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初中人教版28.1 锐角三角函数一课一练
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这是一份初中人教版28.1 锐角三角函数一课一练,共134页。试卷主要包含了单选题,填空题,解答题,综合题等内容,欢迎下载使用。
一、单选题
1. ( 3分 ) 已知一个等腰三角形内角的度数之比为1:4,则它的顶角的度数为( )
A. 20 B. 36 C. 120 D. 20 或120
2. ( 3分 ) cs30°=( )
A. QUOTE 12 12 B. QUOTE 22 22 C. QUOTE 32 32 D. QUOTE 3 3
3. ( 3分 ) 在Rt△ABC中,各边都扩大5倍,则锐角A的正切函数值( )
A. 不变 B. 扩大5倍 C. 缩小5倍 D. 不能确定
4. ( 3分 ) 若锐角α满足sinα> QUOTE 12 12 ,且csα> QUOTE 12 12 ,则α的范围是( )
A. 0°<α<30° B. 30°<α<60° C. 60°<α<90° D. 45°<α<90°
5. ( 3分 ) 如图,市政府准备修建一座高AB=6m的过街天桥,已知天桥的坡面AC与地面BC的夹角∠ACB的正弦值为 QUOTE 35 35 ,则坡面AC的长度为( )m.
A. 10 B. 8 C. 6 D. 6 QUOTE 3 3
6. ( 3分 ) 如图, QUOTE ?? ?? 垂直于 QUOTE ?? ?? ,P为线段 QUOTE ?? ?? 上的动点,F为 QUOTE ?? ?? 的中点, QUOTE ??=2.8m ??=2.8m , QUOTE ??=2.4m ??=2.4m , QUOTE ??=1.2m ??=1.2m , .若 , ,则 QUOTE ?? ?? 的长约为( )(参考数据: , )
A. 1.2 B. QUOTE 1.3m 1.3m C. QUOTE 1.5m 1.5m D. QUOTE 2.0m 2.0m
7. ( 3分 ) 已知β为锐角,且tan β=3.387,则β约等于( )
A. 73°33' B. 73°27' C. 16°27' D. 16°21'
8. ( 3分 ) 如图,电信部门要在公路l旁修建一座移动信号发射塔.按照设计要求,发射塔到两个城镇M,N的距离必须相等,则发射塔应该建( )
A. A处 B. B处 C. C处 D. D处
9. ( 3分 ) 若 , 则a,b的值分别为( )
A. ﹣ QUOTE 12 12 , QUOTE 12 12 B. QUOTE 12 12 , QUOTE 12 12 C. ﹣ QUOTE 12 12 , ﹣ QUOTE 12 12 D. QUOTE 12 12 , - QUOTE 12 12
10. ( 3分 ) 如图,点 QUOTE ? ? 是以 QUOTE ?? ?? 为直径的半圆上的动点, 于点 QUOTE ? ? ,连接 QUOTE ?? ?? ,设 ,则下列函数图象能反映 QUOTE ? ? 与 QUOTE ? ? 之间关系的是( )
A. B.
C. D.
二、填空题
11. ( 4分 ) 在以 QUOTE ? ? 为坐标原点的直角坐标平面内有一点 QUOTE ?(4,3) ?(4,3) ,如果 QUOTE ?? ?? 与 QUOTE ? ? 轴正半轴的夹角为 QUOTE 伪 伪 ,那么 ________.
12. ( 4分 ) 计算:( QUOTE 2 2 +1)0﹣2﹣1+ QUOTE 27 27 ﹣6sin60°=________.
13. ( 4分 ) 如图,在平行四边形ABCD中,AE⊥BC,垂足为E,如果AB=5,BC=8,sinB= QUOTE 45 45 ,那么 QUOTE ?螖??? ?螖??? =________.
14. ( 4分 ) 如图,在长方形纸片 QUOTE ???? ???? 中, QUOTE ??=12 ??=12 , QUOTE ??=5 ??=5 ,点 QUOTE ? ? 在 QUOTE ?? ?? 上,将 沿 QUOTE ?? ?? 折叠,使点 QUOTE ? ? 落在对角线 QUOTE ?? ?? 上的点 处,则 QUOTE ?? ?? 的长为________.
15. ( 4分 ) 如图1,点P从△ABC的顶点A出发,沿A﹣B﹣C匀速运动,到点C停止运动.点P运动时,线段AP的长度y与运动时间x的函数关系如图2所示,其中D为曲线部分的最低点,则△ABC的面积是________.
16. ( 4分 ) 反比例函数y= ,当x<0时,y随x的增大而增大.那么m的取值范围是________.
