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浙教版八年级上册数学第2章特殊三角形（B卷）含解析答案
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这是一份浙教版八年级上册数学第2章特殊三角形（B卷）含解析答案，共23页。
第2章�特殊三角形（B卷�）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
评卷人
得分
一、单选题
1．围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史．下列由黑白棋子摆成的图案是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．用一条长为16cm的细绳首尾连接围成一个等腰三角形，若其中有一边的长为4cm，则该等腰三角形的腰长为（ ）
A．4cm B．6cm C．4cm或6cm D．4cm或8cm
3．等腰三角形的一个角是50°，则它的底角是（ ）
A．50° B．50°或65° C．80°或50° D．65°
4．如图，在等边三角形ABC中，BC=2，D是AB的中点，过点D作DF⊥AC于点F，过点F作EF⊥BC于点E，则BE的长为（ ）
A．1 B． C． D．
5．如图，△ABC的面积为10，BP是∠ABC的平分线，AP⊥BP于P，则△PBC的面积为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
6．下列说法中错误的是（ ）
A．在△ABC中，若∠A：∠B：∠C＝2：2：4，则△ABC为直角三角形
B．在△ABC中，若∠A＝∠B﹣∠C，则△ABC为直角三角形
C．在△ABC中，若∠A＝∠B＝∠C，则△ABC为直角三角形
D．在△ABC中，∠A＝∠B＝2∠C，则△ABC为直角三角形
7．如图，已知，点Р在边OA上，，点M，N在边OB上，．若，则OM的长是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
8．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若（a+b）2=26，大正方形的面积为17，则小正方形的面积为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
9．如图，∠MON＝50°，P为∠MON内一点，OM上有点A，ON上有点B，当PAB的周长取最小值时，∠APB的度数为（ ）．
A．60° B．70° C．80° D．100°
10．如图，在中， 和的平分线相交于点，过点作交于，交于，过点作于，下列四个结论：
①；② ；
③点到各边的距离相等；
④设， ，则．
其中正确的结论个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
评卷人
得分
二、填空题
11．命题“直角三角形中一定有两个内角之和等于90°”的逆命题是 命题．（填“真”或“假”）
12．如果一个等腰三角形的一角为，那么它的顶角是 ．
13．直角三角形斜边上高和中线分别是5和6，则它的面积是 ．
14．如图,一棵大树在一次强台风中距地面5处折断,倒下后树顶端着地点A距树底端B的距离为12,这棵大树在折断前的高度为 .
15．如图，将两个完全相同的含的直角三角板叠放在一起，已知每个三角板的面积为8，则 ．
16．如图，已知四边形中，，，，若线段平分四边形的面积，则 ．
评卷人
得分
三、解答题
17．如图，，是上的一点，且，．
求证：≌
18．如图，长方体的长为，宽为，高为，点到点的距离是，在点处有一滴蜂蜜，一只蚂蚁如果沿着长方体的表面从点爬行到点去吃蜂蜜，蚂蚁需要爬行的最短路程是多少？请通过画图和计算进行解答．
19．如图，和分别平分的内角和外角，交于点，连接．
（1）求证：平分；
（2）若，请判断的形状，并证明你的结论．
20．将一根长为的铁丝，剪掉一部分后，剩下部分围成一个等腰三角形（接头部分忽略不计），这个等腰三角形的底为，腰为．
(1)求剪掉部分的铁丝长度．
(2)若围成的等腰三角形的周长为，求铁丝的长度．
21．如图，已知AC⊥BC，AD⊥BD，E为AB的中点，
（1）如图1，求证：△ECD是等腰三角形；
（2）如图2，CD与AB交点为F，若AD=BD，EF=3，DE=4，求CD的长．
22．如图是俱乐部新打造的一款儿童游戏项目，工作人员告诉小敏，该项目段和段均由不锈钢管材打造，总长度为26米，矩形和矩形均为木质平台的横截面，点G在上，点C在上，点D在上，经过现场测量得知米，米．
(1)求立柱的长度；
(2)为加强游戏安全性，俱乐部打算再焊接一段钢索，经测量米，请你求出要焊接的钢索的长．
23．如图所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝6，点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线A﹣B﹣C方向，朝着点C运动．设点P的运动时间为t秒（t＞0）．
(1)在运动过程中，当t 取何值时，点P恰好在∠BAC的角平分线上；
(2)在运动过程中，当t 取何值时，△PBC是等腰三角形．
参考答案：
1．D
【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，利用轴对称图形的定义进行解答即可．
【详解】解：选项A、B、C均不能找到这样的一条直线，使这个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，
选项D能找到这样的一条直线，使这个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，
故选：D．
【点睛】此题主要考查了轴对称图形，识别轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．
2．B
【分析】分已知边4cm是腰长和底边两种情况讨论求解．
【详解】解：4cm是腰长时，底边为16-4×2=8，
∵4+4=8，
∴4cm、4cm、8cm不能组成三角形；
4cm是底边时，腰长为12×（16-4）=6cm，
4cm、6cm、6cm能够组成三角形；
综上所述，它的腰长为6cm．
故选：B．
【点睛】本题主要考查等腰三角形，掌握等腰三角形的定义以及三角形的三边关系是解题的关键．
3．B
【分析】分这个角为底角和顶角两种情况讨论即可．
【详解】解：当底角为50°时，则底角为50°，
当顶角为50°时，底角为：，
所以底角为50°或65°．
故选：B．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和，熟练掌握等腰三角形的性质及三角形内角和定理是解题的关键，注意分情况讨论．
4．C
【分析】根据等边三角形各内角为60°的性质，可以求得∠ADF=∠CFE=30°，即可求得AD=2AF、CF=2CE，根据BE=BC-CE即可求的BE的长．
【详解】∵D是AB的中点，
∴，
∵等边三角形ABC中∠A=∠C=60°，
且DF⊥AC，
∴∠ADF=180°-90°-60°=30°，
在Rt△ADF中，，
∴，
同理，在Rt△FEC中，，
∴．
故选：C．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，30°角在直角三角形中运用，本题中根据“30°角所对直角边等于斜边的一半”求解是解题的关键．
5．B
【分析】延长AP交BC于D，由已知可得△ABP≌△DBP ，AP=PD，所以△ABP和△DBP等底同高，面积相等，△ACP和△DCP等底同高，面积相等，所以+==5，即△PBC的面积为5.
