专项训练—2024届艺术班高考数学一轮复习（文字版 含答案）
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A．0 B．1
C．2 D．3
解析：选B 方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆的条件为a2＋4a2－4(2a2＋a－1)>0，即3a2＋4a－4<0，解得－2
A．16B．12
C．8 D．6
解析：选B 因为eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\(PA,\s\up6(→))＋\(PB,\s\up6(→))))＝2eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\(PO,\s\up6(→))))，eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\(PO,\s\up6(→))))max＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(OC))＋1＝eq \r(32＋42)＋1＝6，
所以eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\(PA,\s\up6(→))＋\(PB,\s\up6(→))))max＝12．故选：B．
3．圆心在y轴上，半径长为1，且过点(1，2)的圆的方程是( )
A．x2＋(y－2)2＝1
B．x2＋(y＋2)2＝1
C．(x－1)2＋(y－3)2＝1
D．x2＋(y－3)2＝1
解析：选A 设圆心为(0，a)，
则eq \r(（1－0）2＋（2－a）2)＝1，
∴a＝2．故圆的方程为x2＋(y－2)2＝1．
4．(2023·银川六盘山三模)已知直线x＋3y＝1经过圆(x－m)2＋(y－n)2＝1的圆心，其中mn>0，则eq \f(3,m)＋eq \f(1,n)的最小值为( )
A．7B．8
C．9 D．12
解析：选D 因为直线x＋3y＝1经过圆(x－m)2＋(y－n)2＝1的圆心eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(m，n))，
故m＋3n＝1，
所以eq \f(3,m)＋eq \f(1,n)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(m＋3n))（eq \f(3,m)＋eq \f(1,n)）＝6＋eq \f(9n,m)＋eq \f(m,n)≥6＋2eq \r(\f(9n,m)·\f(m,n))＝12，
当且仅当eq \f(9n,m)＝eq \f(m,n) ，即m＝3n＝eq \f(1,2)时，等号成立．故选：D．
5．若当方程x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0所表示的圆取得最大面积时，则直线y＝(k－1)x＋2的倾斜角α＝( )
A．eq \f(3π,4) B．eq \f(π,4)
C．eq \f(3π,2)D．eq \f(5π,4)
解析：选A 圆的半径R＝eq \f(1,2)eq \r(k2＋4－4k2)≤1，当有最大半径时圆有最大面积，此时k＝0，R＝1，∴直线方程为y＝－x＋2，则tan α＝－1，且α∈[0，π)，∴α＝eq \f(3,4)π．
6．(2023·河南六市二模)以(a，1)为圆心，且与两条直线2x－y＋4＝0与2x－y－6＝0同时相切的圆的标准方程为( )
A．(x－1)2＋(y－1)2＝5
B．(x＋1)2＋(y＋1)2＝5
C．(x－1)2＋y2＝5
D．x2＋(y－1)2＝5
解析：选A 由题意，圆心在直线2x－y－1＝0上，
(a，1)代入可得a＝1，即圆心为(1，1)，半径为R＝eq \f(|2－1＋4|,\r(5))＝eq \r(5)，
∴圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝5，
故选A．
7．已知两条直线y＝x＋2a，y＝2x＋a的交点P在圆(x－1)2＋(y－1)2＝4的内部，则实数a的取值范围是( )
A．（-15，1） B．（-∞，- 15）∪(1，＋∞)
C．[- 15，1） D．(-∞，- 15]∪[1，＋∞)
解析：选A 联立eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝x＋2a，,y＝2x＋a，))解得P(a，3a)，
∴(a－1)2＋(3a－1)2＜4，∴－eq \f(1,5)＜a＜1．
8．(2022·安徽池州二模)若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x－3y＝0和x轴都相切，则该圆的标准方程是( )
A．(x－2)2＋(y－1)2＝1
B．(x－2)2＋(y＋1)2＝1
C．(x＋2)2＋(y－1)2＝1
D．(x－3)2＋(y－1)2＝1
解析：选A 由于圆心在第一象限且与x轴相切，可设圆心为(a，1)(a>0)，又圆与直线4x－3y＝0相切，
∴eq \f(|4a－3|,5)＝1，解得a＝2或a＝－eq \f(1,2)(舍去)．