17. ( 4分 ) 如图,△ABC是等边三角形,AB=4,AD平分∠BAC交BC于点D,E是AC的中点,则DE的长为________.
18. ( 4分 ) 如图,在菱形ABCD中,BD为对角线,点N为BC边上一点,连接AN,交BD于点L,点R为CD边上一点,连接AR、LR,若tan∠BLN=2,∠ARL=45°,AR=10 QUOTE 2 2 ,CR=10,则AL=________ 。
三、解答题
19. ( 6分 ) 周末,小强在文化广场放风筝.如图,小强为了计算风筝离地面的高度,他测得风筝的仰角为58°,已知风筝线BC的长为10米,小强的身高AB为1.55米.请你帮小强画出测量示意图,并计算出风筝离地面的高度(结果精确到0.1米).(参考数据:sin58°=0.85,cs58°=0.53,tan58°=1.60)
]
20. ( 6分 ) 2015年4月25日14时11分,尼泊尔发生8.1级地震,震源深度20千米.中国救援队火速赶往灾区救援,探测出某建筑物废墟下方点C处有生命迹象.在废墟一侧某面上选两探测点A、B,AB相距2米,探测线与该面的夹角分别是30°和45°(如图).试确定生命所在点C与探测面的距离.(参考数据 QUOTE 2 2 ≈1.41, QUOTE 3 3 ≈1.73)
21. ( 6分 ) 在一次“数学实践”活动中,小明沿一条南北公路向北行走,在A处,他测得左边建筑物C在北偏西30°方向,右边建筑物D在北偏东30°方向;从A处向北40米行至B处,他又测得左边建筑物C在北偏西60°方向,右边建筑物D在北偏东45°方向.请根据以上数据求两建筑物C、D到这条南北公路的距离.(参考数据: , .结果精确到0.1米)
22. ( 6分 ) 已知a,b互为相反数,c,d互为倒数,x的绝对值为1,求a+b+x2﹣cdx.
23. ( 10分 ) 如图,在平面直角坐标系xOy中,点A、B坐标分别为(4,2)、(0,2),线段CD在于x轴上,CD= QUOTE 32 32 , 点C从原点出发沿x轴正方向以每秒1个单位长度向右平移,点D随着点C同时同速同方向运动,过点D作x轴的垂线交线段AB于点E、交OA于点G,连结CE交OA于点F.设运动时间为t,当E点到达A点时,停止所有运动.
(1)求线段CE的长;
(2)记S为RtΔCDE与ΔABO的重叠部分面积,试写出S关于t的函数关系式及t的取值范围;
(3)连结DF,
①当t取何值时,有DF=CD?
②直接写出ΔCDF的外接圆与OA相切时t的值.
四、综合题
24. ( 12分 ) 如图,⊙O的直径AB=10,弦AC=6,∠ACB的平分线交⊙O于D , 过点D作DE∥AB交CA的延长线于点E , 连接AD , BD .
(1)由AB , BD , 围成的曲边三角形的面积是________;
(2)求证:DE是⊙O的切线;
(3)求线段DE的长.
25. ( 12分 ) 如图,已知△ABC是边长为3cm的等边三角形,动点P、Q同时从A、B两点出发,分别沿AB、BC方向匀速移动,它们的速度都是1 cm/s,当点P到达点B时,P、Q两点停止运动,设点P的运动时间为t(s),
则:
(1)BP QUOTE = = ________cm,BQ QUOTE = = ________cm.(用含t的代数式表示)
(2)当t为何值时,△PBQ是直角三角形?
第28章 锐角三角函数 B卷
满分120分
一、单选题
1. ( 3分 ) 已知一个等腰三角形内角的度数之比为1:4,则它的顶角的度数为( )
A. 20 B. 36 C. 120 D. 20 或120
【答案】 D
【考点】三角形内角和定理,等腰三角形的性质
【解析】【解答】解:设两内角的度数为x、4x;
当等腰三角形的顶角为x时,x+4x+4x=180°,x=20°;
当等腰三角形的顶角为4x时,4x+x+x=180°,x=30,4x=120;
因此等腰三角形的顶角度数为20°或120°.
故答案为:D.
【分析】设两内角的度数为x、4x,由于等腰三角形的顶角可以是锐角,直角,或钝角,故需要分类讨论:①当等腰三角形的顶角为x时,②当等腰三角形的顶角为4x时,根据等腰三角形的两底角相等及三角形的内角和等于180°,分别列出方程求解即可。
2. ( 3分 ) cs30°=( )
A. QUOTE 12 12 B. QUOTE 22 22 C. QUOTE 32 32 D. QUOTE 3 3
【答案】 C
【考点】特殊角的三角函数值
【解析】【分析】根据特殊角的三角函数值即可求解。
【解答】cs30°= QUOTE 32 32 .
