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浙教版初中数学八年级上册第一单元《三角形的初步认识》单元测试卷（含答案解析）
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浙教版初中数学八年级上册第一单元《三角形的初步认识》单元测试卷
考试范围：第一单元；考试时间：120分钟；总分：120分
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
- 如图，在中，，与的角平分线交于点，与的角平分线交于点，依此类推，与的角平分线交于点，则的度数是( )
A. B. C. D.
- 二次函数的图象交轴于、两点，交轴于点，则的面积为( )
A. B. C. D.
- 下列定理的逆命题为假命题的是( )
A. 两直线平行，内错角相等 B. 直角三角形的两锐角互余
C. 角平分线上的点到角两边的距离相等 D. 对顶角相等
- 下列命题中，其逆命题为真命题的是( )
A. 若，则 B. 同位角相等
C. 两边和一角对应相等的两个三角形全等 D. 等腰三角形两底角不相等
- 甲、乙、丙三人进行智力抢答活动，规定：第一个问题由乙提出，由甲、丙抢答．以后在抢答过程中若甲答对题，就可提个问题，乙答对题就可提个问题，丙答对题就可提个问题，供另两人抢答．抢答结束后，总共有个问题没有任何人答对，则丙答对的题数是( )
A. 题或题 B. 题或题 C. 题或题 D. 题或题
- 小宇设计了一个随机碰撞模拟器：在模拟器中有，，三种型号的小球，它们随机运动，当两个小球相遇时会发生碰撞不考虑多个小球相撞的情况若相同型号的两个小球发生碰撞，会变成一个型小球；若不同型号的两个小球发生碰撞，则会变成另外一种型号的小球，例如，一个型小球和一个型小球发生碰撞，会变成一个型小球现在模拟器中有型小球个，型小球个，型小球个，如果经过各种两两碰撞后，最后只剩一个小球以下说法：其中正确的说法是( )
最后剩下的小球可能是型小球；
最后剩下的小球一定是型小球；
最后剩下的小球一定不是型小球．
A. B. C. D.
- 如图，两个全等的直角三角形重叠在一起，将其中的一个三角形沿着点到的方向平移到的位置，，，平移距离为，则阴影部分的面积为( )
A. B. C. D.
- 如图，已知≌，，，则的度数是( )
A. B. C. D.
- 如图所示，能运用“”定理证明≌的是
A. ， B. ，
C. ， D. ，
- 如图，在四边形中，，若的角平分线交于，连结，且平分，则以下命题不正确的是( )
A.
B. 为中点
C.
D.
- 在学习“用直尺和圆规作一个角等于已知角”时，教科书介绍如下：
作法：
如图所示，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点，；
画一条射线，以点为圆心，长为半径画弧，交于点；
以点为圆心，长为半径画弧，与第步中所画的弧相交于点；
过点画射线，则
对于“想一想”中的问题，下列回答正确的是( )
A. 根据“边边边”可知，≌，所以
B. 根据“边角边”可知，≌，所以
C. 根据“角边角”可知，≌，所以
D. 根据“角角边”可知，≌，所以
- 如图，用尺规作图“过点作”的实质就是作，其作图依据是( )
A.
B.
C.
D.
