高中数学第三章 圆锥曲线的方程3.3 抛物线课时作业

这是一份高中数学第三章 圆锥曲线的方程3.3 抛物线课时作业，共5页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．已知抛物线x2＝ eq \f(1,8)y，则它的准线方程为( )
A．x＝－2 B．x＝2
C．y＝－ eq \f(1,32)D．y＝ eq \f(1,32)
【答案】C 【解析】因为抛物线x2＝ eq \f(1,8)y，所以2p＝ eq \f(1,8)， eq \f(p,2)＝ eq \f(1,32)，它的准线方程为y＝－ eq \f(1,32).
2．已知点M是抛物线C：y2＝2px(p＞0)上一点，F为C的焦点，MF的中点坐标是(2，2)，则p的值为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D 【解析】由题意知F eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0))，那么点M eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4－\f(p,2)，4))在抛物线上，即16＝2p eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4－\f(p,2)))，即p2－8p＋16＝0，解得p＝4.
3．抛物线x2＝ eq \f(1,4)y上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是( )
A． eq \f(17,16)B． eq \f(15,16)C．0 D． eq \f(7,8)
【答案】B 【解析】抛物线x2＝ eq \f(1,4)y的准线方程为y＝－ eq \f(1,16)，设点M的纵坐标是y，∵抛物线上一点M到焦点的距离为1，∴根据抛物线的定义可知，点M到准线的距离为1，∴y＋ eq \f(1,16)＝1，∴y＝ eq \f(15,16)，∴点M的纵坐标是 eq \f(15,16).故选B.
4．设斜率为2的直线l过抛物线y2＝ax(a≠0)的焦点F，且和y轴交于点A.若△OAF(O为坐标原点)的面积为4，则抛物线的方程为( )
A．y2＝4xB．y2＝8x
C．y2＝±4xD．y2＝±8x
【答案】D 【解析】y2＝ax的焦点是F eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,4)，0))，直线l的方程为y＝2 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(a,4)))，令x＝0得y＝－ eq \f(a,2)，A eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，－\f(a,2)))，所以由△OAF的面积为4，得 eq \f(1,2)· eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(a,2)))· eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(a,4)))＝4，a2＝64，a＝±8.故选D.
5．已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的交点，若 eq \(FP,\s\up6(→))＝4 eq \(FQ,\s\up6(→))，则|QF|＝( )
A． eq \f(7,2)B． eq \f(5,2)C．3 D．2
【答案】C 【解析】如图所示，过点Q作QQ′⊥l交l于点Q′，因为 eq \(FP,\s\up6(→))＝4 eq \(FQ,\s\up6(→))，所以|PQ|∶|PF|＝3∶4，又因为焦点F到准线l的距离为4，所以|QQ′|∶4＝3∶4，所以|QF|＝|QQ′|＝3.故选C.
6．如图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线l交抛物线于点A，B，交其准线于点C，准线与x轴交于点M，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则此抛物线的方程为( )
A．y2＝ eq \f(3,2)xB．y2＝3x
C．y2＝ eq \f(9,2)xD．y2＝9x
【答案】B 【解析】由抛物线定义，|BF|等于点B到准线的距离，因为|BC|＝2|BF|，所以∠BCM＝30°，又因为|AF|＝3，从而A eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)＋\f(3,2)，\f(3\r(3),2)))，又因为点A在抛物线上，代入抛物线方程y2＝2px，解得p＝ eq \f(3,2)，故抛物线方程为y2＝3x.故选B.
7．以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A，B两点，交C的准线于D，E两点，已知AB＝4 eq \r(2)，DE＝2 eq \r(5)，则抛物线C的焦点到准线的距离为( )
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】B 【解析】不妨设抛物线C的方程为y2＝2px(p>0)，令点A在第一象限，点D在第二象限．根据抛物线的对称性，得点A的纵坐标为2 eq \r(2)，代入抛物线C的方程得x＝ eq \f(4,p)，即点A eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,p)，2\r(2))).易知点D eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(p,2)，\r(5)))，因为点A，D都在以坐标原点为圆心的圆上，所以 eq \f(16,p2)＋8＝ eq \f(p2,4)＋5，解得p＝4或p＝－4(舍去)，则抛物线C的焦点到准线的距离为4.故选B.