【详解】
如图，延长AP交BC于D，
∵BP是∠ABC的平分线，AP⊥BP于P，
∴ABP=DBP，APB=DPB=90，
在△ABP和△DBP中
，
∴△ABP≌△DBP
∴AP=PD，
∴=，=，
∴+=+=，
∵△ABC的面积为10，
∴+==5，
即△PBC的面积为5.
故选B.
【点睛】本题考查三角形的面积，全等三角形的判定和性质.
6．D
【分析】根据三角形内角和定理求出三角形的三个内角即可判断．
【详解】解：A、在△ABC中，因为∠A：∠B：∠C＝2：2：4，所以∠C＝90°，∠A＝∠B＝45°，△ABC为直角三角形，本选项不符合题意．
B、在△ABC中，因为∠A＝∠B﹣∠C，所以∠B＝90°，△ABC为直角三角形，本选项不符合题意．
C、在△ABC中，因为∠A＝∠B＝∠C，所以∠C＝90°，∠B＝60°，∠A＝30°，△ABC为直角三角形，本选项不符合题意．
D、在△ABC中，因为∠A＝∠B＝2∠C，所以∠A＝∠B＝72°，∠C＝36°，△ABC不是直角三角形，本选项符合题意，
故选：D．
【点睛】本题考查三角形内角和定理，直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握三角形内角和定理，属于中考常考题型．
7．B
【分析】作PH⊥MN于H，如图，根据等腰三角形的性质得MH＝NH＝MN＝1，在Rt△POH中由∠POH＝60°得到∠OPH＝30°，则根据在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半可得OH＝OP＝4，然后计算OH﹣MH即可．
【详解】解：作PH⊥MN于H，如图，
∵PM＝PN，
∴MH＝NH＝MN＝1，
在Rt△POH中，∵∠POH＝60°，
∴∠OPH＝30°，
∴OH＝OP＝×8＝4，
∴OM＝OH﹣MH＝4﹣1＝3．
故选B．
【点睛】本题考查了等腰三角形三线合一的性质和含30°角的直角三角形的性质，利用三线合一作出辅助线是本题的解题关键．
8．C
【分析】根据大正方形的面积和勾股定理推出，然后结合完全平方公式的变形得出，最后由小正方形的面积为，即可得出结论．
【详解】解：如图所示，由题意，，，
∵大正方形的面积为17，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴小正方形的面积为，
故选：C．
【点睛】本题考查勾股定理的应用，掌握勾股定理，熟练运用完全平方公式的变形是解题关键．
9．C
【分析】作出P点关于OM、ON的对称点A′、B′，然后连接A′B′，交OM、ON于A、B，此时△PAB的周长最小，最小周长为A′B′，再根据三角形和四边形的内角和即可求出答案．
【详解】
作出P点关于OM、ON的对称点A′、B′，然后连接A′B′，交OM、ON于A、B，此时△PAB的周长最小，
∵点A′与点P关于直线OM对称，点B′与点P关于ON对称，
∴OM垂直平分A′P，ON垂直平分B′P，
∴A′A=AP，B′B=BP，
∴∠A′=∠APA′，∠B′=∠BPB′，
∵A′P⊥OM，B′P⊥ON，
∴∠MON+∠A′PB′=180°，
∴∠A′PB′=180°-50°=130°，
在△A′B′P中，由三角形的内角和定理可知：∠A′+∠B′=180°-130°=50°，
∴∠A′PA+∠BP B′=50°，
∴∠APB=130°-50°=80°，
故选C．
【点睛】本题考查了垂直平分线和轴对称的相关知识，两点之间线段最短，还考到了三角形和四边形的内角和，灵活使用垂直平分线的性质并能作出辅助线是解决问题的关键．
10．C
【分析】根据∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O和三角形的内角和等于180°，可得；再由∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O和EF∥BC，可得∠EOB=∠OBE，∠FOC=∠OCF，从而得到BE=OE，CF=OF，进而得到；过点O作OM⊥AB于M，作ON⊥BC于N，连接OA，根据角平分线的性质定理，可得点到各边的距离相等；又由AE+AF=n，可得S△AEF=S△AOE+S△AOF=mn，即可求解．
【详解】解：在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，
∴∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACB，