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）
- 如图，已知，平分，点、、分别是射线、、上的动点、、不与点重合，连接交射线于点当，且有两个相等的角时，的度数为_____________．
- 如图，在中，，，射线是的平分线，交于点，过点作的垂线与射线交于点，连结，是的中点，连结并延长与的延长线交于点则下列结论正确的是______．
；垂直平分；；；． - 已知，在中，分别以点，为圆心、大于长为半径画弧，两弧交于点，点，作直线交于点；再分别以点，为圆心、大于长为半径画弧，两弧交于点，点，作直线交于点若是等边三角形，则______．
- 如图，点为的角平分线上一点，过任作一直线分别与的两边交于、，为的中点，过作的垂线交于点，，则______ ．
三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
- 本小题分
已知，，是的三边的长，且为偶数，并满足，求的周长．
- 本小题分
如图中，，分别是的高和角平分线，，度．求的度数．
- 本小题分
在一个三角形中，如果一个角是另一个角的倍，这样的三角形我们称之为“智慧三角形”如，三个内角分别为，，的三角形是“智慧三角形”如图，，在射线上找一点，过点作交于点，以为端点作射线，交射线于点．
的度数为____________，____________填“是”或“不是”智慧三角形；
若，求证：为“智慧三角形”；
当为“智慧三角形”时，求的度数．
- 本小题分
如图，，，，求证：；
若把中的“”与结论“”对调，所得的命题是否为真命题？试说明理由；
若把中的“”与结论“”对调呢？
- 本小题分
已知命题：“是等边内的一点，若到三边的距离相等，则”
写出它的逆命题．判断其逆命题成立吗？若成立，请给出证明．
进一步证明：点到等边各边的距离之和为定值． - 本小题分
如图，点在上，≌，求证：平分．
- 本小题分
如图，为上一点，≌，，试判断的形状，并说明理由．
- 本小题分
如图，已知中，，，点为的中点．如果点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动．
若点的运动速度与点的运动速度相等，经过后，与是否全等，请说明理由；
若点的运动速度与点的运动速度不相等，当点的运动速度为多少时，能够使与全等？
- 本小题分
如图，在等边中，是边上一点不与端点，重合，是的外角的平分线上一点，且．
尺规作图：在直线的下方过点作，作的延长线，与相交于点；
求证：是等边三角形，
求证：．
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查的是三角形内角和定理和角平分线的定义，熟知三角形的内角和等于和角平分线的定义是解答此题的关键．根据，求出的度数，根据角平分线的定义得到，，从而得到，根据题意依次求出，，的度数，即可得到答案．
【解答】
解：，
，
与的角平分线交于，
，，
，
由题意得，
，
，
，
，
．
故选：．
2.【答案】
【解析】略
3.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了平行线的性质、角平分线的性质、对顶角的性质及直角三角形的性质、命题与定理的知识解题的关键是利用平行线的性质、角平分线的性质、对顶角的性质及直角三角形的性质分别判断出逆命题的真假即可得出答案．
【解答】
解：两直线平行，内错角相等的逆命题为内错角相等，两直线平行，是真命题，不符合题意
B.直角三角形的两锐角互余的逆命题为两角互余的三角形为直角三角形，是真命题，不符合题意
C.角平分线上的点到角的两边的距离相等的逆命题为到角的两边距离相等的点在角的平分线上，是真命题，不符合题意
D.对顶角相等的逆命题为相等的角为对顶角，错误，为假命题，符合题意．
故选D．
4.【答案】
【解析】解：、若，则逆命题是若，则，是假命题；
B、同位角相等逆命题是相等的角是同位角，是假命题；
C、两边和一角对应相等的两个三角形全等逆命题是两个三角形全等则其两边和一角对应相等，是真命题；
D、等腰三角形两底角不相等逆命题是不相等的两个底角是等腰三角形的两个底角，是假命题；
故选：．
写出各个命题的逆命题，判断即可．
本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
5.【答案】
【解析】解：设甲、乙、丙答对的题数分别是、、，
根据题意列方程得，
，
整理得，，
、、为非负整数，
，，，或，，，
丙答对的题数是题或题，
故选：．
设甲、乙、丙答对的题数分别是、、，由题意列方程得，，求方程的非负整数解即可．
本题主要考查了推理与论证，根据题意列出方程，通过求方程的非负整数解是解题的关键．
6.【答案】
