高中数学人教A版 (2019)必修 第二册8.6 空间直线、平面的垂直学案

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第二册8.6 空间直线、平面的垂直学案，共55页。


知识点一 直线与平面垂直的性质定理
知识点二 线面距离、平行平面间的距离
1．一条直线与一个平面平行时，这条直线上eq \(□,\s\up3(01))任意一点到这个平面的距离，叫做这条直线到这个平面的距离．
2．如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离eq \(□,\s\up3(02))都相等，我们把它叫做这两个平行平面间的距离．
平行关系与垂直关系之间的相互转化
1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若直线a⊥平面α，直线b⊥平面β，且α∥β，则a∥b.( )
(2)若直线a∥平面α，直线b⊥平面α，则直线b⊥直线a.( )
(3)若直线a⊥平面α，直线a⊥直线b，则直线b∥平面α.( )
答案 (1)√ (2)√ (3)×
2．做一做

(1)若a，b表示直线，α表示平面，下列命题中正确的个数为( )
①a⊥α，b∥α⇒a⊥b；②a⊥α，a⊥b⇒b∥α；
③a∥α，a⊥b⇒b⊥α；④a⊥α，b⊥α⇒a∥b.
A．1 B．2 C．3 D．0
(2)在圆柱的一个底面上任取一点(该点不在底面圆周上)，过该点作另一个底面的垂线，则这条垂线与圆柱的母线所在直线的位置关系是________．
(3)在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AC与BD相交于点O，A1C1与B1D1相交于点O1，则OO1与平面A1B1C1D1的位置关系是________．
答案 (1)B (2)平行 (3)垂直
题型一 线面垂直性质的应用
例1 如图，在正方体A1B1C1D1－ABCD中，E是A1D上的点，F是AC上的点，且EF与异面直线AC，A1D都垂直相交．
求证：EF∥BD1.
[证明] 如图所示，连接AB1，B1C，BD，B1D1，
∵DD1⊥平面ABCD，
AC⊂平面ABCD，
∴DD1⊥AC.
又AC⊥BD，BD∩DD1＝D，
∴AC⊥平面BDD1B1.
又BD1⊂平面BDD1B1，
∴AC⊥BD1.
同理可证BD1⊥B1C，又AC∩B1C＝C，
∴BD1⊥平面AB1C.
∵EF⊥A1D，又A1D∥B1C，∴EF⊥B1C.
又EF⊥AC，AC∩B1C＝C，
∴EF⊥平面AB1C.
∴EF∥BD1.
[条件探究] 在本例中，若E为A1D的中点，F为AB的中点，如何证明EF⊥平面AB1C?
证明 连接AD1，AB1，B1C，
∵E为A1D的中点，由平行四边形的性质可知E为AD1的中点．
又∵F为AB的中点，
∴EF∥BD1.
由例1可知BD1⊥平面AB1C，
∴EF⊥平面AB1C.
证明线线平行常用的方法
(1)利用线线平行的定义：证共面且无公共点．
(2)利用三线平行公理：证两线同时平行于第三条直线．
(3)利用线面平行的性质定理：把证线线平行转化为证线面平行．
(4)利用线面垂直的性质定理：把证线线平行转化为证线面垂直．
(5)利用面面平行的性质定理：把证线线平行转化为证面面平行．
如图，已知正方体ABCD－A1B1C1D1.
(1)求证：A1C⊥B1D1；
(2)M，N分别为B1D1与C1D上的点，且MN⊥B1D1，MN⊥C1D，求证：MN∥A1C.
证明 (1)如图，连接A1C1.
∵CC1⊥平面A1B1C1D1，
B1D1⊂平面A1B1C1D1，
∴CC1⊥B1D1.
∵四边形A1B1C1D1是正方形，
∴A1C1⊥B1D1.
又CC1∩A1C1＝C1，
∴B1D1⊥平面A1C1C.
又A1C⊂平面A1C1C，∴B1D1⊥A1C.
(2)连接B1A，AD1.
∵B1C1綊AD，∴四边形ADC1B1为平行四边形，
∴C1D∥AB1.
