高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册5.1 导数的概念及其意义优秀课堂检测

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知识点1 函数的平均变化率
函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率
(1)定义式：eq \f(Δy,Δx)＝eq \f(fx2－fx1,x2－x1).
(2)实质：函数值的增量与自变量的增量之比．
(3)作用：刻画函数值在区间[x1，x2]上变化的快慢．
(4)几何意义：已知P1(x1，f(x1))，P2(x2，f(x2))是函数y＝f(x)的图象上两点，则平均变化率eq \f(Δy,Δx)＝eq \f(fx2－fx1,x2－x1)表示割线P1P2的斜率．
【即学即练1】已知抛物线y＝3x－x2在x0＝2处的增量为Δx＝0.1，则eq \f(Δy,Δx)的值为( )
A．－0.11 B．－1.1 C．3.89 D．0.29
【即学即练2】某质点的运动方程为s(t)＝1－t2，则该物体在[1,2]内的平均速度为( )
A．2 B．3 C．－2 D．－3
【即学即练3】函数f(x)＝x2－x在区间[－2，t]上的平均变化率是2，则t＝________.
知识点2 瞬时速度
(1)物体在某一时刻的速度称为瞬时速度．
(2)一般地，设物体的运动规律是s＝s(t)，则物体在t0到t0＋Δt这段时间内的平均速度为eq \f(Δs,Δt)＝eq \f(st0＋Δt－st0,Δt).如果Δt无限趋近于0时，eq \f(Δs,Δt)无限趋近于某个常数v，我们就说当Δt趋近于0时，eq \f(Δs,Δt)的极限是v，这时v就是物体在时刻t＝t0时的瞬时速度，即瞬时速度v＝eq \(lim,\s\d4(Δt→0)) eq \f(Δs,Δt)＝eq \(lim,\s\d4(Δt→0)) eq \f(st0＋Δt－st0,Δt).
(3)瞬时速度与平均速度的关系：从物理角度看，当时间间隔|Δt|无限趋近于0时，平均速度eq \x\t(v)就无限趋近于t＝t0时的瞬时速度．
注意点：（1）Δt可正，可负，但不能为0.
（2）瞬时变化率的变形形式
eq \(lim,\s\d4(Δx→0)) eq \f(fx0＋Δx－fx0,Δx)＝eq \(lim,\s\d4(Δx→0)) eq \f(fx0－Δx－fx0,－Δx)＝eq \(lim,\s\d4(Δx→0)) eq \f(fx0＋nΔx－fx0,nΔx)＝eq \(lim,\s\d4(Δx→0)) eq \f(fx0＋Δx－fx0－Δx,2Δx)＝f′(x0)．
【即学即练4】物体运动方程为s(t)＝3t2(位移单位：m，时间单位：s)，若v＝eq \(lim,\s\d4(Δt→0)) eq \f(s3＋Δt－s3,Δt)＝18 m/s，则下列说法中正确的是( )
A．18 m/s是物体从开始到3 s这段时间内的平均速度
B．18 m/s是物体从3 s到(3＋Δt)s这段时间内的速度
C．18 m/s是物体在3 s这一时刻的瞬时速度
D．18 m/s是物体从3 s到(3＋Δt)s这段时间内的平均速度
【即学即练5】某物体的运动路程s(单位：m)与时间t(单位：s)的关系可用函数s(t)＝t2＋t＋1表示，
（1）求物体在t＝1 s时的瞬时速度；（2）试求物体的初速度；（3）试问物体在哪一时刻的瞬时速度为9 m/s.
【即学即练6】一质点M按运动方程s(t)＝at2＋1做直线运动(位移单位：m，时间单位：s)，若质点M在t＝2 s时的瞬时速度为8 m/s，求常数a的值．
知识点3 函数在某点处的导数
如果当Δx→0时，平均变化率eq \f(Δy,Δx)无限趋近于一个确定的值，即eq \f(Δy,Δx)有极限，则称y＝f(x)在x＝x0处可导，并把这个确定的值叫做y＝f(x)在x＝x0处的导数(也称为瞬时变化率)，记作f′(x0)或，即f′(x0)＝eq \(lim,\s\d4(Δx→0)) eq \f(Δy,Δx)＝eq \(lim,\s\d4(Δx→0)) eq \f(fx0＋Δx－fx0,Δx).