【解析】解：假设个球中每两个球进行碰撞，则可以得到个球，个球中让其中个球每两个进行碰撞，则可以得到个球，加上原来的球，共个球，让这个球互相碰撞，重复进行直至剩下一个球，再和剩下的球碰撞，可以得到一个球，由此可知正确，错误．
事实上，无论怎么碰撞，球数量与球数量奇偶性总是不一样一奇一偶．
，与一奇一偶；
，与一奇一偶；
，与一奇一偶；
，与一奇一偶；
，与一奇一偶；
，与一奇一偶．
由此可知，与的数量不可能同时为，所以最后剩下的小球一定不是型小球，正确．
故选：．
和可以举一个特例进行判定．通过分析所有可能碰撞所导致的、数量的奇偶性来判断的正确与否．
本题是一个推理与论证的题目，主要考查对实际问题中数据变化的分析能力和综合推理能力，发现、数量的奇偶性始终不一样是解答本题的关键．
7.【答案】
【解析】解：由题意可知，，，
，
，，
，
．
故选：．
8.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等、对应角相等是解题的关键．
根据平行线的性质得到，根据全等三角形的性质、等腰三角形的性质计算即可．
【解答】
解：，
，
≌，
，，
，
，
，
，
故选：．
9.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了全等三角形的判定，根据可以判定两个三角形全等注意，用判定三角形全等的时两个角和边的关系是两角夹边．
【解答】
解：在和中
≌．
故选A．
10.【答案】
【解析】解：延长，交于点，
，
，
平分，平分，
，，
，
，
故选项C不符合题意；
，
，，
平分，
，
，
≌，
，
，，
≌，
，
为中点，
故选项B不符合题意；
≌，
，
为中点，
，
，
故选项D不符合题意；
≌，≌，
，，
，
，
与不一定相等，
不一定成立；
故选项A符合题意．
故选：．
：先根据，推，再根据平分，平分，进一步推，证明；
：延长，交于点，先通过证明≌，推，再证明≌，
从而证明为中点；
：根据≌，得，再根据为中点，得，最后的；
：由≌，≌，推，，再根据，推，
因此不一定成立．
本题考查了全等三角形的判定与性质、命题与定理，熟练掌握全等三角形的判定及性质的应用，辅助线的做法是解题的关键．
11.【答案】
【解析】解：由作法易得，，，依据可判定≌．
故选：．
根据圆的半径相等可得出两个三角形的边长相同，由可得到三角形全等．
本题主要考查了全等三角形的判定，关键是掌握全等三角形的判定定理．
12.【答案】
【解析】
【分析】
此题主要考查了基本作图以及全等三角形的判定，关键是掌握作一个角等于已知角的方法．直接利用基本作图方法结合全等三角形的判定方法得出答案．
【解答】
解：用尺规作图“过点作”的实质就是作，
其作图依据是，在和中，
，
，
．
故选B．
13.【答案】、、
【解析】
【分析】
本题主要考查角平分线的性质、垂直的定义、直角三角形的性质、三角形的内角和等知识点，根据角平分线的性质及直角三角形的性质得出一个内角度数是前提，分类讨论是解题的关键．由角平分线的性质可得，结合知，继而根据“有两个相等的角”分、、、点在射线上四种情况分别求解可得答案．
【解答】
解：如图，
，平分，
，
又，
，
，
当时，；
当时，，
；
当时，
，
，
；
如图，当点在射线上时，
因为，且三角形的内角和为，
所以只有，
此时，不在上，舍去；
综上，的度数为、、，
故答案为、、．
14.【答案】
【解析】解：，，
，
平分，
，
，
，
，，
，，
，
，
是的中点，
垂直平分，，故正确；
，
，
，
在和中，
，故正确；
，
，故正确；
，
，
，
，故错误；
若，则，
，
，
又，
，与题意相矛盾，
故BE与不垂直，故错误，
故答案为：．
由余角的性质可证，可得，由等腰三角形的性质性质可证垂直平分故正确；由“”可证，故正确；由全等三角形的性质可得，可证，故正确；分别求出，，可得，故错误；利用反证法可证与不垂直，故错误，即可求解．
本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
15.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了基本作图：熟练掌握基本作图作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线如图，由作法得垂直平分，垂直平分，利用线段垂直平分线的性质得到，，则，，再利用等边三角形的性质和三角形外角性质计算出，则可判断为等腰直角三角形，从而得到．
【解答】
解：如图，由作法得垂直平分，垂直平分，
，，
，，
为等边三角形，
，
而，
，
，
，
，
为等腰直角三角形，
．
故答案为．