故选C.
3. ( 3分 ) 在Rt△ABC中,各边都扩大5倍,则锐角A的正切函数值( )
A. 不变 B. 扩大5倍 C. 缩小5倍 D. 不能确定
【答案】 A
【考点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解:因为三角函数值与对应边的比值有关,所以各边的长度都扩大5倍后,锐有A的各三角函数值没有变化.
故答案为:A.
【分析】根据tanA=可知,各边的长度都扩大5倍后,锐有A的各三角函数值没有变化.
4. ( 3分 ) 若锐角α满足sinα> QUOTE 12 12 ,且csα> QUOTE 12 12 ,则α的范围是( )
A. 0°<α<30° B. 30°<α<60° C. 60°<α<90° D. 45°<α<90°
【答案】 B
【考点】锐角三角函数的增减性,特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解:由正弦函数随角的增大而增大,余弦函数随角的增大而减小,得
30°<α<60°,
故选:B.
【分析】根据特殊角三角函数值,锐角函数的增减性,可得答案.
5. ( 3分 ) 如图,市政府准备修建一座高AB=6m的过街天桥,已知天桥的坡面AC与地面BC的夹角∠ACB的正弦值为 QUOTE 35 35 ,则坡面AC的长度为( )m.
A. 10 B. 8 C. 6 D. 6 QUOTE 3 3
【答案】 A
【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解:∵天桥的坡面AC与地面BC的夹角∠ACB的正弦值为 QUOTE 35 35 ,
∴sinC= QUOTE ???? ???? = QUOTE 35 35 ,
则 QUOTE 6?? 6?? = QUOTE 35 35 ,
解得:AC=10,
则坡面AC的长度为10m.
故答案为:A.
【分析】在Rt△ABC中,根据∠ACB的正弦值解直角三角形即可得到AC的长度。
6. ( 3分 ) 如图, QUOTE ?? ?? 垂直于 QUOTE ?? ?? ,P为线段 QUOTE ?? ?? 上的动点,F为 QUOTE ?? ?? 的中点, QUOTE ??=2.8m ??=2.8m , QUOTE ??=2.4m ??=2.4m , QUOTE ??=1.2m ??=1.2m , .若 , ,则 QUOTE ?? ?? 的长约为( )(参考数据: , )
A. 1.2 B. QUOTE 1.3m 1.3m C. QUOTE 1.5m 1.5m D. QUOTE 2.0m 2.0m
【答案】 B
【考点】解直角三角形
【解析】【解答】解:如图,过点F作FG⊥AC于点G,
根据题意可知:∠BEP=90°,∠B=65°,
∵AC⊥AB
∴∠A=90°,
∴∠EPA=360°-90°-90°-65°=115°,
∵∠DPE=15°,
∴∠APD=130°,
∴∠CPF=50°,
∵F为PD的中点,
∴DF=PF= QUOTE 12 12 PD=1.2,
∴CF=PF=1.2,
∴CP=2PG=2×PF•cs50°≈2×1.2×0.64≈1.54,
∴AP=AC-PC=2.8-1.54≈1.3(m).
故答案为:B.
【分析】过点F作FG⊥AC于点G,先得到∠CPF=50°,由F为PD的中点,得到DF=PF= QUOTE 12 12 PD=1.2,最后由CP=2PG就可以得到.
7. ( 3分 ) 已知β为锐角,且tan β=3.387,则β约等于( )
A. 73°33' B. 73°27' C. 16°27' D. 16°21'
【答案】 A
【考点】计算器—三角函数
【解析】【解答】解:由计算可得β≈ 73.55° =73°33'
故答案为:A。
【分析】考查计算器的用法;需要用到“arctan”这个键。
8. ( 3分 ) 如图,电信部门要在公路l旁修建一座移动信号发射塔.按照设计要求,发射塔到两个城镇M,N的距离必须相等,则发射塔应该建( )
A. A处 B. B处 C. C处 D. D处
【答案】 C
【考点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解:如图,可知两个圆弧交点所连直线为线段MN的垂直平分线,
根据垂直平分线的性质,可得发射塔应该在C处,
故答案为:C.
【分析】利用垂直平分线的性质即可判断.
9. ( 3分 ) 若 , 则a,b的值分别为( )
A. ﹣ QUOTE 12 12 , QUOTE 12 12 B. QUOTE 12 12 , QUOTE 12 12 C. ﹣ QUOTE 12 12 , ﹣ QUOTE 12 12 D. QUOTE 12 12 , - QUOTE 12 12
【答案】 A
【考点】完全平方公式及运用,偶次幂的非负性
【解析】【分析】将原式配成两个完全平方式,从而根据完全平方的非负性即可得出答案.
