人教A版 (2019)选择性必修 第二册5.2 导数的运算精品课时作业

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知识点1 基本初等函数的导数公式
注：①对于根式f(x)＝eq \r(n,xm)，要先转化为f(x)＝，所以f′(x)＝.
②区分公式的结构特征，既要从纵的方面(lnx)′与(lgax)′和(ex)′与(ax)′区分，又要从横的方面(lgax)′与(ax)′区分及(ax)′与(xα)′区分，找出差异记忆公式．
③公式(lgax)′记不准时，可以直接用(lnx)′推导：(lgax)′＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(lnx,lna)))′＝eq \f(1,lna)(lnx)′＝eq \f(1,lna·x).
【即学即练1】【多选】下列选项正确的是( )
A．y＝ln 2，则y′＝eq \f(1,2)
B．y＝eq \f(1,x2)，则y′|x＝3＝－eq \f(2,27)
C．y＝2x，则y′＝2xln 2
D．y＝lg2x，则y′＝eq \f(1,xln 2)
【即学即练2】求下列函数的导数：
(1)y＝x0(x≠0)；
(2)y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))x；
(3)y＝lg x；
(4)y＝eq \f(x2,\r(x))；
(5)y＝2cs2eq \f(x,2)－1.
【即学即练3】求下列函数的导数：
(1)y＝2 021；
(2)y＝eq \f(1,\r(3,x2))；
(3)y＝4x；
(4)y＝lg3x.
【即学即练4】已知函数的导数为，则等于（ ）
A．0B．1
C．2D．4
【即学即练5】已知f(x)＝xa，若f′(－1)＝－4，则a的值等于（ ）
A．4B．－4C．5D．－5
【即学即练6】与直线2x－y－4＝0平行且与曲线y＝ln x相切的直线方程是________．
【即学即练7】已知直线与曲线相切，则的最大值为___________.
知识点2 导数的运算法则
(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；
证明：设f(x)、g(x)都是可导函数，
F(x)＝f(x)＋g(x)
则eq \f(Fx＋Δx－Fx,Δx)＝eq \f(fx＋Δx＋gx＋Δx－fx－gx,Δx)
＝eq \f(fx＋Δx－fx,Δx)＋eq \f(gx＋Δx－gx,Δx)，
∴eq \(lim,\s\d15(Δx→0)) eq \f(Fx＋Δx－Fx,Δx)＝eq \(lim,\s\d15(Δx→0)) eq \f(fx＋Δx－fx,Δx)＋eq \(lim,\s\d15(Δx→0)) eq \f(gx＋Δx－gx,Δx)＝f ′(x)＋g′(x)，
注：
函数和与差的导数运算法则可推广到任意有限个可导函数的和(或差)．
即：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(f1x±f2x±f3x±…±fnx))′＝f ′1(x)±f ′2(x)±…±f ′n(x)．
(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；（前导后不导+前不导后导）
证明：设f(x)、g(x)都是可导函数，G(x)＝f(x)·g(x)，
eq \f(Gx＋Δx－Gx,Δx)＝eq \f(fx＋Δxgx＋Δx－fxgx,Δx)
＝eq \f(fx＋Δxgx＋Δx－fxgx＋Δx＋fxgx＋Δx－fxgx,Δx)
＝eq \f(gx＋Δx[fx＋Δx－fx],Δx)＋eq \f(fx[gx＋Δx－gx],Δx)，
∴eq \(lim,\s\d15(Δx→0)) eq \f(Gx＋Δx－Gx,Δx)＝g(x)·f ′(x)＋f(x)·g′(x)．
注：
(3)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(fx,gx)))eq \a\vs4\al(′,)＝eq \f(f′xgx－fxg′x,[gx]2)(g(x)≠0)．
（分子：上导下不导-上不导下导，分母变平方）
注：
【即学即练8】求下列函数的导数：
(1)y＝x5－x3＋cs x；
(2)y＝lg x－ex.
(3)f(x)＝x2＋sin x；
(4)g(x)＝x3－eq \f(3,2)x2－6x＋2.
