新教材适用2023_2024学年高中数学第5章三角函数综合测试新人教A版必修第一册

第五章综合测试

考试时间120分钟，满分150分．

一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．若扇形的面积为16 cm2，圆心角为2 rad，则该扇形的弧长为( B )

A．4 cm  B．8 cm

C．12 cm  D．16 cm

[解析]　由S＝αR2，得16＝×2R2，R＝4，所以l＝α·R＝8.

2．cos275°＋cos215°＋cos 75°·cos 15°的值是( A )

A．  B．

C．  D．1＋

[解析]　原式＝sin215°＋cos215°＋sin 15°cos 15°＝1＋sin 30°＝.

3．已知角θ终边经过点(3，－4)，则等于( C )

A．  B．－

C．  D．－

[解析]　由已知，tan θ＝－，所求原式可化为＝－＝.

4．若把函数y＝f(x)的图象沿x轴向左平移个单位长度，沿y轴向下平移1个单位长度，然后再把图象上每个点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标保持不变)，得到函数y＝sin x的图象，则y＝f(x)的解析式为( B )

A．y＝sin＋1

B．y＝sin＋1

C．y＝sin－1

D．y＝sin－1

[解析]　把函数y＝sin x图象上每个点的横坐标缩短到原来的(纵坐标保持不变)，得到y＝sin 2x，沿y轴向上平移1个单位长度，得到y＝sin 2x＋1，图象沿x轴向右平移个单位长度，得到函数y＝sin＋1＝sin＋1.故选B.

5．若0<α<<β<π，且cos β＝－，sin(α＋β)＝，则sin α的值是( C )

A．  B．

C．  D．

[解析]　由0<α<<β<π，知<α＋β<，且cos β＝－，sin(α＋β)＝，得sin β＝，cos(α＋β)＝－.

∴sin α＝sin [(α＋β)－β]

＝sin(α＋β)cos β－cos(α＋β)·sin β＝.故选C.

6．若函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的图象(部分)如图所示，则ω和φ的取值是( C )

A．ω＝1，φ＝  B．ω＝1，φ＝－

C．ω＝，φ＝  D．ω＝，φ＝－

[解析]　由图象知，T＝4＝4π＝，

∴ω＝.又当x＝时，y＝1，

∴sin＝1，＋φ＝2kπ＋，k∈Z，当k＝0时，φ＝.故选C.

7．y＝sin－sin 2x的一个单调递增区间是( B )

A．  B．

C．  D．

[解析]　y＝sin－sin 2x＝sin 2xcos－cos 2xsin－sin 2x＝－＝－sin，其增区间是函数y＝sin的减区间，即2kπ＋≤2x＋≤2kπ＋，∴kπ＋≤x≤kπ＋，当k＝0时，x∈.

8．函数f(x)＝x－|sin 2x|在上零点的个数为( C )

A．2  B．4

C．5  D．6

[解析]　分别作出函数y＝x和y＝|sin 2x|的图象，如图所示．

由图可知，这两个函数图象在上共有5个不同的交点，所以函数f(x)＝x－|sin 2x|在上的零点个数为5.

二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分)

9．与角－终边相同的角是( CD )

A．  B．

C．  D．－

[解析]　与角－终边相同的角是2kπ＋，k∈Z.令k＝1，可得与角－终边相同的角是，令k＝－1，可得与角－终边相同的角是－，故选CD.

10．下列结论正确的是( ABD )

A．－是第二象限角

B．函数f(x)＝|sin x|的最小正周期是π

C．若tan α＝3，则＝4

D．若圆心角为的扇形的弧长为π，则该扇形的面积为3π

[解析]　根据象限角的范围，－为第二象限角，故A正确；因为函数y＝sin x的最小正周期是2π，所以函数f(x)＝|sin x|的最小正周期是π，故B正确；若tan α＝3，则＝＝2，故C错误；若圆心角为的扇形的弧长为π，则该扇形的半径为6，所以扇形的面积为S＝·π·6＝3π，故D正确．故选ABD.

