必修 第一册5.5 三角恒等变换第2课时一课一练

第2课时　两角和与差的正弦、余弦公式

1．两角和与差的余弦公式

2.两角和与差的正弦公式

3.重要结论－辅助角公式

y＝asin x＋bcos x＝sin(x＋θ)(a，b不同时为0)，其中cos θ＝，sin θ＝.

1．cos 57°cos 3°－sin 57°sin 3°的值为(　　)

A．0　　　　B.　　　　C.　　　　 D．cos 54°

B　[原式＝cos(57°＋3°)＝cos 60°＝.]

2．sin 245°sin 125°＋sin 155°sin 35°的值是(　　)

A．－   B．－

C.   D.

B　[∵sin 245°＝sin(155°＋90°)＝cos 155°，

sin 125°＝sin(90°＋35°)＝cos 35°，

∴原式＝cos 155°cos 35°＋sin 155°sin 35°＝cos(155°－35°)＝cos 120°＝－.]

3．若cos α＝－，α是第三象限的角，则sin＝______.

－　[∵cos α＝－，α是第三象限的角，

∴sin α＝－＝－，

∴sin＝sin α－cos α＝×－×＝－.]

,给角求值问题【例1】　(1)cos 70°sin 50°－cos 200°sin 40°的值为(　　)

A．－　　　B．－　　　C.　　　D.

(2)若θ是第二象限角且sin θ＝，则cos(θ＋60°)＝________.

(3)求值：(tan 10°－).

(1)D　(2)－　[(1)∵cos 200°＝cos(180°＋20°)＝－cos 20°＝－sin 70°，sin 40°＝cos 50°，

∴原式＝cos 70°sin 50°－(－sin 70°)cos 50°

＝sin(50°＋70°)＝sin 120°＝.

(2)∵θ是第二象限角且sin θ＝，

∴cos θ＝－＝－，

∴cos(θ＋60°)＝cos θ－sin θ

＝×－×＝－.]

(3)[解]　原式＝(tan 10°－tan 60°)

＝

＝·

＝－2.]

解决给角求值问题的策略

(1)对于非特殊角的三角函数式求值问题，一定要本着先整体后局部的基本原则，如果整体符合三角公式的形式，则整体变形，否则进行各局部的变形．

(2)一般途径有将非特殊角化为特殊角的和或差的形式，化为正负相消的项并消项求值，化分子、分母形式进行约分，解题时要逆用或变用公式．

提醒：在逆用两角的和与差的正弦和余弦公式时，首先要注意结构是否符合公式特点，其次注意角是否满足要求．

1．化简求值：

(1)；

(2)sin(θ＋75°)＋cos(θ＋45°)－cos(θ＋15°)．

[解]　(1)原式＝

＝

＝＝sin 30°＝.

(2)设α＝θ＋15°，

则原式＝sin(α＋60°)＋cos(α＋30°)－cos α

＝＋－cos α＝0.

给值求值、求角问题

【例2】　(1)已知P，Q是圆心在坐标原点O的单位圆上的两点，且分别位于第一象限和第四象限，点P的横坐标为，点Q的横坐标为，则cos∠POQ＝________.

(2)已知cos α＝，sin(α－β)＝，且α，β∈.求：①cos(2α－β)的值；②β的值．

[思路点拨]　(1)先由任意角三角函数的定义求∠xOP和∠xOQ的正弦、余弦值，再依据∠POQ＝∠xOP＋∠xOQ及两角和的余弦公式求值．

(2)先求sin α，cos(α－β)，依据2α－β＝α＋(α－β)求cos(2α－β)．依据β＝α－(α－β)求cos β再求β.

(1)　[由题意可得，cos∠xOP＝，

所以sin∠xOP＝.

再根据cos∠xOQ＝，

可得sin∠xOQ＝－，

所以cos∠POQ＝cos(∠xOP＋∠xOQ)＝cos∠xOP·cos∠xOQ－sin∠xOP·sin∠xOQ＝×－×＝.]

(2)[解]　①因为α，β∈，

所以α－β∈，又sin(α－β)＝＞0，

所以0＜α－β＜，

所以sin α＝＝，

cos(α－β)＝＝，

cos(2α－β)＝cos[α＋(α－β)]

＝cos αcos(α－β)－sin αsin(α－β)

＝×－×＝.

②cos β＝cos[α－(α－β)]

＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)

＝×＋×＝，

又因为β∈，所以β＝.

给值求值问题的解题策略

在解决此类题目时，一定要注意已知角与所求角之间的关系，恰当地运用拆角、拼角技巧，同时分析角之间的关系，利用角的代换化异角为同角，具体做法是：

1当条件中有两角时，一般把“所求角”表示为已知两角的和或差.

