浙教版八年级上册数学第1章三角形的初步知识（B卷）含解析答案

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第1章 三角形的初步知识（B卷）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

评卷人
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一、单选题
1．在一个三角形的三个外角中，钝角的个数最多有（    ）
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
2．三角形的三条高所在直线的交点一定在
A．三角形的内部 B．三角形的外部
C．三角形的内部或外部 D．三角形的内部、外部或顶点
3．如图，△ABC的三边长均为整数，且周长为28，AM是边BC上的中线，△ABM的周长比△ACM的周长大2，则BC长的可能值有（　　）个．

A．4 B．5 C．6 D．7
4．如图，△ABC的角平分线AD，中线BE交于点O，则结论：①AO是△ABE的角平分线；②BO是△ABD的中线．其中（　　）

A．①、②都正确 B．①、②都不正确
C．①正确②不正确 D．①不正确，②正确
5．如图是两个全等三角形，图中的字母表示三角形的边长，则∠1的度数是（　　）

A．47° B．49° C．84° D．96°
6．根据下列条件不能唯一画出△ABC的是（  ）
A．AB＝5，BC＝6，AC＝7 B．AB＝5，BC＝6，∠B＝45°
C．AB＝5，AC＝4，∠C＝90° D．AB＝3，AC＝4，∠C＝45°
7．数学课上，老师提出一个问题：经过已知角一边上的点，做一个角等于已知角.如图，用尺规过的边上一点C（图①）作（图②）.我们可以通过以下步骤作图：
①作射线；
②以点O为圆心，小于的长为半径作弧，分别交，于点N，M；
③以点P为圆心，的长为半径作弧，交上一段弧于点Q；
④以点C为圆心，的长为半径作弧，交于点P.下列排序正确的是（    ）

A．①②③④ B．②④③① C．③②④① D．④③①②
8．下列命题中，其逆命题是假命题的是（   ）
A．两直线平行，内错角相等
B．对顶角相等
C．在一个三角形中，相等的角所对的边也相等
D．到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上
9．△ABC中，，∠ABC和∠ACD的平分线交于点，得；和的平分线交于点，得和的平分线交于点，则为（　　）

A． B． C． D．
10．如图，在和中，，连接交于点，连接．下列结论：①；②；③平分；④平分．其中正确的个数为（　　）．

A．4 B．3 C．2 D．1

评卷人
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二、填空题
11．下列生产和生活实例：①用人字架来建筑房屋；②用窗钩来固定窗扇；③在栅栏门上斜钉着一根木条；④商店的推拉活动防盗门等．其中，用到三角形的稳定性的有 （填写序号）．
12．将两块分别含有30°和45°角的直角三角板按如图所示叠放，若∠1＝∠2，则∠3＝ °．

13．如图，A，B，H是直线l的三个点，于点A，于点B，且，则的长为 ．

14．如图，点F、C在线段BE 上，且∠1=∠2，BC=EF，若要使△ABC≌△DEF，则还需补充一个条件 ，依据是 ．

15．如图，在△ABC中，AB＝AC＝12，EF为AC的中垂线，若EC＝8，则BE的长为 ．

16．如图，A、B、C分别是线段A1B、B1C、C1A的中点，若△ABC的面积是1，那么△A1B1C1的面积为 .


评卷人
得分



三、解答题
17．如图，有一钝角，在边上有一点．请用尺规作图在内找到一点，使点到，的距离相等；并且点到点，点的距离也相等（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）．

18．某木材市场上木棒规格与价格如下表：
规格
1m
2m
3m
4m
5m
6m
价格（元/根）
10
15
20
25
30
35
小明的爷爷要做一个三角形的木架养鱼用，现有两根长度分别为3m和5m的木棒，还需要到某木材市场上购买一根．
（1）有几种规格木棒可供小明的爷爷选择？
（2）选择哪一种规格木棒最省钱？
19．如图，A、D、C、F在一条直线上，BC与DE交于点G，，，，求证：．