【解答】原式可化为:(a2+2ab+b2)+(b2-b+ QUOTE 14 14)=(a+b)2+(b﹣ QUOTE 12 12)2=0,
由平方的非负性可得:a+b=0,b- QUOTE 12 12=0,解得a=- QUOTE 12 12 , b= QUOTE 12 12 .
故选A.
【点评】本题考查完全平方式的知识,比较简单,关键是将式子配方后运用非负性解答.
10. ( 3分 ) 如图,点 QUOTE ? ? 是以 QUOTE ?? ?? 为直径的半圆上的动点, 于点 QUOTE ? ? ,连接 QUOTE ?? ?? ,设 ,则下列函数图象能反映 QUOTE ? ? 与 QUOTE ? ? 之间关系的是( )
A. B.
C. D.
【答案】 C
【考点】圆周角定理,切线的性质,锐角三角函数的定义,特殊角的三角函数值,二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解:设圆的半径为 QUOTE ? ? ,连接 QUOTE ?? ?? ,
则 ,
,即 QUOTE ?? ?? 是圆的切线,则 ,
则
则
图象为开口向下的抛物线。
故答案为: QUOTE ? ? 。
【分析】设圆的半径为 QUOTE ? ? ,连接 QUOTE ?? ?? ,根据直径所对的圆周角是直角得出∠APB=90°,根据正弦函数的定义得 ,根据同角的余角相等得出 , 根据等角的同名三角函数值相等及正弦函数的定义得出 , 从而即可建立出y与x的函数关系式,根据所得函数的图象即可解决问题。
二、填空题
11. ( 4分 ) 在以 QUOTE ? ? 为坐标原点的直角坐标平面内有一点 QUOTE ?(4,3) ?(4,3) ,如果 QUOTE ?? ?? 与 QUOTE ? ? 轴正半轴的夹角为 QUOTE 伪 伪 ,那么 ________.
【答案】 QUOTE 35 35
【考点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】如图:过点A作AB⊥y轴于点B,
∵A(4,3),
∴OB=3,AB=4,
∴由勾股定理可知:OA=5,
∴csα= QUOTE ????=35 ????=35 ,
故答案为: QUOTE 35 35
【分析】根据点A的坐标,可知,OB=3,AB=4,OA=5,由锐角的余弦三角函数的定义,即可求解.
12. ( 4分 ) 计算:( QUOTE 2 2 +1)0﹣2﹣1+ QUOTE 27 27 ﹣6sin60°=________.
【答案】 QUOTE 12 12
【考点】实数的运算,0指数幂的运算性质,负整数指数幂的运算性质,特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解:原式=1﹣ QUOTE 12 12 +3 QUOTE 3 3 ﹣6× QUOTE 32 32=1﹣ QUOTE 12 12 +3 QUOTE 3 3 ﹣3 QUOTE 3 3= QUOTE 12 12 .故答案为 QUOTE 12 12 .【分析】根据特殊角的三角形函数值、负整数指数幂和零指数幂得到原式=1﹣ QUOTE 12 12 +3 QUOTE 3 3 ﹣6× QUOTE 32 32 ,再进行乘法运算后合并即可.
13. ( 4分 ) 如图,在平行四边形ABCD中,AE⊥BC,垂足为E,如果AB=5,BC=8,sinB= QUOTE 45 45 ,那么 =________.
【答案】 QUOTE 10 10
【考点】平行四边形的性质,解直角三角形
【解析】【解答】在△ABE中,AE⊥BC,AB=5,sinB= QUOTE ????=45 ????=45 ,
∴AE=4,
∴BE= QUOTE ??2−??2 ??2−??2 =3,
∴CE=BC-BE=8-3=5,
∴S△CDE= QUOTE 12 12 CE•AE= QUOTE 12 12 ×5×4=10;
故答案为:10.
【分析】首先由已知条件和勾股定理计算CE=5,所以CD=AB,进而得到∠CDE=∠CED=∠ADE,所以tan∠CDE=tan∠ADE,于是得到结论.
14. ( 4分 ) 如图,在长方形纸片 QUOTE ???? ???? 中, QUOTE ??=12 ??=12 , QUOTE ??=5 ??=5 ,点 QUOTE ? ? 在 QUOTE ?? ?? 上,将 沿 QUOTE ?? ?? 折叠,使点 QUOTE ? ? 落在对角线 QUOTE ?? ?? 上的点 处,则 QUOTE ?? ?? 的长为________.
