42椭圆专项训练—2024届艺术班高考数学一轮复习（文字版 含答案）

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A．4 B．8
C．4或8 D．12
解析：选C 当焦点在x轴上时，10－m>m－2>0，10－m－(m－2)＝4，∴m＝4．
当焦点在y轴上时，m－2>10－m>0，m－2－(10－m)＝4，∴m＝8．∴m＝4或8．
2．(2023·全国甲卷)设F1，F2为椭圆C：eq \f(x2,5)＋y2＝1的两个焦点，点P在C上，若eq \(PF1,\s\up6(→))·eq \(PF2,\s\up6(→))＝0，则eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(PF1))·eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(PF2))＝( )
A．1 B．2
C．4 D．5
解析：选B 法一：因为eq \(PF1,\s\up6(→))·eq \(PF2,\s\up6(→))＝0，所以∠FP1F2＝90°，
从而＝b2tan 45°＝1＝eq \f(1,2)×eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(PF1))·eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(PF2))，所以eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(PF1))·eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(PF2))＝2．故选：B．
法二：因为eq \(PF1,\s\up6(→))·eq \(PF2,\s\up6(→))＝0，所以∠FP1F2＝90°，
由椭圆方程可知，c2＝5－1＝4⇒c＝2，
所以eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(PF1))eq \s\up12(2)＋eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(PF2))eq \s\up12(2)＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(F1F2))eq \s\up12(2)＝42＝16，
又eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(PF1))＋eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(PF2))＝2a＝2eq \r(5)，平方得：
eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(PF1))eq \s\up12(2)＋eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(PF2))eq \s\up12(2)＋2eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(PF1))eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(PF2))＝16＋2eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(PF1))eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(PF2))＝20，所以eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(PF1))·eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(PF2))＝2．
3．(2023·河南驻马店二模)已知椭圆C：eq \f(x2,8)＋eq \f(y2,2)＝1的左、右顶点分别是A，B，O是坐标原点，P在椭圆C上，且eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(OP))＝eq \r(5)，则△PAB的面积是( )
A．2eq \r(2) B．4
C．4eq \r(2) D．8
解析：选A 设Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(m，n))，因点P在椭圆上，且eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(OP))＝eq \r(5)，则有eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m2＋n2＝5，,\f(m2,8)＋\f(n2,2)＝1，))消去m，得到3n2＝3，所以eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(n))＝1，
又A(－2eq \r(2)，0)，B(2eq \r(2)，0)，故△PAB的面积是S＝eq \f(1,2)×4eq \r(2)×1＝2eq \r(2)．故选：A．
4．已知点F1、F2分别是椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点，过F1且垂直于x轴的直线与椭圆交于A、B两点，若△ABF2为正三角形，则椭圆的离心率是( )
A．2 B．eq \r(2)
C．3 D．eq \f(\r(3),3)
解析：选D ∵|F1F2|＝2c，∴|AF1|＝eq \f(2\r(3),3)c，
|AF2|＝eq \f(4\r(3),3)c．
∵|AF1|＋|AF2|＝2a，∴2eq \r(3)c＝2a，
∴e＝eq \f(\r(3),3)．
5．如图所示，一只装有半杯水的圆柱形水杯，将其倾斜使杯底与水平桌面成30°，此时杯内水面成椭圆形，此椭圆的离心率为( )
A．eq \f(\r(3),2) B．eq \f(\r(3),4)
C．eq \f(1,2) D．eq \f(1,4)