20．如图，OE，OF分别是AC，BD的垂直平分线，垂足分别为E，F，分别连接OA、OC、OB、OD、AB、CD，且AB＝CD．

(1)△ABO与△CDO全等吗？为什么？
(2)若∠ABD＝120°，∠CDB＝38°，求∠OBD的度数．
21．在△ABC中，BC＝8，AB＝1；
(1)若AC是整数，求AC的长；
(2)已知BD是△ABC的中线，若△ABD的周长为20，求△BCD的周长．
22．如图，在△ABC 中，AD 是 BC 上的中线，点 E 在线段 AC 上且 AE=2CE，线段 AD与线段 BE 交于点 F，已知△ABC 的面积为 12．

(1)求△ABD 和△ABE 的面积；
(2)求四边形 EFDC 的面积．
23．新定义：顶角相等且顶角顶点重合的两个等腰三角形互为“兄弟三角形”．

(1)如图1，和互为“兄弟三角形”，点A为重合的顶角顶点．求证：．
(2)如图2，和互为“兄弟三角形”，点A为重合的顶角顶点，点D、E均在外，连接BD、CE交于点M，连接AM，求证：AM平分．

参考答案：
1．A
【分析】在锐角三角形的外角中，有三个钝角；在直角三角形外角中，有两个钝角；在钝角三角形外角中，有两个钝角．综上可知，在三角形的三个外角中，钝角的个数最多有3个．
【详解】解：根据三角形的内角和是180度可知：三角形的三个内角中最多可有3个锐角，
所以对应的在三角形的三个外角中，钝角的个数最多有3个．
故选A．
【点睛】本题主要考查了三角形的内角和外角之间的关系．（1）三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和．（2）三角形的内角和是180度．求角的度数常常要用到“三角形的内角和是180°这一隐含的条件．
2．D
【分析】根据高的概念知：不同形状的三角形的高所在直线的交点位置不同．锐角三角形的三条高都在内部，交点在其内部；直角三角形的三条高中，两条就是直角边，第三条在内部，交点是直角顶点；钝角三角形有两条在外部，一条在内部，所在直线的交点在外部．
【详解】A. 直角三角形的三条高的交点是直角顶点，不在三角形的内部，错误；
B. 直角三角形的三条高的交点是直角顶点，不在三角形的外部，错误；
C. 直角三角形的三条高的交点是直角顶点，既不在三角形的内部，又不在三角形的外部，错误；
D. 锐角三角形的三条高的交点在其内部；直角三角形的三条高的交点是直角顶点；钝角三角形的三条高所在直线的交点在其外部，正确.
故选D.
【点睛】此题考查三角形的角平分线、中线和高，解题关键在于掌握其性质定义性质.
3．B
【分析】依据△ABC的周长为28，△ABM的周长比△ACM的周长大2，可得2 【详解】解：∵△ABC的周长为28，△ABM的周长比△ACM的周长大2，
即，，
∴根据三角形三边关系得：2< BC< 28- BC，
解得2 又∵△ABC的三边长均为整数，△ABM的周长比△ACM的周长大2,
∴ 为整数，
∴BC边长为偶数，
∴BC=4，6，8，10，12，
即BC的长可能值有5个，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了三角形三边关系的运用，解题时注意：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边，由此得到第三边的取值范围：两边之差＜第三边＜两边之和．
4．C
【分析】根据三角形的角平分线的定义，三角形的中线的定义可知．三角形其中一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线，连接一个顶点和它所对边的中点的线段叫做三角形的中线．
【详解】解：AD是三角形ABC的角平分线，
则是∠BAC的角平分线，
所以AO是△ABE的角平分线，故①正确；
BE是三角形ABC的中线，
则E是AC是中点，而O不一定是AD的中点，故②错误．
故选：C．
【点睛】本题考查了三角形的中线，角平分线的定义，理解定义是解题的关键．
5．C
【分析】先根据三角形内角和定理求出∠2＝84°，再根据全等三角形的对应角相等解答．
【详解】解：根据三角形内角和定理可得，∠2＝180°﹣49°﹣47°＝84°．
∵如图是两个全等三角形，
∴∠1＝∠2＝84°．
故选：C．