2当已知角有一个时，可利用诱导公式把所求角转化为已知角.

2．已知锐角α，β满足cos α＝，sin(α－β)＝－，求sin β的值．

[解]　因为α，β是锐角，即0＜α＜，0＜β＜，

所以－＜α－β＜，

因为sin(α－β)＝－＜0，

所以cos(α－β)＝，

因为cos α＝，所以sin α＝，

所以sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)＝×＋×＝.

辅助角公式的应用

[探究问题]

1．能否将函数y＝sin x＋cos x(x∈R)化为y＝Asin(x＋φ)的形式？

提示：能．y＝sin x＋cos x＝sin.

2．如何推导asin x＋bcos x＝sin(x＋φ)公式．

提示：asin x＋bcos x

＝，

令cos φ＝，sin φ＝，则

asin x＋bcos x＝(sin xcos φ＋cos xsin φ)

＝sin(x＋φ)(其中φ角所在象限由a，b的符号确定，φ角的值由tan φ＝确定，或由sin φ＝和cos φ＝共同确定)．

【例3】　(1)sin－cos＝________.

(2)已知f(x)＝sin x－cos x，求函数f(x)的周期，值域，单调递增区间．

[思路点拨]　解答此类问题的关键是巧妙构建公式C(α－β)、C(α＋β)、S(α－β)、S(α＋β)的右侧，逆用公式化成一个角的一种三角函数值．

(1)－　[原式＝2.

法一：(化正弦)原式

＝2

＝2

＝2sin＝2sin＝－.

法二：(化余弦)原式

＝2

＝－2

＝－2cos＝－2cos＝－.]

(2)[解]　f(x)＝sin x－cos x

＝2

＝2

＝2sin，

∴T＝＝2π，值域[－2,2]．

由－＋2kπ≤x－≤＋2kπ，得递增区间，k∈Z.

辅助角公式及其运用

1公式形式：公式asin α＋bcos α＝sinα＋φ或asin α＋bcos α＝cosα－φ将形如asin α＋bcos αa，b不同时为零的三角函数式收缩为同一个角的一种三角函数式.

2形式选择：化为正弦还是余弦，要看具体条件而定，一般要求变形后角α的系数为正，这样更有利于研究函数的性质.

提醒：在使用辅助角公式时常因把辅助角求错而致误.

1．两角和与差公式可以看成是诱导公式的推广，诱导公式可以看成两角和差公式的特例，例如：sin＝sin·cos α－cossin α＝－cos α.

2．使用和差公式时不仅要会正用，还要能够逆用公式，如化简sin βcos(α＋β)－cos βsin(α＋β)时，不要将cos(α＋β)和sin(α＋β)展开，而应采用整体思想，作如下变形：

sin βcos(α＋β)－cos βsin(α＋β)＝sin[β－(α＋β)]＝sin(－α)＝－sin α.

3．运用和差公式求值、化简、证明时要注意灵活进行三角变换，有效地沟通条件中的角与问题结论中的角之间的联系，选用恰当的公式快捷求解．

1．思考辨析

(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的．(　　)

(2)存在α，β∈R，使得sin(α－β)＝sin α－sin β成立．(　　)

(3)对于任意α，β∈R，sin(α＋β)＝sin α＋sin β都不成立．(　　)

(4)sin 54°cos 24°－sin 36°sin 24°＝sin 30°.(　　)

[提示]　(1)正确．根据公式的推导过程可得．

(2)正确．当α＝45°，β＝0°时，sin(α－β)＝sin α－sin β.

(3)错误．当α＝30°，β＝－30°时，sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立．

(4)正确．因为sin 54°cos 24°－sin 36°sin 24°

＝sin 54°cos 24°－cos 54°sin 24°＝sin(54°－24°)

＝sin 30°，故原式正确．

[答案]　(1)√　(2)√　(3)×　(4)√

2．化简cos x－sin x等于(　　)

A．2sin　 B．2cos

C．2sin   D．2cos

D　[cos x－sin x＝2

＝2

＝2cos.]

3．cos βcos(α－β)－sin βsin(α－β)＝________.

cos α　[cos βcos(α－β)－sin βsin(α－β)＝cos[β＋(α－β)]＝cos α.]

4．已知α，β均为锐角，sin α＝，cos β＝，求α－β.

[解]　∵α，β均为锐角，sin α＝，cos β＝，

∴sin β＝，cos α＝.

∵sin α<sin β，∴α<β，∴－<α－β<0，

∴sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β

＝×－×＝－，

∴α－β＝－.