八年级上学期10月月考数学试卷

这是一份八年级上学期10月月考数学试卷，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（2分）三角形两边长为6与8，那么周长l的取值范围（ ）
A．2＜l＜14B．16＜l＜28C．14＜l＜28D．20＜l＜24
2．（2分）一个多边形对角线的条数是边数的3倍，则这个多边形是（ ）
A．七边形B．八边形C．九边形D．十边形
3．（2分）如图是一个平分角的仪器，其中AB＝AD，BC＝DC，将点A放在角的顶点，AB和AD沿着角的两边放下，沿AC画一条射线，这条射线就是角的平分线，在这个操作过程中，运用了三角形全等的判定方法是（ ）
A．SSSB．SASC．ASAD．AAS
4．（2分）如图，AB∥CD，AD∥BC，OE＝OF，图中全等三角形共有（ ）
A．4对B．5对C．6对D．7对
5．（2分）下列说法正确的是（ ）
A．有两边和一个角相等的两个三角形全等
B．两条直角边对应相等的两个直角三角形全等
C．三角形的一条中线把三角形分成的两个小三角形全等
D．有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等
6．（2分）如图，∠ABC＝∠ABD，要使△ABC≌△ABD，还需添加一个条件，那么在①AC＝AD；②BC＝BD；③∠C＝∠D；④∠CAB＝∠DAB这四个关系中可以选择的是（ ）
A．②③B．②④C．①③④D．②③④
7．（2分）一个正方形和两个等边三角形的位置如图所示，若∠1＝50°，则∠2+∠3＝（ ）
A．190°B．130°C．100°D．80°
8．（2分）如图，∠ABD，∠ACD的角平分线交于点P，若∠A＝50°，∠D＝10°，则∠P的度数为（ ）
A．15°B．20°C．25°D．30°
9．（2分）若三角形的两边长分别为5和7，则第三边的中线长x的取值范围是（ ）
A．1＜x＜6B．5＜x＜7C．2＜x＜12D．无法确定
10．（2分）如图，AE⊥AB且AE＝AB，BC⊥CD且BC＝CD，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积S是（ ）
A．50B．62C．65D．68
11．（2分）如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，与AC交于点D，DE⊥AB于点E，若BC＝5，△BCD的面积为5，则ED的长为（ ）
A．B．1C．2D．5
12．（2分）如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AC，垂足为E，BF∥AC交ED的延长线于点F，若BC恰好平分∠ABF，AE＝2BF．给出下列四个结论：①DE＝DF；②DB＝DC；③AD⊥BC；④AC＝3BF，其中正确的结论共有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
二、填空题
13．（3分）如果一个多边形的每一个外角都等于45°，那么这个多边形的边数是 ．
14．（3分）如图，△ABC≌△AED，若∠1＝27°，则∠2＝ °．
15．（3分）如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H＝ °．
16．（3分）如图，AD＝BD，AD⊥BC，垂足为D，BF⊥AC，垂足为F，BC＝7cm，DC＝3cm，则AE＝ cm．
17．（3分）如图，△ABC中，沿DE折叠，点A落在三角形所在的平面内的点为A'，若∠A＝30°，∠‘BDA'＝84°，则‘∠CEA'的度数为 ．
18．（3分）如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC平分线BP交于点P，若∠BPC＝38°，则∠CAP＝ ．
三、解答题
19．（8分）如图，A、E、B、D在同直线上，在△ABC和△DEF中，AB＝DE，AC＝DF，AC∥DF．求证：△ABC≌△DEF．