∵∠ABC+∠ACB=180°-∠A，
∴∠OBC+∠OCB=（∠ABC+∠ACB）=90°-∠A
∴∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=90°+∠A，故②正确；
在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，
∴∠OBC=∠OBE，∠OCB=∠OCF，
∵EF∥BC，
∴∠OBC=∠EOB，∠OCB=∠FOC，
∴∠EOB=∠OBE，∠FOC=∠OCF，
∴BE=OE，CF=OF，
∴EF=OE+OF=BE+CF，故①正确；
过点O作OM⊥AB于M，作ON⊥BC于N，连接OA，
又∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，
∴ON=OD=OM=m，即点O到△ABC各边的距离相等，故③正确；
∵AE+AF=n，
∴S△AEF=S△AOE+S△AOF=AE×OM+AF×OD=OD×（AE+AF）=mn，故④错误；
综上所述，正确的结论有3个．
故选：C
【点睛】本题主要考查了角平分线性质定理，等腰三角形的性质等知识，熟练掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键．
11．真
【分析】逆命题就是原命题的假设和结论互换，互换即可判断命题是真是假．
【详解】∵ 原命题为：直角三角形中一定有两个内角之和等于90°，
∴ 逆命题为：两个内角之和等于90°的三角形为直角三角形，
∴ 逆命题为真命题；
故答案为：真．
【点睛】本题考查了命题的真假，直角三角形的性质，正确掌握原命题与逆命题之间的关系是解题的关键；
12．或
【分析】分角是等腰三角形的顶角和角是等腰三角形的底角两种情况，再根据等腰三角形的定义即可得．
【详解】解：当是等腰三角形的顶角时，则顶角就是；
当是等腰三角形的底角时，则顶角是．
故答案为：或．
【点睛】本题考查了等腰三角形的定义，正确分两种情况讨论是解题关键．
13．30
【分析】根据直角三角形的性质求出斜边长，根据三角形的面积公式计算即可．
【详解】解：如图，
直角三角形斜边上的中线是6，
斜边长为：，
它的面积，
故答案为：30．
【点睛】本题考查的是直角三角形的性质，掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．
14．18米
【详解】如图，由题意知BC=5,AB=12,
∴AC=
∴树原高13+5=18米.
【点睛】此题主要考查勾股定理的应用，解题的关键是熟知勾股定理的应用.
15．5
【分析】过点A作于点H，设，则，，由题意，得到 ，求出 的面积，可得结论．
【详解】解：如图，过点A作于点H，
设，
则，．
∵，
∴，
∴．
∵，，
∴．
∵，，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：5．
【点睛】本题考查含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，三角形的面积等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题．
16．
【分析】连接BD交AC于点O，过点作于点，可得AC垂直平分BD，利用勾股定理可求解BD＝2，OC＝2，再利用面积法求出DM的长，根据线段平分四边形的面积求出，，可得，再利用勾股定理可求DE的长．
【详解】解：连接交于点，过点作于点，
，，
，在的垂直平分线上，即垂直平分，
，
，，
，
，
，
四边形的面积为：，，
，
线段平分四边形的面积，
，，
，
，
，
．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查线段垂直平分线的判定和性质，直角三角形斜边中线的性质，勾股定理，三角形的面积计算，证明AC垂直平分BD是解题的关键．
17．证明见解析．
【分析】此题比较简单，根据已知条件，利用直角三角形的HL可以证明题目结论．
【详解】证明：∵∠1=∠2
∴DE=CE
∵∠A=∠B=90°，AD=BE
∴Rt△ADE≌Rt△BEC(HL)
【点睛】此题考查直角三角形全等的判定，解题关键在于掌握判定定理．
18．，见解析
【分析】由题意分三种情况分别画出长方体的展开图，根据勾股定理分别求出AB的长进行比较即可得出答案．
【详解】解：如图1：
；
如图2：
；
如图3：
；
因为，
所以蚂蚁爬行的最短距离是.
