八年级上学期第二次月考数学试卷

这是一份八年级上学期第二次月考数学试卷，共23页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）若x是整数，则使分式的值为整数的x值有（ ）个．
A．2B．3C．4D．5
2．（3分）一支部队排成a米长队行军，在队尾的战士要与最前面的团长联系，他用t1分钟追上了团长、为了回到队尾，他在追上团长的地方等待了t2分钟．如果他从最前头跑步回到队尾，那么他需要的时间是（ ）
A．分钟 B．分钟C．分钟 D．分钟
3．（3分）当x分别取2020、2018、2016、…、2、0、、、…、、、时，计算分式的值，再将所得结果相加，其和等于（ ）
A．﹣1B．1C．0D．2020
4．（3分）若，，则a与b的大小关系为（ ）
A．a＞bB．a＝bC．a＜bD．无法确定
5．（3分）已知a，b为实数且满足a≠﹣1，b≠﹣1，设M＝+，N＝+．
①若ab＝1时，M＝N ②若ab＞1时，M＞N
③若ab＜1时，M＜N ④若a+b＝0，则M•N≤0则上述四个结论正确的有（ ）个．
A．1B．2C．3D．4
6．（3分）如图，已知直线AE，BF被直线AB所截，且AE∥BF，AC1，BC1分别平分∠EAB，∠FBA；AC2，BC2分别平分∠BAC1和∠ABC1；AC3，BC3分别平分∠BAC2，∠ABC2…依次规律，得点∁n，则∠∁n的度数为（ ）
A． B． C． D．
7．（3分）如图，在△ABC中，D是边AB上的点，E是边AC上的点，且，，若△BCF的面积为1，则△ABC的面积为（ ）
A．B．C．D．

8．（3分）如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC，BE平分∠ABC，且AD，BE交于点O，延长AC至点P，使CP＝CD，连接BP，OP；延长AD交BP于点F．则下列结论：①BP＝AD：②BF＝CP：③AC+CD＝AB：④PO⊥BE；⑤BP＝2PF．其中正确的是（ ）
A．①③⑤B．①②③④C．①③④⑤D．①②③④⑤
9．（3分）若关于x的不等式组恰有3个整数解，且关于y的分式方程+＝﹣2有非负整数解，则符合条件的所有整数a的和是（ ）
A．1B．3C．4D．5
二、填空题
10．（3分）已知，则代数式|2﹣x|﹣|x+3|最大值与最小值的差是 ．
11．（3分）如图，已知∠AOB＝a，在射线OA、OB上分别取点OA1＝OB1，连接A1B1，在B1A1、B1B上分别取点A2、B2，使B1B2＝B1A2，连接A2B2，…，按此规律，记∠A2B1B2＝θ1，∠A3B2B3＝θ2，…，∠An+1BnBn+1＝θn，则θ2021﹣θ2020的值为 ．

12．（3分）如图，在△ABC中，AB、AC的垂直平分线分别交BC于D、E两点，并且相交于点F，且∠DFE＝70°，则∠DAE的度数是 ．
13．（3分）已知＝++，则A+2B+3C的值是 ．
14．（3分）若关于x的分式方程无解，则a＝ ．
15．（3分）若2x﹣y+4z＝0，4x+3y﹣2z＝0．则的值为 ．
16．（3分）从﹣4，﹣3，1，3，4这五个数中，随机抽取一个数，记为a，若数a使关于x的不等式组的解集是x＜a，且使关于x的分式方程有整数解，那么这5个数中所有满足条件的a的值之和是 ．
三、解答题
17．在落实“精准扶贫”战略中，三峡库区某驻村干部组织村民依托著名电商平台“拼多多”组建了某土特产专卖店，专门将进货自本地各家各户的A、B两款商品销售到全国各地．2020年10月份，该专卖店第一次购进A商品40件，B商品60件，进价合计8400元；第二次购进A商品50件，B商品30件，进价合计6900元．
（1）求该专卖店10月份A、B两款商品进货单价分别为多少元？