20．（8分）如图，AD是△ABC的BC边上的高，AE平分∠BAC，若∠B＝42°，∠C＝70°，求∠AEC和∠DAE的度数．
21．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝34°，DE⊥AB于E，且DE＝DC，求∠DBC的度数．
22．（10分）已知BD、CE是△ABC的高，点P在BD的延长线上，BP＝AC，点Q在CE上，CQ＝AB．判断线段AP和AQ的关系，并证明．
23．（10分）直角△ABC中，∠C＝90°，点D，E分别是边AC，BC上的点，点P是一动点，令∠PDA＝∠1，∠PEB＝∠2，∠DPE＝∠α．
（1）若点P在线段AB上，如图1所示，且∠α＝50°，则∠1+∠2＝ ；
（2）若点P在边AB上运动，如图2所示，则∠α、∠1、∠2之间有何关系，并说明理由；
（3）如图3，若点P在斜边BA的延长线上运动（CE＜CD），请写出∠α、∠1、∠2之间的关系式．
24．（12分）已知，△ABC是等腰直角三角形，BC＝AB，A点在x轴负半轴上，直角顶点B在y轴上，点C在x轴上方．
（1）如图1所示，若A的坐标是（﹣3，0），点B的坐标是（0，1），求点C的坐标；
（2）如图2，过点C作CD⊥y轴于D，请直接写出线段OA，OD，CD之间等量关系；
（3）如图3，若x轴恰好平分∠BAC，BC与x轴交于点E，过点C作CF⊥x轴于F，问CF与AE有怎样的数量关系？并说明理由．
参考答案与试题解析
一、选择题
1．（2分）三角形两边长为6与8，那么周长l的取值范围（ ）
A．2＜l＜14B．16＜l＜28C．14＜l＜28D．20＜l＜24
【分析】设第三边长为x，再由三角形的三边关系求出x的取值范围，进而可得出结论．
【解答】解：设第三边长为x，
∵三角形两边长为6与8，
∴8﹣6＜x＜8+6，即2＜x＜14，
∴8+6+2＜l＜8+6+14，即16＜l＜28．
故选：B．
【点评】本题考查的是三角形三边关系，熟知三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解答此题的关键．
2．（2分）一个多边形对角线的条数是边数的3倍，则这个多边形是（ ）
A．七边形B．八边形C．九边形D．十边形
【分析】n边形的对角线有n•（n﹣3）条，根据对角线条数是它边数的3倍即可求得多边形的边数．
【解答】解：设这个多边形的边数是n．
根据题意得：n•（n﹣3）＝3n，
解得：n＝9．
∴这个多边形的边数是9．
故选：C．
【点评】本题主要考查了多边形的对角线的条数与多边形的边数之间的关系．
3．（2分）如图是一个平分角的仪器，其中AB＝AD，BC＝DC，将点A放在角的顶点，AB和AD沿着角的两边放下，沿AC画一条射线，这条射线就是角的平分线，在这个操作过程中，运用了三角形全等的判定方法是（ ）
A．SSSB．SASC．ASAD．AAS
【分析】根据题目所给条件可利用SSS定理判定△ADC≌△ABC，进而得到∠DAC＝∠BAC．
【解答】解：在△ADC和△ABC中，
，
∴△ADC≌△ABC（SSS），
∴∠DAC＝∠BAC，
∴AC就是∠DAB的平分线．
故选：A．
【点评】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，关键是掌握全等三角形的判定定理：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
4．（2分）如图，AB∥CD，AD∥BC，OE＝OF，图中全等三角形共有（ ）
A．4对B．5对C．6对D．7对
【分析】由“ASA”可证△ABC≌△CDA，△ABO≌△CDO，△AOD≌△COB，由“SSS”可证△ABD≌△CDB，由“SAS”可证△ABF≌△CDE，△BFO≌△DEO，△BFC≌△DEA，即可求解．
【解答】解：∵AB∥CD，AD∥BC，
∴∠BAC＝∠ACD，∠DAC＝∠ACB，∠ABD＝∠CDB，∠ADB＝∠CBD，
在△ABC和△CDA中，
，
∴△ABC≌△CDA（ASA），
∴AB＝CD，AD＝BC，∠ABC＝∠ADC，
