人教版九年级数学下册同步必刷基础拓展单元卷第27章相似【培优卷】（原卷版+解析）

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第二十七章相似三角形培优卷满分 120分一、单选题1. ( 3分 ) 已知四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，四边形ABCD与四边形A′B′C′D′的周长分别为24、36，则它们对角线AC与A′C′的比为（） A. 2：3 B. 3：2 C. 4：9 D. 9：42. ( 3分 ) 如图，已知DE为△ABC的中位线，△ADE的面积为3，则四边形DECB的面积为（） A. 6 B. 8 C. 9 D. 123. ( 3分 ) “相似的图形”是（） A. 形状相同的图形 B. 大小不相同的图形 C. 能够重合的图形 D. 大小相同的图形4. ( 3分 ) 如图，在△ABC中，点D是BC边上任一点，点F，G，E分别是AD，BF，CF的中点，连结GE，若△FGE的面积为8，则△ABC的面积为( ) A. 32 B. 48 C. 64 D. 725. ( 3分 ) 已知△ABC的三边长分别为6cm ， 7.5cm ， 9cm ， △DEF的一边长为4cm ，当△DEF的另两边长是下列哪一组时，这两个三角形相似（　　） A. 2 cm，3 cm B. 4 cm，5 cm C. 5 cm，6 cm D. 6 cm，7 cm6. ( 3分 ) 如图，在正方形ABCD中，G为CD的中点，连结AG并延长，交BC边的延长线于点E，对角线BD交AG于点F，已知AF=2，则线段AE的长是（） A. 4 B. 6 C. 8 D. 107. ( 3分 ) 已知抛物线y=–x2+1的顶点为P，点A是第一象限内该二次函数图像上一点，过点A作x轴的平行线交二次函数图像于点B，分别过点B，A作x轴的垂线，垂足分别为C，D，连接PA，PD,PD交AB于点E，△PAD与△PEA相似吗？（） A. 始终相似 B. 始终不相似 C. 只有AB=AD时相似 D. 无法确定8. ( 3分 ) 如图，在平面直角坐标系中，动点A、B分别在x轴上和函数y=x的图象上，AB＝4，CB⊥AB，BC＝2，则OC的最大值为（） A. 2 QUOTE 2 2 ＋2 B. 2 QUOTE 2 2 ＋4 C. 2 QUOTE 5 5 D. 2 QUOTE 5 5 ＋2 9. ( 3分 ) 如图，在矩形 QUOTE ???? ???? 中， QUOTE ??=3 ??=3 ， QUOTE ??=4 ??=4 ， QUOTE ?? ?? 平分，与对角线 QUOTE ?? ?? 相交于点 QUOTE ? ? ， QUOTE ? ? 是线段 QUOTE ?? ?? 的中点，则下列结论中：① QUOTE ??=56 ??=56 ；② QUOTE ??=2526 ??=2526 ；③ QUOTE ?螖???=1513 ?螖???=1513 ；④ ，正确的有（）个 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 10. ( 3分 ) 在正方形ABCD中，E、F分别为BC、CD边上的两个动点，∠EAF＝45°，下列几个结论中：①EF＝BE＋DF；②MN2＝BM2＋DN2；③FA平分∠DFE；④连接MF，则△AMF为等腰直角三角形；⑤∠AMN＝∠AFE. 其中一定成立的结论有（） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个二、填空题11. ( 4分 ) 如图，一次函数 QUOTE ?=43?+? ?=43?+? 的图象与y轴交于点 QUOTE ?(0,3) ?(0,3) ，与反比例函数 QUOTE ?=??(?<0) ?=??(?<0) 的图象交于点 QUOTE ?(?,?) ?(?,?) ．以 QUOTE ?? ?? 