高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册5.3 导数在研究函数中的应用教案配套ppt课件

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册5.3 导数在研究函数中的应用教案配套ppt课件，共33页。PPT课件主要包含了课标定位素养阐释，自主预习新知导学，答案C，合作探究释疑解惑，易错辨析，随堂练习等内容，欢迎下载使用。

1.理解导数与函数的单调性的关系.2.掌握利用导数判断函数单调性的方法.3.会用导数求函数的单调区间.4.通过研究函数的单调性与导数的关系,提升逻辑推理能力和数学运算的核心素养.
(1)结合图象写出以上三个函数的单调区间.提示:函数y1= 的单调递减区间为(-∞,0)和(0,+∞);函数y2=2x在R上单调递增;函数y3=x2的单调递增区间为(0,+∞),单调递减区间为(-∞,0).(2)判断以上三个函数的导数在其单调区间上的正负.提示:当x∈(-∞,0)∪(0,+∞)时,y1'=- <0;y2'=2xln 2>0对x∈R恒成立;当x∈(-∞,0)时,y3'=2x<0,当x∈(0,+∞)时,y3'=2x>0.
2.填空:(1)一般地,函数f(x)的单调性与导函数f'(x)的正负之间具有如下的关系:在某个区间(a,b)内,如果 f'(x)>0 ,那么函数y=f(x)在区间(a,b)内单调递增;在某个区间(a,b)内,如果f'(x)<0,那么函数y=f(x)在区间(a,b)内单调递减.(2)函数图象的变化趋势与导数值大小的关系:一般地,如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大,那么函数在这个范围内变化得较快,这时函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下);反之,函数在这个范围内变化得较慢,函数的图象就比较“平缓”.
3.做一做:已知函数f(x)的图象如图所示,则导函数f'(x)的图象可能为(　　)解析:由函数f(x)的图象可知,函数f(x)的单调递增区间为(1,4),单调递减区间为(-∞,1)和(4,+∞).因此当x∈(1,4)时,f'(x)>0;当x∈(-∞,1)或x∈(4,+∞)时,f'(x)<0.故选C.答案:C
二、利用导数判断函数y=f(x)的单调性的基本步骤【问题思考】1.若函数y=f(x)是定义在R上的增函数,则f'(x)>0是否一定成立?提示:不一定,如函数f(x)=x3在R上为增函数,但f'(x)>0不一定成立,因为当x=0时,f'(0)=0.2.填空:利用导数判断函数y=f(x)的单调性的基本步骤:第1步,确定函数的定义域;第2步,求出导数f'(x)的零点;第3步,用f'(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间,列表给出f'(x)在各区间上的正负,由此得出函数y=f(x)在定义域内的单调性.
3.做一做:函数y=xln x在区间(0,5)内的单调性是(　　)A.单调递增B.单调递减
【思考辨析】 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号里画“√”,错误的画“×”.(1)如果函数f(x)在某个区间内恒有f'(x)=0,那么f(x)在此区间内没有单调性.( )(2)若函数f(x)在区间(x1,x2)内的导数比在区间(x2,x3)内的导数大,则函数在区间(x1,x2)比在区间(x2,x3)增长得快.( )(3)函数在某区间上变化越快,函数在这个区间上的导数的绝对值越大.( )
1.若本例条件不变,求不等式f'(x)>0的解集.
2.若本例条件不变,求不等式xf'(x)>0的解集.
反思感悟 通过图象研究函数单调性的方法:(1)观察原函数的图象重在找出“上升”“下降”产生变化的点,分析函数值的变化趋势;(2)观察导函数的图象重在找出导函数图象与x轴的交点,分析导数的正负.特别提醒:函数的正负与导数的正负没有关系.
【变式训练1】 函数f(x)的导函数y=f'(x)的图象如图所示,则函数y=f(x)的图象最有可能的是(　　)解析:由y=f'(x)的图象知,当x∈ (-∞,0)∪(2,+∞)时,f'(x)>0,当x∈ (0,2)时,f'(x)<0,则函数f(x)在区间(-∞,0)与(2,+∞)上单调递增,在区间(0,2)上单调递减,故选C.答案:C
【例3】 求函数f(x)=ln(2x+3)+x2的单调区间.
反思感悟 注意对逻辑推理与数学运算素养的提升.特别提醒:(1)单调区间不能“并”,即不能用“∪”符号连接,只能用“,”或“和”隔开.(2)导数法求得的单调区间一般用开区间表示.
【变式训练2】 求函数f(x)=x2e-x的单调区间.解:函数f(x)=x2e-x的定义域为R.导数f'(x)=(x2)'e-x+x2(e-x)'=2xe-x-x2e-x=e-x(2x-x2).令f'(x)=0,由于e-x>0,故解得x=0或x=2.x=0和x=2把函数定义域划分成三个区间,f'(x)在各区间上的正负,以及f(x)的单调性如下表所示.
【例4】 讨论函数f(x)=x2-aln x(a≥0)的单调性.分析:根据判断函数单调性的步骤进行,注意对参数的讨论.
反思感悟 解含参数的函数的单调性问题常见的分类讨论标准:(1)方程f'(x)=0是否有根;(2)若f'(x)=0有根,求出根后判断其是否在定义域内;(3)若根在定义域内且有两个,比较根的大小分类讨论.
【变式训练3】 已知函数f(x)= x2+aln x(a∈R,a≠0),求f(x)的单调区间.解:函数f(x)的定义域是(0,+∞).
讨论函数的单调性时忽略其定义域
当x∈(-∞,e)时,f'(x)<0,则函数f(x)在区间(-∞,e)内单调递减;当x∈(e,+∞)时,f'(x)>0,则函数f(x)在区间(e,+∞)内单调递增.以上解答过程中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何改正?你如何防范?提示:以上错解中忽略了函数的定义域,事实上x的取值范围为x>0,且x≠1.
令f'(x)=0,解得x=e.当x∈(0,1)∪(1,e)时,f'(x)<0,则函数f(x)单调递减;当x∈(e,+∞)时,f'(x)>0,则函数f(x)单调递增.因此,函数f(x)在区间(0,1)和(1,e)上单调递减,在区间(e,+∞)上单调递增.防范措施 1.在解决函数问题的时候应优先考虑函数的定义域,未考虑定义域就讨论单调性是没有意义的.2.注意培养逻辑推理能力和数学运算素养.
1.已知函数y=f(x)的导函数y=f'(x)的图象如图所示,则下列关于函数y=f(x)的单调性的说法中,正确的是(　　)A.在区间(x0,x1)上f(x)是常数函数B.在区间(-∞,x2)上f(x)不是单调函数C.在区间(x2,x3)上f(x)是常数函数D.在区间(x2,+∞)上f(x)单调递增解析:当x∈(-∞,x2)时,f'(x)<0,故f(x)在区间(-∞,x2)上单调递减,故AB错误;当x∈(x2,x3)时,f'(x)=0恒成立,即函数f(x)的变化率为0,故为常数函数,故C正确,D错误.答案:C
2.函数f(x)=3+xln x的单调递增区间是　　　　　. 解析:函数f(x)的定义域为(0,+∞),其导函数f'(x)=ln x+1,
所以f(x)在R上为增函数.答案:(-∞,+∞)