∵MN⊥C1D，∴MN⊥AB1.
又MN⊥B1D1，AB1∩B1D1＝B1，
∴MN⊥平面AB1D1.
由(1)知A1C⊥B1D1.同理可得A1C⊥AB1.
又AB1∩B1D1＝B1，∴A1C⊥平面AB1D1.
∴A1C∥MN.
题型二 直线与平面垂直的判定定理、性质定理的综合应用
例2 如图，PA⊥平面ABD，PC⊥平面BCD，E，F分别为BC，CD上的点，且EF⊥AC.求证：eq \f(CF,DC)＝eq \f(CE,BC).
[证明] ∵PA⊥平面ABD，PC⊥平面BCD，
∴PA⊥BD，PC⊥BD，PC⊥EF.
又PA∩PC＝P，∴BD⊥平面PAC.
又EF⊥AC，PC∩AC＝C，∴EF⊥平面PAC，
∴EF∥BD，
∴eq \f(CF,DC)＝eq \f(CE,BC).
(1)线线垂直的证明，常转化为线面垂直来证明，即：把两条直线中一条放在某个平面内，然后证明另一条垂直于这个平面．要证线面垂直，可通过线面垂直的定义及判定定理，体现了eq \x(线线垂直)→eq \x(线面垂直)→eq \x(线线垂直)，解题时要注意这种相互转化关系的合理应用．
(2)要学会逆向分析的方法，从要证明的结论入手，层层递推，这是解决问题的有效方法．
已知α∩β＝AB，PQ⊥α于点Q，PO⊥β于点O，OR⊥α于点R，求证：QR⊥AB.
证明 如图，∵α∩β＝AB，
∴AB⊂α，AB⊂β，
∵PO⊥β，∴PO⊥AB.
∵PQ⊥α，∴PQ⊥AB.
∵PO∩PQ＝P，∴AB⊥平面PQO.
∵OR⊥α，∴PQ∥OR.
∴PQ与OR确定平面PQRO.
又∵QR⊂平面PQRO，∴QR⊥AB.
1．已知△ABC所在的平面为α，直线l⊥AB，l⊥AC，直线m⊥BC，m⊥AC，则直线l，m的位置关系是( )
A．相交 B．异面
C．平行 D．不确定
答案 C
解析 因为l⊥AB，l⊥AC，AB⊂α，AC⊂α且AB∩AC＝A，所以l⊥α，同理可证m⊥α，所以l∥m.
2．已知l，m，n是三条不同的直线，α是一平面．下列命题中正确的个数为( )
①若l∥m，m∥n，l⊥α，则n⊥α；
②若l∥m，m⊥α，n⊥α，则l∥n；
③若l∥α，l⊥m，则m⊥α.
A．1 B．2 C．3 D．0
答案 B
解析 对于①，因为l∥m，m∥n，所以l∥n，又l⊥α，所以n⊥α，即①正确；对于②，因为m⊥α，n⊥α，所以m∥n，又l∥m，所以l∥n，即②正确；对于③，因为l∥α，l⊥m，所以m∥α或m⊂α或m⊥α或m与α斜交，即③错误．
3. 如图，PA⊥矩形ABCD，下列结论中不正确的是( )
A．PD⊥BD
B．PD⊥CD
C．PB⊥BC
D．PA⊥BD
答案 A
解析 ∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BD，若PD⊥BD，PA∩PD＝P，∴BD⊥平面PAD.又AB⊥平面PAD，∴BD∥AB，不成立，故选A.
4．如图，▱ADEF的边AF⊥平面ABCD，且AF＝2，CD＝3，则CE＝________.
答案 eq \r(13)
解析 因为AF⊥平面ABCD，AF∥ED，所以ED⊥平面ABCD，因为CD⊂平面ABCD，所以ED⊥CD，所以△EDC为直角三角形，CE＝eq \r(ED2＋CD2)＝eq \r(13).
5．如图所示，已知平面α∩平面β＝EF，A为α，β外一点，AB⊥α于点B，AC⊥β于点C，CD⊥α于点D.求证：BD⊥EF.
证明 ∵AB⊥α，CD⊥α，∴AB∥CD，∴A，B，C，D四点共面．
∵AB⊥α，AC⊥β，α∩β＝EF，∴AB⊥EF，AC⊥EF.
又AB∩AC＝A，∴EF⊥平面ABDC，
∵BD⊂平面ABDC，∴EF⊥BD.
文字语言
eq \(□,\s\up3(01))垂直于同一个平面的两条直线平行
符号语言
eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(a⊥αb⊥α))⇒eq \(□,\s\up3(02))a∥b
图形语言
作用
①线面垂直⇒线线平行；
②作平行线