为对角线作矩形 QUOTE ???? ???? ，使顶点 QUOTE ? ? ， QUOTE ? ? 落在 QUOTE ? ? 轴上（点 QUOTE ? ? 在点 QUOTE ? ? 的右边）， QUOTE ?? ?? 与 QUOTE ?? ?? 交于点 QUOTE ? ? ．则 QUOTE ?= ?= ________． 12. ( 4分 ) 如图，在△ABC中，点D是边AB上的一点，∠ADC=∠ACB，AD=4，BD=5,则边AC的长为 ________． 13. ( 4分 ) 如图，在△ABC中，D、E分别是AB、BC上的点，且DE∥AC，若S△BDE：S△CDE＝1：4，则S△BDE：S△ACD＝________. 14. ( 4分 ) 在平面直角坐标系中，点 QUOTE ? ? 的坐标为 QUOTE (1,3) (1,3) ，点 QUOTE ? ? 的坐标为 QUOTE (3,1) (3,1) ，在第三象限内作与位似的，点 QUOTE ? ? 的对应点为点 QUOTE ? ? ，与的位似比为 QUOTE 1:3 1:3 ，则点 QUOTE ? ? 的坐标为________． 15. ( 4分 ) 如图，在中， QUOTE ??=??=5 ??=??=5 ， QUOTE ??=6 ??=6 ，点D为AC上一点，作 QUOTE ??//?? ??//?? 交BC于点E ，点C关于DE的对称点为点O ，以OA为半径作⊙O恰好经过点C ，并交直线DE于点M ， N则MN的值为________． 16. ( 4分 ) 如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，AC＝4，N是斜边AB上方一点，连接BN，点D是BC的中点，DM垂直平分BN，交AB于点E，连接DN，交AB于点F，当△ANF为直角三角形时，线段AE的长为________． 17. ( 4分 ) 如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝16，点D在边BC上，点E在边AB上，沿DE将△ABC折叠，使点B与点A重合，连接AD ，点P是线段AD上一动点，当半径为5的⊙P与△ABC的一边相切时，AP的长为________． ( 4分 ) 在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，AC＝8cm，点P为边AC上一点，且AP＝5cm．点Q为边AB上的任意一点（不与点A，B重合），若点A关于直线PQ的对称点A'恰好落在△ABC的边上，则AQ的长为________cm．三、解答题19. ( 5分 ) 如图,小丽在观察某建筑物AB．（1）请你根据小亮在阳光下的投影,画出建筑物AB在阳光下的投影．（2）已知小丽的身高为1.65m,在同一时刻测得小丽和建筑物AB的投影长分别为1.2m和8m,求建筑物AB的高． 20. ( 11分 ) 如图，已知点G在正方形ABCD的对角线AC上，，垂足为点E，，垂足为点F. （1）发现问题：在图中， QUOTE AGBE AGBE 的值为________. （2）探究问题：将正方形CEGF绕点C顺时针方向旋转角，如图所示，探究线段AG与BE之间的数量关系，并证明你的结论. （3）解决问题：正方形CEGF在旋转过程中，当B，E，F三点在一条直线上时，如图所示，延长CG交AD于点H；若 QUOTE AG=6 AG=6 ， QUOTE GH=22 GH=22 ，直接写出BC的长度. 21. ( 10分 ) 如图，在△ABC中，AB=AC，点E在边BC上移动（点E不与点B，C重合），满足∠DEF=∠B，且点D．F分别在边AB、AC上．（1）求证：△BDE∽△CEF；（2）当点E移动到BC的中点时，求证：FE平分∠DFC． 22. ( 5分 ) 如图，△ABC中，， QUOTE ??=2?? ??=2?? ．点P在△ABC内，且，求△ABC的面积． 23. ( 5分 ) 附加题：如图，在中， QUOTE ??=?? ??