【答案】 QUOTE 103 103
【考点】勾股定理,矩形的性质,翻折变换(折叠问题)
【解析】【解答】解:∵∵四边形ABCD是矩形,且AB=12,BC=5,
∴AD=5,∠A=90°,
∴BD= QUOTE 122+52 122+52 =13,
根据折叠可得:AD=A′D=5,∠DA'E=90°,
∴A′B=13-5=8,
设AE=x,则A′E=x,BE=12-x,
在Rt△A′EB中:(12-x)2=x2+82 ,
解得:x= QUOTE 103 103 .
故答案为: QUOTE 103 103 .
【分析】在直角三角形ABD中,用勾股定理可求得BD的值,由折叠的性质可得AD=A′D,根据A′B=BD-A′D得出A'B的长,设AE=x,则A′E=x,BE=12-x,在Rt△A′EB中,用勾股定理可得关于x的方程,解方程可求解.
15. ( 4分 ) 如图1,点P从△ABC的顶点A出发,沿A﹣B﹣C匀速运动,到点C停止运动.点P运动时,线段AP的长度y与运动时间x的函数关系如图2所示,其中D为曲线部分的最低点,则△ABC的面积是________.
【答案】 12
【考点】勾股定理,通过函数图象获取信息并解决问题
【解析】【解答】解:根据图象可知,点P在AB上运动时,此时AP不断增大,
由图象可知:点P从A向B运动时,AP的最大值为5,即AB=5,
点P从B向C运动时,AP的最小值为4,即当AP⊥BC时,AP=4,即BC边上的高为4,
∴当AP⊥BC,AP=4,
此时,由勾股定理可知:BP=3,
由图象可以得到曲线部分是轴对称图形,∴PC=3,∴BC=6,
∴△ABC的面积为: QUOTE 12脳4脳6=12 12脳4脳6=12 ,
故答案为:12.
【分析】当P点在AB上时,AP长度逐渐增大,结合图象可得AB=5,当P点从B到C运动时,AP长度先逐渐减小,当AP⊥BC时,AP最短,而后AP逐渐增大,从图象可得当AP⊥BC时,此时AP=4,AC=5.则等腰△ABC面积可求.
16. ( 4分 ) 反比例函数y= QUOTE 1−3?? 1−3?? ,当x<0时,y随x的增大而增大.那么m的取值范围是________.
【答案】 m> QUOTE 13 13
【考点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解:∵反比例函数y= QUOTE 1−3?? 1−3?? ,当x<0时,y随x的增大而增大,
∴1﹣3m<0,
∴m> QUOTE 13 13 .
故答案为:m> QUOTE 13 13 .
【分析】由题意根据反比例函数y= QUOTE kx kx (k≠0)的性质可得到1﹣3m<0,然后解不等式即可.
17. ( 4分 ) 如图,△ABC是等边三角形,AB=4,AD平分∠BAC交BC于点D,E是AC的中点,则DE的长为________.
【答案】 2
【考点】等边三角形的性质,直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】∵△ABC是等边三角形,AD平分∠BAC,
∴AB=AC=4,BC⊥AD,
∵E为AC的中点,
∴DE= QUOTE 12 12 AC= QUOTE 12 12 ×4=2,
故答案是:2.
【分析】由等边三角形的性质证得BD=DC,根据直角三角形斜边上的中线的性质即可求得结论.
18. ( 4分 ) 如图,在菱形ABCD中,BD为对角线,点N为BC边上一点,连接AN,交BD于点L,点R为CD边上一点,连接AR、LR,若tan∠BLN=2,∠ARL=45°,AR=10 QUOTE 2 2 ,CR=10,则AL=________ 。
【答案】 QUOTE 5172 5172
【考点】菱形的性质,圆周角定理,解直角三角形
【解析】【解答】解:连接AC,CL,过点A作AG⊥RL于点G,连接CG,AG
∵∠ARG=45°,∠AGR=90°,
∴∠AGR=∠RAG=45°
∴AG=RG,
AG=ARsin∠ARG=ARsin45°= QUOTE 102脳22=10 102脳22=10
∴AG=RG=CR=10;
∵ABCD是菱形,
∴AC⊥BD,∠AOD=∠AGL=90°,AO=CO
∴A、O、G、L四点共圆,
∴∠AGO=∠ALE=∠BLN
取AR,AG的中点F和点K,连接KF,KO,OG,FO,延长FK,GO,交于点H,
∴KF是△ARG的中位线,
∴KF= QUOTE 12 12RG= QUOTE 12 12×10=5,FG= QUOTE 12 12AG=5,FK∥RG,
∵AG⊥RG,
∴∠HFG=90°
∵点O是AC的中点,点K时AR的中点,
∴KO是△ARC的中位线,
∴KO= QUOTE 12 12RC= QUOTE 12 12×10=5=KF,
在Rt△HFG中,tan∠FGH= QUOTE ????=??5=2 ????=??5=2
解之:FH=10,
∴KH=OK=KF
∴△HFO是直角三角形,∠HOF=90°,
∴∠FOG=90°
tan∠FGO= QUOTE ????=2 ????=2
在Rt△FOG中,设FO=2x,则OG=x,FG=5
∴4x2+x2=25
解之:OG=x= QUOTE 5 5 , 则FO=2x= QUOTE 25 25 ,
∵点F是AG的中点,点O是AC的中点,
∴OF是△ACL的中位线,
∴∴CG=2OF= QUOTE 45 45 , OF∥CL
在Rt△CGO中
CO2=GO2+CG2
∴ QUOTE ??=??=52+452=85 ??=??=52+452=85
在Rt△AOL中
tan∠ALD= QUOTE ????=85??=2 ????=85??=2 ,
解之:LO= QUOTE 852 852
∴ QUOTE ??=??2+??2=852+8522=5172 ??=??2+??2=852+8522=5172
故答案为: QUOTE 5172 5172.