【即学即练7】 【多选】若函数f(x)在x＝x0处存在导数，则eq \(lim,\s\d6(h→0)) eq \f(fx0＋h－fx0,h)的值( )
A．与x0有关 B．与h有关
C．与x0无关 D．与h无关
【即学即练8】 求函数y＝x－eq \f(1,x)在x＝1处的导数．
【即学即练9】f(x)＝x2在x＝1处的导数为( )
A．2x B．2 C．2＋Δx D．1
【即学即练10】已知f(x)＝eq \f(2,x)，且f′(m)＝－eq \f(1,2)，则m的值等于( )
A．－4 B．2 C．－2 D．±2
【即学即练11】若函数f(x)可导，则eq \(lim,\s\d6(Δx→0)) eq \f(f1－Δx－f1,2Δx)等于( )
A．－2f′(1) B.eq \f(1,2)f′(1)
C．－eq \f(1,2)f′(1) D．f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))
【即学即练12】设在处可导，则（ ）．
A．B．
C．D．
知识点4 割线斜率与切线斜率及导数的几何意义
1．切线：设函数y＝f(x)的图象如图所示，直线AB是过点A(x0，f(x0))与点B(x0＋Δx，f(x0＋Δx))的一条割线，此割线的斜率是eq \f(Δy,Δx)＝eq \f(fx0＋Δx－fx0,Δx).
当点B沿曲线趋近于点A时，割线AB绕点A转动，它的极限位置为直线AD，直线AD叫做此曲线在点A处的切线．
切线的斜率：当Δx→0时，割线AB的斜率无限趋近于过点A的切线AD的斜率k，即k＝f′(x0)＝eq \(lim,\s\d4(Δx→0)) eq \f(fx0＋Δx－fx0,Δx).
切线的斜率与割线的斜率的关系：从几何图形上看，当横坐标间隔|Δx|无限变小时，点B无限趋近于
点A，于是割线AB无限趋近于点A处的切线AD，这时，割线AB的斜率无限趋近于点A处的切线AD的斜率k.
注意点：极限的几何意义：曲线y＝f(x)在x＝x0处的切线斜率．
4．导数的几何意义
函数y＝f(x)在点x＝x0处的导数的几何意义是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率．也就是说，曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率是f′(x0)．相应地，切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．
【即学即练13】已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)在函数y＝f(x)的图象上，若函数f(x)从x1到x2的平均变化率为eq \r(3)，则下面叙述正确的是( )
A．曲线y＝f(x)的割线AB的倾斜角为eq \f(π,6)
B．曲线y＝f(x)的割线AB的倾斜角为eq \f(π,3)
C．曲线y＝f(x)的割线AB的斜率为－eq \r(3)
D．曲线y＝f(x)的割线AB的斜率为－eq \f(\r(3),3)
【即学即练14】过曲线y＝f(x)＝x2－x上的两点P(1,0)和Q(1＋Δx，Δy)作曲线的割线，已知割线PQ的斜率为2，求Δx的值．
【即学即练15】求抛物线f(x)＝x2－2x＋3在点(1,2)处的切线方程．
【即学即练16】求抛物线f(x)＝x2－x在点(2,2)处的切线方程．
【即学即练17】曲线f(x)＝x2上哪一点处的切线满足下列条件？
(1)平行于直线y＝4x－5；
(2)垂直于直线2x－6y＋5＝0；
(3)倾斜角为135°.