∴圆的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝1．
故选A．
9．(多选)(2023·杭州模拟)在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：x2＋y2－2ax－6y＋a2＝0(a∈R)，则下列说法正确的是( )
A．若a≠0，则点O在圆C外
B．圆C与x轴相切
C．若圆C截y轴所得弦长为4eq \r(2)，则a＝1
D．点O到圆C上一点的最大距离和最小距离的乘积为a2
解析：选ABD 由题意可知，对于选项A，若a≠0，将O(0，0)代入圆C方程可得，a2＞0，即点O在圆C外，故选项A正确；对于选项B，圆C可化为标准方程为(x－a)2＋(y－3)2＝9，其圆心为C(a，3)，半径为r＝3，则圆心C到x轴的距离d＝3＝r，即圆C与x轴相切，故选项B正确；对于选项C，圆心C到y轴的距离d′＝a，则所得弦长为2eq \r(r2－d′2)＝2eq \r(9－a2)＝4eq \r(2)，解得a＝±1，故选项C错误；对于选项D，当a≠0时，由选项A可得，点O在圆C外，则点O到圆C上一点的最大距离为|OC|＋r，最小距离为|OC|－r，则乘积为(|OC|＋r)( |OC|－r)＝|OC|2－r2＝a2＋9－r2＝a2＋9－9＝a2，当a＝0时，点O在圆C上，最小值为0，显然满足a2，所以点O到圆C上一点的最大距离和最小距离的乘积为a2，故选项D正确；综上，答案选ABD．
10．已知点Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，2))，Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，0))，点A关于直线x－y＋1＝0的对称点为点B，在△PBC中，|PC|＝eq \r(2)|PB|，则△PBC面积的最大值为( )
A．4eq \r(2)B．3eq \r(2)
C．2eq \r(2)D．eq \r(2)
解析：选C 设B的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x0，y0))，
则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(y0－2,x0＋1)＝－1，,\f(x0－1,2)－\f(y0＋2,2)＋1＝0))⇒eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x0＝1，,y0＝0，))
所以B的坐标为(1，0)．
设P(x，y)，eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(PC))＝eq \r(2)eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(PB))⇒(x＋1)2＋y2＝2(x－1)2＋2y2⇒x2＋y2－6x＋1＝0，
(x－3)2＋y2＝8．
所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(S△PBC))max＝eq \f(1,2)eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(BC))×2eq \r(2)＝eq \f(1,2)×2×2eq \r(2)＝2eq \r(2)．故选：C．
11．(2023·福州模拟)点M与两个定点Oeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，0))，Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，0))的距离的比为3：1，则点M的轨迹方程为________．
解析：设点M(x，y)，由题知eq \f(\r(x2＋y2),\r(（x－2）2＋y2))＝3，两边平方化简得2x2＋2y2－9x＋9＝0，即(x－eq \f(9,4))2＋y2＝eq \f(9,16)，
所以点M的轨迹方程为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(9,4)))eq \s\up12(2)＋y2＝eq \f(9,16)．
答案：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(9,4)))eq \s\up12(2)＋y2＝eq \f(9,16)
12．已知二次函数y＝x2＋4x－5的图象与两坐标轴交于A，B，C三点，则△ABC的外接圆的半径为______．
解析：在y＝x2＋4x－5中，令y＝0得x2＋4x－5＝0，得x＝－5或x＝1，
令x＝0，得y＝－5，
不妨设A(－5，0)，B(1，0)，C(0，－5)，
根据圆的性质可设圆心M(－2，b)，
由|MA|＝|MC|，得eq \r(9＋b2)＝eq \r(4＋（b＋5）2)，解得b＝－2，所以M(－2，－2)，
所以△ABC的外接圆的半径为|MA|＝eq \r(9＋4)＝eq \r(13)．
答案：eq \r(13)
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