【分析】连接AC,CL,过点A作AG⊥RL于点G,连接CG,AG,利用等腰直角三角形的性质及解直角三角形,可证得AG=RG=CR=10,利用菱形的性质,可得到AC⊥BD,∠AOD=∠AGL=90°,AO=CO,由此可证得A、O、G、L四点共圆,利用圆周角定理可证得∠AGO=∠ALE=∠BLN;取AR,AG的中点F和点K,连接KF,KO,OG,FO,延长FK,GO,交于点H,易证KF是△ARG的中位线,KO是△ARC的中位线,可证得FK∥RG,同时可以求出KF,FG,KO,KF的长,在Rt△HFG中,利用解直角三角形求出FH的长,再利用三角形一边上的中线等于这边的一半,则这个三角形是直角三角形,可证得△HFO是直角三角形,利用解直角三角形可得到FO与OG的比值,在Rt△FOG中,设FO=2x,则OG=x,FG=5 ,利用勾股定理求出OG,FO的长,再利用三角形中位线定理求出CG的长,在Rt△CGO中,利用解直角三角形求出LO的长,然后在Rt△ALO中,利用勾股定理求出AL的长。
三、解答题
19. ( 6分 ) 周末,小强在文化广场放风筝.如图,小强为了计算风筝离地面的高度,他测得风筝的仰角为58°,已知风筝线BC的长为10米,小强的身高AB为1.55米.请你帮小强画出测量示意图,并计算出风筝离地面的高度(结果精确到0.1米).(参考数据:sin58°=0.85,cs58°=0.53,tan58°=1.60)
]
【答案】 解:如图,过点C作地面的垂线CD,垂足为D,过点B作BE⊥CD于E.
在Rt△CEB中,∵sin∠CBE= QUOTE ???? ???? ,
∴CE=BC•sin58°=10×0.85≈8.5m,
∴CD=CE+ED=8.5+1.55=10.05≈10.1m,
【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】根据题意画出图形,根据sin58°= QUOTE ???? ???? 可求出CE的长,再根据CD=CE+ED即可得出
20. ( 6分 ) 2015年4月25日14时11分,尼泊尔发生8.1级地震,震源深度20千米.中国救援队火速赶往灾区救援,探测出某建筑物废墟下方点C处有生命迹象.在废墟一侧某面上选两探测点A、B,AB相距2米,探测线与该面的夹角分别是30°和45°(如图).试确定生命所在点C与探测面的距离.(参考数据 QUOTE 2 2 ≈1.41, QUOTE 3 3 ≈1.73)
【答案】 解:过C作CD⊥AB,
设CD=x米,
∵∠ABE=45°,
∴∠CBD=45°,
∴DB=CD=x米,
∵∠CAD=30°,
∴AD= QUOTE 3 3 CD= QUOTE 3 3 x米,
∵AB相距2米,
∴ QUOTE 3 3 x﹣x=2,
解得:x= .
答:命所在点C与探测面的距离是 米.
【考点】解直角三角形的应用
【解析】【分析】首先过C作CD⊥AB,设CD=x米,则DB=CD=x米,AD= QUOTE 3 3 CD= QUOTE 3 3 x米,再根据AB相距2米可得方程 QUOTE 3 3 x﹣x=2,再解即可.
21. ( 6分 ) 在一次“数学实践”活动中,小明沿一条南北公路向北行走,在A处,他测得左边建筑物C在北偏西30°方向,右边建筑物D在北偏东30°方向;从A处向北40米行至B处,他又测得左边建筑物C在北偏西60°方向,右边建筑物D在北偏东45°方向.请根据以上数据求两建筑物C、D到这条南北公路的距离.(参考数据: , .结果精确到0.1米)
【答案】 解:设C、D距公路的距离为a、b米.