【点睛】本题考查全等三角形的性质，三角形的内角和定理，掌握全等三角形的对应角相等时解题的关键．
6．D
【分析】根据三角形的三边关系和全等三角形的判定定理逐项分析即可解答．
【详解】解：A．∵AC与BC两边之和大于第三边，故能作出三角形，且三边知道能唯一画出△ABC，不符合题意；
B．∠B是AB、BC的夹角，故能唯一画出△ABC，不符合题意；
C．AB＝5，AC＝4，∠C＝90°，得出BC＝3，可唯一画出△ABC，不符合题意；
D．由于是SSA，所以AB＝3，AC＝4，∠C＝45°，不能唯一画出三角形ABC，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了三角形的三边关系、全等三角形的判定等知识点，掌握SSA不能判定三角形全等是解答本题的关键．
7．B
【分析】直接根据利用尺规作图的方法，作一个角等于已知角的作图顺序即可得出正确的排列顺序.
【详解】解：正确的排序是：②以点O为圆心，小于的长为半径作弧，分别交，于点N，M；④以点C为圆心，的长为半径作弧，交于点P；③以点P为圆心，的长为半径作弧，交上一段弧于点Q；①作射线.
故选：B.
【点睛】本题考查的知识点是简单的尺规作图，属于容易题.失分的原因是：没有掌握利用尺规作一个角等于已知角的方法.
8．B
【分析】根据平行线、对顶角、等腰三角形的性质， 角平分线的判定定理逐项判断即可求解．
【详解】解：A、两直线平行，内错角相等的逆命题是内错角相等，两直线平行，逆命题是真命题，不符合题意；
B、对顶角相等的逆命题是相等的两个角是对顶角，逆命题是假命题，符合题意；
C、在一个三角形中，相等的角所对的边也相等的逆命题是在一个三角形中，相等的边所对的角也相等，逆命题是真命题，不符合题意；
D、到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上的逆命题是角的平分线上的点到角的两边距离相等，逆命题是真命题，不符合题意；
故选：B
【点睛】本题主要考查了平行线、对顶角、等腰三角形的性质， 角平分线的判定定理，真假命题，命题的逆定理，熟练掌握平行线、对顶角、等腰三角形的性质， 角平分线的判定定理，真假命题，命题的逆定理是解题的关键．
9．D
【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，可得，再结合角平分线的定义，找出角变化的规律即可求解．
【详解】∵平分∠ABC，平分∠ACD，
∴＝∠ABC，＝∠ACD，
∴＝∠ACD﹣∠ABC＝∠A，
同理可得＝＝∠A，
∴＝∠A，
∵，
∴＝，
故选：D．
【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，角平分线的定义，熟记性质并准确识图，然后求出后一个角是前一个角的一半是解题的关键．
10．B
【分析】根据题意逐个证明即可，①只要证明，即可证明;
②利用三角形的外角性质即可证明; ④作于，于,再证明即可证明平分.
【详解】解：∵，
∴，
即，
在和中，，
∴，
∴，①正确；
∴，
由三角形的外角性质得：
∴°，②正确；
作于，于，如图所示

则°，
在和中，，
∴，
∴，
∴平分，④正确；
正确的个数有3个；
故选B．
【点睛】本题是一道几何的综合型题目，难度系数偏上，关键在于利用三角形的全等证明来证明线段相等，角相等.
11．①②③
【分析】利用三角形具有稳定性逐一分析进行解答．
【详解】解：①用“人”字梁建筑屋顶，存在三角形，是利用三角形具有稳定性；
②用窗钩来固定窗扇，存在三角形，是利用三角形具有稳定性；
③在栅栏门上斜钉着一根木条，存在三角形，是利用三角形具有稳定性；
④商店的推拉防盗铁门，不存在三角形，是利用四边形的不稳定性，不是利用三角形具有稳定性；
综上所述：用到三角形稳定性的是①②③．
故答案为：①②③
【点睛】本题主要考查了三角形的稳定性，关键是掌握当三角形三边的长度确定后，三角形的形状和大小就能唯一确定下来，故三角形具有稳定性．
12．67.5
【分析】根据等角的余角相等得到∠3＝∠4，再根据三角形内角和定理和∠5的度数即可得到结论．
【详解】解：如图，∵∠1+∠3＝∠2+∠4＝90°，∠1＝∠2，
∴∠3＝∠4，
∵∠5＝45°，
∴∠3＝∠4＝（180°﹣45°）＝67.5°，
故答案为：67.5．

