高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.5 三角恒等变换优秀学案及答案

课时5.1.1  两角和与差的正弦、余弦和正切公式

01考点梳理

知识点一  利用两点间距离公式推导公式

设单位圆与x轴的正半轴相交于点A(1,0)，以x轴非负半轴为始边作角α，β，α－β，它们的终边分别与单位圆相交于点P1(cosα，sinα)，A1(cosβ，sinβ)，P(cos(α－β)，sin(α－β))．

连接A1P1，AP.若把扇形OAP绕着点O旋转β角，则点A，P分别与点A1，P1重合．根据圆的旋转对称性可知，与重合，从而＝，所以AP＝A1P1.根据两点间的距离公式，得[cos(α－β)－1]2＋sin2(α－β)

＝                           ，化简得cos(α－β)＝                      .当α＝2kπ＋β(k∈Z)时，容易证明上式仍然成立．

知识点二  两角差的余弦公式

1．公式：cos(α－β)＝                      .

2．简记符号：         .

3．使用条件：α，β都是         .

两角和的余弦公式及两角和与差的正弦、正切公式

知识点三  两角和与差的正切公式

知识点四  二倍角公式

02考点解读

题型一  公式应用 

1．已知，α∈（0，π），求下列式子的值：

（1）sinαcosα；（2）；（3）sin3α+cos3α．

题型二  利用和（差）角公式求三角函数值 

2．已知，，则（    ）

A． B．7 C． D．-7

题型三  利用和（差）角公式化简三角函数值 

3．设、是锐角，那么下列各式成立的是（    ）

A． B．

C． D．

03题组训练

1．可化为（    ）

A． B． C． D．

2．函数的最小值为（    ）

A． B． C． D．

3．若，化简的结果为（    ）

A． B． C． D．

4．已知，且，则

A． B． C． D．

5．设，，，则（ ）

A． B． C． D．

6．已知，则的值为_________

7．已知函数，若函数的图象关于点对称，且，则_____

8．如图，某书中记载了一个“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？意思是：有一根竹子，原高一丈（1丈=10尺），现被风折断尖端落在地上，竹尖与竹根的距离为三尺，问折断处离地面的高为多少尺？现假设折断的竹子与地面的夹角（锐角）为，则________.

9．已知函数

（1）求的最小正周期；

（2）若，求的最大值，最小值．

10．已知，是第四象限角，求，，的值.

11．已如，是第三象限角，求的值.