8．已知点P是抛物线y2＝4x上的一个动点，则点P到点 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\r(3)))的距离与点P到y轴的距离之和的最小值为( )
A．1 B． eq \r(3)C．2 D．1＋ eq \r(3)
【答案】A 【解析】如图所示，设此抛物线的焦点为F(1，0)，准线l：x＝－1.过点P作PM⊥l，垂足为M，则|PM|＝|PF|，P到y轴的距离|PM|－1＝|PF|－1，设Q(0， eq \r(3))，则点P到点 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\r(3)))的距离与点P到y轴的距离之和为|PQ|＋|PF|－1，因此当F，P，Q三点共线时，|PF|＋|PQ|取得最小值．∴(|PF|＋|PQ|)min＝|QF|＝ eq \r((\r(3))2＋12)＝2，即|PM|＋|PQ|的最小值为2，所以点P到点 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\r(3)))的距离与点P到y轴的距离之和的最小值为|QF|－1＝1.故选A.
二、多选题(共2小题)
9．已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，斜率为 eq \r(3)且经过点F的直线l与抛物线C交于A，B两点(点A在第一象限)，与抛物线的准线交于点D，若AF＝4，则以下结论正确的是( )
A．p＝2 B．F为AD中点
C．BD＝2BFD．BF＝2
【答案】ABC 【解析】因为直线l的斜率为 eq \r(3)，且AF＝4，所以点A的纵坐标为2 eq \r(3)，横坐标为2＋ eq \f(p,2)，所以 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2\r(3))) eq \s\up12(2)＝2p eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2＋\f(p,2)))，因为p>0，解得p＝2，故A正确；因为F(1，0)，所以直线l：y＝ eq \r(3)x－ eq \r(3)，令x＝－1，所以y＝－2 eq \r(3)，则D eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，－2\r(3)))，又因为A eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3，2\r(3)))，则AD的中点为(1，0)，即为F(1，0)，故B正确； eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y2＝4x，,y＝\r(3)x－\r(3)，))解得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝3，,y＝2\r(3)))或 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(1,3)，,y＝－\f(2\r(3),3)，))即A eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3，2\r(3)))，B eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，－\f(2\r(3),3)))，则BD＝ eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1－\f(1,3)))\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2\r(3)＋\f(2\r(3),3)))\s\up12(2))＝ eq \f(8,3)，BF＝ eq \f(1,3)＋1＝ eq \f(4,3)，因此BD＝2BF，故C正确，D错误．故选ABC.
10．如图，在平面直角坐标系Oxy中，抛物线y2＝6x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足．若直线AF的斜率k＝－ eq \r(3)，则下列结论正确的是( )
A.准线方程为x＝－3B．焦点F的坐标为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，0))
C．点P的坐标为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(9,2)，3\r(3)))D．PF的长为3
【答案】BC 【解析】∵抛物线方程为y2＝6x，∴焦点坐标F eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，0))，准线方程为x＝－ eq \f(3,2)，A错误，B正确；∵直线AF的斜率为－ eq \r(3)，∴直线AF的方程为y＝－ eq \r(3) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(3,2)))，当x＝－ eq \f(3,2)时，y＝3 eq \r(3)，∴A(－ eq \f(3,2)，3 eq \r(3))，∵PA⊥l，A为垂足，∴点P的纵坐标为3 eq \r(3)，可得点P的坐标为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(9,2)，3\r(3)))，C正确；根据抛物线的定义可知|PF|＝|PA|＝ eq \f(9,2)－ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)))＝6，D错误．故选BC.
三、填空题(共4小题)
11．已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上的点P(m，－2)到焦点的距离为4，则实数m的值为________．
【答案】±4 【解析】由题可设抛物线的标准方程为x2＝－2py(p>0)，由点P到焦点的距离为4，得 eq \f(p,2)＋2＝4，∴p＝4，∴x2＝－8y.将点P(m，－2)代入x2＝－8y，得m＝±4.
12．若P(4，1)为抛物线C：x2＝2py(p>0)上一点，抛物线C的焦点为F，则|PF|＝________．
【答案】5 【解析】由P(4，1)为抛物线C：x2＝2py(p>0)上一点，得42＝2p×1，可得p＝8，则|PF|＝1＋ eq \f(8,2)＝5.
13．已知点M是抛物线C：y2＝2px(p>0)上一点，F为C的焦点，MF的中点坐标是(2，2)，则P的值为________．
【答案】4 【解析】依题意，有F eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0))，设M eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(y02,2p)，y0))，则有 eq \f(p,2)＋ eq \f(y02,2p)＝2×2，0＋y0＝2×2，所以p＝4.