11．已知ω>0，|φ|<，若x＝和x＝是函数f(x)＝cos(ωx＋φ)的两条相邻的对称轴，将y＝f(x)的图象向左平移个单位长度得到函数y＝g(x)的图象，则下列说法正确的是( BD )

A．y＝g(x)是奇函数

B．y＝g(x)的图象关于点对称

C．y＝g(x)的图象关于直线x＝对称

D．y＝g(x)的周期为2π

[解析]　∵x＝和x＝π是两条相邻的对称轴，

∴T＝2×＝2π，∴ω＝1.

∴f(x)＝cos(x＋φ)．

①若函数在x＝处取得最大值，则f＝cos＝1，＋φ＝2kπ，φ＝2kπ－.当k＝0时，φ＝－，此时f(x)＝cos，将f(x)图象向左平移个单位得到g(x)＝cos＝cos x．所以B正确．

②若函数在x＝处取得最小值，则

f＝cos＝－1，

＋φ＝2kπ－π，

φ＝2kπ－π，当k＝1时，φ＝π，

∵|φ|<，∴φ不存在．

函数f(x)的最小正周期为2π，故D正确，故选BD.

12．已知函数f(x)＝sin xcos x－cos2x，则( ABD )

A．函数f(x)在区间上为增函数

B．直线x＝是函数f(x)图象的一条对称轴

C．函数f(x)的图象可由函数y＝sin 2x的图象向右平移个单位长度得到

D．对任意x∈R，恒有f(x＋π)＝f(x)

[解析]　f(x)＝sin 2x－

＝sin－.

当x∈时，2x－∈，函数f(x)为增函数，故A中说法正确；

令2x－＝＋kπ，k∈Z，得x＝＋，k∈Z，

显然直线x＝是函数f(x)图象的一条对称轴，故B中说法正确；

函数y＝sin 2x的图象向右平移个单位得到函数y＝sin＝sin的图象，故C中说法错误；

f(x)的最小正周期为＝π，故D中说法正确，故选ABD.

三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)

13．计算sin 330°＋cos 240°＋tan 180°＝_－1_.

[解析]　原式＝－sin 30°－cos 60°＋0＝－－＝－1.

14．已知cos＝，－<α<0，则sin＋sin α＝ －_.

[解析]　sin＋sin α＝sin α＋cos α＝sin＝sin

＝－cos＝－×＝－.

15．函数f(x)＝cos(x∈R，ω>0)的最小正周期为π，将y＝f(x)的图象向左平移φ个单位长度，所得图象关于原点对称，则φ的值为 _.

[解析]　f(x)的最小正周期为π，∴ω＝2，∴f(x)＝cos将f(x)左移φ个单位，得到g(x)＝cos的图象，由于图象关于原点对称，∴2φ＋＝kπ＋，(k∈Z)解得φ＝＋(k∈Z)．当k＝0时，φ＝.

16．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)在一个周期内的简图如图所示，则函数的解析式为 f(x)＝2sin_，方程f(x)＝m(其中1<m<2)在区间[0,3π]内所有解的和为_7π_.

[解析]　根据函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)在一个周期内的图象，

可得A＝2，f(0)＝2sin φ＝1，即sin φ＝，

又|φ|<，所以φ＝，

再根据五点法可得ω·＋＝π，

得ω＝2，故函数f(x)＝2sin.

因为函数f(x)＝2sin在区间[0,3π]内与直线f(x)＝m(其中1<m<2)有六个交点，它们分别关于x＝，x＝，x＝对称，

则x1＋x2＋x3＋x4＋x5＋x6＝2×＋2×＋2×＝7π.

四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17．(本小题满分10分)A，B是单位圆O上的点，点A是单位圆与x轴正半轴的交点，点B在第二象限，记∠AOB＝θ，且sin θ＝.

(1)求点B的坐标；

(2)求的值．

[解析]　(1)设点B坐标为(x，y)，则y＝sin θ＝.

因为点B在第二象限，x＝cos θ＝－，

所以点B的坐标为.

(2)tan θ＝＝－，∴＝＝＝－.