【点睛】本题考查的是平面展开-最短路径问题，根据题意画出长方体的展开图，根据勾股定理求解是解答此题的关键．
19．（1）见解析；（2）等腰三角形，证明见解析
【分析】（1）过点D作DN⊥BA，DK⊥AC，DM⊥BC，垂足分别为点N、K、M，只要证明DN=DK，根据角平分线的判定定理即可解决问题；
（2）证明AD∥BC，得到∠GAD=∠ABC，∠CAD=∠ACB，再根据∠GAD=∠CAD可得∠ABC=∠ACB，即可判断．
【详解】解：（1）过点D作DN⊥BA，DK⊥AC，DM⊥BC，垂足分别为点N、K、M．
∵BD、CD分别平分∠EBA、∠ECA，DN⊥BA，DK⊥AC，DM⊥BC，
∴DM=DN=DK，
∴AD平分∠GAC，∠ABD=∠DBC，
∴∠GAD=∠DAC，
∴AD平分∠GAC．
（2）∵AB=AD，
∴∠ABD=∠ADB，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD，
∴∠ADB=∠CBD，
∴AD∥BC，
∴∠GAD=∠ABC，∠CAD=∠ACB，
∴∠ABC=∠ACB，
∴AB=AC，即△ABC是等腰三角形．
【点睛】本题考查等腰三角形的判定，角平分线的性质定理和判定定理、平行线的判定等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用角平分线的判定和性质定理解决问题，属于中考常考题型．
20．(1)剪掉部分的铁丝长度为
(2)铁丝的长度为
【分析】（1）根据题意列出代数式，再进行整式的加减运算即可得解；
（2）根据（1）的结果，代入周长即可求解．
【详解】（1）等腰三角形的周长为：
．
故剪掉部分的铁丝长度为．
（2）根据（1）中的结论等腰三角形的周长为：，
则，
∴，
故铁丝的长度为．
【点睛】本题考查了整式的加减，解题的关键是根据题意列出代数式．
21．（1）详见解析；（2）.
【分析】(1) 求出∠ACB=90°，∠ADB=90°，根据直角三角形定点和底边中点的连线等于底边的一半即可求解.
(2)求出DE⊥AB，再根据相关关系求出△ECD是等腰三角形，可得CD的长.
【详解】（1）证明：∵AC⊥BC，AD⊥BD，
∴∠ACB=90°，∠ADB=90°，又∵E为AB的中点，
∴CE=AB，DE=AB
∴CE=DE，即△ECD是等腰三角形；
（2）∵AD=BD，E为AB的中点，
∴DE⊥AB，
已知DE=4，EF=3，
∴DF=5，
过点E作EH⊥CD，
∵∠FED=90°，EH⊥DF，
∴EH==，
∴DH==，
∵△ECD是等腰三角形，
∴CD=2DH=．
【点睛】本题考查三角形垂直，线段转化等相关知识，学会合理转化是关键.
22．(1)立柱的长度为9米
(2)米
【分析】（1）根据题意得米，米，设米，则米，则由勾股定理可得出关于x的等式，解出x，即得出BG的长，从而即可求出AB的长．
（2）由题意得米，从而可求出米．进而可由勾股定理求出BF的长．
【详解】（1）（1）由题意得米，米，
设米，则米，
在中，由勾股定理得，
即，解得．
∴米．
∴米．
∴立柱的长度为9米．
（2）由题意得米，
∴米．
在中，由勾股定理得米．
【点睛】本题考查矩形的性质，勾股定理．掌握利用勾股定理解直角三角形的方法是解题关键．
23．(1)t＝时，点P恰好在∠BAC的角平分线上
(2)当t的值为1.4或2或2.5时，△PBC是等腰三角形
【分析】（1）当点P'在∠BAC的角平分线上时，过点P作PD⊥AB，在△ABC中，利用勾股定理求出AC=8，证明Rt△ACP≌Rt△ADP（HL），得AD＝AC＝8，从而求得BD＝2，在Rt△BDP中，由勾股定理得22+（16﹣2t）2＝（2t﹣10）2，求解即可；
（2）由图可知，当△BCP是等腰三角形时，点P必在线段AB上，分三种情况：BC=BP；PC=BC；PC=PB，分别求得点P运动的路程，再除以速度即可得出答案．
【详解】（1）解：如图，当点P在∠BAC的角平分线上时，过点P作PD⊥AB，
∵AP平分∠BAC，PC⊥AC，PD⊥AB，
∴PD＝PC.
由题意知，PD=PC＝BC﹣BP＝6﹣（2t﹣10）＝6﹣2t+10＝16﹣2t，BP＝2t﹣10.
∵在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝6，
∴AC＝8；
∵PC=PD，AP=AP，
∴Rt△ACP≌Rt△ADP（HL），
∴AD＝AC＝8，
∵AB＝10，
∴BD＝2.
在Rt△BDP中，22+（16﹣2t）2＝（2t﹣10）2，解得t＝．
（2）解：①若BC＝BP，
则点P运动的长度为AP＝2t，
∵AP＝AB﹣BP＝10﹣6＝4，
∴2t＝4，
∴t＝2.
②若PC＝BC，
过点C作CH⊥AB于点H，则BP＝2BH.
在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝6，AC＝8，
∴AB•CH＝AC•BC，
∴10CH＝8×6，
∴CH＝，
在Rt△BCH中，BH＝＝＝＝3.6，
∴BP＝2BH＝7.2.
∴点P运动的长度为AP＝AB﹣BP＝10﹣7.2＝2.8，
∴2t＝2.8，
∴t＝1.4.
③若PC＝PB，
则∠PCB=∠B.
∵∠PCB+∠PCA =∠A+∠B=90°，
∴∠PCA =∠A
∴AP=PC=PB=5.