14．已知圆C1：x2＋(y－2)2＝4，抛物线C2：y2＝2px(p>0)，C1与C2相交于A，B两点，且|AB|＝ eq \f(8\r(5),5)，则抛物线C2的方程为______________.
【答案】y2＝ eq \f(32,5)x 【解析】由题意知直线AB必过原点，则设AB的方程为y＝kx(k>0)，圆心C1(0，2)到直线AB的距离d＝ eq \f(2,\r(k2＋1))＝ eq \r(22－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4\r(5),5)))\s\up12(2))＝ eq \f(2\r(5),5)，解得k＝2(k＝－2舍去).由 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝2x，,x2＋(y－2)2＝4，))可取A(0，0)，B eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(8,5)，\f(16,5)))，把 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(8,5)，\f(16,5)))代入抛物线方程，得 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(16,5))) eq \s\up12(2)＝2p· eq \f(8,5)，解得p＝ eq \f(16,5)，所以抛物线C2的方程为y2＝ eq \f(32,5)x.
四、解答题(共2小题)
15．已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，点A(4，m)在抛物线C上，且△OAF的面积为 eq \f(1,2)p2(O为坐标原点).
(1)求抛物线C的方程；
(2)直线l：y＝kx＋1与抛物线C交于M，N两点，若以MN为直径的圆经过O点，求直线l的方程．
解：(1)由题意可得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m2＝8p，,\f(1,2)×\f(p,2)·|m|＝\f(1,2)p2，))解得p＝2.
故抛物线C的方程为y2＝4x.
(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2).联立 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝kx＋1，,y2＝4x，))
整理得k2x2＋(2k－4)x＋1＝0(*).
由直线l和抛物线交于M，N两点可知k≠0，且x1＋x2＝－ eq \f(2k－4,k2)，x1x2＝ eq \f(1,k2).
依题意OM⊥ON，所以 eq \(OM,\s\up6(→))· eq \(ON,\s\up6(→))＝x1x2＋y1y2＝0，
则x1x2＋(kx1＋1)(kx2＋1)＝(k2＋1)x1x2＋k(x1＋x2)＋1＝0，
即(k2＋1)· eq \f(1,k2)＋k· eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2k－4,k2)))＋1＝0，
整理得 eq \f(1,k2)＋ eq \f(4,k)＝0，解得k＝－ eq \f(1,4).
此时(*)式为 eq \f(1,16)x2－ eq \f(9,2)x＋1＝0，Δ＝ eq \f(81,4)－ eq \f(1,4)>0，符合题意．
故直线l的方程为y＝－ eq \f(1,4)x＋1.
16．已知抛物线y2＝2px(p>0)经过点P(4，4)，其焦点为F，过焦点F的直线l与抛物线C交于A，B两点，定点M(5，0).
(1)求抛物线C的方程．
(2)若直线l的斜率为1，求△ABM的面积．
(3)设点Q在抛物线C上，直线2x－y＋6＝0上是否存在点N，使得四边形PQFN是平行四边形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由．
解：(1)因为抛物线y2＝2px(p>0)经过点P(4，4)，
所以16＝8p，即p＝2.所以抛物线C的方程为y2＝4x.
(2)由(1)可知，F(1，0)，所以直线l的方程为y＝x－1，
联立方程组 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝x－1，,y2＝4x，))可得x2－6x＋1＝0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
所以x1＋x2＝6，所以AB＝x1＋x2＋p＝8，
点M(5，0)到直线y＝x－1的距离为 eq \f(|5－1－0|,\r(2))＝2 eq \r(2)，
所以△ABM的面积为 eq \f(1,2)×8×2 eq \r(2)＝8 eq \r(2).
(3)由题意可设N(t，2t＋6)，Q(x0，y0)，
又因为四边形PQFN是平行四边形，则 eq \(NP,\s\up6(→))＝ eq \(FQ,\s\up6(→))，
所以(4－t，－2t－2)＝(x0－1，y0)，
所以 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x0＝5－t，,y0＝－2t－2，))
即Q(5－t，－2t－2)，
将点Q(5－t，－2t－2)代入抛物线方程，可得(－2t－2)2＝4(5－t)，即t2＋3t－4＝0，
解得t＝－4或1，所以Q(9，6)或(4，－4)，
经检验，符合四边形PQFN是平行四边形．
所以直线2x－y＋6＝0上存在点N，使得四边形PQFN是平行四边形，此时点Q的坐标为(9，6)或(4，－4).