人教A版 (2019)必修 第一册2.2 基本不等式精品练习题

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一.重要不等式
对于任意实数a，b，有a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立.
二．基本不等式
1.定义：如果a>0，b>0，则eq \r(ab)≤eq \f(a＋b,2)，当且仅当a＝b时，等号成立，其中eq \f(a＋b,2)叫做正数a，b的算术平均数，eq \r(ab)叫做正数a，b的几何平均数．
2．常用变形
(1)ab≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2)))2，a，b∈R，当且仅当a＝b时，等号成立．
(2)a＋b≥2eq \r(ab)，a，b都是正数，当且仅当a＝b时，等号成立．
3.利用基本不等式求最值必须满足三个条件才可以进行，即“一正、二定、三相等”.
①一正：各项必须为正.
②二定：各项之和或各项之积为定值.
③三相等：必须验证取等号时条件是否具备.
三.利用基本不等式求最值
(1)已知x，y都是正数，如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2eq \r(P).
(2)已知x，y都是正数，如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值eq \f(1,4)S2.
利用基本不等式求条件最值的常用方法
1.配凑法求最值：主要是配凑成“和为常数”或“积为常数”的形式.
2.常数代换法：主要解决形如“已知x＋y＝t(t为常数)，求eq \f(a,x)＋eq \f(b,y)的最值”的问题，先将eq \f(a,x)＋eq \f(b,y)转化为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,x)＋\f(b,y)))·eq \f(x＋y,t)，再用基本不等式求最值.
3.当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”的形式，最后利用基本不等式求最值.
4.构建目标式的不等式求最值，在既含有和式又含有积式的等式中，对和式或积式利用基本不等式，构造目标式的不等式求解.
二．利用基本不等式比较实数大小
(1)利用基本不等式比较大小，常常要注意观察其形式(和与积).
(2)利用基本不等式时，一定要注意条件是否满足a>0，b>0.
三．利用基本不等式解决实际问题的步骤
1.先理解题意，设变量.设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数.
2.建立相应的函数关系式.把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题.
3.在定义域内，求出函数的最大值或最小值.
4.正确写出答案.
四．利用基本不等式证明不等式
1.无附加条件的不等式的证明，其解题思路是：观察要证不等式的结构特征，若不能直接使用基本不等式，则要结合左、右两边的结构特征，进行拆项、变形、配凑(加减项或乘除某个实系数)等，使之满足使用基本不等式的条件．
2.有附加条件的不等式的证明，其解题思路是：观察已知条件与要证不等式之间的关系，条件的巧妙代换是一种较为重要的变形．另外，解题过程中要时刻注意等号能否取到．
考点一 直接型
【例1-1】（2023春·陕西榆林）已知，则的最大值为（ ）
A．B．C．1D．2
【例1-2】（2023·陕西）已知，则当取最大值时，的值为（ ）
A．B．C．D．
【一隅三反】
1．（2023春·湖南邵阳）已知，，则的最大值为（ ）
A．6B．9C．12D．36
2．（2023·高一课时练习）已知，那么c的最大值为（ ）
A．1B．C．D．
3．（2023福建省）已知，则的最小值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
4．（2023安徽）已知，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
考点二 替换型
【例2-1】（2023·江西景德镇）已知x，，x＋2y＝1，则的最小值（ ）
A．8B．9C．10D．11
【例2-2】（2023春·浙江温州）已知正数a，b满足，则最小值为（ ）
A．25B．C．26D．19
【例2-3】（2023·浙江）已知正实数满足，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【例2-4】（2023春·河南周口·高一校联考期末）已知，，，则的最小值为（ ）
A．8B．16C．24D．32
【一隅三反】
1．（2023西藏）已知，，，则的最小值是（ ）
A．B．4C．D．5
2．（2023春·福建福州）若正数满足，则的最小值为（ ）
A．B．C．2D．
3．（2023春·江苏南京）已知非负数满足，则的最小值是___________.
4．（2023·重庆）已知正数，满足，则的最小值为__________.
考点三 配凑型
【例3-1】（2023·广西）函数 的最大值为________.