=?? ，，垂足为 QUOTE ? ? ， QUOTE ? ? 、 QUOTE ? ? 分别为 QUOTE ?? ?? 、 QUOTE ?? ?? 的中点，，垂足为 QUOTE ? ? ，求证： QUOTE ??=?? ??=?? ．四、综合题24. ( 12分 ) 抛物线y＝x2+bx+c经过点A、B、C，已知A（﹣1，0），C（0，﹣3）．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，抛物线顶点为E，EF⊥x轴于F点，M（m，0）是x轴上一动点，N是线段EF上一点，若∠MNC＝90°，请指出实数m的变化范围，并说明理由．（3）如图2，将抛物线平移，使其顶点E与原点O重合，直线y＝kx+2（k＞0）与抛物线相交于点P、Q（点P在左边），过点P作x轴平行线交抛物线于点H，当k发生改变时，请说明直线QH过定点，并求定点坐标． 25. ( 10分 ) 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm，点D从点C出发，以2cm/s 的速度沿折线C→A→B向点B运动，同时点E从点B出发，以1cm/s的速度沿BC边向点C运动，设点E运动的时间为t（单位：s）（0＜t＜8）. （1）当△BDE 是直角三角形时，求t的值；（2）若四边形CDEF是以CD、DE为一组邻边的平行四边形，①设它的面积为S，求S关于t的函数关系式；②是否存在某个时刻t，使平行四边形CDEF为菱形?若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由. 第二十七章相似三角形培优卷满分 120分一、单选题1. ( 3分 ) 已知四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，四边形ABCD与四边形A′B′C′D′的周长分别为24、36，则它们对角线AC与A′C′的比为（） A. 2：3 B. 3：2 C. 4：9 D. 9：4【答案】 A 【考点】相似多边形的性质【解析】【解答】解：如图，连接AC、A′C′∵四边形ABCD与四边形A′B′C′D′相似，∴ = ，∠B=∠B′，∴△ABC∽△A′B′C′，∴ = = QUOTE 2436 2436 = QUOTE 23 23 ，故答案为：A．【分析】连接AC、A′C′,根据已知易证△ABC∽△A′B′C′，就可证得对角线之比等于相似比，然后根据周长比等于相似比，可解答。2. ( 3分 ) 如图，已知DE为△ABC的中位线，△ADE的面积为3，则四边形DECB的面积为（） A. 6 B. 8 C. 9 D. 12【答案】 C 【考点】相似三角形的判定与性质【解析】【解答】解：∵DE为△ABC的中位线， ∴DE∥BC，2DE＝BC，∴△ADE∽△ABC，∴ ＝（ QUOTE ???? ???? ）2＝ QUOTE 14 14 ，∴S△ABC＝4S△ADE＝12，∴四边形DECB的面积为12﹣3＝9，故答案为：C. 【分析】利用三角形中位线定理可证得DE∥BC，2DE＝BC，可以推出△ADE∽△ABC，再利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，就可求出△ABC的面积，然后求出四边形DECB的面积。3. ( 3分 ) “相似的图形”是（） A. 形状相同的图形 B. 大小不相同的图形 C. 能够重合的图形 D. 大小相同的图形【答案】 A 【考点】相似图形【解析】【解答】解：相似图形是形状相同的图形，大小可以相同，也可以不同，故选A．【分析】根据相似形的定义直接进行判断即可．