数学选择性必修 第一册4.1 直线与圆锥曲线的交点复习练习题

这是一份数学选择性必修 第一册4.1 直线与圆锥曲线的交点复习练习题，共6页。

1．若直线y＝kx＋2与椭圆eq \f(x2,3)＋eq \f(y2,2)＝1相切，则斜率k的值是( )
A.eq \f(\r(6),3) B．－eq \f(\r(6),3)
C．±eq \f(\r(6),3) D．±eq \f(\r(3),3)
2．若直线x＝t与双曲线eq \f(x2,4)－y2＝1有两个交点，则t的值可以是( )
A．4 B．2
C．1 D．－2
3．不论k为何值，直线y＝kx＋1与椭圆eq \f(x2,7)＋eq \f(y2,m)＝1有公共点，则实数m的取值范围是( )
A．(0,1) B．[1，＋∞)
C．[1,7)∪(7，＋∞) D．(0,7)
4．与直线4x－y＋3＝0平行的抛物线y＝2x2的切线方程是( )
A．4x－y＋1＝0 B．4x－y－1＝0
C．4x－y－2＝0 D．4x－y＋2＝0
5．已知以F1(－2,0)，F2(2,0)为焦点的椭圆与直线x＋eq \r(3)y＋4＝0有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为( )
A．3eq \r(2) B．2eq \r(6)
C．2eq \r(7) D．4eq \r(2)
6．[多选题]若P是双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的渐近线上任意一点，下列不正确的是( )
A．存在过点P的直线与该双曲线相切
B．不存在过点P的直线与该双曲线相切
C．至少存在一条过点P的直线与该双曲线没有交点
D．存在唯一过点P的直线与该双曲线没有交点
7．直线x－ty－3＝0(t∈R)与椭圆eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,6)＝1的交点个数为________．
8．若直线y＝kx－1与抛物线y2＝4x有且只有一个公共点，则k的值为________．
9．若直线y＝kx与双曲线eq \f(x2,9)－eq \f(y2,4)＝1相交，则k的取值范围是________．
10．已知抛物线C：y2＝2px(p>0)过点A(2，－4)．
(1)求抛物线C的方程，并求其准线方程；
(2)若点B(0,2)，求过点B且与抛物线C有且仅有一个公共点的直线l的方程．
[提能力]
11．[多选题]直线y＝mx＋1与双曲线x2－y2＝1有公共点，则m的取值不能为( )
A．－2 B．－1
C．1 D．2
12．若椭圆x2＋eq \f(y2,2)＝a2(a>0)和连结A(1,1)，B(2,3)两点的线段恒有公共点，则实数a的取值范围为( )
A.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(6),6)，＋∞)) B.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(6),2)，＋∞))
C.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(\r(6),2)，\f(\r(34),2))) D.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(\r(6),6)，\f(\r(34),2)))
13．已知双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦点为F(c,0)，直线y＝k(x－c)与双曲线的右支有两个交点，则( )
A．|k|>eq \f(b,a) B．|k|C．|k|>eq \f(c,a) D．|k|14．抛物线y2＝4x上的点到直线x－y＋4＝0的最小距离为________．
15．已知直线l：kx－y＋2－k＝0，双曲线C：x2－4y2＝4，当k为何值时，
(1)l与C无公共点；
(2)l与C有唯一公共点；
(3)l与C有两个不同的公共点．
[培优生]
16．已知椭圆eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,9)＝1，l1，l2是过点(0，m)，且相互垂直的两条直线，问实数m在什么范围时，直线l1，l2都与椭圆有公共点．
课时作业(十九)
1．解析：把y＝kx＋2代入eq \f(x2,3)＋eq \f(y2,2)＝1得，(3k2＋2)x2＋12kx＋6＝0，因为直线与椭圆相切，所以Δ＝(12k)2－4(3k2＋2)×6＝0，解得k＝±eq \f(\r(6),3).故选C.