解析：选C 如图，由题意得：∠BAC＝30°，AB＝2a，DE＝2b，且AC＝DE，则在直角三角形ABC中，
AC＝ABcs 30°＝eq \r(3)a，所以2b＝eq \r(3)a，所以此椭圆的离心率e＝eq \f(c,a)＝ eq \r(1－\f(b2,a2))＝eq \f(1,2)．
6．(2023·广州模拟)已知以F1eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2，0))，F2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，0))为焦点的椭圆与直线x＋y＋4＝0有且仅有一个公共点，则椭圆的长轴长为( )
A．3eq \r(2) B．2eq \r(6)
C．2eq \r(10) D．4eq \r(2)
解析：选C 设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m≠n>0)，
直线x＋y＋4＝0代入椭圆方程，消去y得：(m＋n)x2＋8nx＋16n－1＝0，
Δ＝64n2－4(16n－1)(m＋n)＝0，整理，得m＋n＝16mn．
又c＝2，由焦点在x轴上，
所以eq \f(1,m)－eq \f(1,n)＝4，联立解得：m＝eq \f(1,10)，n＝eq \f(1,6)，故椭圆方程为eq \f(x2,10)＋eq \f(y2,6)＝1，则长轴长为2eq \r(10)．
7．(2023·兰州三模)已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a>b>0))的左，右焦点分别为F1，F2，若椭圆C上一点Р到焦点F1的最大距离为7，最小距离为3，则椭圆C的离心率为( )
A．eq \f(1,2) B．eq \f(2,5)
C．eq \f(1,3) D．eq \f(2,3)
解析：选B 设椭圆的半焦距为c，若椭圆上一点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x，y))，则eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1，且－a≤x≤a，
又F1(－c，0)，a2＝b2＋c2，
则eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(PF1))＝eq \r(（x＋c）2＋y2)
＝eq \r(（x＋c）2＋b2－\f(b2,a2)x2)
＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(c,a)x＋a))\s\up12(2))＝eq \f(c,a)x＋a．
由于－a≤x≤a，所以eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(PF1))eq \s\d7(max)＝a＋c＝7，eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(PF1))eq \s\d7(min)＝a－c＝3，
于是可得a＝5，c＝2，所以椭圆C的离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \f(2,5)．故选：B．
8．(多选)(2023·南京盐城一模)已知椭圆C的中心为坐标原点，焦点F1，F2在y轴上，短轴长等于2，离心率为eq \f(\r(6),3)，过焦点F1与y轴的垂线交椭圆C于P，Q两点，则下列说法正确的是( )
A．椭圆C的方程为eq \f(y2,3)＋x2＝1
B．椭圆C的方程为eq \f(x2,3)＋y2＝1
C．|PQ|＝eq \f(2\r(3),3)
D．△PF2Q的周长为4eq \r(3)
解析：选ACD
由已知得，2b＝2，b＝1，eq \f(c,a)＝eq \f(\r(6),3)，又a2＝b2＋c2，解得a2＝3．
∴椭圆方程为x2＋eq \f(y2,3)＝1，如图．∴|PQ|＝eq \f(2b2,a)＝eq \f(2,\r(3))＝eq \f(2\r(3),3)，△PF2Q的周长为4a＝4eq \r(3)．故选A、C、D．
9．已知椭圆eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,b2)＝1(0解析：由题意得a＝2；由椭圆的定义知eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(AF2))＋eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(BF2))＋eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(AB))＝4a＝8，
所以eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(AB))＝8－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(AF2))＋\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(BF2))))≥2，又由椭圆的性质得，过椭圆焦点的弦中垂直于长轴的弦最短，所以eq \f(2b2,a)＝2，解得b2＝2，故b＝eq \r(2)，c＝eq \r(2)，离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(2),2)．
答案：eq \r(2) eq \f(\r(2),2)
10．已知P(1，1)为椭圆eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,2)＝1内一定点，经过P引一条弦，使此弦被P点平分，则此弦所在的直线方程为________．
解析：法一：易知此弦所在直线的斜率存在，∴设其方程为y－1＝k(x－1)，弦所在的直线与椭圆相交于A，B两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)．