4. ( 3分 ) 如图，在△ABC中，点D是BC边上任一点，点F，G，E分别是AD，BF，CF的中点，连结GE，若△FGE的面积为8，则△ABC的面积为( ) A. 32 B. 48 C. 64 D. 72【答案】 C 【考点】三角形的角平分线、中线和高，相似三角形的判定与性质【解析】【解答】解：∵ 点G，E分别是BF，CF的中点， ∴GE∥BC，GE= QUOTE 12 12BC， ∴△FEG∽△FBC， ∴ ， ∵ △FGE的面积为8 ， ∴△FBC的面积为32， ∵点F是AD的中点， ∴S△AFB=S△FBD ， S△ACF=S△CDF ， ∴S△AFB+S△ACF=S△FBD+S△CDF=S△FBC=32， ∴S△ABC=S△AFB+S△ACF+S△FBC=64. 故选C. 【分析】根据三角形中位线定理可得GE∥BC，GE= QUOTE 12 12BC，利用平行线可证△FEG∽△FBC，利用相似三角形的性质可得，从而可得△FBC的面积为32.根据三角形的等底同高可得S△AFB=S△FBD ， S△ACF=S△CDF ，从而可得S△AFB+S△ACF=S△FBD+S△CDF=S△FBC=32，由S△ABC=S△AFB+S△ACF+S△FBC即可求出结论.5. ( 3分 ) 已知△ABC的三边长分别为6cm ， 7.5cm ， 9cm ， △DEF的一边长为4cm ，当△DEF的另两边长是下列哪一组时，这两个三角形相似（　　） A. 2 cm，3 cm B. 4 cm，5 cm C. 5 cm，6 cm D. 6 cm，7 cm【答案】 C 【考点】相似三角形的判定【解析】解答：设△DEF的另两边为xcm，ycm，若△DEF中为4cm边长的对应边为6cm，则： = = ，解得：x=5，y=6；若△DEF中为4cm边长的对应边为7.5cm，则： = = ，解得：x=3.2，y=4.8；若△DEF中为4cm边长的对应边为9cm，则： = = 解得：x= ，y= ；故选C ．分析：根据三边对应成比例的三角形相似，即可求得．注意△DEF中为4cm边长的对应边可能是6cm或7.5cm或9cm，所以有三种情况． 6. ( 3分 ) 如图，在正方形ABCD中，G为CD的中点，连结AG并延长，交BC边的延长线于点E，对角线BD交AG于点F，已知AF=2，则线段AE的长是（） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10【答案】 B 【考点】正方形的性质，相似三角形的性质，三角形的中位线定理【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为正方形， ∴AB＝CD ， AB∥CD ， ∴∠ABF＝∠GDF ， ∠BAF＝∠DGF ， ∴△ABF∽△GDF ， QUOTE ????=???? ????=???? ， ∴FG＝ QUOTE 12 12AF＝1， ∴AG＝3． ∵CG∥AB ， AB＝CD=2CG ， ∴CG为△EAB的中位线， ∴AE＝2AG＝6．故答案为：B ．【分析】根据正方形的性质可得出AB∥CD ，进而可得出△ABF∽△GDF ，由相似三角形的性质可得出 QUOTE ????=???? ????=????＝2，结合AF＝2可求出FG、AG的长度，由CG∥AB、AB＝2CG可得出CG为△EAB的中位线，再利用三角形中位线的性质可求出AE的长度．7. ( 3分 ) 已知抛物线y=–x2+1的顶点为P，点A是第一象限内该二次函数图像上一点，过点A作x轴的平行线交二次函数图像于点B，分别过点B，A作x轴的垂线，垂足分别为C，D，连接PA，PD,PD交AB于点E，△PAD与△PEA相似吗？（） A. 始终相似 B. 始终不相似 C. 只有AB=AD时相似 D. 无法确定【答案】 A 【考点】相似三角形的判定与性质，二次函数y=ax^2+bx+c的性质【解析】【解答】解：令x=0，则y=1， ∴OP=1，设A（m，﹣m2+1），即AD=﹣m2+1，∵AB⊥y轴，AD⊥x轴，∴AF=OD=m，OF=﹣m2+1，PF=m2 ，在Rt△PAF中，PA2=PF2+AF2=（m2）2+m2=m4+m2 ，在Rt△POD中，PD= QUOTE ??2+??2=1+?2 ??2+??2=1+?2 ，由AB∥x轴得，△PEF∽△PDO，∴ QUOTE ????=???? ????