数学必修 第一册5.5 三角恒等变换优质第1课时导学案

这是一份数学必修 第一册5.5 三角恒等变换优质第1课时导学案，共12页。学案主要包含了给角求值，给值求值，给值求角等内容，欢迎下载使用。

5.5.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式


第1课时 两角差的余弦公式


学习目标 1.了解两角差的余弦公式的推导过程.2.熟记两角差的余弦公式的形式及符号特征，并能利用该公式进行求值、计算．





知识点 两角差的余弦公式





思考 两角差的余弦公式有无巧记的方法呢？


答案 公式巧记为：两角差的余弦等于两角的同名三角函数值乘积的和，即余·余＋正·正．





1．cs(60°－30°)＝cs 60°－cs 30°.( × )


2．α，β∈R时，cs(α－β)＝cs αcs β－sin αsin β.( × )


3．对于任意实数α，β，cs(α－β)＝cs α－cs β都不成立．( × )


4．cs 30°cs 120°＋sin 30°sin 120°＝0.( √ )





一、给角求值


例1 计算下列各式的值．


(1)cs eq \f(13π,12)；


(2)sin 460°sin(－160°)＋cs 560°cs(－280°)；


(3)eq \f(1,2)cs 105°＋eq \f(\r(3),2)sin 105°.


解 (1)cs eq \f(13π,12)＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(π＋\f(π,12)))＝－cs eq \f(π,12)


＝－cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,12)－\f(2π,12)))＝－cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－\f(π,6)))


＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs \f(π,4)cs \f(π,6)＋sin \f(π,4)sin \f(π,6)))


＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)×\f(\r(3),2)＋\f(\r(2),2)×\f(1,2)))


＝－eq \f(\r(6)＋\r(2),4).


(2)原式＝－sin 100° sin 160°＋cs 200°cs 280°


＝－sin 100°sin 20°－cs 20°cs 80°


＝－(cs 80°cs 20°＋sin 80°sin 20°)


＝－cs 60°＝－eq \f(1,2).


(3)eq \f(1,2)cs 105°＋eq \f(\r(3),2)sin 105°


＝cs 60°cs 105°＋sin 60°sin 105°


＝cs(60°－105°)＝cs(－45°)＝eq \f(\r(2),2).


反思感悟 两角差的余弦公式常见题型及解法


(1)两特殊角之差的余弦值，利用两角差的余弦公式直接展开求解．


(2)含有常数的式子，先将系数转化为特殊角的三角函数值，再利用两角差的余弦公式求解．


(3)求非特殊角的三角函数值，把非特殊角转化为两个特殊角的差，然后利用两角差的余弦公式求解．


跟踪训练1 化简下列各式：


(1)cs(θ＋21°)cs(θ－24°)＋sin(θ＋21°)sin(θ－24°)；


(2)－sin 167°·sin 223°＋sin 257°·sin 313°.


解 (1)原式＝cs[θ＋21°－(θ－24°)]


＝cs 45°＝eq \f(\r(2),2).


(2)原式＝－sin(180°－13°)sin(180°＋43°)＋sin(180°＋77°)·sin(360°－47°)


＝sin 13°sin 43°＋sin 77°sin 47°


＝sin 13°sin 43°＋cs 13°cs 43°


＝cs(13°－43°)＝cs(－30°)＝eq \f(\r(3),2).


二、给值求值


例2 已知α，β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，且sin α＝eq \f(4,5)，cs(α＋β)＝－eq \f(16,65)，求cs β的值．


解 因为α，β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，


所以0<α＋β<π，


由cs(α＋β)＝－eq \f(16,65)，


得sin(α＋β)＝eq \f(63,65)，


又sin α＝eq \f(4,5)，


所以cs α＝eq \f(3,5)，


所以cs β＝cs[(α＋β)－α]


＝cs(α＋β)cs α＋sin(α＋β)sin α


＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(16,65)))×eq \f(3,5)＋eq \f(63,65)×eq \f(4,5)＝eq \f(204,325).


延伸探究


若把本例中的“α，β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))”改为“α，β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))”，求cs β的值．


解 因为α，β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，


所以π<α＋β<2π，


由cs(α＋β)＝－eq \f(16,65)，


得sin(α＋β)＝－eq \f(63,65)，


又sin α＝eq \f(4,5)，


所以cs α＝－eq \f(3,5)，


所以cs β＝cs[(α＋β)－α]＝cs(α＋β)cs α＋sin(α＋β)sin α


＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(16,65)))×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,5)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(63,65)))×eq \f(4,5)＝－eq \f(204,325).