【即学即练18】若曲线y＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切线方程是x－y＋1＝0，则( )
A．a＝1，b＝1 B．a＝－1，b＝1
C．a＝1，b＝－1 D．a＝－1，b＝－1
知识点5 函数的单调性与导数的关系
若f′(x0)＝0，则函数在x＝x0处切线斜率k＝0；
若f′(x0)>0，则函数在x＝x0处切线斜率k>0，且函数在x＝x0附近单调递增，且f′(x0)越大，说明函数图象变化的越快；
若f′(x0)<0，则函数在x＝x0处切线斜率k<0，且函数在x＝x0附近单调递减，且|f′x0|越大，说明函数图象变化的越快．
【即学即练19】已知y＝f(x)的图象如图所示，则f′(xA)与f′(xB)的大小关系是( )
A．f′(xA)>f′(xB) B．f′(xA)C．f′(xA)＝f′(xB) D．不能确定
【即学即练20】已知函数f(x)满足f（1）＝3，f′（1）＝－3，则下列关于f(x)的图象描述正确的是________．
（1）f(x)的图象在x＝1处的切线斜率大于0；
（2）f(x)的图象在x＝1处的切线斜率小于0；
（3）f(x)的图象在x＝1处位于x轴上方；
（4）f(x)的图象在x＝1处位于x轴下方．
知识点6 导函数的定义
从求函数f(x)在x＝x0处导数的过程可以看出，当x＝x0时，f′(x0)是一个唯一确定的数．这样，当x变化时，y＝f′(x)就是x的函数，我们称它为y＝f(x)的导函数(简称导数)．y＝f(x)的导函数记作f′(x)或y′，即f′(x)＝y′＝eq \(lim,\s\d4(Δx→0)) eq \f(fx＋Δx－fx,Δx).
【即学即练21】求函数y＝eq \r(x＋1)(x>－1)的导函数．
【即学即练22】已知函数f(x)＝x2－eq \f(1,2)x.求f′(x)．
考点一 函数的平均变化率
解题方略：
求平均变化率的主要步骤
(1)先计算函数值的改变量Δy＝f(x2)－f(x1)．
(2)再计算自变量的改变量Δx＝x2－x1.
(3)得平均变化率eq \f(Δy,Δx)＝eq \f(fx2－fx1,x2－x1).
【例1-1】如图，函数y＝f(x)在A，B两点间的平均变化率等于( )
A．-1B．1C．-2D．2
【例1-2】函数，在[0，2]上的平均变化率分别记为，，则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．，的大小无法确定
变式1：汽车行驶的路程s和时间t之间的函数图象如图所示，在时间段[t0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]上的平均速度分别为，则三者的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
变式2：某公司的盈利（元）与时间（天）的函数关系是，假设（）恒成立，且，，则说明后10天与前10天比（ ）
A．公司亏损且亏损幅度变大
B．公司的盈利增加，增加的幅度变大
C．公司亏损且亏损幅度变小
D．公司的盈利增加，增加的幅度变小
【例1-3】一球沿某一斜面自由滚下，测得滚下的垂直距离h(单位：m)与时间t(单位：s)之间的函数关系为h＝2t2＋2t，则：
（1）前3 s内球的平均速度为________m/s；
（2）在t∈[2，3]这段时间内球的平均速度为________m/s.
考点二 瞬时变化率理解
解题方略：
求运动物体瞬时速度的三个步骤
(1)求位移改变量Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)．
(2)求平均速度eq \x\t(v)＝eq \f(Δs,Δt).
(3)求瞬时速度，当Δt无限趋近于0时，eq \f(Δs,Δt)无限趋近于的常数v即为瞬时速度，即v＝eq \(lim,\s\d6(Δt→0)) eq \f(Δs,Δt).