同理可证△ABO≌△CDO（ASA），△AOD≌△COB（ASA），
∴OA＝OC，OB＝OD，
在△ABD和△CDB中，
，
∴△ABD≌△CDB（SSS），
∵AO＝CO，EO＝FO，
∴AF＝CE，CF＝AE，
在△ABF和△CDE中，
，
∴△ABF≌△CDE（SAS），
同理可证△BFO≌△DEO（SAS），△BFC≌△DEA（SAS），
∴共有7组全等三角形，
故选：D．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
5．（2分）下列说法正确的是（ ）
A．有两边和一个角相等的两个三角形全等
B．两条直角边对应相等的两个直角三角形全等
C．三角形的一条中线把三角形分成的两个小三角形全等
D．有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等
【分析】根据全等三角形的判定定理；SAS、AAS、ASA、SSS、HL对各个选项逐个分析即可判断的．
【解答】解；∵有两边和它们夹角对应相等的两个三角形全等，
而不是有两边和一个角相等的两个三角形全等，
∴A选项错误．
B、两条直角边对应相等的两个直角三角形全等，
符合全等三角形的判定定理SAS，所以B选项正确．
三角形的一条中线把三角形分成的两个小三角形中，只有一条对应边相等，
所以不能判定两个小三角形全等，故C错误．
D、有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等，
不符合全等三角形的判定定理SAS，所以D选项错误．
故选：B．
【点评】此题主要考查学生对全等三角形的判定定理；SAS、AAS、ASA、SSS、HL的理解和掌握．
6．（2分）如图，∠ABC＝∠ABD，要使△ABC≌△ABD，还需添加一个条件，那么在①AC＝AD；②BC＝BD；③∠C＝∠D；④∠CAB＝∠DAB这四个关系中可以选择的是（ ）
A．②③B．②④C．①③④D．②③④
【分析】利用全等三角形的判定依次判断可求解．
【解答】解：若AC＝AD，且∠ABC＝∠ABD，AB＝AB，不能证明△ABC≌△ABD，故①不合题意；
若BC＝BD，且∠ABC＝∠ABD，AB＝AB，由“SAS”可证△ABC≌△ABD，故②符合题意；
若∠C＝∠D，且∠ABC＝∠ABD，AB＝AB，由“AAS”可证△ABC≌△ABD，故③符合题意；
若∠CAB＝∠DAB，且∠ABC＝∠ABD，AB＝AB，由“ASA”可证△ABC≌△ABD，故④符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
7．（2分）一个正方形和两个等边三角形的位置如图所示，若∠1＝50°，则∠2+∠3＝（ ）
A．190°B．130°C．100°D．80°
【分析】设围成的小三角形为△ABC，分别用∠1、∠2、∠3表示出△ABC的三个内角，再利用三角形的内角和等于180°列式整理即可得解．
【解答】解：如图，∠BAC＝180°﹣90°﹣∠1＝90°﹣∠1，
∠ABC＝180°﹣60°﹣∠3＝120°﹣∠3，
∠ACB＝180°﹣60°﹣∠2＝120°﹣∠2，
在△ABC中，∠BAC+∠ABC+∠ACB＝180°，
∴90°﹣∠1+120°﹣∠3+120°﹣∠2＝180°，
∴∠1+∠2＝150°﹣∠3，
∵∠1＝50°，
∴∠2+∠3＝150°﹣50°＝100°．
故选：C．
【点评】本题考查了等边三角形的性质以及三角形的内角和定理，用∠1、∠2、∠3表示出△ABC的三个内角是解题的关键，也是本题的难点．
8．（2分）如图，∠ABD，∠ACD的角平分线交于点P，若∠A＝50°，∠D＝10°，则∠P的度数为（ ）
A．15°B．20°C．25°D．30°
【分析】利用角平分线的性质计算．
【解答】解：延长DC，与AB交于点E．
∵∠ACD是△ACE的外角，∠A＝50°，
∴∠ACD＝∠A+∠AEC＝50°+∠AEC．
∵∠AEC是△BDE的外角，
∴∠AEC＝∠ABD+∠D＝∠ABD+10°，
∴∠ACD＝50°+∠AEC＝50°+∠ABD+10°，