18．(本小题满分12分)在①两个相邻对称中心的距离为，②两条相邻对称轴的距离为，③两个相邻最高点的距离为π，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并对其求解．

问题：函数f(x)＝cos(ωx＋φ)的图象过点，且满足_________.当α∈时，f＝－，求sin α的值．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

[解析]　选①②：由题意得：f(x)的最小正周期T＝2×＝π，则＝π，结合ω>0，解得：ω＝2，因为图象过点，所以cos φ＝，因为0<φ<，所以φ＝，所以f(x)＝cos，因为f＝－，所以cos(α＋)＝－，因为α∈，所以α＋∈，所以sin＝＝，sin α＝sin＝sincos－cossin＝×＋×＝；

选③：由题意得：f(x)的最小正周期T＝π，则＝π，结合ω>0，解得：ω＝2，因为图象过点，所以cos φ＝，因为0<φ<，所以φ＝，所以f(x)＝cos，因为f＝－，所以cos＝－，因为α∈，所以α＋∈，所以sin＝＝，sin α＝sin＝sincos－cossin＝×＋×＝.

19．(本小题满分12分)已知cos α－sin α＝，且π<α<，求的值．

[解析]　因为cos α－sin α＝，所以1－2sin αcos α＝，所以2sin αcos α＝.

又α∈，故sin α＋cos α＝－＝－，

所以

＝

＝

＝＝－.

20．(本小题满分12分)已知f(x)＝Asin(ωx＋φ)的图象过点P，且图象上与点P最近的一个最低点是Q.

(1)求f(x)的解析式；

(2)若f＝，且α为第三象限的角，求sin α＋cos α的值．

[解析]　(1)根据题意可知，A＝2，＝－＝，

∴T＝＝π，解得ω＝2.

又f＝0，∴sin＝0，而|φ|<，

∴φ＝－.∴f(x)＝2sin.

(2)由f＝可得，2sin 2α＝，

即sin 2α＝.

∵α为第三象限的角，

∴sin α＋cos α＝－＝－＝－.

21．(本小题满分12分)某帆板集训队在一海滨区域进行集训，该海滨区域的海浪高度y(米)随着时间t(0≤t≤24，单位：时)呈周期性变化，每天时刻t的浪高数据的平均值如下表：

(1)作出这些数据的散点图；

(2)从y＝at＋b，y＝Asin(ωt＋φ)＋b；y＝Atan(ωt＋φ)中选一个合适的函数模型，并求出该模型的解析式；

(3)如果确定在一天内的7时到19时之间，当浪高不低于0.8米时才进行训练，试安排恰当的训练时间．

[解析]　(1)散点图如图所示．

(2)由(1)知选择y＝Asin(ωt＋φ)＋b较合适．

令A>0，ω>0，|φ|<π.

由图知，A＝0.4，b＝1，T＝12，

所以ω＝＝.

把t＝0，y＝1代入y＝0.4sin＋1，得φ＝0.

故所求拟合模型的解析式为y＝0.4sint＋1(0≤t≤24)．

(3)由y＝0.4sint＋1≥0.8，得sint≥－，

则－＋2kπ≤t≤＋2kπ(k∈Z)，

即12k－1≤t≤12k＋7(k∈Z)，注意到t∈[0,24]，

所以0≤t≤7，或11≤t≤19，或23≤t≤24，

再结合题意可知，应安排在11时到19时训练较恰当．

22．(本小题满分12分)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示．

(1)求函数f(x)的解析式；

(2)若函数F(x)＝32＋mf＋2在区间上有四个不同的零点，求实数m的取值范围．

[解析]　(1)根据f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象知，A＝1，＝－＝，∴T＝π，∴ω＝＝2.

由“五点法”作图知，2×＋φ＝，解得φ＝.

∴函数f(x)＝sin.

(2)∵f＝sin＝sin 2x，

∴函数F(x)＝32＋mf＋2

＝3sin22x＋msin 2x＋2.

设t＝sin 2x，由x∈，得2x∈[0，π]，故sin 2x∈[0,1]，∴g(t)＝3t2＋mt＋2，t∈[0,1]．

令g(t)＝0，则3t2＋mt＋2＝0在[0,1]上有两个不等的实数根，设为t1，t2，则

即

解得－5<m<－2.

∴实数m的取值范围是(－5，－2)．