点P运动的长度为AP＝2t＝5，
∴t＝2.5．
综上，t的值为1.4或2或2.5．
【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理在动点问题中的应用，数形结合、分类讨论并熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．
第2章�特殊三角形（B卷�）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
评卷人
得分
一、单选题
1．围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史．下列由黑白棋子摆成的图案是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．用一条长为16cm的细绳首尾连接围成一个等腰三角形，若其中有一边的长为4cm，则该等腰三角形的腰长为（ ）
A．4cm B．6cm C．4cm或6cm D．4cm或8cm
3．等腰三角形的一个角是50°，则它的底角是（ ）
A．50° B．50°或65° C．80°或50° D．65°
4．如图，在等边三角形ABC中，BC=2，D是AB的中点，过点D作DF⊥AC于点F，过点F作EF⊥BC于点E，则BE的长为（ ）
A．1 B． C． D．
5．如图，△ABC的面积为10，BP是∠ABC的平分线，AP⊥BP于P，则△PBC的面积为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
6．下列说法中错误的是（ ）
A．在△ABC中，若∠A：∠B：∠C＝2：2：4，则△ABC为直角三角形
B．在△ABC中，若∠A＝∠B﹣∠C，则△ABC为直角三角形
C．在△ABC中，若∠A＝∠B＝∠C，则△ABC为直角三角形
D．在△ABC中，∠A＝∠B＝2∠C，则△ABC为直角三角形
7．如图，已知，点Р在边OA上，，点M，N在边OB上，．若，则OM的长是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
8．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若（a+b）2=26，大正方形的面积为17，则小正方形的面积为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
9．如图，∠MON＝50°，P为∠MON内一点，OM上有点A，ON上有点B，当PAB的周长取最小值时，∠APB的度数为（ ）．
A．60° B．70° C．80° D．100°
10．如图，在中， 和的平分线相交于点，过点作交于，交于，过点作于，下列四个结论：
①；② ；
③点到各边的距离相等；
④设， ，则．
其中正确的结论个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
评卷人
得分
二、填空题
11．命题“直角三角形中一定有两个内角之和等于90°”的逆命题是 命题．（填“真”或“假”）
12．如果一个等腰三角形的一角为，那么它的顶角是 ．
13．直角三角形斜边上高和中线分别是5和6，则它的面积是 ．
14．如图,一棵大树在一次强台风中距地面5处折断,倒下后树顶端着地点A距树底端B的距离为12,这棵大树在折断前的高度为 .
15．如图，将两个完全相同的含的直角三角板叠放在一起，已知每个三角板的面积为8，则 ．
16．如图，已知四边形中，，，，若线段平分四边形的面积，则 ．
评卷人
得分
三、解答题
17．如图，，是上的一点，且，．
求证：≌
18．如图，长方体的长为，宽为，高为，点到点的距离是，在点处有一滴蜂蜜，一只蚂蚁如果沿着长方体的表面从点爬行到点去吃蜂蜜，蚂蚁需要爬行的最短路程是多少？请通过画图和计算进行解答．
19．如图，和分别平分的内角和外角，交于点，连接．
（1）求证：平分；
（2）若，请判断的形状，并证明你的结论．
20．将一根长为的铁丝，剪掉一部分后，剩下部分围成一个等腰三角形（接头部分忽略不计），这个等腰三角形的底为，腰为．
(1)求剪掉部分的铁丝长度．
(2)若围成的等腰三角形的周长为，求铁丝的长度．
21．如图，已知AC⊥BC，AD⊥BD，E为AB的中点，
（1）如图1，求证：△ECD是等腰三角形；
（2）如图2，CD与AB交点为F，若AD=BD，EF=3，DE=4，求CD的长．
22．如图是俱乐部新打造的一款儿童游戏项目，工作人员告诉小敏，该项目段和段均由不锈钢管材打造，总长度为26米，矩形和矩形均为木质平台的横截面，点G在上，点C在上，点D在上，经过现场测量得知米，米．
(1)求立柱的长度；
(2)为加强游戏安全性，俱乐部打算再焊接一段钢索，经测量米，请你求出要焊接的钢索的长．
23．如图所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝6，点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线A﹣B﹣C方向，朝着点C运动．设点P的运动时间为t秒（t＞0）．
(1)在运动过程中，当t 取何值时，点P恰好在∠BAC的角平分线上；
(2)在运动过程中，当t 取何值时，△PBC是等腰三角形．
参考答案：
1．D
【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，利用轴对称图形的定义进行解答即可．
【详解】解：选项A、B、C均不能找到这样的一条直线，使这个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，
选项D能找到这样的一条直线，使这个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，
故选：D．
【点睛】此题主要考查了轴对称图形，识别轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．
2．B
【分析】分已知边4cm是腰长和底边两种情况讨论求解．
【详解】解：4cm是腰长时，底边为16-4×2=8，
∵4+4=8，
∴4cm、4cm、8cm不能组成三角形；
4cm是底边时，腰长为12×（16-4）=6cm，
4cm、6cm、6cm能够组成三角形；
综上所述，它的腰长为6cm．
故选：B．
【点睛】本题主要考查等腰三角形，掌握等腰三角形的定义以及三角形的三边关系是解题的关键．
3．B
【分析】分这个角为底角和顶角两种情况讨论即可．
【详解】解：当底角为50°时，则底角为50°，
当顶角为50°时，底角为：，
所以底角为50°或65°．
故选：B．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和，熟练掌握等腰三角形的性质及三角形内角和定理是解题的关键，注意分情况讨论．
4．C
【分析】根据等边三角形各内角为60°的性质，可以求得∠ADF=∠CFE=30°，即可求得AD=2AF、CF=2CE，根据BE=BC-CE即可求的BE的长．
【详解】∵D是AB的中点，
∴，
∵等边三角形ABC中∠A=∠C=60°，
且DF⊥AC，
∴∠ADF=180°-90°-60°=30°，
在Rt△ADF中，，
∴，
同理，在Rt△FEC中，，
∴．
故选：C．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，30°角在直角三角形中运用，本题中根据“30°角所对直角边等于斜边的一半”求解是解题的关键．
5．B
【分析】延长AP交BC于D，由已知可得△ABP≌△DBP ，AP=PD，所以△ABP和△DBP等底同高，面积相等，△ACP和△DCP等底同高，面积相等，所以+==5，即△PBC的面积为5.