由题意, , .
解得 , .
答:C、D距公路的距离为34.6米、54.6米.
【考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题
【解析】【分析】过点C作CE⊥AB于点E,过点D作DF⊥AB于点F,分别求出AE、AF的长度,继而根据AB=40米,可得出方程,解出即可.
22. ( 6分 ) 已知a,b互为相反数,c,d互为倒数,x的绝对值为1,求a+b+x2﹣cdx.
【答案】 解:∵a,b互为相反数,
∴a+b=0,
∵c,d互为倒数,
∴cd=1,
∵|x|=1,∴x=±1,
当x=1时,
a+b+x2﹣cdx=0+(±1)2﹣1×1=0;
当x=﹣1时,
a+b+x2+cdx=0+(±1)2﹣1×(﹣1)=2.
【考点】有理数的倒数
【解析】【分析】根据相反数,绝对值,倒数的概念和性质求得a与b,c与d及x的关系或值后,代入代数式求值.
23. ( 10分 ) 如图,在平面直角坐标系xOy中,点A、B坐标分别为(4,2)、(0,2),线段CD在于x轴上,CD= QUOTE 32 32 , 点C从原点出发沿x轴正方向以每秒1个单位长度向右平移,点D随着点C同时同速同方向运动,过点D作x轴的垂线交线段AB于点E、交OA于点G,连结CE交OA于点F.设运动时间为t,当E点到达A点时,停止所有运动.
(1)求线段CE的长;
(2)记S为RtΔCDE与ΔABO的重叠部分面积,试写出S关于t的函数关系式及t的取值范围;
(3)连结DF,
①当t取何值时,有DF=CD?
②直接写出ΔCDF的外接圆与OA相切时t的值.
【答案】 解:(1)∵在Rt△CDE中,CD= QUOTE 32 32 , DE=2,
∴CE= QUOTE ??2+??2 ??2+??2= QUOTE 52 52;
(2)如图1,作FH⊥CD于H.
∵AB∥OD,DE⊥OD,OB⊥OD,
∴四边形ODEB是矩形,
∴BE=OD,
∵OC=t,
∴BE=OD=OC+CD=t+ QUOTE 32 32 ,
∴AE=AB﹣BE=4﹣(t+ QUOTE 32 32)= QUOTE 52 52﹣t,
∵AB∥OD,
∴△OCF∽△AEF,△ODG∽△AEG,
∴ , ,
又∵CF+EF=5,DG+EG=4,
∴ QUOTE ??+????=52? ??+????=52? , ,
∴CF=t,EG= QUOTE 5−2?4 5−2?4 ,
∴EF=CE﹣CF=5﹣t,
∵FH∥ED,
∴ QUOTE ????=???? ????=???? , 即HD= QUOTE ???? ????•CD= QUOTE 35 35( QUOTE 52 52﹣t),
∴S= QUOTE 12 12EG•HD= QUOTE 12 12× QUOTE 5−2?4 5−2?4× QUOTE 35 35( QUOTE 52 52﹣t)= QUOTE 320 320( QUOTE 52 52﹣t)2 ,
t的取值范围为:0≤t≤ QUOTE 52 52;
(3)①由(2)知CF=t,
如图2,当DF=CD时,如图作DK⊥CF于K,
则CK= QUOTE 12 12CF= QUOTE 12 12t,
∵CK=CDcs∠DCE,
∴ QUOTE 12 12t=3× QUOTE 35 35 ,
解得:t= QUOTE 185 185;
∴当t= QUOTE 185 185时,DF=CD;
②∵点A,B坐标分别为(8,4),(0,4),
∴AB=8,OB=4,
∴OA= QUOTE ??2+??2=45 ??2+??2=45 ,
∵由(2)知HD= QUOTE 35 35(5﹣t),
∴OH=t+3﹣ QUOTE 35 35(5﹣t)= QUOTE 85? 85? ,
∵∠A+∠AOB=∠AOD+∠AOB=90°,
∴∠A=∠AOD,
∴Rt△AOB∽Rt△OFH,
∴ QUOTE ????=???? ????=???? ,
解得OF= QUOTE 455? 455? ,
∵当△CDF的外接圆与OA相切时,则OF为切线,OD为割线,
∴OF2=OC•OD,即( QUOTE 455? 455?)2=t(t+3),得t= QUOTE 1511 1511 .