（2）10月底，该专卖店顺利将两次购进的商品全部售出．由于季节原因，B商品缺货，该专卖店在11月份和12月份都只能销售A商品，且A商品11月份的进货单价比10月份上涨了m元，进价合计49000元；12月份的进货单价又比11月份上涨了0.5m元，进价合计61200元，12月份的进货数量是11月份进货数量的1.2倍．为了尽快回笼资金，A商品在11月份和12月份的销售过程中维持每件150元的售价不变，到2021年元旦节，该专卖店把剩下的50件A商品打八折促销，很快便售完，求该专卖店在A商品进货单价上涨后的销售总金额为多少元？
18．已知，在等边△ABC中，点D是线段AB上一点，点E是射线CD上一点，且∠ACE＝2∠ABE．
（1）如图1所示，求证：BC＝CE；
（2）如图2所示，延长CE到点P，连接线段AP，BP，若AP＝AB，求∠BPC的度数．
19．已知：25x＝2000，80y＝2000，求证：+＝1．
20．阅读材料：如果x是一个有理数，我们把不超过x的最大整数记作[x]．
例如，[3.2]＝3，[5]＝5，[﹣2.1]＝﹣3，那么，x＝[x]+a，其中0≤a＜1．
例如，3.2＝[3.2]+0.2，5＝[5]+0，﹣2.1＝[﹣2.1]+0.9．
请你解决下列问题：
（1）[4.8]＝ ，[﹣6.5]＝ ；
（2）如果[x]＝5，那么x的取值范围是 ；
（3）如果[5x﹣2]＝3x+1，那么x的值是 ；
（4）如果x＝[x]+a，其中0≤a＜1，且4a＝[x]+1，求x的值．
21．阅读理解：
例1．解方程|x|＝2，因为在数轴上到原点的距离为2的点对应的数为±2，所以方程|x|＝2的解为x＝±2．
例2．解不等式|x﹣1|＞2，在数轴上找出|x﹣1|＝2的解（如图），因为在数轴上到1对应的点的距离等于2的点对应的数为﹣1或3，所以方程|x﹣1|＝2的解为x＝﹣1或x＝3，因此不等式|x﹣1|＞2的解集为x＜﹣1或x＞3．
参考阅读材料，解答下列问题：
（1）方程|x﹣2|＝3的解为 ；
（2）解不等式：|x﹣2|≤1．
（3）解不等式：|x﹣4|+|x+2|＞8．
（4）对于任意数x，若不等式|x+2|+|x﹣4|＞a恒成立，求a的取值范围．
22．在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点E，点F分别是AB，AC上（不与B，C重合的动点，点O是BC的中点，连接AO．
（1）如图1，当∠EOF＝90°时，请问△AEO与△CFO全等吗？如果全等请证明如果不是请说明理由；
（2）如图2，在（1）的条件下，过点O作OH⊥AC，垂足为H，若AE＝3，AF＝9，请求HF的长；
（3）如图3，当∠EOF＝45°时，连接EF，若AO＝5，AE：AF：EF＝3：4：5，请求△AOF的面积．
八年级（上）第二次月考数学试卷（解析版）
一、单选题
1．（3分）若x是整数，则使分式的值为整数的x值有（ ）个．
A．2B．3C．4D．5
【分析】将变形成4+，只要为整数即可，而的值为整数，即2x﹣1＝±1，2x﹣1＝±2，2x﹣1＝±3，2x﹣1＝±6，分别求解验证即可得出答案．
【解答】解：＝＝＝4+，
要使的值为整数，就是为整数，
即2x﹣1＝±1，2x﹣1＝±2，2x﹣1＝±3，2x﹣1＝±6，
而当2x﹣1＝±2，2x﹣1＝±6时，x不是整数，
因此x是整数，分式的值也是整数的x值有4个，
故选：C．
2．（3分）一支部队排成a米长队行军，在队尾的战士要与最前面的团长联系，他用t1分钟追上了团长、为了回到队尾，他在追上团长的地方等待了t2分钟．如果他从最前头跑步回到队尾，那么他需要的时间是（ ）
A．分钟B．分钟
C．分钟D．分钟
【分析】队伍的速度为，队尾战士的速度+，故有他从最前头跑步回到队尾，需要的时间是．
【解答】解：由题意列代数式得：，化简得：．
故选：C．