反思感悟 给值求值的解题策略


(1)已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，要注意观察已知角与所求表达式中角的关系，即拆角与凑角．


(2)由于和、差角与单角是相对的，因此解题过程中根据需要灵活地进行拆角或凑角的变换．常见角的变换有：


①α＝(α－β)＋β；


②α＝eq \f(α＋β,2)＋eq \f(α－β,2)；


③2α＝(α＋β)＋(α－β)；


④2β＝(α＋β)－(α－β)．


跟踪训练2 (1)已知cs α＝eq \f(3,5)，α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)π，2π))，则cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,3)))＝ .


答案 eq \f(3－4\r(3),10)


解析 因为cs α＝eq \f(3,5)，α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)π，2π))，


所以sin α＝－eq \f(4,5)，


所以cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,3)))＝cs αcs eq \f(π,3)＋sin αsin eq \f(π,3)＝eq \f(3,5)×eq \f(1,2)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,5)))×eq \f(\r(3),2)＝eq \f(3－4\r(3),10)


(2)α，β为锐角，cs(α＋β)＝eq \f(12,13)，cs(2α＋β)＝eq \f(3,5)，求cs α的值．


解 因为α，β为锐角，所以0<α＋β<π.


又因为cs(α＋β)＝eq \f(12,13)，


所以0<α＋β

又因为cs(2α＋β)＝eq \f(3,5)，


所以0<2α＋β

所以sin(α＋β)＝eq \f(5,13)，sin(2α＋β)＝eq \f(4,5)，


所以cs α＝cs[(2α＋β)－(α＋β)]


＝cs(2α＋β)·cs(α＋β)＋sin(2α＋β)·sin(α＋β)


＝eq \f(3,5)×eq \f(12,13)＋eq \f(4,5)×eq \f(5,13)＝eq \f(56,65).


三、给值求角


例3 已知α，β均为锐角，且cs α＝eq \f(2\r(5),5)，cs β＝eq \f(\r(10),10)，求α－β的值．


解 ∵α，β均为锐角，


∴sin α＝eq \f(\r(5),5)，sin β＝eq \f(3\r(10),10).


∴cs(α－β)＝cs αcs β＋sin αsin β＝eq \f(2\r(5),5)×eq \f(\r(10),10)＋eq \f(\r(5),5)×eq \f(3\r(10),10)＝eq \f(\r(2),2).


又sin α

∴－eq \f(π,2)<α－β<0.


故α－β＝－eq \f(π,4).


反思感悟 已知三角函数值求角的解题步骤


(1)界定角的范围，根据条件确定所求角的范围．


(2)求所求角的某种三角函数值．为防止增解最好选取在范围内单调的三角函数．


(3)结合三角函数值及角的范围求角．


提醒：在根据三角函数值求角时，易忽视角的范围，而得到错误答案．


跟踪训练3 已知cs α＝eq \f(1,7)，cs(α－β)＝eq \f(13,14)，且0<β<α

解 由cs α＝eq \f(1,7)，0<α

sin α＝eq \r(1－cs2α)＝eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,7)))2)＝eq \f(4\r(3),7).


由0<β<α

又∵cs(α－β)＝eq \f(13,14)，


∴sin(α－β)＝eq \r(1－cs2α－β)＝eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(13,14)))2)＝eq \f(3\r(3),14).


∵β＝α－(α－β)


∴cs β＝cs[α－(α－β)]＝cs αcs(α－β)＋sin αsin(α－β)


＝eq \f(1,7)×eq \f(13,14)＋eq \f(4\r(3),7)×eq \f(3\r(3),14)＝eq \f(1,2).


∵0<β




1．cs 47°cs 137°＋sin 47°sin 137°的值等于( )


A．0 B．1 C．－1 D.eq \f(1,2)


答案 A


解析 原式＝cs(47°－137°)＝cs(－90°)＝0.


2．已知cs α＝eq \f(12,13)，α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)，2π))，则cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,4)))的值为( )


A.eq \f(5\r(2),13) B.eq \f(7\r(2),13) C.eq \f(17\r(2),26) D.eq \f(7\r(2),26)


答案 D


解析 因为α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)，2π))，所以sin α＝－eq \f(5,13)，


所以cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,4)))＝cs αcs eq \f(π,4)＋sin αsin eq \f(π,4)＝eq \f(12,13)×eq \f(\r(2),2)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(5,13)))×eq \f(\r(2),2)＝eq \f(7\r(2),26).


