必修 第一册5.5 三角恒等变换学案

这是一份必修 第一册5.5 三角恒等变换学案，共8页。学案主要包含了学习目标，问题探究1，问题探究2等内容，欢迎下载使用。

【学习目标】 (1)能用二倍角公式推导出半角公式，并进行简单的应用．(2)能运用两角和与差及二倍角的正弦、余弦、正切公式进行简单的恒等变换．(3)掌握三角恒等变换在三角函数中的应用．

题型 1半角公式
【问题探究1】 (1)我们知道在倍角公式中，“倍角是相对的”，对余弦的二倍角公式，若用α替换2α，则能得到什么结论？
(2)根据上述结果，试用cs α表示sin ，cs ，tan .
例1 已知sin θ＝，且<θ<3π，求sin ，cs ，tan .
题后师说
利用半角公式求值的步骤
跟踪训练1 已知π＜θ＜2π，且cs θ＝－，则tan ＝( )
A．－3 B．3
C．－ D．
题型 2三角函数式的化简、证明
例2 已知π<α<，化简：.
学霸笔记：化简、证明问题中的“三变”
(1)变角：三角变换时通常先寻找式子中各角之间的关系，通过拆、凑等手段消除角之间的差异，合理选择联系它们的公式．
(2)变名：观察三角函数种类的差异，尽量统一函数的名称，如统一为弦或统一为切．
(3)变式：观察式子的结构形式的差异，选择适当的变形途径，如升幂、降幂、配方、开方等．
跟踪训练2 求证：＝.
题型 3辅助角公式的应用
【问题探究2】 (1)请同学们根据两角和与差的正弦公式合并式子：sin x±cs x，sin x±cs x，cs x±sin x．
(2)一般地，对于y＝a sin x＋b cs x，如何进行合并呢？
例3 已知函数f(x)＝2sin x cs x＋cs (2x－)＋cs (2x＋)，x∈R.
(1)求f的值；
(2)求函数f(x)在区间[，π]上的单调区间．
学霸笔记：解此类问题首先利用两角和与差的正弦公式、二倍角公式、辅助角公式化简已知函数式，转化为正弦(余弦)型函数，再研究三角函数的性质．
跟踪训练3 已知函数f(x)＝sin x cs x－cs 2x.
(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)求函数f(x)在[0，]上的值域．
题型 4三角恒等变换的实际应用
例4
(见教材5.5.2例10)如图，已知OPQ是半径为1，圆心角为的扇形，C是扇形弧上的动点，ABCD是扇形的内接矩形．记∠POC＝α，求当角α取何值时，矩形ABCD的面积最大？并求出这个最大面积．
学霸笔记：(1)解答此类问题，关键是合理引入辅助角，确定各量之间的关系，将实际问题转化为三角函数问题，再利用三角函数的有关知识求解．
(2)在求解过程中，要注意三点：①充分借助平面几何性质，寻找数量关系．②注意实际问题中变量的范围．③重视三角函数有界性的影响．
跟踪训练4 如图所示，要把半径为R的半圆形木料截成长方形，应怎样截取才能使△OAB的周长最大？
随堂练习
1.已知cs α＝－＜α＜π，则sin ＝( )
A．－ B．
C．－ D．
2．函数f(x)＝sin ＋cs 的最小正周期和最大值分别是( )
A．2π和 B．2π和2
C．4π和 D．4π和2
3．已知α∈(π，)，则 ＝( )
A．sin B．cs
C．－sin D．－cs
4．若函数y＝2sin x＋cs x的最大值为3，则a的值为________．
课堂小结
1.半角公式的推导．
2．利用半角公式解决三角函数式的化简与三角恒等式的证明．
3．辅助角公式的推导．
4．利用辅助角公式研究三角函数的性质．
5．辅助角公式在实际问题中的应用．
5．5.2 简单的三角恒等变换