答案：C
2．解析：在eq \f(x2,4)－y2＝1中，x∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)，
当t＝－2或t＝2时，均只有一个交点，
当t∈(－∞，－2)∪(2，＋∞)时，有两个交点，
当t∈(－2，2)时，无交点．
故选A.
答案：A
3．解析：方法一 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝kx＋1,mx2＋7y2＝7m))⇒mx2＋7(kx＋1)2＝7m，整理可得：(m＋7k2)x2＋14kx＋7－7m＝0
∴Δ＝(14k)2－4(m＋7k2)(7－7m)≥0即－1＋m＋7k2≥0⇒m≥－7k2＋1
∴m≥(－7k2＋1)max＝1
∵m≠7，∴m∈[1，7)∪(7，＋∞)，故选C.
方法二 从所给含参直线y＝kx＋1入手可知直线过定点(0，1)，所以若过定点的直线均与椭圆有公共点，则该点位于椭圆的内部或椭圆上，所以代入(0，1)后eq \f(x2,7)＋eq \f(y2,m)≤1，即eq \f(1,m)≤1⇒m≥1，因为是椭圆，所以m≠7，故m的取值范围是[1，7)∪(7，＋∞)，故选C.
答案：C
4．解析：设与直线4x－y＋3＝0平行的直线为4x－y＋m＝0.
由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(4x－y＋m＝0,y＝2x2))得：2x2－4x－m＝0
∴Δ＝(－4)2＋4×2×m＝0
解得：m＝－2
∴所求直线方程为4x－y－2＝0.故选C.
答案：C
5．解析：设椭圆方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0).
由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(b2x2＋a2y2－a2b2＝0，,x＋\r(3)y＋4＝0，))得(a2＋3b2)y2＋8eq \r(3)b2y＋16b2－a2b2＝0，
∵直线与椭圆有且仅有一个交点
∴Δ＝192b4－4(a2＋3b2)(16b2－a2b2)＝0
可得a2＝7，∴2a＝2eq \r(7).故选C.
答案：C
6．解析：若点P是双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的渐近线上任意一点，则当P在原点时，A不正确；
存在过点P的直线与双曲线相切，比如切点为顶点，B不正确；
至少存在一条过点P的直线与该双曲线没有交点，C正确；
过点P的直线与该双曲线没有交点的直线有无数条，D不正确，故选ABD.
答案：ABD
7．解析：方法一 联立直线与椭圆方程，消去变量y，得(6t2＋25)y2＋36ty－96＝0，Δ＝(36t)2＋4(6t2＋25)·96>0，可得直线与椭圆恒有两个交点．
方法二 直线x－ty－3＝0(t∈R)过定点P(3，0)，而点P(3，0)在椭圆内，因此直线x－ty－3＝0(t∈R)与椭圆的交点个数为2.
答案：2
8．解析：①当k＝0时，直线y＝－1与x轴平行，符合题意；
②当k≠0时，由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝kx－1,y2＝4x))得k2x2－(2k＋4)x＋1＝0
Δ＝(2k＋4)2－4k2＝0
解得k＝－1.
综上k＝0或－1.
答案：0或－1
9．解析：联立直线和双曲线的方程得4x2－9k2x2＝36，∴(4－9k2)x2＝36，
当4－9k2＝0时，k＝±eq \f(2,3)，直线和双曲线的渐近线重合，所以直线与双曲线没有公共点．
当4－9k2≠0时，k≠±eq \f(2,3)，x2＝eq \f(36,4－9k2)>0，解之得－eq \f(2,3)答案：(－eq \f(2,3)，eq \f(2,3))
10．解析：(1)由抛物线C：y2＝2px(p>0)过点A(2，－4)，
可得16＝4p，解得p＝4.
所以抛物线C的方程为y2＝8x，
其准线方程为x＝－2.
(2)①当直线l的斜率不存在时，x＝0符合题意．
②当直线l的斜率为0时，y＝2符合题意．
③当直线l的斜率存在且不为0时，
设直线l的方程为y＝kx＋2.