3．已知锐角α，β满足cs α＝eq \f(3,5)，cs(α＋β)＝－eq \f(5,13)，则cs(2π－β)的值为( )


A.eq \f(33,65) B．－eq \f(33,65) C.eq \f(54,65) D．－eq \f(54,65)


答案 A


解析 因为α，β为锐角，cs α＝eq \f(3,5)，cs(α＋β)＝－eq \f(5,13)，


所以sin α＝eq \f(4,5)，sin(α＋β)＝eq \f(12,13)，


所以cs(2π－β)＝cs β＝cs[(α＋β)－α]


＝cs(α＋β)·cs α＋sin(α＋β)·sin α


＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(5,13)))×eq \f(3,5)＋eq \f(12,13)×eq \f(4,5)＝eq \f(33,65).


4．cs(α－35°)cs(α＋25°)＋sin(α－35°)sin(α＋25°)＝ .


答案 eq \f(1,2)


解析 原式＝cs[(α－35°)－(α＋25°)]＝cs(－60°)＝cs 60°＝eq \f(1,2).


5．cs 75°－cs 15°的值等于 ．


答案 －eq \f(\r(2),2)


解析 原式＝cs(120°－45°)－cs(45°－30°)


＝cs 120°cs 45°＋sin 120°sin 45°－(cs 45°cs 30°＋sin 45°sin 30°)


＝－eq \f(1,2)×eq \f(\r(2),2)＋eq \f(\r(3),2)×eq \f(\r(2),2)－eq \f(\r(2),2)×eq \f(\r(3),2)－eq \f(\r(2),2)×eq \f(1,2)＝－eq \f(\r(2),2).





1．知识清单：


(1)两角差的余弦公式的推导．


(2)给角求值，给值求值，给值求角．


2．方法归纳：角的构造．


3．常见误区：求角时忽视角的范围．








1．cs 165°等于( )


A.eq \f(1,2) B.eq \f(\r(3),2) C．－eq \f(\r(6)＋\r(2),4) D．－eq \f(\r(6)－\r(2),4)


答案 C


解析 cs 165°＝cs(180°－15°)＝－cs 15°＝－cs(45°－30°)


＝－(cs 45°cs 30°＋sin 45°sin 30°)＝－eq \f(\r(6)＋\r(2),4).故选C.


2．满足cs αcs β＝eq \f(\r(3),2)－sin αsin β的一组α，β的值是( )


A．α＝eq \f(13π,12)，β＝eq \f(3π,4) B．α＝eq \f(π,2)，β＝eq \f(π,3)


C．α＝eq \f(π,2)，β＝eq \f(π,6) D．α＝eq \f(π,3)，β＝eq \f(π,4)


答案 B


解析 由已知得cs(α－β)＝cs αcs β＋sin αsin β＝eq \f(\r(3),2)，故选B.


3．已知cs α＝－eq \f(3,5)，α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，sin β＝－eq \f(12,13)，β是第三象限角，则cs(β－α)的值是( )


A．－eq \f(33,65) B.eq \f(63,65) C.eq \f(56,65) D．－eq \f(16,65)


答案 A


解析 ∵cs α＝－eq \f(3,5)，α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，


∴sin α＝eq \f(4,5).


又sin β＝－eq \f(12,13)，β是第三象限角，


∴cs β＝－eq \f(5,13).


∴cs(β－α)＝cs βcs α＋sin βsin α


＝－eq \f(5,13)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,5)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(12,13)))×eq \f(4,5)＝－eq \f(33,65).


4．已知sin α－sin β＝1－eq \f(\r(3),2)，cs α－cs β＝eq \f(1,2)，则cs(α－β)的值为( )


A.eq \f(1,2) B.eq \f(\r(3),2) C.eq \f(\r(3),4) D．1


答案 B


解析 因为sin α－sin β＝1－eq \f(\r(3),2)，


所以sin2α－2sin αsin β＋sin2β＝eq \f(7,4)－eq \r(3).①


又因为cs α－cs β＝eq \f(1,2)，


所以cs2α－2cs αcs β＋cs2β＝eq \f(1,4).②


所以①＋②得2cs(α－β)＝eq \r(3)，


所以cs(α－β)＝eq \f(\r(3),2)，故选B.