【例2-1】【多选】某物体的运动路程s（单位：m）与时间t（单位：s）的关系可用函数表示，则（ ）
A．物体在时的瞬时速度为0m/sB．物体在时的瞬时速度为1m/s
C．瞬时速度为9m/s的时刻是在时D．物体从0到1的平均速度为2m/s
变式1：某物体按照s(t)＝3t2＋2t＋4(s的单位：m)的规律做直线运动，求自运动开始到4 s时物体运动的平均速度和4 s时的瞬时速度．
变式2：一只昆虫的爬行路程s(单位：米)是关于时间t(单位：分)的函数：s＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3t2，0≤t<3,15＋3t－12，t≥3，))
求s′(1)与s′(4)，并解释它们的实际意义．
【例2-2】已知函数在处的瞬时变化率为，则______．
考点三 导数定义的直接应用
解题方略：
用导数定义求函数在某一点处的导数的步骤
①求函数的增量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)；
②求平均变化率eq \f(Δy,Δx)＝eq \f(fx0＋Δx－fx0,Δx)；
③求极限eq \(lim,\s\d4(Δx→0)) eq \f(Δy,Δx).
【例3-1】设在处可导，下列式子中与相等的是（ ）
A．B．
C．D．
变式1：已知函数f(x)＝eq \r(x)，则f′(1)＝________.
变式2：已知函数f(x)可导，且满足eq \(lim,\s\d6(Δx→0)) eq \f(f3－f3＋Δx,Δx)＝2，则函数y＝f(x)在x＝3处的导数为( )
A．－1 B．－2 C．1 D．2
变式3：设函数y＝f(x)在x＝x0处可导，且eq \(lim,\s\d4(Δx→0)) eq \f(fx0－3Δx－fx0,Δx)＝a，则f′(x0)＝________.
变式4：若可导函数f(x)的图象过原点，且满足eq \(lim,\s\d6(Δx→0)) eq \f(fΔx,Δx)＝－1，则f′(0)等于( )
A．－2 B．2 C．－1 D．1
变式5：设函数的导函数为，若，则等于（ ）
A．-2B．-1C．2D．1
变式6：设函数在点处附近有定义，且为常数，则（ ）
A．B．C．D．
【例3-2】设函数f(x)＝ax＋3，若f′(1)＝3，则a＝________.
考点四 导数（导函数）的理解
解题方略：
不是所有的函数都有导数，一个函数也不一定在所有的点上都有导数．若某函数在某一点导数存在，则称其在这一点可导，否则称为不可导．然而，可导的函数一定连续；不连续的函数一定不可导．
【例4-1】函数y＝(x－1)2的导数是( )
A．－2 B.(x－1)2
C．2(x－1) D．2(1－x)
变式1：若eq \(lim,\s\d4(Δx→0)) eq \f(fx＋Δx－fx,Δx)＝x2，则feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))的导函数f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))等于( )
A．2x B.eq \f(1,3)x3 C．x2 D．3x2
【例4-2】已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的导数为f′(x)，已知f′(0)>0，且对于任意实数x，有f(x)≥0，则eq \f(f1,f′0)的最小值为________．
考点五 利用导数几何意义求切线方程
解题方略：
求曲线过点的切线方程的方法：
当点是切点时，切线方程为；
2、当点不是切点时，可分以下几步完成：
第一步：设出切点坐标；
第二步：写出过点的切线方程为；
第三步：经点代入切线方程，求出的值；
第四步：将的值代入可得过点的切线方程.
注：求曲线过某点的切线方程需注意，该点不一定是切点，需另设切点坐标．
（一）求曲线切线的斜率或倾斜角
【例5-1】设f′(x0)＝0，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线( )
A．不存在 B．与x轴平行或重合
C．与x轴垂直 D．与x轴斜交
变式1：设为可导函数，且满足条件，则曲线在点处切线的斜率是________.
变式2：曲线y＝在点(1，1)处切线的斜率为（ ）
A．1B．－1
C．D．－
【例5-2】曲线f(x)＝eq \f(9,x)在点(3,3)处的切线的倾斜角α等于( )
A．45° B．60° C．135° D．120°
变式1：已知曲线y＝eq \f(1,2)x2－2上一点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，－\f(3,2)))，则在点P处的切线的倾斜角为( )
A．30° B．45°
C．135° D．165°
（二）求在曲线一点处的切线方程
【例5-3】曲线在点处的切线方程为______．
变式1：求曲线在点处的切线方程．
（三）求过一点的切线方程
【例5-4】已知曲线方程为,求:
（1）点处的切线方程
（2）过点且与曲线相切的直线方程.