整理得∠ACD﹣∠ABD＝60°．
设AC与BP相交于O，则∠AOB＝∠POC，
∴∠P+∠ACD＝∠A+∠ABD，
即∠P＝50°﹣（∠ACD﹣∠ABD）＝20°．
故选：B．
【点评】本题综合考查平分线的性质、三角形外角的性质、三角形内角和等知识点．
9．（2分）若三角形的两边长分别为5和7，则第三边的中线长x的取值范围是（ ）
A．1＜x＜6B．5＜x＜7C．2＜x＜12D．无法确定
【分析】延长AD至E，使AD＝DE，即可求证△BDE≌△CDA，在△ABE中，根据任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，即可求解．
【解答】解：延长AD至E，使AD＝DE，
如图所示，AB＝5，AC＝7，
设BC＝2a，AD＝x，
∵AD＝DE，
∴AE＝2AD＝2x，
在△BDE与△CDA中，
，
∴△BDE≌△CDA（SAS），
∴BE＝AC＝7，
在△ABE中，BE﹣AB＜AE＜AB+BE，
即7﹣5＜2x＜7+5，
∴1＜x＜6．
故选：C．
【点评】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证△BDE≌△CDA是解题的关键．
10．（2分）如图，AE⊥AB且AE＝AB，BC⊥CD且BC＝CD，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积S是（ ）
A．50B．62C．65D．68
【分析】由AE⊥AB，EF⊥FH，BG⊥AG，可以得到∠EAF＝∠ABG，而AE＝AB，∠EFA＝∠AGB，由此可以证明△EFA≌△ABG，所以AF＝BG，AG＝EF；
同理证得△BGC≌△DHC，GC＝DH，CH＝BG．
故FH＝FA+AG+GC+CH＝3+6+4+3＝16，然后利用面积的割补法和面积公式即可求出图形的面积．
【解答】解：∵AE⊥AB且AE＝AB，EF⊥FH，BG⊥FH，
∴∠EAB＝∠EFA＝∠BGA＝90°，
∵∠EAF+∠BAG＝90°，∠ABG+∠BAG＝90°，
∴∠EAF＝∠ABG，
∴AE＝AB，∠EFA＝∠AGB，∠EAF＝∠ABG，
∴△EFA≌△AGB，
∴AF＝BG，AG＝EF．
同理证得△BGC≌△CHD得GC＝DH，CH＝BG．
故FH＝FA+AG+GC+CH＝3+6+4+3＝16
故S＝（6+4）×16﹣3×4﹣6×3＝50．
故选：A．
【点评】本题考查的是全等三角形的判定的相关知识，是中考常见题型．
11．（2分）如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，与AC交于点D，DE⊥AB于点E，若BC＝5，△BCD的面积为5，则ED的长为（ ）
A．B．1C．2D．5
【分析】作DF⊥BC交BC的延长线于F，根据三角形的面积公式求出DF的长，根据角平分线的性质定理求出DE的长．
【解答】解：作DF⊥BC交BC的延长线于F，
∵BC＝5，△BCD的面积为5，
∴DF＝2，
∵BD平分∠ABC，DE⊥AB，DF⊥BC，
∴DE＝DF＝2，
故选：C．
【点评】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
12．（2分）如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AC，垂足为E，BF∥AC交ED的延长线于点F，若BC恰好平分∠ABF，AE＝2BF．给出下列四个结论：①DE＝DF；②DB＝DC；③AD⊥BC；④AC＝3BF，其中正确的结论共有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
【分析】根据等腰三角形的性质三线合一得到BD＝CD，AD⊥BC，故②③正确；通过△CDE≌△BDF，得到DE＝DF，CE＝BF，故①④正确．
【解答】解：∵BF∥AC，
∴∠C＝∠CBF，
∵BC平分∠ABF，
∴∠ABC＝∠CBF，
∴∠C＝∠ABC，
∴AB＝AC，