5．若cs(α＋β)＝eq \f(3,5)，sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β－\f(π,4)))＝eq \f(5,13)，α，β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，那么cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))的值为( )


A.eq \f(\r(2),2) B.eq \f(1,2) C.eq \f(56,65) D.eq \f(36,65)


答案 C


解析 因为α，β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，


所以α＋β∈(0，π)，β－eq \f(π,4)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)，\f(π,4))).


又因为cs(α＋β)＝eq \f(3,5)，sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β－\f(π,4)))＝eq \f(5,13)，


所以sin(α＋β)＝eq \r(1－cs2α＋β)＝eq \f(4,5)，


cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β－\f(π,4)))＝eq \r(1－sin2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β－\f(π,4))))＝eq \f(12,13)，


所以cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＝cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(α＋β－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β－\f(π,4)))))


＝cs(α＋β)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β－\f(π,4)))＋sin(α＋β)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β－\f(π,4)))


＝eq \f(3,5)×eq \f(12,13)＋eq \f(4,5)×eq \f(5,13)＝eq \f(56,65).


故选C.


6．化简：sin(α－β)sin(β－γ)＋cs(α－β)cs(γ－β)＝ .


答案 cs(α＋γ－2β)


解析 原式＝sin(α－β)sin(β－γ)＋cs(α－β)cs(β－γ)


＝cs(α－β)cs(β－γ)＋sin(α－β)sin(β－γ)


＝cs[(α－β)－(β－γ)]＝cs(α＋γ－2β)．


7．在△ABC中，sin A＝eq \f(4,5)，cs B＝－eq \f(12,13)，则cs(A－B)＝ .


答案 －eq \f(16,65)


解析 因为cs B＝－eq \f(12,13)，且0

所以eq \f(π,2)

所以sin B＝eq \r(1－cs2B)＝eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(12,13)))2)＝eq \f(5,13)，


且0

所以cs A＝eq \r(1－sin2A)＝eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,5)))2)＝eq \f(3,5)，


所以cs(A－B)＝cs Acs B＋sin Asin B


＝eq \f(3,5)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(12,13)))＋eq \f(4,5)×eq \f(5,13)＝－eq \f(16,65).


8．在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称．若sin α


＝eq \f(1,3)，则cs(α－β)＝ .


答案 －eq \f(7,9)


解析 因为角α与角β均以Ox为始边，终边关于y轴对称，


所以sin β＝sin α＝eq \f(1,3)，cs β＝－cs α，


所以cs(α－β)＝cs αcs β＋sin αsin β


＝－cs2α＋sin2α


＝－(1－sin2α)＋sin2α


＝2sin2α－1


＝2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))2－1＝－eq \f(7,9).


9．若x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，且sin x＝eq \f(4,5)，求2cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(2,3)π))＋2cs x的值．


解 因为x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，sin x＝eq \f(4,5)，


所以cs x＝－eq \f(3,5).


所以2cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(2,3)π))＋2cs x


＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs xcs \f(2,3)π＋sin xsin \f(2,3)π))＋2cs x


＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)cs x＋\f(\r(3),2)sin x))＋2cs x


＝eq \r(3)sin x＋cs x


＝eq \f(4\r(3),5)－eq \f(3,5)＝eq \f(4\r(3)－3,5).


10．已知sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＝eq \f(4,5)，且eq \f(π,4)<α

解 因为sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＝eq \f(4,5)，


且eq \f(π,4)<α

所以eq \f(π,2)<α＋eq \f(π,4)<π.


所以cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＝－eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,5)))2)＝－eq \f(3,5).


所以cs α＝cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))－\f(π,4)))


＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))cs eq \f(π,4)＋sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))sin eq \f(π,4)


＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,5)))×eq \f(\r(2),2)＋eq \f(4,5)×eq \f(\r(2),2)＝eq \f(\r(2),10).





11．已知cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,6)))＝－eq \f(\r(3),3)，则cs x＋cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,3)))的值是( )


A．－eq \f(2\r(3),3) B．±eq \f(2\r(3),3) C．－1 D．±1


答案 C


解析 cs x＋cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,3)))＝cs x＋eq \f(1,2)cs x＋eq \f(\r(3),2)sin x


＝eq \f(3,2)cs x＋eq \f(\r(3),2)sin x＝eq \r(3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)cs x＋\f(1,2)sin x))＝eq \r(3)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,6)))＝－1.


