新教材2024版高中数学第五章三角函数5.1任意角和蝗制5.1.2蝗制课后提能训练新人教A版必修第一册

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第五章　5.1　5.1.2A级——基础过关练1．eq \f(3π,4)对应的角度为(　　)A．75° B．125°C．135° D．155°【答案】C【解析】eq \f(3π,4)＝eq \f(3,4)π×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°＝135°．故选C．2．2 100°化成弧度是(　　)A．eq \f(35,3)π B．10πC．eq \f(28,3)π D．eq \f(25,3)π【答案】A【解析】2 100°＝2 100×eq \f(π,180)＝eq \f(35π,3)．故选A．3．集合eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\co1(kπ＋\f(π,4)))≤α≤kπ＋\f(π,2)，k∈Z))中角所表示的范围(阴影部分)是(　　)　　　　　　　　　　A　　　　　　　　B　　　　　　　　C　　　　　　　　D【答案】C【解析】当k为偶数时，集合对应的区域为第一象限内直线y＝x左上部分(包含边界)；当k为奇数时，集合对应的区域为第三象限内直线y＝x的右下部分(包含边界)．4．(多选)下列转化结果正确的是(　　)A．67°30′化成弧度是eq \f(3π,8) B．－eq \f(10π,3)化成角度是－600°C．－150°化成弧度是－eq \f(7π,6) D．eq \f(π,12)化成角度是15°【答案】ABD【解析】对于A,67°30′＝67．5×eq \f(π,180)＝eq \f(3π,8)，正确；对于B，－eq \f(10π,3)＝－eq \f(10π,3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°＝－600°，正确；对于C，－150°＝－150×eq \f(π,180)＝－eq \f(5π,6)，错误；对于D，eq \f(π,12)＝eq \f(π,12)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°＝15°，正确．5．(多选)(2023年重庆期末)下列给出的各角中，与－eq \f(2π,3)终边相同的角有(　　)A．eq \f(4π,3) B．－eq \f(8π,3)C．eq \f(7π,3) D．eq \f(16π,3)【答案】ABD【解析】与－eq \f(2π,3)终边相同的角为α＝－eq \f(2π,3)＋2kπ，k∈Z，当k＝1时，α＝eq \f(4π,3)，故A正确；当k＝－1时，α＝－eq \f(8π,3)，故B正确；令－eq \f(2π,3)＋2kπ＝eq \f(7π,3)，解得k＝eq \f(3,2)∉Z，故C错误；当k＝3时，α＝eq \f(16π,3)，故D正确．故选ABD．6．(2023年大通期末)已知扇形的圆心角为eq \f(1,5) rad，半径为5，则扇形的弧长为(　　)A．eq \f(1,2) B．1C．2 D．4【答案】B【解析】扇形的圆心角为eq \f(1,5) rad，半径为5，则扇形的弧长为eq \f(1,5)×5＝1．故选B．7．(2023年巴彦淖尔期末)下列说法正确的是(　　)A．终边在y轴上的角的集合为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\co1(\o(\s\up7(),\s\do5())))α＝2kπ＋\f(π,2)，k∈Z))B．第三象限角的集合为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\co1(π＋2kπ≤α≤\f(3π,2)))＋2kπ，k∈Z))C．第二象限角大于第一象限角D．60°角与600°角是终边相同角【答案】A　【解析】对于A，终边在y轴上的角的集合为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\co1(\o(\s\up7(),\s\do5())))α＝2kπ＋\f(π,2)，k∈Z))∪eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\co1(α＝2kπ＋\f(3π,2)))，k∈Z))，即eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\co1(\o(\s\up7(),\s\do5())))α＝2kπ＋\f(π,2)，k∈Z))∪eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\co1(α＝2k＋1π＋\f(π,2)))，k∈Z))，即eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\co1(\o(\s\up7(),\s\do5())))α＝kπ＋\f(π,2)，k∈Z))，故A正确；对于B，第三象限角的集合为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\co1(\o(\s\up7(),\s\do5())))π＋2kπ＜α＜\f(3π,2)＋2kπ，k∈Z))不能取等号，取等号时表示轴线角，故B错误；对于C,120°是第二象限角，420°是第一象限角，120°＜420°，故C错误；对于D,600°＝360°＋240°，与60°终边不同，故D错误．故选A.8．若α为三角形的一个内角，且α与－eq \f(27π,8)的终边相同，则α＝________.