3．（3分）当x分别取2020、2018、2016、…、2、0、、、…、、、时，计算分式的值，再将所得结果相加，其和等于（ ）
A．﹣1B．1C．0D．2020
【分析】把互为倒数的两个数代入分式可得它们的和是0，把0代入分式得﹣1，故得出结果为﹣1．
【解答】解：当x＝a（a≠0）时，＝，
当x＝时，＝＝﹣，
即互为倒数的两个数代入分式的和为0，
当x＝0时，＝﹣1，
故选：A．
4．（3分）若，，则a与b的大小关系为（ ）
A．a＞bB．a＝bC．a＜bD．无法确定
【分析】利用作差法计算a﹣b＞0，即可判断a与b的大小关系．
【解答】解：∵a﹣b＝
＝
＝
＞＞0，
∴a＞b．
故选：A．
5．（3分）已知a，b为实数且满足a≠﹣1，b≠﹣1，设M＝+，N＝+．
①若ab＝1时，M＝N
②若ab＞1时，M＞N
③若ab＜1时，M＜N
④若a+b＝0，则M•N≤0
则上述四个结论正确的有（ ）个．
A．1B．2C．3D．4
【分析】①根据分式的加法法则计算即可得结论；
②根据分式的加法法则计算即可得结论；
③根据分式的加法法则计算即可得结论；
④根据方式的乘法运算法则计算，再进行分类讨论即可得结论．
【解答】解：∵M＝+，N＝+，
∴M﹣N＝+﹣（+）＝+＝＝，
①当ab＝1时，M﹣N＝0，
∴M＝N，故①正确；
②当ab＞1时，2ab＞2，
∴2ab﹣2＞0，
当a＜0时，b＜0，（a+1）（b+1）＞0或（a+1）（b+1）＜0，
∴M﹣N＞0或M﹣N＜0，
∴M＞N或M＜N，故②错误；
③当ab＜1时，a和b可能同号，也可能异号，
∴（a+1）（b+1）＞0或（a+1）（b+1）＜0，而2ab﹣2＜0，
∴M＞N或M＜N，故③错误；
④M•N＝（+）•（+）
＝++，
∵a+b＝0，
∴原式＝+＝＝，
∵a≠﹣1，b≠﹣1，
∴（a+1）2（b+1）2＞0，
∵a+b＝0
∴ab≤0，M•N≤0，故④正确．
故选：B．
6．（3分）如图，已知直线AE，BF被直线AB所截，且AE∥BF，AC1，BC1分别平分∠EAB，∠FBA；AC2，BC2分别平分∠BAC1和∠ABC1；AC3，BC3分别平分∠BAC2，∠ABC2…依次规律，得点∁n，则∠∁n的度数为（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据平行线的性质，角平分的定义，三角形的内角和定理分别求得∠C1、∠C2、∠C3的度数，再总结出变化规律，根据规律得出结论．
【解答】解：∵AE∥BF，
∴∠BAE+∠ABF＝180°，
∵AC1，BC1分别平分∠EAB，∠FBA，
∴∠BAC1＝∠BAE，∠ABC1＝∠ABF，
∴∠BAC1+∠ABC1＝（∠BAE+∠ABF）＝90°，
∴∠C1＝180°﹣（∠BAC1+∠ABC1）＝180°﹣90°；
∵AC2，BC2分别平分∠BAC1和∠ABC1，
∴∠BAC2＝∠BAC1，∠ABC2＝∠ABC1，
∴∠BAC2+∠ABC2＝（∠BAC1+∠ABC1）＝，
∴∠C2＝180°﹣（∠BAC2+∠ABC2）＝180°﹣；
∵AC3，BC3分别平分∠BAC2和∠ABC2，
∴∠BAC3＝∠BAC2，∠ABC3＝∠ABC2，
∴∠BAC3+∠ABC3＝（∠BAC2+∠ABC2）＝，
∴∠C3＝180°﹣（∠BAC3+∠ABC3）＝180°﹣；
……
由上面的规律得∠∁n＝180°﹣．
故选：B．
7．（3分）如图，在△ABC中，D是边AB上的点，E是边AC上的点，且，，若△BCF的面积为1，则△ABC的面积为（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据三角形的面积公式，当三角形的高相等时，它们的面积之比等于其底边之比，从而由，得到＝，＝，＝n，＝n，解得S4＝，S1＝，∴S3＝，S2＝，结合图形根据S△ABC＝S1+S2+S3+S4+S△BCF进行求解即可．