由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y－1＝k（x－1），,\f(x2,4)＋\f(y2,2)＝1，))消去y得，(2k2＋1)x2－4k(k－1)x＋2(k2－2k－1)＝0，
∴x1＋x2＝eq \f(4k（k－1）,2k2＋1)，又∵x1＋x2＝2，
∴eq \f(4k（k－1）,2k2＋1)＝2，解得k＝－eq \f(1,2)．
经检验，k＝－eq \f(1,2)满足题意．
故此弦所在的直线方程为y－1＝－eq \f(1,2)(x－1)，
即x＋2y－3＝0．
法二：易知此弦所在直线的斜率存在，∴设斜率为k，弦所在的直线与椭圆相交于A，B两点，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则eq \f(xeq \\al(2,1),4)＋eq \f(yeq \\al(2,1),2)＝1， ①
eq \f(xeq \\al(2,2),4)＋eq \f(yeq \\al(2,2),2)＝1， ②
①－②得
eq \f(（x1＋x2）（x1－x2）,4)＋eq \f(（y1＋y2）（y1－y2）,2)＝0，∵x1＋x2＝2，y1＋y2＝2，
∴eq \f(x1－x2,2)＋y1－y2＝0，∴k＝eq \f(y1－y2,x1－x2)＝－eq \f(1,2)．经检验，k＝－eq \f(1,2)满足题意．∴此弦所在的直线方程为y－1＝－eq \f(1,2)(x－1)，
即x＋2y－3＝0．
答案：x＋2y－3＝0
11．(2023·郑州模拟)椭圆M：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1
(a＞b＞0)的左顶点为A(－2，0)，离心率为eq \f(\r(3),2)．
(1)求椭圆M的方程；
(2)已知经过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(3),2)))的直线l交椭圆M于B，C两点，D是直线x＝－4上一点．若四边形ABCD为平行四边形，求直线l的方程．
解：(1)由题意知：a＝2，eq \f(c,a)＝eq \f(\r(3),2)，
则b2＝a2－c2＝1，
故椭圆M的方程为eq \f(x2,4)＋y2＝1．
(2)设D(－4，t)，B(x1，y1)，C(x2，y2)，又A(－2，0)，故kAD＝－eq \f(t,2)＝kBC，
又直线l经过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(3),2)))，故l的方程为y＝－eq \f(t,2)x＋eq \f(\r(3),2)，
联立eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝－\f(t,2)x＋\f(\r(3),2)，,\f(x2,4)＋y2＝1))可得(1＋t2)x2－2eq \r(3)tx－1＝0，显然Δ＞0，x1＋x2＝eq \f(2\r(3)t,1＋t2)，x1x2＝－eq \f(1,1＋t2)，
则|BC|＝ eq \r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(t,2)))\s\up12(2)) eq \r(（x1＋x2）2－4x1x2)
＝ eq \r(1＋\f(t2,4)) eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2\r(3)t,1＋t2)))\s\up12(2)＋\f(4,1＋t2))
＝eq \f(\r(（4＋t2）（4t2＋1）),1＋t2)，
又|AD|＝eq \r(4＋t2)，由|BC|＝|AD|，
可得eq \f(\r(（4＋t2）（4t2＋1）),1＋t2)＝eq \r(4＋t2)，
解得t＝±eq \r(2)，
故直线l的方程为y＝±eq \f(\r(2),2)x＋eq \f(\r(3),2)．
12．(2023·黄山一模)已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的焦距为2，过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，\f(\r(2),2)))．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)设椭圆的右焦点为F，定点P(2，0)，过点F且斜率不为零的直线l与椭圆交于A，B两点，以线段AP为直径的圆与直线x＝2的另一个交点为Q，证明：直线BQ恒过一定点，并求出该定点的坐标．
解：(1)由题知eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(c＝1，,\f(1,a2)＋\f(1,2b2)＝1，))解得a2＝2，b2＝1，所以椭圆C的方程为eq \f(x2,2)＋y2＝1．
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，因为直线l的斜率不为零，令l的方程为：x＝my＋1，
由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝my＋1，,\f(x2,2)＋y2＝1，))得(m2＋2)y2＋2my－1＝0，
则y1＋y2＝－eq \f(2m,m2＋2)，y1·y2＝－eq \f(1,m2＋2)，
因为以AP为直径的圆与直线x＝2的另一个交点为Q，所以AQ⊥PQ，则Q(2，y1)，则kBQ＝eq \f(y2－y1,x2－2)，故BQ的方程为：y－y1＝eq \f(y2－y1,x2－2)(x－2)，由椭圆的对称性，则定点必在x轴上，所以令y＝0，则
x＝eq \f(－y1（x2－2）,y2－y1)＋2＝eq \f(－y1（my2－1）,y2－y1)＋2＝eq \f(－my1y2＋y1,y2－y1)＋2，而y1＋y2＝－eq \f(2m,m2＋2)，y1·y2＝－eq \f(1,m2＋2)，－my1y2＝－eq \f(y1＋y2,2)，
所以x＝eq \f(－\f(y1＋y2,2)＋y1,y2－y1)＋2＝－eq \f(1,2)＋2＝eq \f(3,2)，
故直线BQ恒过定点，且定点为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1( \f(3,2)，0))．