问题探究1 提示：(1)csα＝2cs2－1＝1－2sin2＝cs2－sin2.
(2)∵cs2＝，∴cs ＝± .
同理sin ＝± ，
tan ＝＝± .
例1 解析：∵sin θ＝<θ<3π，
∴cs θ＝－＝－.
∵<<，∴sin＝－＝－，
cs ＝－ ＝－，tan ＝＝2.
跟踪训练1 解析：因为π＜θ＜2π，所以<<π，所以tan ＝－ ＝－ ＝－3.故选A.
答案：A
例2 解析：原式
＝+.
∵π<α<，∴<<，
∴cs <0，sin >0，
∴原式＝
＝－
＝－cs .
跟踪训练2 证明：左边
＝
＝
＝＝
＝＝＝右边．
所以原等式成立．
问题探究2 提示：(1)sin x±cs x＝sin (x±)，sin x±cs x＝2sin (x±)，cs x±sin x＝2sin (±x)．
(2)第一步：提常数，提出，得到×(sin x＋cs x)；
第二步：定角度，确定一个角φ满足cs φ＝，sin φ＝，得到(cs φsin x＋sin φcs x)；
第三步：化简、逆用公式得a sin x＋b cs x＝sin (x＋φ)，其中tan φ＝.
例3 解析：(1)∵f(x)＝2sin x cs x＋cs (2x－)＋cs (2x＋)
＝sin 2x＋cs 2x cs ＋sin 2x sin ＋cs 2x cs －sin 2x sin
＝sin 2x＋cs 2x＝2(sin 2x＋cs 2x)
＝2sin (2x＋)，
∴f＝2sin (2×)＝2sin ＝2.
(2)∵≤x≤π，∴≤2x＋，
所以当≤2x＋时，即≤x≤时，f(x)单调递减，
当≤2x＋时，即≤x≤π时，f(x)单调递增，
故f(x)在区间[，π]上的单调递减区间为[]，单调递增区间为[，π].
跟踪训练3 解析：(1)f(x)＝sin x cs x－cs 2x
＝sin 2x－cs 2x＝sin (2x－)，
∴f(x)的最小正周期T＝＝π.
(2)当0≤x≤时，－≤2x－，
∴－≤sin (2x－)≤1，∴－≤f(x)≤1，
即f(x)在[0，]上的值域为[－，1].
例4 解析：在Rt△OBC中，OB＝cs α，BC＝sin α.
在Rt△OAD中，＝tan 60°＝.
所以OA＝DA＝BC＝sin α，
AB＝OB－OA＝cs α－sin α.
设矩形ABCD的面积为S，则
S＝AB·BC＝(cs α－sin α)sin α
＝sin αcs α－sin2α
＝sin2α－(1－cs 2α)
＝sin 2α＋cs 2α－
＝sin 2α＋cs 2α)－
＝sin (2α＋)－.
由0<α<，得<2α＋<，
所以当2α＋＝，即α＝时，
S最大＝＝.
因此，当α＝时，矩形ABCD的面积最大，最大面积为.
跟踪训练4 解析：设∠AOB＝α，△OAB的周长为l，
则AB＝R sin α，OB＝R cs α，
∴l＝OA＋AB＋OB＝R＋R sin α＋R cs α＝R(sin α＋cs α)＋R＝R sin (α＋)＋R.
∵0<α<，∴<α＋<，
∴l的最大值为R＋R＝(＋1)R，
此时，α＋＝，即α＝，
故当α＝时，△OAB的周长最大．
[随堂练习]
1．解析：∵＜α＜π，∴＜＜，∵cs α＝－，∴sin ＝ ＝.故选D.
答案：D
2．解析：∵f(x)＝sin ＋cs ＝sin ()，∴f(x)的最小正周期为T＝＝4π，最大值为.故选C.
答案：C
3．解析：＝ ＝，α∈(π，)，∈()，故sin >0，故 ＝＝sin .故选A.
答案：A
4．解析：因为y＝2sin x＋cs x＝sin (x＋φ)(tan φ＝)，即函数y＝2sin x＋cs x的最大值为，由已知有＝3，即a＝9－4＝5.
答案：5