【解答】解：如图，
连接AF，令△ADF、，△BDF、△AEF、△CEF的面积分别为S1、S2、S3、S4，
∵，，
∴＝，＝，＝n，＝n，
∴S2＝mS1，S3＝nS4，又△BCF的面积为1，
∴＝＝，＝＝n，
解得S4＝，S1＝，∴S3＝，S2＝，
∴S△ABC＝S1+S2+S3+S4+S△BCF＝++++1＝，
故选：D．
8．（3分）如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC，BE平分∠ABC，且AD，BE交于点O，延长AC至点P，使CP＝CD，连接BP，OP；延长AD交BP于点F．则下列结论：①BP＝AD：②BF＝CP：③AC+CD＝AB：④PO⊥BE；⑤BP＝2PF．其中正确的是（ ）
A．①③⑤B．①②③④C．①③④⑤D．①②③④⑤
【分析】①根据SAS证明Rt△ADC≌Rt△BPC，即可求出BP＝AD；
③由①中Rt△ADC≌Rt△BPC可知∠PBC＝∠DAC＝22.5，在Rt△BPC中，∠BPC＝90°﹣∠PBC＝67.5°，根据∠CBA＝45°可知，∠ABP＝∠PBC+∠ABC＝67.5°，即可求出AP＝AB，即AC+CD＝AB；
②由③可知，△ABP是等腰三角形，由AF平分∠BAC，故BF＝BP，在Rt△BCP中，若BF＝CP，则∠PBC＝30°，与③中∠PBC＝22.5°相矛盾，故BF≠CP；
④由△ABP是等腰三角形，AF平分∠BAC，可得AF垂直平分BP，根据垂直平分线的性质可得BO＝BP，则∠BPO＝∠PBO＝22.5°+22.5°＝45°，可得出∠BOP＝90°，即PO⊥BE．
⑤由③可知，△ABP是等腰三角形，由AF平分∠BAC，故BF＝BP，即BP＝2PF．
【解答】解：①∵BC＝AC，∠ACB＝90°，
∴∠ACD＝∠BCP＝90°，
在△ACD与△BCP中，
，
∴△ADC≌△BPC（SAS），
∴BP＝AD；故①正确；
③∵BC＝AC，∠ACB＝90°，
∴∠CAB＝∠ABC＝45°，
∵AD平分∠BAC，BE平分∠ABC，
∴∠BAD＝∠DAC＝22.5°，∠ABE＝∠CBE＝22.5°，
∵Rt△ADC≌Rt△BPC，
∴∠PBC＝∠DAC＝22.5°，
在Rt△BPC中，∠BPC＝90°﹣∠PBC＝67.5°，
∵∠CBA＝45°，
∴∠ABP＝∠PBC+∠ABC＝67.5°，
∴∠ABP＝∠BPC，
∴AP＝AB，
∴AC+CP＝AB，
∵CP＝CD，
∴AC+CD＝AB；故③正确；
②由③可知，△ABP是等腰三角形，
∵AF平分∠BAC，
∴BF＝BP，
在Rt△BCP中，若BF＝CP，则∠PBC＝30°，与③中∠PBC＝22.5°相矛盾，故BF≠CP；故②错误；
④∵△ABP是等腰三角形，AF平分∠BAC，
∴AF垂直平分BP，
∴BO＝BP，
∴∠BPO＝∠PBO＝∠PBC+∠CBE＝22.5°+22.5°＝45°，
∴∠BOP＝90°，即PO⊥BE．故④正确；
⑤由③可知，△ABP是等腰三角形，
∵AF平分∠BAC，
∴BF＝BP，
∴BP＝2PF，故⑤正确．
所以①③④⑤正确．
故选：C．
9．（3分）若关于x的不等式组恰有3个整数解，且关于y的分式方程+＝﹣2有非负整数解，则符合条件的所有整数a的和是（ ）
A．1B．3C．4D．5
【分析】分别解不等式组，的两个不等式，根据“该不等式组有且仅有3个整数解”，得到关于a的不等式组，解之，解分式方程，结合“该分式方程有非负整数解”，得到a的值，即可得到答案
【解答】解：解不等式得：
x＞1，
解不等式得：
，
∵该不等式组有且仅有3个整数解，
∴该不等式组的整数解为：2，3，4，
则 ，
解得：﹣1＜a≤4，
解分式方程得：
且y≠2
∵该分式方程有非负整数解，且﹣1＜a≤4，
则 a＝1，
符合条件的所有整数a的和是1．
故选：A．