∵AD是△ABC的角平分线，
∴BD＝CD，AD⊥BC，故②③正确，
在△CDE和△BDF中，
，
∴△CDE≌△BDF（ASA），
∴DE＝DF，CE＝BF，故①正确；
∵AE＝2BF，
∴AC＝3BF，故④正确．
故选：A．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，掌握等腰三角形的性质三线合一是解题的关键．
二、填空题
13．（3分）如果一个多边形的每一个外角都等于45°，那么这个多边形的边数是 8 ．
【分析】根据多边形的外角和是360度即可求得外角的个数，即多边形的边数．
【解答】解：多边形的边数是：＝8，
故答案为：8．
【点评】本题主要考查了多边形的外角和定理，理解多边形外角和中外角的个数与正多边形的边数之间的关系，是解题关键．
14．（3分）如图，△ABC≌△AED，若∠1＝27°，则∠2＝ 27 °．
【分析】先运用三角形全等求出∠BAC＝∠EAD，即可求出∠2的度数．
【解答】解：∵△ABC≌△AED，
∴∠BAC＝∠EAD，
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠EAD﹣∠DAC，
即：∠2＝∠1
∵∠1＝27°，
∴∠2＝27°．
故答案为27°．
【点评】本题考查了全等三角形的性质，掌握全等三角形的性质是解题的关键．
15．（3分）如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H＝ 720° °．
【分析】由多边形的内角和定理，即可计算．
【解答】解：连接AE，
∵∠FMH＝∠AME，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H的度数＝五边形ABCDE的内角和的度数+四边形GFMH的内角和的度数﹣△AME的内角和的度数，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H的度数＝（5﹣2）×180°+360°﹣180°＝720°．
【点评】本题考查多边形内角和定理，关键是把求各角的度数和转化为求五边形，四边形，三角形内角和．
16．（3分）如图，AD＝BD，AD⊥BC，垂足为D，BF⊥AC，垂足为F，BC＝7cm，DC＝3cm，则AE＝ 1 cm．
【分析】易证∠CAD＝∠CBF，即可求证△ACD≌△BED，可得DE＝CD，即可求得AE的长，即可解题．
【解答】解：∵∠CAD+∠C＝90°，∠CBF+∠C＝90°，
∴∠CAD＝∠CBF，
∴△ACD≌△BED（ASA），
∴DE＝CD，
∴AE＝AD﹣DE＝BD﹣CD＝BC﹣CD﹣CD＝1（cm）．
故答案为：1．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
17．（3分）如图，△ABC中，沿DE折叠，点A落在三角形所在的平面内的点为A'，若∠A＝30°，∠‘BDA'＝84°，则‘∠CEA'的度数为 24° ．
【分析】由∠BDA′＝84°，可知邻补角的度数，根据折叠的性质知∠ADE＝∠A′DE，又∠A＝30°，运用三角形的外角和求出∠DEC，再根据邻补角定义和折叠的性质知∠AED＝∠A′ED，从而求出∠CEA′的度数．
【解答】解：∵∠BDA′＝84°，
∴∠ADA′＝96°，
根据折叠的性质知∠ADE＝∠A′DE＝∠ADA′＝48°，
又∵∠A＝30°，
∴∠DEC＝78°，
∴∠AED＝∠A′ED＝102°，
∴∠CEA′＝∠A′ED﹣∠DEC＝24°．
故答案为：24°．
【点评】本题考查了翻折变换（折叠问题）、三角形内角和定理，掌握折叠的性质、三角形内角和定理是解决问题的关键．
18．（3分）如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC平分线BP交于点P，若∠BPC＝38°，则∠CAP＝ 52° ．
【分析】根据外角与内角性质得出∠BAC的度数，再利用角平分线的性质以及直角三角形全等的判定，得出∠CAP＝∠FAP即可得出答案．