16.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了全等三角形的性质和判定、角平分线性质和线段垂直平分线性质的知识点，能正确作出辅助线是解此题的关键，注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，角平分线上的点到角的两边的距离相等过作于，于，求出，根据角平分线性质求出，根据线段垂直平分线性质求出，证≌，求出，推出，即可得出答案．
【解答】
解：如图：过作于，于，则，
，
，
，，，
，
为中点，，
，
在和中，
，
≌，
，
．
故答案为．
17.【答案】解：
，
，，
解得，，
，，
，
又为偶数，
或，
的周长为或．
【解析】先根据完全平方公式配方，然后根据非负数的性质列式求出、的值，再根据三角形的任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边求出的取值范围，再根据是偶数求出的值．
本题考查了因式分解的实际运用，配方法的应用，偶次方非负数的性质，三角形的三边关系，求出、的值是解题的关键．
18.【答案】解：，，
，
．
又平分，
，
．
【解析】首先根据数据线的内角和定理求得，再根据三角形内角和定理的推论求得，从而根据角平分线的概念，即可求得，最后根据三角形的内角和定理即可解决．
此类题首先注意找准思路：首先根据三角形的内角和定理求得，再根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和，求得，再根据角平分线的概念求得，最后根据三角形的内角和定理即可求出答案．
19.【答案】解：，是．
证明：，，
．
为“智慧三角形”．
为“智慧三角形”，
当点在线段上时，
，
，，．
Ⅰ当时，，
；
Ⅱ当时，，
此种情况不存在；
Ⅲ当时，，
．
．
Ⅳ当时，
．
．
．
Ⅴ当时，，
；
Ⅵ当时，，
．
此种情况不存在．
当点在线段的延长线上时，
，
．
．
Ⅰ当时，，
．
；
Ⅱ当时，，
．
．
．
综上所述，当为“智慧三角形”时，的度数为或或或或或．
【解析】此题主要考察三角形内角和定理、三角形的外角性质，属于新定义问题，运用了分类讨论的思想。
运用三角形内角和定理即可解决
运用题干所给的新定义即可解决
此问主要考察分类讨论思想，根据新定义，讨论“三倍关系”具体在哪两个内角之间成立和点所处的位置。
20.【答案】解：证明： ，
．
又，
．
．
．
，
．
．
．
真命题．
理由如下：，，
．
．
，
．
．
真命题．
理由如下：同可得．
，
．
．
【解析】略
21.【答案】解：逆命题： 是等边三角形 内的一点，若 ，则 到三边的距离相等． 该逆命题成立．
证明如下：，
在 的垂直平分线上，
，
在 的垂直平分线上，
是 的垂直平分线，
平分，
同理， 平分， 平分，
是 三个角的角平分线的交点，
．
且 ，
由面积法可得 点到各边的距离之和任意边上的高线长，即为定值．
【解析】将原命题的题设与结论交换位置即可写出其逆命题；可证明其逆命题成立．先由，，根据线段垂直平分线的判定得出是的垂直平分线，根据等腰三角形三线合一的性质得出平分，同理，平分，平分，那么是三个角的角平分线的交点，根据角平分线的性质即可得出．
本题考查了命题与定理，角平分线、线段垂直平分线的判定与性质，等腰三角形的性质，难度适中．利用数形结合是解题的关键．
22.【答案】证明：≌，
，，
，
，
平分．
【解析】根据全等三角形对应角相等可得，全等三角形对应边相等可得，根据等边对等角可得，从而得到，再根据角平分线的定义证明即可．
本题考查了全等三角形的性质，等边对等角的性质，熟练掌握全等三角形的性质并准确识图是解题的关键．
23.【答案】解：是等腰直角三角形，
理由：≌，
，，，
，
，
，
，
，
，
是等腰直角三角形．
【解析】根据全等三角形的性质得到，，，根据勾股定理计算即可．
本题考查的是全等三角形的性质、勾股定理，掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键．
24.【答案】解：全等．理由如下：经过后，，，，，在和中，≌．
设点的运动速度为 ，经过 后，与全等；则可知 ，， ，分两种情况讨论：当≌时，，，即且，解得，舍去此情况；当≌时，，，即且，解得，若点的运动速度与点的运动速度不相等，当点的运动速度为时，能够使与全等．
【解析】见答案
25.【答案】解：作图如图所示．
证明：是等边三角形，
，
，
平分，
，
，
，
是等边三角形．
证明：连接，
和都是等边三角形，
．
在和中，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
．
【解析】以为圆心，以任意长为半径画弧，交、两边为和，以为圆心，以为半径画弧，交前弧于，作射线，交的延长线于，则
证明三个角都是，可得结论
作辅助线，构建三角形全等，证明，得，，证明，根据三角形外角的性质可得结论．