二、填空题
10．（3分）已知，则代数式|2﹣x|﹣|x+3|最大值与最小值的差是 9 ．
【分析】先根据不等式的性质求出不等式的解集，分为两种情况：①﹣3≤x≤时，②当x＜﹣3时，去掉绝对值符号后合并同类项，再求出最大值和最小值，最后求出答案即可．
【解答】解：，
2（2x﹣1）+6≥6x﹣3（5﹣3x），
4x﹣2+6≥6x﹣15+9x，
4x﹣6x﹣9x≥﹣15+2﹣6，
﹣11x≥﹣19，
x≤，
当2﹣x≥0，即x≤2时，|2﹣x|＝2﹣x，
当x+3≥0，即x≥﹣3时，|x+3|＝x+3，
①﹣3≤x≤时，
|2﹣x|﹣|x+3|
＝2﹣x﹣（x+3）
＝2﹣x﹣x﹣3
＝﹣1﹣2x，
∵﹣2＜0，
∴当x＝﹣3时，﹣1﹣2x的值最大，是﹣1﹣2×（﹣3）＝﹣1+6＝5；
当x＝时，﹣1﹣2x的值最小，是﹣1﹣2×＝﹣1﹣＝﹣；
②当x＜﹣3时，
|2﹣x|﹣|x+3|
＝2﹣x﹣（﹣x﹣3）
＝2﹣x+x+3
＝5，
所以代数式|2﹣x|﹣|x+3|最大值与最小值的差是5﹣（﹣）＝5+＝9，
故答案为：9．
11．（3分）如图，已知∠AOB＝a，在射线OA、OB上分别取点OA1＝OB1，连接A1B1，在B1A1、B1B上分别取点A2、B2，使B1B2＝B1A2，连接A2B2，…，按此规律，记∠A2B1B2＝θ1，∠A3B2B3＝θ2，…，∠An+1BnBn+1＝θn，则θ2021﹣θ2020的值为 ．
【分析】根据等腰三角形的两个底角相等用α表示出∠A1B1O，再利用平角的定义列式用α表示出θ1，再用θ1表示θ2，并求出θ2﹣θ1．以此类推求出θ3﹣θ2，•••，θ2021﹣θ2020，结论可得．
【解答】解：∵OA1＝OB1，∠AOB＝α，
∴∠A1B1O＝（180°﹣α）．
∴（180°﹣α）+θ1＝180°．
∴θ1＝．
∵B1B2＝B1A2，∠A2B1B2＝θ1，
∴∠．
∴．
整理得：θ2＝＝
∴θ2﹣θ1＝＝．
同理可求：θ3＝．
∴θ3﹣θ2＝＝．
•••，
以此类推，θ2021﹣θ2020＝．
故答案为：．
12．（3分）如图，在△ABC中，AB、AC的垂直平分线分别交BC于D、E两点，并且相交于点F，且∠DFE＝70°，则∠DAE的度数是 40° ．
【分析】根据四边形内角和为360°求出∠BAC，根据三角形内角和定理求出∠B+∠C，根据线段垂直平分线的性质得到DA＝DB，EA＝EC，进而得到∠DAB＝∠B，∠EAC＝∠C，结合图形计算，得到答案．
【解答】解：∵AB、AC的垂直平分线相交于点F，∠DFE＝70°，
∴∠BAC＝360°﹣90°﹣90°﹣70°＝110°，
∴∠B+∠C＝180°﹣110°＝70°，
∵AB、AC的垂直平分线分别交BC于D、E两点，
∴DA＝DB，EA＝EC，
∴∠DAB＝∠B，∠EAC＝∠C，
∴∠DAB+∠EAC＝∠B+∠C＝70°，
∴∠DAE＝110°﹣70°＝40°，
故答案为：40°．
13．（3分）已知＝++，则A+2B+3C的值是 4 ．
【分析】先把等式的右边通分，即可得出关于A、B、C的方程组，求出方程组的解，即可得出答案．
【解答】解：∵＝++，
∴＝++，
∴＝，
∴，
解得，，
∴A+2B+3C＝1+2×（﹣3）+3×3＝4．
故答案为：4．
14．（3分）若关于x的分式方程无解，则a＝ 2 ．
【分析】先将分式方程化成整式方程，再根据分式方程无解可得出x＝2，最后将x＝2代入整式方程即可求解．
【解答】解：可化为：3（x﹣a）＝2x﹣4，
化简为：x＝3a﹣4，
∵分式方程无解，
∴2x﹣4＝0，即x＝2，
∴2＝3a﹣4，解得a＝2，
故答案为：2．
15．（3分）若2x﹣y+4z＝0，4x+3y﹣2z＝0．则的值为 ．
【分析】根据题目的已知，联立成三元一次方程组，把y和z都用含x的式子表示即可解答．
【解答】解：由题意得：
，