【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，等角的余角相等，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.
13．3
【分析】设，从而可得，再分别在和中，利用勾股定理求出的值，然后根据建立方程，解方程即可得．
【详解】解：设，则，
于点，于点，
和都是直角三角形，
在中，，
在中，，
，
，即，
解得，
即的长为3．
故答案为：3
【点睛】本题考查了勾股定理、一元一次方程的几何应用，熟练掌握勾股定理是解题关键．
14． AC=DF； SAS．（答案不唯一）
【详解】因为∠1=∠2，BC=EF，
所以当添加条件AC=DF 后，可利用SAS判定△ABC≌△DEF；
当添加条件∠B=∠E后，可利用ASA判定△ABC≌△DEF；
当添加条件∠A=∠D后，可利用AAS判定△ABC≌△DEF；
所以答案不唯一．
考点：全等三角形的判定．
15．4
【分析】由已知条件，根据垂直平分线的性质得到EA=8，作差后得到BE的长度．
【详解】解：∵EF为AC的中垂线
∴EC=EA=8，
∵△ABC中，AB=12，
∴BE=AB-AE=12﹣8=4．
故答案为：4．
【点睛】此题主要考查线段的垂直平分线的性质等几何知识；进行线段的等量代换是正确解答本题的关键．
16．7
【分析】连接AB1，BC1，CA1，根据等底等高的三角形的面积相等求出△ABB1，△A1AB1的面积，从而求出△A1BB1的面积，同理可求△B1CC1的面积，△A1AC1的面积，然后相加即可得解．
【详解】如下图，连接A1C，B1A，C1B，，因B是线段B1C的中点，所以B1B=BC.
△A1B1A和△AB1B等底同高，根据等底同高的两个三角形面积相等可得S△B1AB=S△ABC=1；同理可得S△A1B1A=S△AB1B=1；所以=S△A1B1A+S△AB1B=1+1=2；同理可得S△C1CB1=2， S△C1AA1=2.
S△A1B1C1= S△A1BB1+ S△C1CB1+ S△C1AA1+S△ABC=2+2+2+1=7.

【点睛】本题考查了三角形的面积，主要利用了等底等高的三角形的面积相等，作辅助线把三角形进行分割是解题的关键．
17．见解析
【分析】作OC的垂直平分线和∠AOB的平分线，它们的交点为P点．
【详解】解：如图，点P为所作．

【点睛】本题考查了作图−复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了角平分线的性质和线段垂直平分线的性质．
18．（1）4种；（2）3m
【分析】（1）根据三角形的三边关系可得5-3＜x＜5+3，再解出不等式组可得x的取值范围，进而得到选择的木棒长度；
（2）根据木棒价格可直接选出答案．
【详解】解：（1）设第三根木棒的长度为xm，
根据三角形的三边关系可得：5﹣3＜x＜5＋3，
解得2＜x＜8，
结合题干信息可得：x＝3，4，5，6．共4种选择．
（2）根据木棒的价格可得选3m最省钱．
【点睛】本题考查了三角形的三边关系，一元一次不等式组的应用，解题的关键是掌握三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边．三角形的两边差小于第三边．
19．见解析
【分析】只需要利用SSS证明△ABC≌△DEF即可得到∠B=∠E．
【详解】∵，
∴AD+CD=CF+CD，
∴．
∵，，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定条件，熟知全等三角形的性质与判定条件是解题的关键．
20．(1)△ABO≌△CDO，理由见解析
(2)41°