【解答】解：过P点作PF⊥BA于F，PN⊥BD于N，PM⊥AC于M，
设∠PCD＝x°，
∵CP平分∠ACD，
∴∠ACP＝∠PCD＝x°，PM＝PN，
∵BP平分∠ABC，
∴∠ABP＝∠PBC，PF＝PN，
∴PF＝PM，
又∵PF⊥BA于F，PM⊥AC于M，
∴∠FAP＝∠PAC．
∵∠BPC＝38°，
∴∠ABP＝∠PBC＝（x﹣38）°，
∴∠BAC＝∠ACD﹣∠ABC＝2x°﹣（x°﹣38°）﹣（x°﹣38°）＝76°，
∴∠CAF＝104°，
∴∠FAP＝∠PAC＝52°．
故答案为：52°．
【点评】本题主要考查了角平分线的性质以及三角形外角的性质，掌握三角形外角的性质及角平分线的性质是解题的关键．
三、解答题
19．（8分）如图，A、E、B、D在同直线上，在△ABC和△DEF中，AB＝DE，AC＝DF，AC∥DF．求证：△ABC≌△DEF．
【分析】欲证两三角形全等，已经有两个条件，只要再有一个条件就可以了，而AC∥DF可以得出∠CAB＝∠D，条件找到，全等可证．
【解答】证明：∵AC∥DF，
∴∠CAB＝∠D，
在△ABC和△DEF中，AB＝DE，AC＝DF，
∴△ABC≌△DEF（SAS）．
【点评】本题主要考查三角形全等的判定；要牢固掌握并灵活运用这些知识．
20．（8分）如图，AD是△ABC的BC边上的高，AE平分∠BAC，若∠B＝42°，∠C＝70°，求∠AEC和∠DAE的度数．
【分析】由三角形内角和定理可求得∠BAC的度数，在Rt△ADC中，可求得∠DAC的度数，AE是角平分线，有∠EAC＝∠BAC，故∠EAD＝∠EAC﹣∠DAC．
【解答】解：∵∠B＝42°，∠C＝70°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝68°，
∵AE是角平分线，
∴∠EAC＝∠BAC＝34°．
∵AD是高，∠C＝70°，
∴∠DAC＝90°﹣∠C＝20°，
∴∠DAE＝∠EAC﹣∠DAC＝34°﹣20°＝14°，
∠AEC＝90°﹣14°＝76°．
【点评】本题考查三角形的内角和定理及角平分线的性质，高线的性质，解答的关键是熟练掌握三角形的内角和定理．
21．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝34°，DE⊥AB于E，且DE＝DC，求∠DBC的度数．
【分析】根据已知条件结合角平分线性质定理的逆定理即可得到BD是∠BAC的角平分线，根据直角三角形的两个锐角互余求解．
【解答】解：∵∠C＝90°，
∴DC⊥BC，
∵DE⊥AB，DE＝DC，
∴点D在∠ABC的平分线上，
∴BD平分∠ABC，
∴∠EBD＝∠DBC，
∴∠DBC＝∠ABC．
∵∠A＝34°，
∴∠ABC＝56°，
∴∠DBC＝28°．
故答案为：28°．
【点评】此题主要考查了角平分线性质的运用和直角三角形性质的运用，解题的关键是熟练掌握直角三角形全等的判定方法．
22．（10分）已知BD、CE是△ABC的高，点P在BD的延长线上，BP＝AC，点Q在CE上，CQ＝AB．判断线段AP和AQ的关系，并证明．
【分析】由BD、CE是△ABC的高，得∠AEC＝90°，∠ADB＝90°，再由∠1＝∠2，BP＝AC，AB＝CQ，∴△ABP≌△QCA（SAS）则AP＝AQ，又∵∠P+∠PAD＝90°，∠P＝∠CAQ，∴∠QAC+∠PAD＝90°∴AP⊥AQ且AP＝AQ；
【解答】解：AP⊥AQ且AP＝AQ．
理由如下：
∵BD，CE是△ABC的高，
∴∠AEC＝∠ADB＝90°，
∴∠1+∠BAC＝90°，∠2+∠BAC＝90°，
∴∠1＝∠2．
在△ABP与△QCA中，，
∴△ABP≌△QCA（SAS），
∴AP＝AQ，∠P＝∠QAC，
又∵∠P+∠PAD＝90°，
∴∠QAC+∠PAD＝90°，
即AP⊥AQ，
∴AP⊥AQ且AP＝AQ．
【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，同学们应该掌握．
23．（10分）直角△ABC中，∠C＝90°，点D，E分别是边AC，BC上的点，点P是一动点，令∠PDA＝∠1，∠PEB＝∠2，∠DPE＝∠α．