②×2得：8x+6y﹣4z＝0③，
①+③得：10x+5y＝0，
∴y＝﹣2x，
把y＝﹣2x代入①中得：
2x+2x+4z＝0，
z＝﹣x，
∴
＝
＝
＝，
故答案为：．
16．（3分）从﹣4，﹣3，1，3，4这五个数中，随机抽取一个数，记为a，若数a使关于x的不等式组的解集是x＜a，且使关于x的分式方程有整数解，那么这5个数中所有满足条件的a的值之和是 1 ．
【分析】先根据不等式组的解集是x＜a可求出a的取值范围，再根据分式方程有整数解可求出符合条件的a的值，最后进行计算即可．
【解答】解：不等式组化简为，
∵不等式组的解集是x＜a，
∴a≤3，
∴a＝﹣4，﹣3，1，3，
解分式方程得：x＝，
∵分式方程有整数解，
∴x＝是整数，
∴满足条件的a有：﹣3，1，3，
∴满足条件的a的值之和为﹣3+1+3＝1，
故答案为：1．
三、解答题
17．在落实“精准扶贫”战略中，三峡库区某驻村干部组织村民依托著名电商平台“拼多多”组建了某土特产专卖店，专门将进货自本地各家各户的A、B两款商品销售到全国各地．2020年10月份，该专卖店第一次购进A商品40件，B商品60件，进价合计8400元；第二次购进A商品50件，B商品30件，进价合计6900元．
（1）求该专卖店10月份A、B两款商品进货单价分别为多少元？
（2）10月底，该专卖店顺利将两次购进的商品全部售出．由于季节原因，B商品缺货，该专卖店在11月份和12月份都只能销售A商品，且A商品11月份的进货单价比10月份上涨了m元，进价合计49000元；12月份的进货单价又比11月份上涨了0.5m元，进价合计61200元，12月份的进货数量是11月份进货数量的1.2倍．为了尽快回笼资金，A商品在11月份和12月份的销售过程中维持每件150元的售价不变，到2021年元旦节，该专卖店把剩下的50件A商品打八折促销，很快便售完，求该专卖店在A商品进货单价上涨后的销售总金额为多少元？
【分析】（1）设10月份A商品的进货单价为x元，B商品的进货单价为y元，根据题意列出二元一次方程组，解之即可得出结果；
（2）根据题意列出分式方程，求出m，进一步求出11月份、12月份购进的A商品数量，即可得出结果．
【解答】解：（1）设10月份A商品的进货单价为x元，B商品的进货单价为y元，
由题意得：，
解得：，
答：该店A、B两款商品进货单价分别为90元和80元；
（2）由题意可得：×1.2＝，
解得：m＝8，
经检验，m＝8是原分式方程的解，
故11月份购进的A商品数量为：＝500（件），
12月份购进的A商品数量为500×1.2＝600（件），
（500+600﹣50）×150+150×0.8×50＝163500（元）．
答：该专卖店在A商品进货单价上涨后的销售总金额为163500元．
18．已知，在等边△ABC中，点D是线段AB上一点，点E是射线CD上一点，且∠ACE＝2∠ABE．
（1）如图1所示，求证：BC＝CE；
（2）如图2所示，延长CE到点P，连接线段AP，BP，若AP＝AB，求∠BPC的度数．
【分析】（1）由三角形内角和定理知∠E+∠EBD＝∠A+∠ACD，而∠ABE＝∠CBE﹣∠ABC＝∠CBE﹣60°，∠ACE＝2∠CBE﹣120°，代入即可得出结论；
（2）设∠APC＝∠ACP＝2∠ABE＝2x，用x的代数式表示出∠APB和∠APC即可得出答案．
【解答】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠BAC＝60°，
∴∠ABE＝∠CBE﹣∠ABC＝∠CBE﹣60°，
∵∠ACE＝2∠ABE，
∴∠ACE＝2∠CBE﹣120°，
∵∠EDB＝∠ADC，
∴∠E+∠EBD＝∠A+∠ACD，
∴∠E+∠CBE﹣60°＝60°+2∠CBE﹣120°，
∴∠E＝∠CBE，
∴CB＝CE；