【例3-2】（2022·江苏·高一专题练习）当时，函数的最小值为（ ）
A．B．
C．D．4
【一隅三反】
1.（2023·全国·高一专题练习）函数的最小值为_________．
2．（2023·福建）已知，则函数的最小值是______．
3．（2022秋·上海浦东新·高一校考期中）函数的值域是__________．
考点四 消元型
【例4】（2023·全国·高一专题练习）已知，，且，则的最小值为（ ）．
A．4B．6C．8D．12
【一隅三反】
1．（2023·北京）设 ,则的最小值为（ ）
A．0B．1C．2D．4
2．（2023·重庆沙坪坝）已知，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·全国·高一专题练习）已知，，若，则的最小值为______.
考点五 基本不等式解决恒成立问题
【例5-1】（2023·江苏）若对，，有恒成立，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【例5-2】（2023浙江）若两个正实数满足，且不等式有解，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【一隅三反】
1．（2022秋·黑龙江哈尔滨）已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·重庆沙坪坝）已知正实数x，y满足，若恒成立，则实数t的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·北京）已知，，且，若不等式恒成立，则的最大值为______．
考点六 基本不等式的实际应用
【例6】（2023春·湖南）某社区计划在一块空地上种植花卉，已知这块空地是面积为1800平方米的矩形，为了方便居民观赏，在这块空地中间修了如图所示的三条宽度为2米的人行通道，则种植花卉区域的面积的最大值是（ ）
A．1208平方米B．1448平方米C．1568平方米D．1698平方米
【一隅三反】
1．（2023·湖南）近日，随着新冠肺炎疫情在多地零星散发，为最大程度减少人员流动，减少疫情发生的可能性，高邮政府积极制定政策，决定政企联动，鼓励企业在国庆期间留住员工在本市过节并加班追产，为此，高邮政府决定为波司登制衣有限公司在国庆期间加班追产提供（万元）的专项补贴．波司登制衣有限公司在收到高邮政府（万元）补贴后，产量将增加到（万件）．同时波司登制衣有限公司生产（万件）产品需要投入成本为（万元），并以每件元的价格将其生产的产品全部售出．注：收益=销售金额政府专项补贴成本．
(1)求波司登制衣有限公司国庆期间，加班追产所获收益（万元）关于政府补贴（万元）的表达式；
(2)高邮政府的专项补贴为多少万元时，波司登制衣有限公司国庆期间加班追产所获收益（万元）最大？
2（2023春·广西南宁·高一校联考开学考试）某游泳馆拟建一座占地面积为200平方米的矩形泳池，其平面图形如图所示，池深1米，四周的池壁造价为400元/米，泳池中间设置一条隔离墙，其造价为100元/米，泳池底面造价为60元/平方米（池壁厚忽略不计），设泳池的长为x米，写出泳池的总造价，问泳池的长为多少米时，可使总造价最低，并求出泳池的最低造价．
考点七 利用基本不等式比较大小
【例7-1】（2023·甘肃）已知a、b为正实数，，则（ ）
A．B．
C．D．
【例7-2】（2022秋·湖南张家界·高一张家界市民族中学校考阶段练习）设，则下列不等式成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【一隅三反】
1．（2023·云南）若，，，则，，2ab，中最大的一个是______．
2．（2023·河北邯郸·高一校考期末）（多选）若，且，则（ ）
A．B．
C．D．
3．（2023·河北唐山·）（多选）已知，则下列不等式正确的是（ ）
A．B．
C．D．
考点八 基本不等式证明不等式
【例8-1】（2023·河南郑州·高一校考阶段练习）若，则下列不等式成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【例8-2】（2023·江苏）已知，，，且．求证：．
【例8-3】（2023·全国·高一假期作业）已知，，，求证：.
【一隅三反】
1．（2023·吉林长春）下列不等式恒成立的是（ ）
A．；B．；
C．；D．．
2．（2023·全国·高一假期作业）已知，，且，求证：.
3．（2023·贵州黔南）设，，均为正数，且，证明：
(1)；
(2).