【详解】
如图，延长AP交BC于D，
∵BP是∠ABC的平分线，AP⊥BP于P，
∴ABP=DBP，APB=DPB=90，
在△ABP和△DBP中
，
∴△ABP≌△DBP
∴AP=PD，
∴=，=，
∴+=+=，
∵△ABC的面积为10，
∴+==5，
即△PBC的面积为5.
故选B.
【点睛】本题考查三角形的面积，全等三角形的判定和性质.
6．D
【分析】根据三角形内角和定理求出三角形的三个内角即可判断．
【详解】解：A、在△ABC中，因为∠A：∠B：∠C＝2：2：4，所以∠C＝90°，∠A＝∠B＝45°，△ABC为直角三角形，本选项不符合题意．
B、在△ABC中，因为∠A＝∠B﹣∠C，所以∠B＝90°，△ABC为直角三角形，本选项不符合题意．
C、在△ABC中，因为∠A＝∠B＝∠C，所以∠C＝90°，∠B＝60°，∠A＝30°，△ABC为直角三角形，本选项不符合题意．
D、在△ABC中，因为∠A＝∠B＝2∠C，所以∠A＝∠B＝72°，∠C＝36°，△ABC不是直角三角形，本选项符合题意，
故选：D．
【点睛】本题考查三角形内角和定理，直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握三角形内角和定理，属于中考常考题型．
7．B
【分析】作PH⊥MN于H，如图，根据等腰三角形的性质得MH＝NH＝MN＝1，在Rt△POH中由∠POH＝60°得到∠OPH＝30°，则根据在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半可得OH＝OP＝4，然后计算OH﹣MH即可．
【详解】解：作PH⊥MN于H，如图，
∵PM＝PN，
∴MH＝NH＝MN＝1，
在Rt△POH中，∵∠POH＝60°，
∴∠OPH＝30°，
∴OH＝OP＝×8＝4，
∴OM＝OH﹣MH＝4﹣1＝3．
故选B．
【点睛】本题考查了等腰三角形三线合一的性质和含30°角的直角三角形的性质，利用三线合一作出辅助线是本题的解题关键．
8．C
【分析】根据大正方形的面积和勾股定理推出，然后结合完全平方公式的变形得出，最后由小正方形的面积为，即可得出结论．
【详解】解：如图所示，由题意，，，
∵大正方形的面积为17，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴小正方形的面积为，
故选：C．
【点睛】本题考查勾股定理的应用，掌握勾股定理，熟练运用完全平方公式的变形是解题关键．
9．C
【分析】作出P点关于OM、ON的对称点A′、B′，然后连接A′B′，交OM、ON于A、B，此时△PAB的周长最小，最小周长为A′B′，再根据三角形和四边形的内角和即可求出答案．
【详解】
作出P点关于OM、ON的对称点A′、B′，然后连接A′B′，交OM、ON于A、B，此时△PAB的周长最小，
∵点A′与点P关于直线OM对称，点B′与点P关于ON对称，
∴OM垂直平分A′P，ON垂直平分B′P，
∴A′A=AP，B′B=BP，
∴∠A′=∠APA′，∠B′=∠BPB′，
∵A′P⊥OM，B′P⊥ON，
∴∠MON+∠A′PB′=180°，
∴∠A′PB′=180°-50°=130°，
在△A′B′P中，由三角形的内角和定理可知：∠A′+∠B′=180°-130°=50°，
∴∠A′PA+∠BP B′=50°，
∴∠APB=130°-50°=80°，
故选C．
【点睛】本题考查了垂直平分线和轴对称的相关知识，两点之间线段最短，还考到了三角形和四边形的内角和，灵活使用垂直平分线的性质并能作出辅助线是解决问题的关键．
10．C
【分析】根据∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O和三角形的内角和等于180°，可得；再由∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O和EF∥BC，可得∠EOB=∠OBE，∠FOC=∠OCF，从而得到BE=OE，CF=OF，进而得到；过点O作OM⊥AB于M，作ON⊥BC于N，连接OA，根据角平分线的性质定理，可得点到各边的距离相等；又由AE+AF=n，可得S△AEF=S△AOE+S△AOF=mn，即可求解．
【详解】解：在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，
∴∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACB，