（2）解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠BAC＝60°，AC＝AB，
∵AP＝AB，
∴AP＝AC，∠APB＝∠ABP，
∴∠APC＝∠ACP，
设∠APC＝∠ACP＝2∠ABE＝2x，
∴∠CAP＝180°﹣∠APC﹣∠ACP＝180°﹣4x，
∴∠BAP＝∠CAP﹣∠BAC＝120°﹣4x，
∴∠APB＝∠ABP＝（180°﹣∠BAP）＝30°+2x，
∴∠BPC＝∠APB﹣∠APC＝30°．
19．已知：25x＝2000，80y＝2000，求证：+＝1．
【分析】要证明+＝1，就要证明＝1，即x+y＝xy，因x、y为指数，故运用同底数幂乘法让25x＝2000左右两边同时乘以25y，然后再利用已知等式进行变形转化即可得到结果．
【解答】证明：∵25x＝2000，
∴25x×25y＝2000×25y，
∵80y＝2000，
∴25x×25y＝2000×25y＝80y×25y＝2000y，
∴25x×25y＝2000y＝（25x）y＝25xy，即25x+y＝25xy，
∴x+y＝xy，（x、y均不可能为0）
∴＝1，即+＝1．
20．阅读材料：如果x是一个有理数，我们把不超过x的最大整数记作[x]．
例如，[3.2]＝3，[5]＝5，[﹣2.1]＝﹣3，那么，x＝[x]+a，其中0≤a＜1．
例如，3.2＝[3.2]+0.2，5＝[5]+0，﹣2.1＝[﹣2.1]+0.9．
请你解决下列问题：
（1）[4.8]＝ 4 ，[﹣6.5]＝ ﹣7 ；
（2）如果[x]＝5，那么x的取值范围是 5≤x＜6 ；
（3）如果[5x﹣2]＝3x+1，那么x的值是 ；
（4）如果x＝[x]+a，其中0≤a＜1，且4a＝[x]+1，求x的值．
【分析】（1）根据新定义直接求解；
（2）根据[x]表示不超过x的最大整数的定义即可求解；
（3）根据[x]表示不超过x的最大整数的定义得：3x+1≤5x﹣2＜3x+2，且3x+1是整数，计算可得结论；
（4）根据4a＝[x]+1，表示a，再根据a的范围建立不等式x值．
【解答】解：（1）[4.8]＝4，[﹣6.5]＝﹣7．
故答案为：4，﹣7．
（2）如果[x]＝5．那么x的取值范围是5≤x＜6．
故答案为：5≤x＜6．
（3）如果[5x﹣2]＝3x+1，那么3x+1≤5x﹣2＜3x+2．
解得：，
∵3x+1是整数．
∴．
故答案为：．
（4）∵x＝[x]+a，其中0≤a＜1，
∴[x]＝x﹣a，
∵4a＝[x]+1，
∴．
∵0≤a＜1，
∴，
∴﹣1≤[x]＜3，
∴[x]＝﹣1，0，1，2．
当[x]＝﹣1时，a＝0，x＝﹣1；
当[x]＝0时，，；
当[x]＝1时，，；
当[x]＝2时，，；
∴x＝﹣1或或或．
21．阅读理解：
例1．解方程|x|＝2，因为在数轴上到原点的距离为2的点对应的数为±2，所以方程|x|＝2的解为x＝±2．
例2．解不等式|x﹣1|＞2，在数轴上找出|x﹣1|＝2的解（如图），因为在数轴上到1对应的点的距离等于2的点对应的数为﹣1或3，所以方程|x﹣1|＝2的解为x＝﹣1或x＝3，因此不等式|x﹣1|＞2的解集为x＜﹣1或x＞3．
参考阅读材料，解答下列问题：
（1）方程|x﹣2|＝3的解为 x＝﹣1或x＝5 ；
（2）解不等式：|x﹣2|≤1．
（3）解不等式：|x﹣4|+|x+2|＞8．
（4）对于任意数x，若不等式|x+2|+|x﹣4|＞a恒成立，求a的取值范围．
【分析】（1）利用在数轴上到﹣2对应的点的距离等于5的点对应的数为5或﹣1求解即可；
（2）先求出|x﹣2|＝1的解，再求|x﹣2|≤1的解集即可；
（3）先在数轴上找出|x﹣4|+|x+2|＝8的解，即可得出不等式|x﹣4|+|x+2|＞8的解集．
【解答】解：（1）∵在数轴上到2对应的点的距离等于3的点对应的数为﹣1或5，