(5)y＝x2＋xln x；
(6)y＝eq \f(ln x,x2)；
(7)y＝eq \f(ex,x)；
(8)y＝(2x2－1)(3x＋1)．
【即学即练9】求下列函数的导数：
(1)y＝(x2＋1)(x－1)；
(2)y＝x2＋tan x；
(3)y＝eq \f(ex,x＋1).
【即学即练10】求下列函数的导数：
(1)y＝ln x＋eq \f(1,x)；
(2)y＝eq \f(cs x,ex)；
(3)f(x)＝(x2＋9)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(3,x)))；
(4)f(x)＝eq \f(sin x,xn).
【即学即练11】已知函数，则等于（ ）
A．B．C．D．
知识点3 复合函数的导数
（1）复合函数的概念
一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作．
注：若f(x)与g(x)均为基本初等函数，则函数y＝f(g(x))或函数y＝g(f(x))均为复合函数．
（2）复合函数的求导法则
复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝yu′·ux′，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．
注：（1）要分清楚每一步的求导是哪个变量对哪个变量的求导，不能混淆，常出现如下错误：，实际上应是
（2）对于含有参数的函数，要分清楚哪个字母是变量，哪个字母是参数，参数是常量，其导数为零。
【即学即练12】【多选】下列哪些函数是复合函数( )
A．y＝xln x B．y＝(3x＋6)2
C．y＝esin x D．y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x＋\f(π,3)))
【即学即练13】下列关于函数的复合过程与导数运算正确的是（ ）
A．，，B．，，
C．，，D．，，
【即学即练14】求下列函数的导数：
(1)y＝eq \f(1,1－3x4)；
(2)y＝cs(x2)；
(3)y＝lg2(2x＋1)；
(4)y＝e3x＋2.
【即学即练15】求下列函数的导数：
(1)y＝eq \f(1,\r(1－2x))；
(2)y＝5lg2(1－x)；
(3)y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3))).
知识点4 导数计算的原则和方法
（1）导数计算的原则：
先化简解析式，再求导．
（2）导数计算的方法：
①连乘积形式：多项式的积的导数，通常先展开再求导更简便．
②分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导；
③对数形式：先化为和、差的形式，再求导；
④根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导；
⑤三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导.
⑥绝对值形式：先化为分段函数，再求导
⑦复合函数求导:先确定复合关系，由外向内逐层求导，必要时可换元．
考点一 利用导数公式求函数的导数
解题方略：
(1)若所求函数符合导数公式，则直接利用公式求导．
(2)若给出的函数解析式不符合基本初等函数的导数公式，则通过恒等变换对解析式进行化简或变形后求导．
(3)要特别注意“eq \f(1,x)与ln x”，“ax与lgax”，“sin x与cs x”的导数区别．
【例1-1】求下列函数的导数．
(1)；(2)；(3)y＝x14；(4)y＝eq \f(1,x4)；(5)y＝eq \r(5,x3)；(6)y＝(eq \f(1,3))x
(7)；(8)y＝csx；
考点二 导数的运算法则
解题方略：
利用导数运算法则的策略
(1)分析待求导式子符合哪种求导法则，每一部分式子是由哪种基本初等函数组合成的，确定所需的求导法则和基本公式．
(2)如果求导式子比较复杂，则需要对式子先变形再求导，常用的变形有乘积式展开变为和式求导，商式变乘积式求导，三角函数恒等变换后求导等．
(3)利用导数运算法则求导的原则是尽可能化为和、差，能利用和差的求导法则求导的，尽量少用积、商的求导法则求导．
【例2-1】求下列函数的导数．
(1)y＝x4－3x2－5x＋6；(2)y＝3xex－2x＋e;(3)y＝3eq \r(3,x4)＋4eq \r(x3).(4)y＝(3x5－4x3)(4x5＋3x3)
(5)y＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)；(6)y＝(1－eq \r(x))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,\r(x))))；（7）y＝xcs x－sin x；(8)y=x2cs x