（1）若点P在线段AB上，如图1所示，且∠α＝50°，则∠1+∠2＝ 140° ；
（2）若点P在边AB上运动，如图2所示，则∠α、∠1、∠2之间有何关系，并说明理由；
（3）如图3，若点P在斜边BA的延长线上运动（CE＜CD），请写出∠α、∠1、∠2之间的关系式．
【分析】（1）根据四边形内角和定理以及邻补角的定义得出∠1+∠2＝∠C+∠α，进而得出即可；
（2）利用（1）中所求得出答案即可；
（3）利用三角外角的性质分三种情况讨论即可．
【解答】解：（1）∵∠1+∠2+∠CDP+∠CEP＝360°，∠C+∠α+∠CDP+∠CEP＝360°，
∴∠1+∠2＝∠C+∠α，
∵∠C＝90°，∠α＝50°，
∴∠1+∠2＝140°；
（2）由（1）得出：
∠α+∠C＝∠1+∠2，
∴∠1+∠2＝90°+α．
（3）如图，
分三种情况：在BA延长线上取点P，连接EP、DP，
如图1，由三角形的外角性质，∠2＝∠C+∠1+∠α，
∴∠2﹣∠1＝90°+∠α；
如图2，∠α＝0°，∠2＝∠1+90°；
如图3，∠2＝∠1﹣∠α+∠C，
∴∠1﹣∠2＝∠α﹣90°．
【点评】本题考查了三角形内角和定理和外角的性质、对顶角相等的性质，熟练利用三角形外角的性质是解决问题的关键．
24．（12分）已知，△ABC是等腰直角三角形，BC＝AB，A点在x轴负半轴上，直角顶点B在y轴上，点C在x轴上方．
（1）如图1所示，若A的坐标是（﹣3，0），点B的坐标是（0，1），求点C的坐标；
（2）如图2，过点C作CD⊥y轴于D，请直接写出线段OA，OD，CD之间等量关系；
（3）如图3，若x轴恰好平分∠BAC，BC与x轴交于点E，过点C作CF⊥x轴于F，问CF与AE有怎样的数量关系？并说明理由．
【分析】（1）作CH⊥y轴于H，如图1，易得OA＝3，OB＝1根据等腰直角三角形的性质得BA＝BC，∠ABC＝90°，再利用等角的余角相等得到∠CBH＝∠BAO，则可根据“AAS”证明△ABO≌△BCH，得到OB＝CH＝1，OA＝BH＝3，所以C（﹣1，4）；
（2）与（1）一样的方法可证明△ABO≌△BCD，得到OB＝CD，OA＝BD，易得OA＝CD+OD；
（3）如图3，CF和AB的延长线相交于点D，先证明△ABE≌△CBD得到AE＝CD，再利用对称性质得CF＝DF，所以CF＝AE．
【解答】解：（1）作CH⊥y轴于H，如图1，
∵点A的坐标是（﹣3，0），点B的坐标是（0，1），
∴OA＝3，OB＝1，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴BA＝BC，∠ABC＝90°，
∴∠ABO+∠CBH＝90°，
∵∠ABO+∠BAO＝90°，
∴∠CBH＝∠BAO，
在△ABO和△BCH中
，
∴△ABO≌△BCH，
∴OB＝CH＝1，OA＝BH＝3，
∴OH＝OB+BH＝1+3＝4，
∴C（﹣1，4）；
（2）OA＝CD+OD．理由如下：如图2，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴BA＝BC，∠ABC＝90°，
∴∠ABO+∠CBD＝90°，
∵∠ABO+∠BAO＝90°，
∴∠CBD＝∠BAO，
在△ABO和△BCD中
，
∴△ABO≌△BCD，
∴OB＝CD，OA＝BD，
而BD＝OB+OD＝CD+OD，
∴OA＝CD+OD；
（3）CF＝AE．理由如下：
如图3，CF和AB的延长线相交于点D，
∴∠CBD＝90°，
∵CF⊥x，
∴∠BCD+∠D＝90°，
而∠DAF+∠D＝90°，
∴∠BCD＝∠DAF，
在△ABE和△CBD中，
，
∴△ABE≌△CBD（ASA），
∴AE＝CD，
∵x轴平分∠BAC，CF⊥x轴，
∴CF＝DF，
∴CF＝CD＝AE．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．也考查了坐标与图形性质和等腰直角三角形的性质．本题的关键是利用等腰直角三角形的性质添加辅助线构建全等三角形．