【答案】eq \f(5π,8)　【解析】－eq \f(27π,8)＝－4π＋eq \f(5π,8)，所以与－eq \f(27π,8)终边相同的角为eq \f(5π,8)＋2kπ，k∈Z.又α∈(0，π)，故α＝eq \f(5π,8).9．圆弧的半径变为原来的3倍，而所对弧长不变，则该弧所对圆心角是原来圆弧所对圆心角的________．【答案】eq \f(1,3)　【解析】设原来圆弧的半径为r，弧长为l，弧所对的圆心角为α(0＜α＜2π)，则现在的圆弧的半径为3r，弧长为l，设弧所对的圆心角为β(0＜β＜2π)，于是l＝αr＝β·3r，所以β＝eq \f(1,3)α.10．把下列各角化成2kπ＋α(0≤α＜2π，k∈Z)的形式，并指出是第几象限角．(1)－1 500°；(2)eq \f(23,6)π.解：(1)因为－1 500°＝－1 800°＋300°＝－5×360°＋300°，所以－1 500°与300°终边相同，是第四象限角．(2)因为eq \f(23,6)π＝2π＋eq \f(11,6)π，所以eq \f(23,6)π与eq \f(11,6)π终边相同，是第四象限角．B级——能力提升练11．(多选)在平面直角坐标系中，α＝－eq \f(2π,3)，则(　　)A．与α的终边关于x轴对称的角的集合为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(β | β＝\f(2π,3)＋2kπ，k∈Z))B．与α的终边关于y轴对称的角的集合为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(β | β＝\f(π,3)＋2kπ，k∈Z))C．与α的终边关于原点对称的角的集合为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(β | β＝－\f(π,3)＋2kπ，k∈Z))D．与α的终边关于直线x＋y＝0对称的角的集合为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(β | β＝\f(π,6)＋2kπ，k∈Z))【答案】AD　【解析】与α的终边关于y轴对称的角的集合为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(β | β＝－\f(π,3)＋2kπ，k∈Z))，B错误；与α的终边关于原点对称的角的集合为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(β | β＝\f(π,3)＋2kπ，k∈Z))，C错误；A，D正确．故选AD.12．若eq \f(α,3)＝2kπ＋eq \f(π,3)(k∈Z)，则eq \f(α,2)的终边在(　　)A．第一象限 B．第四象限C．x轴上 D．y轴上【答案】D　【解析】因为eq \f(α,3)＝2kπ＋eq \f(π,3)(k∈Z)，所以α＝6kπ＋π(k∈Z)，所以eq \f(α,2)＝3kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)．当k为奇数时，eq \f(α,2)的终边在y轴的非正半轴上；当k为偶数时，eq \f(α,2)的终边在y轴的非负半轴上．综上所述，eq \f(α,2)的终边在y轴上．故选D.13．一段圆弧的长度等于其所在圆的圆内接正方形的边长，则这段圆弧所对的圆心角为________．【答案】eq \r(2)　【解析】如图，设圆的半径为R，则圆内接正方形边长为eq \r(2)R，∴弧长l＝eq \r(2)R，∴α＝eq \f(l,R)＝eq \f(\r(2)R,R)＝eq \r(2).14．(2023年淮安期末)如图，正六边形ABCDEF 的边长为2，分别以点A，B为圆心，AF长为半径画弧，两弧交于点G，则 eq \o\ac(AG,\s\up8(︵)) ， eq \o\ac(BG,\s\up8(︵)) 与边AB围成的阴影部分的面积为________．【答案】eq \f(4π,3)－eq \r(3)　【解析】如图，连接AG，FG，则△AFG是边长为2的等边三角形，所以△AFG的面积S1＝eq \f(1,2)×2×eq \r(3)＝eq \r(3).因为正六边形ABCDEF，所以∠FAB＝eq \f(2π,3)，所以扇形FAB的面积S2＝eq \f(1,2)×eq \f(2π,3)×22＝eq \f(4π,3).由割补法可知，阴影部分的面积S＝S2－S1＝eq \f(4π,3)－eq \r(3).15．(2023年新疆期末)已知α＝eq \f(π,3).(1)写出与角α终边相同的角的集合；(2)写出在(－4π，2π)内与角α终边相同的角；(3)若角β与角α终边相同，则角eq \f(β,2)是第几象限角？解：(1)与角α终边相同的角的集合为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(θ\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\co1(θ＝2kπ＋\f(π,3)))，k∈Z)).(2)令－4π＜2kπ＋eq \f(π,3)＜2π，解得－eq \f(13,6)＜k＜eq \f(5,6)，∵k∈Z，∴k＝－2，－1,0.∴在(－4π，2π)内与角α终边相同的角为－eq \f(11π,3)，－eq \f(5π,3)，eq \f(π,3).(3)由(1)可知β＝2kπ＋eq \f(π,3)(k∈Z)，则eq \f(β,2)＝kπ＋eq \f(π,6)(k∈Z)，当k为偶数时，角eq \f(β,2)为第一象限角，当k为奇数时，角eq \f(β,2)为第三象限角，故角eq \f(β,2)是第一或第三象限角．