必修 第一册2.2 基本不等式精品课堂检测

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一、基本不等式的概念
1、两个不等式
重要不等式：,（当且仅当时取号）.
常见变形公式：、
基本不等式： ,（当且仅当时取到等号）.
常见变形公式： ；
【注意】（1）成立的条件是不同的：前者只要求都是实数，而后者要求都是正数；
（2）取等号“=” 的条件在形式上是相同的，都是“当且仅当时取等号”.
（3）我们称为的算术平均数，称为的几何平均数.
因此基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.
2、由公式和引申出的常用结论
①（同号）；
②（异号）；
③或
二、基本不等式的证明
1、法一：几何面积法
如图，在正方形中有四个全等的直角三角形.
设直角三角形的两条直角边长为、，那么正方形的边长为.
这样，4个直角三角形的面积的和是，正方形的面积为.
由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，所以：.
当直角三角形变为等腰直角三角形，即时，正方形缩为一个点，
这时有.
得到结论：如果，那么（当且仅当时取等号“=”）
特别的，如果，,我们用、分别代替、，可得：
如果，,则，（当且仅当时取等号“=”）.
通常我们把上式写作：如果，,，（当且仅当时取等号“=”）
2、法二：代数法
∵，
当时，；
当时，.
所以，（当且仅当时取等号“=”）.
三、基本不等式的几何意义
如图，是圆的直径，点是上的一点，,，
过点作交圆于点D，连接、.
易证，那么，即.
这个圆的半径为，它大于或等于，即，
其中当且仅当点与圆心重合，即时，等号成立.
四、利用基本不等式求最值
1、在用基本不等式求函数的最值时，要满足三个条件：一正二定三取等.
①一正：各项均为正数；
②二定：含变数的各项的和或积必须有一个为定值；
③三取等：含变数的各项均相等，取得最值.
2、积定和最小，和定积最大
（1）设x，y为正实数，若x＋y＝s(和s为定值)，则当x=y时，积xy有最大值，且这个值为eq \f(s2,4).
（2）设x，y为正实数，若xy＝p(积p为定值),则当x=y时，和x＋y有最小值,且这个值为2eq \r(p).
题型一 对基本不等式的理解
【例1】若，且，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【变式1-1】设，，下列不等式正确的是（ ）
A． B． C． D．
【变式1-2】若，有下面四个不等式：（1）；（2），（3），（4）.则不正确的不等式的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【变式1-3】已知且，下列各式中最大的是（ ）
A． B． C． D．
【变式1-4】（多选）设a＞0，b＞0，则（ ）
A． B． C． D．
题型二 利用基本不等式证明不等式
【例2】已知a，b，c是互不相等的正数，且a＋b＋c＝1，求证：>8.
【变式2-1】设，为正实数，求证：．
【变式2-2】设a，b为正数，且．证明：
（1）：
（2）．
【变式2-3】设a，b，c均为正数，且，证明：
（1）；
（2）．
题型三 利用基本不等式求最值
【例3】已知x，y∈R＋，且x＋4y＝1，则xy的最大值为________．
【变式3-1】（1）已知，则取得最大值时的值为________．
（2）已知，则的最大值为________．
【变式3-2】已知，，，求的最小值；
【变式3-3】已知正数a，b满足，求的最小值．
【变式3-4】设x，y是正实数，且x+y=1，则的最小值是________ ．
题型四 基本不等式的恒成立问题
【例4】当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式4-1】已知，，若不等式恒成立，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【变式4-2】若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式4-3】（多选）若，恒成立，则的取值可以是（ ）
A． B． C． D．
【变式4-4】若对任意实数，不等式恒成立，则实数a的最小值为（ ）
A． B． C． D．
题型五 利用基本不等式解应用题
【例5】如图，公园的管理员计划在一面墙的同侧，用彩带围成四个相同的长方形区域.若每个区域的面积为m，要使围成四个区域的彩带总长最小，则每个区域的长和宽分别是多少米？求彩带总长的最小值.
【变式5-1】为宣传2022年北京冬奥会，某公益广告公司拟在一张矩形海报纸（记为矩形，如图）上设计三个等高的宣传栏（栏面分别为一个等腰三角形和两个全等的直角梯形），宣传栏（图中阴影部分）的面积之和为.为了美观，要求海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为.设直角梯形的高为.
（1）当时，求海报纸的面积；
（2）为节约成本，应如何选择海报纸的尺寸，可使用纸量最少（即矩形的面积最小）？
【变式5-2】2020 年初至今，新冠肺炎疫情袭击全球，对人民生命安全和生产生活造成严重影响. 在党和政府强有力的抗疫领导下，我国控制住疫情后，一方面防止境外疫情输入，另一方面逐步复工复产，减轻经济下降对企业和民众带来的损失. 为降低疫情影响，某厂家拟在2022年举行某产品的促销活动，经调查测算，该产品的年销售量(即该厂的年产量) x万件与年促销费用m万元(m≥0)满足 x= 4−. 已知生产该产品的固定成本为 8万元，生产成本为16万元 / 万件，厂家将产品的销售价格定为万元 / 万件 (产品年平均成本)的1.5倍.
（1）将2022年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数；
（2）该厂家2022年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？
【变式5-3】第四届中国国际进口博览会于2021年11月5日至10日在上海举行．本届进博会共有58个国家和3个国际组织参加国家展（国家展今年首次线上举办），来自127个国家和地区的近3000家参展商亮相企业展．更多新产品、新技术、新服务“全球首发，中国首展”专（业）精（品）尖（端）特（色）产品精华荟萃，某跨国公司带来了高端空调模型参展，通过展会调研，中国甲企业计划在2022年与该跨国公司合资生产此款空调．生产此款空调预计全年需投入固定成本260万元，每生产x千台空调，需另投入资金R万元，且经测算，当生产10千台空调需另投入的资金R＝4000万元．现每台空调售价为0.9万元时，当年内生产的空调当年能全部销售完．
（1）求2022年企业年利润W（万元）关于年产量x（千台）的函数关系式；
（2）2022年产量为多少（千台）时，企业所获年利润最大？最大年利润多少？
（注：利润＝销售额－成本）