变式1：已知函数f(x)＝x3，过点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)，0))作曲线f(x)的切线，则其切线方程为________________．
（四）已知切线（斜率）求参数
【例5-5】若抛物线f(x)＝4x2在点(x0，f(x0))处切线的斜率为8，则x0＝________.
变式1：曲线y＝x＋上任意一点P处的切线斜率为k，则k的取值范围是（ ）
A．(－∞，－1)B．(－1，1)
C．(－∞，1)D．(1，＋∞)
变式2：若曲线y＝2x2－4x＋m与直线y＝1相切，则m＝________.
变式3：直线l：y＝x＋a(a≠0)和曲线C：f(x)＝x3－x2＋1相切，则a的值为________，切点坐标为________．
变式4：已知曲线y＝f(x)＝2x2＋a在点P处的切线方程为8x－y－15＝0，则实数a的值为________．
（五）求切点坐标
【例5-6】已知曲线f(x)＝eq \f(1,2)x2＋x的一条切线的斜率是3，则该切点的横坐标为( )
A．－2 B．－1 C．1 D．2
变式1：已知曲线y＝2x2＋4x在点P处的切线斜率为16，则P点坐标为________．
变式2：【多选】已知曲线在点P处的切线平行于直线，那么点P的坐标为（ ）
A．B．C．D．
变式3：曲线在点P处的切线与直线垂直，则点P的坐标为______．
变式4：已知曲线f(x)＝x2－1在x＝x0处的切线与曲线g(x)＝1－x3在x＝x0处的切线互相平行，求x0的值．
变式5：已知曲线y1＝2－eq \f(1,x)与y2＝x3－x2＋2x在x＝x0处的切线的斜率之积为3，则x0的值为( )
A．－2 B．1
C.eq \f(1,2) D．2
（六）两曲线的公切线问题
【例5-7】点P在曲线f(x)＝x2＋1上，且曲线在点P处的切线与曲线y＝－2x2－1相切，求点P的坐标．
考点六 函数的单调性与导数的关系
解题方略：
导数的几何意义就是切线的斜率，所以比较导数大小的问题可以用数形结合思想来解决．
(1)曲线f(x)在x0附近的变化情况可通过x0处的切线刻画．f′(x0)>0说明曲线在x0处的切线的斜率为正值，从而得出在x0附近曲线是上升的；f′(x0)<0说明在x0附近曲线是下降的．
(2)曲线在某点处的切线斜率的大小反映了曲线在相应点处的变化情况，由切线的倾斜程度，可以判断出曲线升降的快慢．
【例6-1】已知函数f(x)满足f′(x1)>0，f′(x2)<0，则在x1和x2附近符合条件的f(x)的图象大致是( )
变式1：已知函数f(x)在R上有导函数，f(x)的图象如图所示，则下列不等式正确的是( )
A．f′(a)B．f′(b)C．f′(a)D．f′(c)变式2：已知函数f(x)在R上可导，其部分图象如图所示，设eq \f(f2－f1,2－1)＝a，则下列不等式正确的是( )
A．f′(1)C．f′(2)变式3：函数的图象如图所示，为函数的导函数，下列数值排序正确是（ ）
A．
B．
C．
D．
区别
联系
f′(x0)
f′(x0)是具体的值，是数值
在x＝x0处的导数f′(x0)是导函数f′(x)在x＝x0处的函数值，因此求函数在某一点处的导数，一般先求导函数，再计算导函数在这一点的函数值
f′(x)
f′(x)是函数f(x)在某区间I上每一点都存在导数而定义的一个新函数，是函数