高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册1.4 空间向量的应用学案

空间向量的数量积

【要点梳理】

要点一、空间向量的数量积

1．两个向量的数量积．

已知两个非零向量a、b，则|a|·|b|cos〈a，b〉叫做向量a与b的数量积，记作a·b，

即a·b=|a|·|b|cos〈a，b〉．

2．空间向量数量积的性质

设是非零向量，是单位向量，则

①；

②；

③或；

④；

⑤

3．空间向量的数量积满足如下运算律：

（1）（a）·b=（a·b）；

（2）a·b=b·a（交换律）；

（3）a·（b+c）=a·b+a·c（分配律）．

要点诠释：

（1）对于三个不为0的实数a、b、c，若a·b=a·c，则b=c；对于三个不为0的向量，

若不能得出，即向量不能约分．

（2）若a·b=k，不能得出（或），就是说，向量不能进行除法运算．

（3）对于三个不为0的实数，a、b、c有（ab）c=a（bc），对于三个不为0的向量a、b、c，

有，向量的数量积不满足结合律．

要点二、 空间两个向量的夹角．

1.       定义：已知两个非零向量a、b，在空间任取一点D，作，，则∠AOB叫做向量a与 b  的夹角，记作〈a，b〉，如下图。

根据空间两个向量数量积的定义：a·b=|a|·|b|·cos〈a，b〉，

那么空间两个向量a、b的夹角的余弦。

要点诠释：

1. 规定：

2. 特别地，如果，那么与同向；如果，那么与反向；

如果，那么与垂直，记作。

2.       利用空间向量求异面直线所成的角

异面直线所成的角可以通过选取直线的方向向量，计算两个方向向量的夹角得到。

在求异面直线所成的角时，应注意异面直线所成的角与向量夹角的区别：如果两向量夹角为锐角或直角，则异面直线所成的角等于两向量的夹角；如果两向的夹角为钝角，则异面直线所成的角为两向量的夹角的补角。

要点三、空间向量的长度。

1.       定义：

在空间两个向量的数量积中，特别地a·a=|a|·|a|cos0°=|a|2，所以向量a的模：

。

将其推广：；

              。

要点四、空间向量的垂直。

若，则称a与b互相垂直，并记作a⊥b．

根据数量积的定义：⊥⇔·＝0

【典型例题】

类型一：空间向量的数量积

例1．已知向量，向量与的夹角都是，且，

试求：（1）；（2）．

举一反三：

【变式1】设向量a与b互相垂直，向量c与它们构成的角都是60°，且|a|=5，|b|=3，|c|=8，那么（a+3c）·（3b-2a）       ；（2a+b-3c）2=       .

【变式2】已知：, ，试计算

例2.如右图，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于a，点E、F、G 

分别是AB、AD、DC的中点，求下列向量的数量积．

    （1）；（2）；（3）；（4）．

举一反三：

【变式1】正四面体ABCD的棱长为2，点E，F分别为棱BC，AD的中点，则的值为（     ）

A.4      B.-4        

C.-2       D.2

类型二：利用空间向量的数量积求两向量的夹角．

例3.  如右图所示，已知S是边长为1的正三角形所在平面外一点，且SA=SB=SC=1，M、N分别是AB、SC的中点，求异面直线SM与BN所成角的余弦值．

举一反三：

【变式1】空间四边形OABC中，OB=OC，，则（     ）

A.     B.       C.       D.0

【变式2】如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E为D1C1的中点，试求A1C1与DE所成角的余弦值.

类型三：利用空间向量的数量积求线段的长度。

例4、如图，已知空间四边形ABCD的各边和对角线的长都等于a，点M、N分别是AB、CD的中点.

（1）求证：MN⊥AB，MN⊥CD；  （2）求MN的长；

举一反三：

【变式1】已知向量、、两两之间的夹角都为60°，其模都为1，则等于（    ）

A．      B．5      C．6      D．

【变式2】设，，，且，，，

则向量的模是________。

例5.  如图所示，在四面体ABCD中，，BC=2，AC=3，AD=4，，AD⊥BC．

求B、D间的距离．

举一反三：

【变式1】已知在平行六面体中，AB=4，AD=3，AA＇=5，∠BAD=90°，

∠BAA＇=∠DAA＇=60°，则AC＇等于（    ）

A．85      B．      C．      D．50

【变式2】在直二面角的棱上有两点A、B，AC和BD各在这个二面角的一个面内，并且都垂直于棱AB，设AB=8cm，AC=6cm，BD=24cm，求CD的长。

类型四：利用空间向量的数量积证垂直．

例6.已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a，点M、N分别是边AB、CD的中点.

（1）求证：MN为AB和CD的公垂线；

（2）求MN的长；

（3）求异面直线AN与MC所成角的余弦值。

举一反三：

【变式1】在棱长为1的正方体中，分别是中点，在棱上，，为的中点，

⑴ 求证：；  ⑵ 求所成角的余弦；  ⑶ 求的长

【变式2】已知空间四边形OABC中，∠AOB=∠BOC=∠AOC，且OA=OB=OC.M，N分别是OA，BC的中点，G是MN的中点；求证：OG⊥BC.