(9)y＝tan x；(10)y＝x·tanx；(11)y＝eq \f(x－1,x＋1)；(12)y＝eq \f(ln x,x)
【例2-2】若函数，则的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【例2-3】设f(x)＝(ax＋b)sinx＋(cx＋d)csx，若已知f′(x)＝xcsx，求f(x)的解析式．
【例2-4】已知函数，则“”是“曲线存在垂直于直线的切线”的
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
考点三 复合函数的导数
解题方略：
1、求复合函数的导数的步骤
2、应用复合函数的导数公式求导时，应把握好以下环节：
(1)选取恰当的中间变量，使构成复合函数的基本函数，符合导数公式中的函数结构．
(2)从外到内，层层剥皮，依次求导．
(3)把中间变量转换成自变量的表达式．
注：比较复杂的复合函数求导时，一般先整理化简再求导．若直接求导，应辨明和、差、积、商及复合关系，对于复合部分要分清层次，找准构成复合函数的基本函数，再依法则求导．
【例3-1】下列函数不是复合函数的是( )
A．y＝－x3－eq \f(1,x)＋1 B．y＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,4)))
C．y＝eq \f(1,ln x) D．y＝(2x＋3)4
【例3-2】求下列函数的导数：
(1)y＝(3x－2)2； (2)y＝ln(6x＋4)；
(3)y＝e2x＋1; (4)y＝eq \r(2x－1)；(5)y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3x－\f(π,4)))； (6)y＝cs2x；（7）
(8)y＝x－sin2xcs2x (9)y＝eq \f(ln 2x＋1,x)
变式1：求下列函数的导数：
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
变式2：设函数，则函数的导函数等于 （ ）
A．B．C．D．
变式3：已知函数在上可导，函数，则等于（ ）
A．B．0C．1D．2
变式4：定义在上的函数满足，的导函数，则___________.
考点四 求导数值
解题方略：
解决解析式中含有导数值的函数，即解析式类似（为常数）的函数问题关键是恰当赋值，然后活用方程思想求解，即先求导导数（注意是常数），然后令，解方程即可得到的值，进而得到函数解析式，最后求得所求导数值。
【例4-1】已知函数f(x)＝exln x，f′(x)为f(x)的导函数，则f′(1)的值为__________．
变式1：已知函数，则的值为（ ）
A．B．C．D．
变式2：若函数f(x)＝ax4＋bx2＋c满足f′(1)＝2，则f′(－1)等于( )
A．－1 B．－2 C．2 D．0
变式3：已知是奇函数，则（ ）
A．14B．12C．10D．-8
【例4-2】已知f(x)＝ax3＋3x2＋2，若f′(－1)＝4，则a的值是( )
A.eq \f(19,3) B.eq \f(16,3) C.eq \f(13,3) D.eq \f(10,3)
变式1：f(x)＝x(2 018＋ln x)，若f′(x0)＝2 019，则x0等于( )
A．e2 B．1 C．ln 2 D．e
变式2：已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(1,3)x3－4x，x<0，,－\f(1,x)－ln x，0变式3：已知f(x)＝x2，g(x)＝x.若m满足f′(m)＋g′(m)＝3，则m的值为________.
【例4-3】已知函数f（x）＝f'（e）+xlnx，则f'（e）＝（ ）
A．1+eB．2C．2+eD．3
变式1：已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足关系式f(x)＝x2＋3xf′(2)＋ln x，则f′(2)＝__________.
变式2：已知f′(x)是函数f(x)的导数，f(x)＝f′(1)·2x＋x2，则f′(2)＝( )
A.eq \f(12－8ln 2,1－2ln 2) B.eq \f(2,1－2ln 2) C.eq \f(4,1－2ln 2) D．－2
变式3：已知函数f(x)＝f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)))sin x＋cs x，则feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)))＝__________.
【例4-4】设函数f(x)在(0，＋∞)内可导，其导函数为f′(x)，且f(ln x)＝2x－ln x，则f′(1)＝________.