【分析】（1）根据垂直平分线的性质及全等三角形的判定证明即可；
（2）根据全等三角形的性质及各角之间的关系即可得出结果．
【详解】（1）△ABO≌△CDO．
理由如下：因为OE，OF分别是AC，BD的垂直平分线，
所以OA＝OC，OB＝OD，
在△ABO和△CDO中，
AB＝CD，OA＝OC，OB＝OD，
所以△ABO≌△CDO（SSS）．
（2）由（1）知△ABO≌△CDO，
所以∠ABO＝∠CDO，
因为OB＝OD，
所以∠OBD＝∠ODB，
所以∠ABO＝∠CDO＝∠CDB＋∠ODB＝∠CDB＋∠OBD，
所以∠ABD＝∠ABO＋∠OBD＝∠CDB＋∠OBD＋∠OBD，
即∠ABD＝∠CDB＋2∠OBD，
因为∠ABD＝120°，∠CDB＝38°，
所以120°＝38°＋2∠OBD，
所以∠OBD＝41°．
【点睛】题目主要考查垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．
21．(1)8
(2)27

【分析】（1）根据三角形三边关系“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”得7＜AC＜9，根据AC是整数得AC＝8；
（2）根据BD是△ABC的中线得AD＝CD，根据△ABD的周长为20和AB＝1得AD+BD＝19，即可求解．
【详解】（1）由题意得：BC﹣AB＜AC＜BC+AB，
∴7＜AC＜9，
∵AC是整数，
∴AC＝8；
（2）如图所示：

∵BD是△ABC的中线，
∴AD＝CD，
∵△ABD的周长为20，
∴AB+AD+BD＝20，
∵AB＝1，
∴AD+BD＝19，
∴△BCD的周长＝BC+BD+CD＝BC+AD+CD＝8+19＝27．
【点睛】本题考查的是三角形的三边关系、三角形的中线的定义，掌握三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边是解题的关键．
22．(1)S△ABD=6；S△ABE=8；
(2)四边形EFDC的面积=．

【分析】（1）根据同高的两个三角形面积比就是它们的底之比求得结果便可；
（2）连接CF，设S△BDF=x，用x表示△CDF与△AEF的面积，进而表示出△CEF的面积，再根据△BCE的面积列出方程进行解答便可．
【详解】（1）解：∵AD是BC上的中线，
∴S△ABD=S△ABC=×12=6；
∵AE=2CE，
∴S△ABE=S△ABC=×12=8；
（2）解：连接CF，

设S△BDF=x，则S△CDF=S△BDF=x，
S△ABF=S△ABD-S△BDF=6-x，
S△AEF=S△ABE-S△ABF=8-（6-x）=x+2，
∵AE=2CE，
∴S△CEF=S△AEF=x+1，
∴S△BCE=S△BDF+S△CDF+S△CEF=x+1，
∵S△BCE=S△ABC=4，
∴x+1=4，
解得x=，
四边形EFDC的面积=x+x+1=．
【点睛】本题考查的是三角形面积，同底的两个三角形面积比就是它们高之比；同高的两个三角形面积比就是它们的底之比．本题做出正确的辅助线是解题突破口．
23．(1)证明过程见解析
(2)证明过程见解析

【分析】（1）根据“兄弟三角形”的定义得到∠BAC=∠DAE，进而得到∠CAE=∠BAD，再证明即可得到答案；
（2）过点A作AG⊥DM于G，AH⊥EM于H，证明，根据全等三角形的对应高相等得到AG=AH，根据角平分线的判定定理证明结论．
【详解】（1）证明：∵和互为“兄弟三角形”，
∴，，，
∴，
即，
∴（SAS），
∴．
（2）证明：如图，过点A作于G，于H，

∵和互为“兄弟三角形”，
∴，，，
∴，
即，
∴（SAS），
∴，
∵，，
∴，
∴（SAS），
∴，
∴AM平分．
【点睛】本题考查的是“兄弟三角形”的定义、全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质，正确理解“兄弟三角形”的定义是解题的关键．