∵∠ABC+∠ACB=180°-∠A，
∴∠OBC+∠OCB=（∠ABC+∠ACB）=90°-∠A
∴∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=90°+∠A，故②正确；
在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，
∴∠OBC=∠OBE，∠OCB=∠OCF，
∵EF∥BC，
∴∠OBC=∠EOB，∠OCB=∠FOC，
∴∠EOB=∠OBE，∠FOC=∠OCF，
∴BE=OE，CF=OF，
∴EF=OE+OF=BE+CF，故①正确；
过点O作OM⊥AB于M，作ON⊥BC于N，连接OA，
又∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，
∴ON=OD=OM=m，即点O到△ABC各边的距离相等，故③正确；
∵AE+AF=n，
∴S△AEF=S△AOE+S△AOF=AE×OM+AF×OD=OD×（AE+AF）=mn，故④错误；
综上所述，正确的结论有3个．
故选：C
【点睛】本题主要考查了角平分线性质定理，等腰三角形的性质等知识，熟练掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键．
11．真
【分析】逆命题就是原命题的假设和结论互换，互换即可判断命题是真是假．
【详解】∵ 原命题为：直角三角形中一定有两个内角之和等于90°，
∴ 逆命题为：两个内角之和等于90°的三角形为直角三角形，
∴ 逆命题为真命题；
故答案为：真．
【点睛】本题考查了命题的真假，直角三角形的性质，正确掌握原命题与逆命题之间的关系是解题的关键；
12．或
【分析】分角是等腰三角形的顶角和角是等腰三角形的底角两种情况，再根据等腰三角形的定义即可得．
【详解】解：当是等腰三角形的顶角时，则顶角就是；
当是等腰三角形的底角时，则顶角是．
故答案为：或．
【点睛】本题考查了等腰三角形的定义，正确分两种情况讨论是解题关键．
13．30
【分析】根据直角三角形的性质求出斜边长，根据三角形的面积公式计算即可．
【详解】解：如图，
直角三角形斜边上的中线是6，
斜边长为：，
它的面积，
故答案为：30．
【点睛】本题考查的是直角三角形的性质，掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．
14．18米
【详解】如图，由题意知BC=5,AB=12,
∴AC=
∴树原高13+5=18米.
【点睛】此题主要考查勾股定理的应用，解题的关键是熟知勾股定理的应用.
15．5
【分析】过点A作于点H，设，则，，由题意，得到 ，求出 的面积，可得结论．
【详解】解：如图，过点A作于点H，
设，
则，．
∵，
∴，
∴．
∵，，
∴．
∵，，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：5．
【点睛】本题考查含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，三角形的面积等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题．
16．
【分析】连接BD交AC于点O，过点作于点，可得AC垂直平分BD，利用勾股定理可求解BD＝2，OC＝2，再利用面积法求出DM的长，根据线段平分四边形的面积求出，，可得，再利用勾股定理可求DE的长．
【详解】解：连接交于点，过点作于点，
，，
，在的垂直平分线上，即垂直平分，
，
，，
，
，
，
四边形的面积为：，，
，
线段平分四边形的面积，
，，
，
，
，
．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查线段垂直平分线的判定和性质，直角三角形斜边中线的性质，勾股定理，三角形的面积计算，证明AC垂直平分BD是解题的关键．
17．证明见解析．
【分析】此题比较简单，根据已知条件，利用直角三角形的HL可以证明题目结论．
【详解】证明：∵∠1=∠2
∴DE=CE
∵∠A=∠B=90°，AD=BE
∴Rt△ADE≌Rt△BEC(HL)
【点睛】此题考查直角三角形全等的判定，解题关键在于掌握判定定理．
18．，见解析
【分析】由题意分三种情况分别画出长方体的展开图，根据勾股定理分别求出AB的长进行比较即可得出答案．
【详解】解：如图1：
；
如图2：
；
如图3：
；
因为，
所以蚂蚁爬行的最短距离是.