12．函数f(x)＝cs 2xcs eq \f(π,5)－sin 2xsin eq \f(6π,5)的单调递增区间是( )


A.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(kπ＋\f(π,10)，kπ＋\f(3π,5)))(k∈Z)


B.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(kπ－\f(3π,20)，kπ＋\f(7π,20)))(k∈Z)


C.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2kπ＋\f(π,10)，2kπ＋\f(3π,5)))(k∈Z)


D.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(kπ－\f(2π,5)，kπ＋\f(π,10)))(k∈Z)


答案 D


解析 f(x)＝cs 2xcs eq \f(π,5)－sin 2xsineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(π＋\f(π,5)))


＝cs 2xcs eq \f(π,5)＋sin 2xsin eq \f(π,5)＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,5))).


由2kπ－π≤2x－eq \f(π,5)≤2kπ，k∈Z，


得该函数的单调增区间为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(kπ－\f(2π,5)，kπ＋\f(π,10)))(k∈Z)．


13．满足eq \f(1,2)sin x＋eq \f(\r(3),2)cs x＝eq \f(1,2)的角xeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)

答案 －eq \f(π,6)


解析 eq \f(1,2)sin x＋eq \f(\r(3),2)cs x＝cs xcs eq \f(π,6)＋sin xsin eq \f(π,6)＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,6)))＝eq \f(1,2)，


因为－eq \f(π,2)

所以x－eq \f(π,6)＝－eq \f(π,3)，即x＝－eq \f(π,6).


14．已知△ABC中，sin(A＋B)＝eq \f(4,5)，cs B＝－eq \f(2,3)，则sin B＝ ，cs A＝ .


答案 eq \f(\r(5),3) eq \f(6＋4\r(5),15)


解析 在△ABC中，


因为cs B＝－eq \f(2,3)<0，所以B为钝角，


则sin B＝eq \f(\r(5),3)，所以A＋B∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，


由sin(A＋B)＝eq \f(4,5)，得cs(A＋B)＝－eq \f(3,5)，


所以cs A＝cs [(A＋B)－B]


＝cs(A＋B)cs B＋sin(A＋B)sin B


＝－eq \f(3,5)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,3)))＋eq \f(4,5)×eq \f(\r(5),3)＝eq \f(6＋4\r(5),15).





15．化简：eq \f(2cs 10°－sin 20°,cs 20°)＝ .


答案 eq \r(3)


解析 原式＝eq \f(2cs30°－20°－sin 20°,cs 20°)


＝eq \f(2cs 30°cs 20°＋2sin 30°sin 20°－sin 20°,cs 20°)


＝eq \f(\r(3)cs 20°＋sin 20°－sin 20°,cs 20°)


＝eq \f(\r(3)cs 20°,cs 20°)＝eq \r(3).


16．已知函数f(x)＝2cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωx＋\f(π,6)))(其中ω>0，x∈R)的最小正周期为10π.


(1)求ω的值；


(2)设α，β∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(5α＋\f(5π,3)))＝－eq \f(6,5)，f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(5β－\f(5π,6)))＝eq \f(16,17)，求cs(α－β)的值．


解 (1)由于函数f(x)的最小正周期为10π，


所以10π＝eq \f(2π,ω)，所以ω＝eq \f(1,5).


(2)因为f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(5α＋\f(5π,3)))＝－eq \f(6,5)，


所以2cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,5)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(5α＋\f(5π,3)))＋\f(π,6)))


＝2cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,2)))＝－eq \f(6,5)，


所以sin α＝eq \f(3,5)，


又因为f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(5β－\f(5π,6)))＝eq \f(16,17)，


所以2cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,5)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(5β－\f(5π,6)))＋\f(π,6)))＝2cs β＝eq \f(16,17)，


所以cs β＝eq \f(8,17)，


因为α，β∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，


所以cs α＝eq \f(4,5)，sin β＝eq \f(15,17)，


所以cs(α－β)＝cs αcs β＋sin αsin β


＝eq \f(4,5)×eq \f(8,17)＋eq \f(3,5)×eq \f(15,17)＝eq \f(77,85).公式
cs(α－β)＝cs αcs β＋sin αsin β
简记符号
C(α－β)
使用条件
α，β为任意角