∴方程|x﹣2|＝3的解为x＝﹣1或x＝5，
故答案为x＝﹣1或x＝5；
（2）在数轴上找出|x﹣2|＝1的解．
∵在数轴上到2对应的点的距离等于1的点对应的数为1或3，
∴不等式|x﹣2|≤1的解集为1≤x≤3；
（3）在数轴上找出|x﹣4|+|x+2|＝8的解．
由绝对值的几何意义知，该方程就是求在数轴上到4和﹣2对应的点的距离之和等于8的点对应的x的值，
∵在数轴上4和﹣2对应的点的距离为6，
∴满足方程的x对应的点在4的右边或﹣2的左边，
若x对应的点在4的右边，可得x＝5；若x对应的点在﹣2的左边，可得x＝﹣3，
∴方程|x﹣4|+|x+2|＝8的解是x＝5或x＝﹣3，
∴不等式|x﹣4|+|x+2|＞8的解集为x＞5或x＜﹣3；
（4）∵|x+2|+|x﹣4|表示在数轴上表示x的点到﹣2与4的距离之和，
∴|x+2|+|x﹣4|≥6，
则要使不等式|x+2|+|x﹣4|＞a恒成立，a的取值范围是a＜6．
22．在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点E，点F分别是AB，AC上（不与B，C重合的动点，点O是BC的中点，连接AO．
（1）如图1，当∠EOF＝90°时，请问△AEO与△CFO全等吗？如果全等请证明如果不是请说明理由；
（2）如图2，在（1）的条件下，过点O作OH⊥AC，垂足为H，若AE＝3，AF＝9，请求HF的长；
（3）如图3，当∠EOF＝45°时，连接EF，若AO＝5，AE：AF：EF＝3：4：5，请求△AOF的面积．
【分析】（1）先判断出OB＝OC，再判断出∠AOE＝∠COF，最后判断出∠OAC＝∠C，即可得出结论；
（2）先判断出CH＝AC，由（1）知，△AOE≌△COF，得出CF＝AE，进而求出AC＝12，即可求出答案；
（3）设AE＝3x，AF＝4x，EF＝5x，过点O作OG⊥OE交AC于G，同（1）的方法得，△AOE≌△COG（ASA），得出AE＝CG＝3x，OE＝OG，进而判断出△EOF≌△GOF（SAS），得出EF＝FG＝5x，进而判断出△AOF的面积是△AOC的面积的三分之一，即可求出答案．
【解答】解：（1）△AEO≌△CFO，
理由：∵点O是BC的中点，
∴OB＝OC，
∵AB＝AC，
∴AO⊥BC，
∴∠AOB＝∠AOC＝90°，
∴∠AOF+∠COF＝90°，
∵∠EOF＝90°，
∴∠AOE+∠AOF＝90°，
∴∠AOE＝∠COF，
在Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，AO⊥BC，
∴OC＝OA，∠C＝∠B＝45°，∠OAB＝∠BAC＝45°，
∴∠OAC＝∠C，
在△AEO和△CFO中，
，
∴△AEO≌△CFO（ASA）；
（2）由（1）知，∠AOC＝90°，OA＝OC，
∵OH⊥AC，
∴CH＝AC，
由（1）知，△AOE≌△COF，
∴CF＝AE，
∵AE＝3，
∴CF＝3，
∵AF＝9，
∴AC＝AF+CF＝12，
∴HF＝CH﹣CF＝AC﹣CF＝×12﹣3＝3；
（3）∵AE：AF：EF＝3：4：5，
∴设AE＝3x，AF＝4x，EF＝5x，
如图，过点O作OG⊥OE交AC于G，
∴∠EOG＝90°，
∵∠EOF＝45°，
∴∠FOG＝∠EOG﹣∠EOF＝45°＝∠EOF，
同（1）的方法得，△AOE≌△COG（ASA），
∴AE＝CG＝3x，OE＝OG，
∵OF＝OF，
∴△EOF≌△GOF（SAS），
∴EF＝FG＝5x，
∴AC＝AF+FG+CG＝4x+5x+3x＝12x，
过点O作OM⊥AC于M，
∵S△AOC＝AC•OM＝6x•OM，S△AOF＝AF•OM＝2x•OM，
∴S△AOF＝S△AOC，
在Rt△ABC中，AB＝AC，点O为BC的中点，
∴OA⊥OC，OA＝OC＝5，
∴S△AOF＝S△AOC＝×OA•OC＝．