【考点】勾股定理,矩形的判定与性质,直线与圆的位置关系,相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】
(1)直接根据勾股定理求出CE的长即可;
(2)作FH⊥CD于H.,由AB∥OD,DE⊥OD,OB⊥OD可知四边形ODEB是矩形,故可用t表示出AE及BE的长,由相似三角形的判定定理可得出△OCF∽△AEF,△ODG∽△AEG,由相似三角形的性质可用t表示出CF及EG的长,FH∥ED可求出HD的长,由三角形的面积公式可求出S与t的关系式;
(3)①由(2)知CF=t,当DF=CD时,作DK⊥CF于K,则CK= QUOTE 12 12CF= QUOTE 12 12t,CK=CDcs∠DCE,由此可得出t的值;
②先根据勾股定理求出OA的长,由(2)知HD= QUOTE 35 35(5﹣t),由相似三角形的判定定理得出Rt△AOB∽Rt△OFH,可用t表示出OF的长,因为当△CDF的外接圆与OA相切时,则OF为切线,OD为割线,由切割线定理可知OF2=OC•OD,故可得出结论.
四、综合题
24. ( 12分 ) 如图,⊙O的直径AB=10,弦AC=6,∠ACB的平分线交⊙O于D , 过点D作DE∥AB交CA的延长线于点E , 连接AD , BD .
(1)由AB , BD , 围成的曲边三角形的面积是________;
(2)求证:DE是⊙O的切线;
(3)求线段DE的长.
【答案】 (1) QUOTE 252+25蟺4 252+25蟺4
(2)证明:由(1)知∠AOD=90°,即OD⊥AB.
∵DE∥AB,∴OD⊥DE,
∴DE是⊙O的切线;
(3)解:∵AB=10、AC=6,∴BC= =8. 过点A作AF⊥DE于点F,
则四边形AODF是正方形,∴AF=OD=FD=5,∴∠EAF=90°﹣∠CAB=∠ABC,
∴tan∠EAF=tan∠CBA,
∴ QUOTE ????=???? ????=???? ,即 QUOTE ??5=68 ??5=68 , ∴EF= QUOTE 154 154 ,
∴DE=DF+EF= QUOTE 154 154 +5= QUOTE 354 354 .
【考点】勾股定理,切线的判定,锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解:(1)如图,连接OD .
∵AB是直径,且AB=10,
∴∠ACB=90°,AO=BO=DO=5.
∵CD平分∠ACB , ∴∠ABD=∠ACD= QUOTE 12 12 ∠ACB=45°,
∴∠AOD=90°,则曲边三角形的面积是
S扇形AOD+S△BOD= QUOTE 90蟺脳52360 90蟺脳52360 + QUOTE 12 12 ×5×5= QUOTE 252+25蟺4 252+25蟺4 .
故答案为 QUOTE 252+25蟺4 252+25蟺4 ;
【分析】(1)连接OD , 由AB是直径知∠ACB=90°,结合CD平分∠ACB知∠ABD=∠ACD=45°,从而知∠AOD=90°,根据曲边三角形的面积=S扇形AOD+S△BOD可得答案;
(2)由∠AOD=90°,即OD⊥AB , 根据DE∥AB可得OD⊥DE , 即可得证;
(3)勾股定理求得BC=8,作AF⊥DE知四边形AODF是正方形,即可得DF=5,由∠EAF=90°﹣∠CAB=∠ABC知tan∠EAF=tan∠CBA , 即 QUOTE ????=???? ????=???? ,求得EF的长即可得.
25. ( 12分 ) 如图,已知△ABC是边长为3cm的等边三角形,动点P、Q同时从A、B两点出发,分别沿AB、BC方向匀速移动,它们的速度都是1 cm/s,当点P到达点B时,P、Q两点停止运动,设点P的运动时间为t(s),
则:
(1)BP QUOTE = = ________cm,BQ QUOTE = = ________cm.(用含t的代数式表示)
(2)当t为何值时,△PBQ是直角三角形?
【答案】 (1)3-t;t
(2)解:①若点P为直角顶点,因为 ,所以
所以 QUOTE ??=2?? ??=2?? 即t=2(3-t), 解得t=2
②若点Q是直角顶点,∵ ,∴
∴ QUOTE ??=2?? ??=2?? 即3-t=2t, 解得t=1
答:当t=1s或t=2s时,△PBQ是直角三角形
【考点】等边三角形的性质,含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解:(1) cm, QUOTE ??=? ??=? cm
在 △PBQ中,
若△PBQ是直角三角形,则点P或点Q
为直角顶点
【分析】(1)根据路程=速度×时间填空即可。(2)由题意分两种情况:① 若点P为直角顶点,因为 ,所以 根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可得t=2(3-t), 解得t=2.②若点Q是直角顶点,由 ,可得 , 根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可得3-t=2t, 解得t=1.从而得出答案。
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