考点五 利用导数研究曲线的切线方程
解题方略：
(1)利用导数的几何意义解决切线问题的两种情况
①若已知点是切点，则在该点处的切线斜率就是该点处的导数；
②若已知点不是切点，则应先设出切点，再借助两点连线的斜率公式进行求解．
(2)求过点P与曲线相切的直线方程的三个步骤
【例5-1】曲线f(x)＝eq \f(1,3)x3－x2＋5在x＝1处的切线的倾斜角为( )
A.eq \f(π,6) B.eq \f(3π,4)
C.eq \f(π,4) D.eq \f(π,3)
变式1：【多选】已知点P在曲线y＝eq \f(4,ex＋1)上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的取值可以是( )
A.eq \f(π,4) B.eq \f(π,2) C.eq \f(3π,4) D. eq \f(7π,8)
【例5-2】函数y＝x3在点(2,8)处的切线方程为( )
A．y＝12x－16 B．y＝12x＋16
C．y＝－12x－16 D．y＝－12x＋16
变式1：已知曲线y＝ln x，点P(e,1)是曲线上一点，求曲线在点P处的切线方程．
【例5-3】求曲线y＝ln x过点O(0,0)的切线方程．
变式1：已知抛物线y＝x2，求过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，－2))且与抛物线相切的直线方程．
【例5-4】已知y＝kx＋1是曲线y＝ln x的一条切线，则k＝ .
变式1：已知曲线y＝ln x的一条切线方程为x－y＋c＝0，则c的值为 ．
变式2：已知曲线f(x)＝eq \f(x2＋a,x＋1)在点(1，f(1))处切线的倾斜角为eq \f(3π,4)，则实数a等于( )
A．1 B．－1 C．7 D．－7
变式3：已知函数y＝f(x)在x＝1处的切线与直线x＋y－3＝0垂直，则f′(1)等于( )
A．2 B．0 C．1 D．－1
变式4：已知函数，曲线在点处的切线方程为，则（ ）
A．B．C．2D．4
变式5：曲线y＝esin x在点(0,1)处的切线与直线l平行，且与l的距离为eq \r(2)，求直线l的方程．
变式6：如图，函数y＝f(x)的图象在点P(2，y)处的切线是l，则f(2)＋f′(2)等于( )
A．－4 B．3 C．－2 D．1
【例5-5】若曲线y＝eq \r(x)在点P(a，eq \r(a))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为2，则实数a的值是 ．
【例5-6】点P是曲线y＝ex上任意一点，求点P到直线y＝x的最小距离．
变式1：曲线y＝xln x上的点到直线x－y－2＝0的最短距离是( )
A.eq \r(2) B.eq \f(\r(2),2) C．1 D．2
【例5-7】已知曲线在点处的切线与曲线相切，则a=（ ）
A．4B．8C．2D．1
变式1：已知a，b为正实数，直线y=x－a与曲线y=ln(x+b)相切于点(x0，y0)，则的最小值是_______________.
考点六 导数的实际应用
解题方略：
1、由导数的定义可知，导数是瞬时变化率，所以求某个量的变化速度，就是求相关函数在某点处的导数
2、将复合函数的求导与导数的实际意义结合，函数在某点处的导数反映了函数在该点的瞬时变化率，体现导数揭示物体在某时刻的变化状况．
【例6-1】某城市近10年间房价年均上涨率为10%，房价p(单位：万元)与时间t(单位：年)有如下函数关系：p(t)＝p0(1＋10%)t，假定p0＝1，那么在第5个年头，房价上涨的速度大约是多少(精确到0.01万元/年)？(参考数据：1.15＝1.611，ln 1.1＝0.095)
【例6-2】日常生活中的饮用水通常都是经过净化的，随着水纯净度的提高，所需净化费用不断增加．已知1t水净化到纯净度为x%时所需费用(单位：元)为c(x)＝eq \f(4 000,100－x)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(80A．－40元/t B．－10元/t
C．10元/t D．40元/t
【例6-3】某港口在一天24小时内潮水的高度近似满足关系式s(t)＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,12)t＋\f(5π,6)))(0≤t≤24)，其中s的单位是m，t的单位是h，求函数在t＝18时的导数，并解释它的实际意义．
原函数
导函数
1
（常数的导数为0）
2
f(x)＝xn(n∈Q*)
f′(x)＝n·xn－1
（熟记）
3
f(x)＝sin x
f′(x)＝cs x
4
f(x)＝cs x
f′(x)＝－sin x
5
f(x)＝ax(a＞0，且a≠1)
f′(x)＝axln a
6
f(x)＝ex
f′(x)＝ex
7
f(x)＝lgax(a＞0，且a≠1)
f′(x)＝eq \f(1,xln a)
8
f(x)＝ln x
f′(x)＝eq \f(1,x)