【点睛】本题考查的是平面展开-最短路径问题，根据题意画出长方体的展开图，根据勾股定理求解是解答此题的关键．
19．（1）见解析；（2）等腰三角形，证明见解析
【分析】（1）过点D作DN⊥BA，DK⊥AC，DM⊥BC，垂足分别为点N、K、M，只要证明DN=DK，根据角平分线的判定定理即可解决问题；
（2）证明AD∥BC，得到∠GAD=∠ABC，∠CAD=∠ACB，再根据∠GAD=∠CAD可得∠ABC=∠ACB，即可判断．
【详解】解：（1）过点D作DN⊥BA，DK⊥AC，DM⊥BC，垂足分别为点N、K、M．
∵BD、CD分别平分∠EBA、∠ECA，DN⊥BA，DK⊥AC，DM⊥BC，
∴DM=DN=DK，
∴AD平分∠GAC，∠ABD=∠DBC，
∴∠GAD=∠DAC，
∴AD平分∠GAC．
（2）∵AB=AD，
∴∠ABD=∠ADB，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD，
∴∠ADB=∠CBD，
∴AD∥BC，
∴∠GAD=∠ABC，∠CAD=∠ACB，
∴∠ABC=∠ACB，
∴AB=AC，即△ABC是等腰三角形．
【点睛】本题考查等腰三角形的判定，角平分线的性质定理和判定定理、平行线的判定等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用角平分线的判定和性质定理解决问题，属于中考常考题型．
20．(1)剪掉部分的铁丝长度为
(2)铁丝的长度为
【分析】（1）根据题意列出代数式，再进行整式的加减运算即可得解；
（2）根据（1）的结果，代入周长即可求解．
【详解】（1）等腰三角形的周长为：
．
故剪掉部分的铁丝长度为．
（2）根据（1）中的结论等腰三角形的周长为：，
则，
∴，
故铁丝的长度为．
【点睛】本题考查了整式的加减，解题的关键是根据题意列出代数式．
21．（1）详见解析；（2）.
【分析】(1) 求出∠ACB=90°，∠ADB=90°，根据直角三角形定点和底边中点的连线等于底边的一半即可求解.
(2)求出DE⊥AB，再根据相关关系求出△ECD是等腰三角形，可得CD的长.
【详解】（1）证明：∵AC⊥BC，AD⊥BD，
∴∠ACB=90°，∠ADB=90°，又∵E为AB的中点，
∴CE=AB，DE=AB
∴CE=DE，即△ECD是等腰三角形；
（2）∵AD=BD，E为AB的中点，
∴DE⊥AB，
已知DE=4，EF=3，
∴DF=5，
过点E作EH⊥CD，
∵∠FED=90°，EH⊥DF，
∴EH==，
∴DH==，
∵△ECD是等腰三角形，
∴CD=2DH=．
【点睛】本题考查三角形垂直，线段转化等相关知识，学会合理转化是关键.
22．(1)立柱的长度为9米
(2)米
【分析】（1）根据题意得米，米，设米，则米，则由勾股定理可得出关于x的等式，解出x，即得出BG的长，从而即可求出AB的长．
（2）由题意得米，从而可求出米．进而可由勾股定理求出BF的长．
【详解】（1）（1）由题意得米，米，
设米，则米，
在中，由勾股定理得，
即，解得．
∴米．
∴米．
∴立柱的长度为9米．
（2）由题意得米，
∴米．
在中，由勾股定理得米．
【点睛】本题考查矩形的性质，勾股定理．掌握利用勾股定理解直角三角形的方法是解题关键．
23．(1)t＝时，点P恰好在∠BAC的角平分线上
(2)当t的值为1.4或2或2.5时，△PBC是等腰三角形
【分析】（1）当点P'在∠BAC的角平分线上时，过点P作PD⊥AB，在△ABC中，利用勾股定理求出AC=8，证明Rt△ACP≌Rt△ADP（HL），得AD＝AC＝8，从而求得BD＝2，在Rt△BDP中，由勾股定理得22+（16﹣2t）2＝（2t﹣10）2，求解即可；
（2）由图可知，当△BCP是等腰三角形时，点P必在线段AB上，分三种情况：BC=BP；PC=BC；PC=PB，分别求得点P运动的路程，再除以速度即可得出答案．
【详解】（1）解：如图，当点P在∠BAC的角平分线上时，过点P作PD⊥AB，
∵AP平分∠BAC，PC⊥AC，PD⊥AB，
∴PD＝PC.
由题意知，PD=PC＝BC﹣BP＝6﹣（2t﹣10）＝6﹣2t+10＝16﹣2t，BP＝2t﹣10.
∵在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝6，
∴AC＝8；
∵PC=PD，AP=AP，
∴Rt△ACP≌Rt△ADP（HL），
∴AD＝AC＝8，
∵AB＝10，
∴BD＝2.
在Rt△BDP中，22+（16﹣2t）2＝（2t﹣10）2，解得t＝．
（2）解：①若BC＝BP，
则点P运动的长度为AP＝2t，
∵AP＝AB﹣BP＝10﹣6＝4，
∴2t＝4，
∴t＝2.
②若PC＝BC，
过点C作CH⊥AB于点H，则BP＝2BH.
在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝6，AC＝8，
∴AB•CH＝AC•BC，
∴10CH＝8×6，
∴CH＝，
在Rt△BCH中，BH＝＝＝＝3.6，
∴BP＝2BH＝7.2.
∴点P运动的长度为AP＝AB﹣BP＝10﹣7.2＝2.8，
∴2t＝2.8，
∴t＝1.4.
③若PC＝PB，
则∠PCB=∠B.
∵∠PCB+∠PCA =∠A+∠B=90°，
∴∠PCA =∠A
∴AP=PC=PB=5.
点P运动的长度为AP＝2t＝5，
∴t＝2.5．
综上，t的值为1.4或2或2.5．
【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理在动点问题中的应用，数形结合、分类讨论并熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．
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