由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝kx＋2，,y2＝8x))得ky2－8y＋16＝0.
由Δ＝64－64k＝0，得k＝1，
故直线l的方程为y＝x＋2，即x－y＋2＝0.
综上直线l的方程为x＝0或y＝2或x－y＋2＝0.
11．解析：由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝mx＋1，,x2－y2＝1，))得(1－m2)x2－2mx－2＝0.
由题意知1－m2＝0，或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(1－m2≠0，,Δ＝4m2＋8（1－m2）≥0，))解得－eq \r(2)≤m≤eq \r(2).
故选AD.
答案：AD
12．解析：线段AB与椭圆有公共点，其等价条件是点A在椭圆内或边界上，点B在椭圆外或边界上，由此得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(12＋\f(12,2)≤a2，,22＋\f(32,2)≥a2.))解之得eq \f(\r(6),2)≤a≤eq \f(\r(34),2)，故选C.
答案：C
13．解析：双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±eq \f(b,a)x，
直线经过焦点y＝k(x－c)，F(c，0)，
当k>0时，可得k>eq \f(b,a)，
当k<0时，k<－eq \f(b,a)，
故|k|>eq \f(b,a)，故选A.
答案：A
14．解析：设与直线x－y＋4＝0平行且与抛物线y2＝4x相切的直线方程为x－y＋m＝0.
由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x－y＋m＝0，,y2＝4x))得x2＋(2m－4)x＋m2＝0，
则Δ＝(2m－4)2－4m2＝0，解得m＝1，
即直线方程为x－y＋1＝0，
直线x－y＋4＝0与直线x－y＋1＝0的距离为d＝eq \f(4－1,\r(12＋（－1）2))＝eq \f(3\r(2),2).
即抛物线y2＝4x上的点到直线x－y＋4＝0的最小距离为eq \f(3\r(2),2).
答案：eq \f(3\r(2),2)
15．解析：(1)将直线方程与双曲线方程联立，
削去y得(1－4k2)x2－8k(2－k)x－4(k2－4k＋5)＝0.①
要使l与C无公共点，即方程①无实数解，
则有1－4k2≠0，且Δ<0，即64k2(2－k)2＋16(1－4k2)(k2－4k＋5)<0.
解得k>eq \f(－2＋\r(19),3)或k故当k>eq \f(－2＋\r(19),3)或k(2)当1－4k2＝0，即k＝±eq \f(1,2)时，方程①只有一解；
当1－4k2≠0，且Δ＝0，即k＝eq \f(－2±\r(19),3)时，方程①只有一解，
故当k＝±eq \f(1,2)或k＝eq \f(－2±\r(19),3)时，l与C有唯一公共点．
(3)当1－4k2≠0时，且Δ>0时，方程①有两个不同的解，即l与C有两个不同的公共点，
于是可得，当eq \f(－2－\r(19),3)l与C有两个不同的公共点．
16．解析：设l1：y＝kx＋m，则l2：y＝－eq \f(1,k)x＋m，l1与椭圆有公共点⇔eq \f(x2,16)＋eq \f(（kx＋m）2,9)＝1有实根⇔(16km)2－(9＋16k2)(16m2－144)≥0，即k2≥eq \f(m2－9,16).同理l2与椭圆有公共点⇔eq \f(1,k2)≥eq \f(m2－9,16)，于是eq \f(m2－9,16)≤1，即|m|≤5.由于|m|>5时，eq \f(m2－9,16)>eq \f(25－9,16)＝1，而k2与eq \f(1,k2)必有一个不超过1，这时l1，l2不可能都与椭圆有公共点．综上所述，|m|≤5时，过点(0，m)存在两条相互垂直的直线l1，l2都与椭圆有公共点，又y＝x＋m与y＝－x＋m与椭圆都有公共点．
∴m∈[－5，5].