=???? ，即 QUOTE ?21=??1+?2 ?21=??1+?2 ，解得PE=m2 QUOTE 1+?2 1+?2 ，∴PA2=PD·PE= m4+m2 ， ∴ QUOTE ????=???? ????=???? ，∵∠APE=∠DPA，∴△PAD∽△PEA，则△PAD与△PEA始终相似.故答案为：A. 【分析】根据抛物线与y轴交点的坐标特点求出点P的坐标，从而求出OP的长，根据点的坐标与图形的性质设点A的坐标为A（m，﹣m2+1），根据矩形的性质及点到坐标轴的距离公式即可得出AF=OD=m，OF=﹣m2+1，进而根据线段的和差得出PF=m2 ，在Rt△POD中，根据勾股定理表示出PD，根据平行于三角形一边的直线截其它两边，所截的三角形与原三角形相似得出△PEF∽△PDO，根据相似三角形对应边成比例得出 QUOTE ????=???? ????=???? ，根据比例式表示出PE的长，在Rt△PAF中根据勾股定理表谁出PA2 ，进而即可得出PA2=PD·PE，即 QUOTE ????=???? ????=???? ，根据两组边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似得出△PAD∽△PEA，故△PAD与△PEA始终相似.8. ( 3分 ) 如图，在平面直角坐标系中，动点A、B分别在x轴上和函数y=x的图象上，AB＝4，CB⊥AB，BC＝2，则OC的最大值为（） A. 2 QUOTE 2 2 ＋2 B. 2 QUOTE 2 2 ＋4 C. 2 QUOTE 5 5 D. 2 QUOTE 5 5 ＋2 【答案】 A 【考点】勾股定理，切线的性质，相似三角形的判定与性质【解析】【解答】解：作以B为圆心，以2为半径的圆，当OC∥AB时最大，此时OC与圆B相切，过B作BE⊥x轴于E，过A作AD⊥OC于D，∵BC⊥AB，OC⊥BC，∴四边形ABCD为矩形，∴AD=BC=2，CD=AB=4，点B在y=x上，点A在x轴上，设A（n，0），B（m，m），∵∠OAD+∠BAE=90°，∠BAE+∠ABE=90°，∴∠OAD=∠ABE，又∠ODA=∠AEB=90°，∴△AOD∽△BAE，∴ QUOTE ADBE=OAAB ADBE=OAAB 即 QUOTE 2m=n4 2m=n4 ，∴ QUOTE ??=8 ??=8在RtABE中，AE=m-n，由勾股定理得： QUOTE (m-n)2+m2=16 (m-n)2+m2=16 ， QUOTE 2m2−2mn+?2=16 2m2−2mn+?2=16 ， QUOTE 2m2+?2=32 2m2+?2=32 ， QUOTE {2m2+?2=32mn=8 {2m2+?2=32mn=8 ， QUOTE 2m2+(8m)2=32 2m2+(8m)2=32 ， QUOTE 2?4+64=32?2 2?4+64=32?2 ， QUOTE ?4−16?2+32=0 ?4−16?2+32=0 ，， QUOTE ?2=8卤42 ?2=8卤42 ，∵2 QUOTE < < m QUOTE < < 4，∴4 QUOTE < < m2 QUOTE < < 16， QUOTE ?2=8+42 ?2=8+42 ，在Rt△OAD中，OD= ，， QUOTE =28−2?2 =28−2?2 ， QUOTE =28−2(8+42) =28−2(8+42) ， QUOTE =12−82 =12−82 ， QUOTE =(22−2)2 =(22−2)2 ，，∴OD ，OC=OD+DC= ，故答案为：A. 【分析】作以B为圆心，以2为半径的圆，当OC // AB时最大，此时OC与圆B相切，过B作BE⊥x轴于E，过A作AD⊥OC于D，可证四边形ABCD为矩形，可得AD=BC=2，CD=AB=4，由点B在y=x上，点A在x轴上，设A (n, 0)，B (m,m)，可证∠AOD∽△BAE，由相似三角形的性质可得 QUOTE 2m=n4 2m=n4 ，即mn=8，由勾股定理得：(m-n)2+m2=16，联立解得，由2